A sztochasztikus diszkonttényező

Tekintsünk egy diszkrét Arrow-Debreu gazadságot, melyben s=1...S a lehetséges világállapotok száma, i=1...N pedig a rendelkezésre álló pénzügyi eszközök (továbbiakban: eszközök) indexe. Definíció szerint legyen az i-dik eszköz ára p_i, p pedig jelölje az eszközárak N×1 vektorát. Az i-dik eszköz az s világállapotban x_si kifizetést teljesít, mely kifizetéseket összefoglalóan az S×N méretű X mátrix tartalmazza

Definiáljuk az S×1 méretű q vektort, melynek tipikus eleme q_s. A q vektort állapotár-vektornak mondjuk, ha igaz, hogy X′q=p. Minden eszköz felfogható úgy, mint állapotfüggő kifizetések egy kötege. A q vektor dik eleme megadja az s-dik világállapotban kifizetett egy dollár árát és mi minden eszköz árát úgy reprezentáljuk, mint az ő állapotfüggő kifizetéseinek és a megfelelő állapotáraknak a szorzatösszege:

(1) ⁼

∑

s si s

i q x

p

1 Fontosabb szakirodalom: Cochrane (2001), Campbell, Lo, MacKinlay (1997), Duffie (1996),

Fontos eredmény, hogy akkor és csak akkor létezik legalább egy pozitív állapotár-vektor, ha nincsenek arbitrázs lehetőségek (azaz nem létezik olyan eszköz, vagy eszköz-kombináció, amelynek nincs pozitív költsége ma, nincsenek negatív kifizetései holnap és legalább egy világállapotban van pozitív kifizetése).

Bizonyításának lényege, hogy ellenkező esetben megfelelő eszközkombinációval szintetizálható olyan, nulla kölségű portfólió, amelynek kifizetése egyik világállapotban sem negatív és legalább egy világállapotban pozitív, ami maga az arbitrázs-lehetőség.

Definiáljuk az M_s =q_s π_s hányadost, ahol π_s az s-dik világállapot bekövetkeztének valószínűsége. Bármely i eszközre következik, hogy

(2)

∑ ∑ { }

=

=

=

=

= ^S

s

i si

s s S

s

si s

i q X M x E Mx

p

1 1

π

Ms az s-dik világállapot állapotárának és valószínűségének hányadosa, tehát pozitív, mivel mind az állapotárak, mind pedig a valószínűségek pozitívak. Ebből következik, hogy akkor és csak akkor találunk olyan M valószínűségi változót, amelyre fennáll a (2) összefüggés, ha létezik pozitív állapotár-vektor.

Az M valószínűségi változót a továbbiakban sztochasztikus diszkonttényezőnek, fogjuk hívni. Kiterjesztve a modellt több időszakra, definiálhatjuk a t és t+n közötti időszakra érvényes sztochasztikus diszkonttényezőt is az alábbi egyenlet alapján:

(3) pi_,t =Et

{

Mn_,t₊nxi_,t₊n

}

ahol E_t a t időpontban rendelkezésre álló információra vonatkozó feltételes várható értéket jelöli.² A legáltalánosabb felírás szerint

(4) ^p=E

{ }

^Mx

mely egyenletet a továbbiakban az eszközárazás alapegyenletének nevezzük.

2 A sztochasztikus folyamatok elméletében pl. ezzel egyenértékű az E

{ }

.ΩΩΩΩt jelölés, ahol ΩΩΩΩ_t ^az

információs halmaz.

A sztochasztikus diszkonttényező létezésének – mint fent igazoltuk – szükséges és elégséges feltétele a pozitív állapotárak létezése, ez azonban nem garantálja a sztochasztikus diszkonttényező egyértelműségét. Az egyértelműség feltétele a piacok teljessége (bármely állapotfüggő kifizetés előállítható a rendelkezésre álló eszközök kombinációjaként.)

Külön figyelmet érdemel az ún. kockázatmentes befektetések árának és hozamának meghatározása. Kockázatmentesnek mondjuk a befektetést, ha minden világállapotban ugyanazt a kifizetést teljesíti. A (2) egyenlet alapján

(5) ^{p q x q x x q x}i^E

{ }

^M

s s i i s s

s s si

i =

∑

=

∑

=

∑

=

melyből következik, hogy a kockázatmentes befektetés hozamtényezője, amelyet a kifizetés és az ár hányadosaként definiálunk:

(6) ^{R px q E}

{ }

^M

Szavakban tehát a kockázatmentes befektetés hozamtényezője nem más, mint a sztochasztikus diszkonttényező várhatóértékének reciproka.

Kockázatsemlegesnek mondunk egy befektetőt, ha úgy értékeli az eszközöket, mintha a sztochasztikus diszkonttényező azonos lenne minden világállapotban, tehát

{ }

^M

E

M_s = . Ebben az esetben az eszköz értéke nem más, mint az állapotfüggő kifizetéseknek a valószínűségekkel súlyozott átlaga:

(7)

{ } { }

A ^p=E

{ }

^Mx egyenlet egy közkeletű transzformációja ún. “kockázatsemleges”

valószínűségeket eredményez. Definiáljuk a

(8)

A π_s^∗ hányadosok pozitívak, 1-nél nem nagyobbak és 1-re összegződnek, tehát jogos valószínűségeknek tekinteni őket. Ezáltal az eszközárazás alapegyenlete az alábbi formában írható:

(9)

( ) { }

s f s f s

s s

s R

x x E

x R q x

p =

∑

= ¹

∑

^π∗ = ^∗

Az E^∗ jelölés arra utal, hogy a várható érték számításakor a kockázatsemleges valószínűségek használandók.

Ennek következtében eszközárazáskor feltételezhetjük, hogy minden befektető kockázatsemleges, de a π^∗ valószínűségekkel, a valóságos π valószínűségek helyett.

A transzformáció, amely a tényleges valószínűségeket a kockázatsemleges valószínűségekbe viszi át az alábbi formában adott:

(10) ^{π =s∗ EM}

{ }

^{Ms πs}

Ezért az

{ }

^M

E M_s

tényezőt tekinthetjük deriváltnak is, avagy mértékcserének a valódi valószínűségekből a szubjektív valószínűségekbe. A két mérték

(

^πs∗ésπs

)

ekvivalens, mivel pontosan ugyanazokhoz a világállapotokhoz társítanak nulla valószínűséget. Ez abból következik, hogy – amint azt fentebb kimondtuk - az arbitrázsmentesség miatt az M_s sztochasztikus diszkonttényező értéke minden nem nulla valószínűségű világállapotban pozitív, tehát várható értéke is pozitív, következésképp az

{ }

^M

E M_s

szorzó értéke is mindig pozitív. Az eszközárazás kockázatsemleges valószínűségekkel történő reprezentálása igen elterjedt, különösen a származékos termékek árazásánál, amikor az eredmény független a kockázati kiigazítástól, valamint folytonos idejű modellek alkalmazásakor. Folytonos modellek esetén a szummák természetesen integrálokba mennek át, ezért a diszkonttényezőt szokás árazási magnak is hívni.

Az egy ár törvénye a pénzpiacokon kimondja, hogy egyenértékű portfoliók (befektetési stratégiák) ára egyenlő kell, legyen. Tekintsük pl. az alábbi két stratégiát.

Az első esetben megvásároljuk az i-dik értékpapírt, amely x_t+n egységnyi kifizetést teljesít a t+n időszakban. Ára Et

{

Mn_,t₊nxt₊n

}

. A második stratégiában megvásároljuk azt a j-dik értékpapírt a t időpontban, amelyik a t+m időpontban éppen az i értékpapír akkori árát fizeti, majd a t+m időpontban megvásároljuk magát az i értékpapírt. Az i értékpapír ára a t+m időpontban Et₊m

{

Mn₋m_,t₊nxt₊n

}

lesz. A t+m időpontban ezzel egyenlő kifizetést teljesítő j értékpapír ára a t időpontban

{ }

{

mt m t m n mt n t n

}

t M E M x

E _{,+ + − ,+ +} kell, legyen. A többszörös feltételes várható érték feloldása után adódik, hogy

(11) Et

{

Mn_,t₊nxt₊n

} {

=Et Mm_,t₊mMn₋m_,t₊nxt₊n

}

Mivel ennek igaznak kell lennie bármely x_t+n kifizetési profilra, következik, hogy (12) M_n,t+n =M_m,t+mM_n−m,t+n

Ismételt behelyettesítéssel adódik, hogy

(13)

∏

= +

+ = ⁿ

j

j t n

t

n M

M

1 , 1 ,

vagy logaritmusban kifejezve

(14)

∑

= +

+ = ⁿ

j

j t n

t

n m

m

1 , 1 ,

ahol mn_,t₊n ≡ln

(

Mn_,t₊n

)

. Ebből következik, hogy ha definiáltuk az egy időszakra vonatkozó diszkonttényező alakulását leíró sztochasztikus folyamatot, akkor ezzel megadtuk bármely időszakra vonatkozó diszkonttényező alakulását is.

In document Romhányi Balázs (Pldal 9-14)