A polariz´aci´os formula alkalmaz´asa a potenci´alformalizmusokban

A 2.3 fejezetben bemutattam a statikus m´agneses t´er ´es az ¨orv´eny´aram´u t´er sz´am´ıt´as´ara alkalmas k´et-k´et, leggyakrabban alkalmazott potenci´alformalizmust. Ebben a fejezetben ezen line´aris egyenleteket eg´esz´ıtem ki a fentiekben bevezetett konstit´uci´os rel´aci´okkal.

4.3.1. Nemline´ aris statikus m´ agneses t´ er

A m´agneses skal´arpotenci´al

A (2.31) line´aris parci´alis differenci´alegyenlet, a (2.32) ´es a (2.33) peremfelt´etelek polariz´aci´os formul´aval reprezent´alt nemline´aris anyagmodell eset´en a k¨ovetkez˝o alakot

¨oltik:

A Φ-formalizmus gyenge alakj´at a k¨ovetkez˝o egyenlet defini´alja:

Z

Azaals´o index arra utal, hogy az egyes v´altoz´ok v´egeselem-formaf¨uggv´enyek seg´ıts´eg´evel approxim´alt f¨uggv´enyei szerepelnek a gyenge alakokban.

Kuczmann Mikl´os 2014

A m´agneses vektorpotenci´al

Ebben a dolgozatban a nemline´aris statikus m´agneses t´er probl´em´ak m´agneses vek-torpotenci´allal t¨ort´en˝o megold´asa kapcs´an f˝oleg a szabad formalizmussal foglalkoztam, itt is csak erre a formalizmusra szor´ıtkozom.

A (2.40) line´aris parci´alis differenci´alegyenlet, valamint a (2.41) ´es a (2.42) perem-felt´etelek a k¨ovetkez˝o alak´u egyenletekk´ent ´ırhat´ok fel a kiterjesztett polariz´aci´os formula eset´en:

A gyenge alak pedig a k¨ovetkez˝o:

Z

Megjegyzem, hogy aT~₀ ´aram-vektorpotenci´al alkalmaz´asa csak h´aromdimenzi´os fel-adatok megold´asa sor´an sz¨uks´eges, k´et dimenzi´oban a ~J₀ ´arams˝ur˝us´eget lehet haszn´alni.

4.3.2. Nemline´ aris ¨ orv´ eny´ aram´ u t´ er

Az egyszer˝us´eg kedv´e´ert ebben a fejezetben csak a csatolt probl´em´ak k´et potenci´al-formalizmus´ara szor´ıtkozom, a szabad T~,Φ−Φ-formalizmusra ´es a szabad A~, V −A~ -formalizmusra. El˝obbiben az ¨orv´eny´aram´u t´er le´ır´asa ´aram-vektorpotenci´allal ´es m´ag-neses skal´arpotenci´allal t¨ort´enik, s ehhez kell a nemvezet˝o tartom´any reprezent´al´as´ara szolg´al´o m´agneses skal´arpotenci´alt csatolni. A m´asik formalizmusban az ¨orv´eny´aram´u t´er le´ır´asa m´agneses vektorpotenci´al ´es elektromos skal´arpotenci´al seg´ıts´eg´evel t¨ort´enik, amihez a nemvezet˝o tartom´anyban defini´alt m´agneses vektorpotenci´al csatoland´o. A k¨ovetkez˝okben az ¨orv´eny´aram´u tartom´any H~ −B~ kapcsolata nemline´aris, de a le´ırtak tov´abb ´altal´anos´ıthat´ok. A t¨obbi formalizmus kieg´esz´ıt´ese hasonl´o m´odon megtehet˝o. A potenci´alformalizmusok nagyon r´eszletes levezet´ese megtal´alhat´o a [14] monogr´afi´aban, itt csak a l´enyeges pontokat emelem ki.

A szabad T~,Φ−Φ-formalizmus

A (2.46)-(2.51) egyenletek polariz´aci´os formul´aval kieg´esz´ıtett v´altozata ´erv´enyes az

¨orv´eny´aram´u tartom´anyban, a (2.31)-(2.33) egyenletek pedig v´altozatlanul fel´ırhat´ok az

¨orv´any´aram-tartom´anyt k¨or¨ulvev˝o nemvezet˝o tartom´anyban. A k´et r´egi´ot elv´alaszt´o hat´aron ennek megfelel˝oen hat´arfelt´eteleket kell defini´alni.

dc_872_14

A m´agneses t´erer˝oss´eg aH~ =T~₀+T~ − ∇Φ ¨osszef¨ugg´es szerint alakul az Ω¨o

¨orv´eny-´aram-tartom´anyban, m´ıg H~ = T~₀− ∇Φ szerint az Ωn tartom´anyban. A Φ m´agneses skal´arpotenci´al folytonos, csak´ugy mint a T~₀ ´aram-vektorpotenci´al tangenci´alis kompo-nense a teljes Ω¨o ∪ Ωn tartom´anyon, s ´ıgy a T~ ×n~_¨o = ~0 felt´etelt kell el˝o´ırni a Γn¨o

hat´arfel¨uleten, hogy a H~ × ~n folytonoss´aga teljes¨ulj¨on. A ~J ¨orv´eny´aram norm´alis ir´any´u komponense aT~ ´aram-vektorpotenci´al bevezet´ese ´es tangenci´alis komponens´enek el˝o´ır´asa miatt automatikusan z´erus ´ert´ek˝u a Γn¨o hat´aron. A m´agneses indukci´o norm´alis ir´any´u komponens´enek folytonoss´aga Neumann-t´ıpus´u felt´etellel ´ırhat´o el˝o.

A megoldand´o egyenletek teh´at az al´abbiak:

∇ × A szabad formalizmus gyenge alakja a megfelel˝o matematikai ´atalak´ıt´asok ut´an a k¨ovetkez˝o k´et egyenlettel ´ırhat´o le:

Z

Kuczmann Mikl´os 2014

A gyenge alak m´asodik egyenlet´eben az id˝o szerinti deriv´alt az el˝o´all´o egyenletrend-szer szimmetri´aj´at biztos´ıtja.

A szabad A~, V −A~-formalizmus

A (2.62)-(2.67) egyenleteket a polariz´aci´os formul´aval kieg´esz´ıtve haszn´alhat´ok az

¨orv´eny´aram´u tartom´anyban, a (2.40)-(2.42) egyenletek pedig v´altozatlanul fel´ırhat´ok a nemvezet˝o tartom´anyban. A k´et r´egi´ot elv´alaszt´o hat´aron ennek megfelel˝oen hat´arfelt´e-teleket kell defini´alni.

Az A~ m´agneses vektorpotenci´al tangenci´alis komponense folytonos a teljes Ω¨o ∪Ωn

tartom´anyon, ami biztos´ıtja a m´agneses indukci´o norm´alis komponens´enek folytonoss´a-g´at. A m´agneses t´erer˝oss´eg tangenci´alis ir´any´u komponens´enek folytonoss´aga Neumann-t´ıpus´u hat´arfelt´etel el˝o´ır´as´aval lehets´eges, ak´arcsak az ¨orv´eny´aram norm´alis kompo-nens´enek elt˝un´es´et biztos´ıt´o felt´etel ugyanezen k¨ozeghat´aron. Az ´ıgy el˝o´all´o egyenlet-rendszer v´eg¨ul a k¨ovetkez˝o:

∇×(ν∇ ×A~)+σ∂ ~A

~

Ebben a formalizmusban a T~₀ ´aram-vektorpotenci´al a teljes Ω¨o ∪Ωn tartom´anyra kiterjeszthet˝o annak defin´ıci´oja miatt. Ez´altal a gyenge alak egyszer˝us¨odik.

A V = V(~r, t) elektromos skal´arpotenci´al helyett a v = v(~r, t) f¨uggv´enyt c´elszer˝u bevezetni, mert ´ıgy a kialakul´o egyenletrendszer szimmetrikus lesz,

v =

A formalizmus gyenge alakja a fentiek alapj´an az al´abbi:

Z

Ha az Ω¨o tartom´any vezet˝ok´epess´ege konstans, akkor aV skal´arpotenci´al elhagyhat´o, s vele minden olyan egyenlet, amelyben aV szerepel. Ez az ´un. A~^∗−A~-formalizmus.

V´egeredm´enyben elmondhat´o, hogy a j´arul´ekos vesztes´egeket reprezent´al´o m´agneses t´erer˝oss´eg-komponens Maxwell-egyenletekhez, illetve a potenci´alformalizmusokhoz t¨ort´e-n˝o illeszt´ese nagyon egyszer˝u: az egyenletek jobb oldal´an megjelent egyR~^′ =R~ −µ ~H_j´ar, illetve egy ~I^′ = ~I +H~ _j´ar alak´u tagot tartalmaz´o integr´al, amelyek hat´assal vannak a potenci´alok, illetve a t´erv´altoz´ok ´ert´ek´ere, meghat´aroz´asuk pedig a k¨ovetkez˝okben be-mutat´asra ker¨ul˝o technik´aval t¨ort´enik. A j´arul´ekos komponens n´elk¨uli egyenletek is-mertek, ezeket az irodalom feldolgoz´asa ´es tov´abbgondol´asa ut´an a [14] monogr´afi´aban gy˝ujt¨ottem ¨ossze, itt arra k´ıv´anok r´avil´ag´ıtani, hogy a j´arul´ekos vesztes´eg modellez´ese a m´ar megl´ev˝o formalizmusokban milyen egyszer˝u m´odon implement´alhat´o.

Kuczmann Mikl´os 2014