A mintaabsztrakció átalakítása a kombinátor logika kifejezésére

El˝oször a konstansos absztrakciók átalakítását vizsgáljuk, és csak ezek után foglalkozunk az összeg- és szorzatkonstruktoros absztrakciók CL-kifejezésekre történ˝o transzformációjával. Az egyszer˝uség kedvéért most nem foglalkozunk a⊥ konstans problémájával.

7.2.1. Konstansos absztrakciók

Aλk.E λ-kifejezés szemantikáját a 3.7.1. pontban adtuk meg. Az értelmezés sze-rint ha egy konstansos absztrakcióra egy olyan kifejezést applikálunk, aminek az értéke megegyezik az absztrakció konstansával, akkor a mintaillesztés eredményéül az absztrakció törzsét kapjuk, ha az érték nem azonos az absztrakció konstansával, akkor a mintaillesztés afail eredményt adja.

A (λx.E)K ≡ λ^∗x.(E)K azonossághoz hasonlóan a konstansos absztrakció átalakítását is aλ^∗zárójeles absztrakcióval adjuk meg.

λk.E {_K (λk.E)K ≡ λ^∗k.(E)K

Bevezetünk egy új speciális kombinátort, a kombinátor neve legyen Match, és a konstansos absztrakció jelentését ezzel a kombinátorral írjuk le:

λ^∗k.E ≡ Matchk E

AMatchkombinátor gyenge redukciós szabályai pedig legyenek a következ˝ok:

Match E F G →_w F, ha E =G, Match E F G →_w fail egyébként

Vissza a tartalomhoz

7.2.1. Példa. (Konstansos absztrakció)

A kib˝ovítettλ-kalkulusban az f 1=2 definícióból az f -re aλ1.2 kifejezést kapjuk, és például

f 1 = (λ1.2)1 → 2 f 3 = (λ1.2)3 → fail

Az f ≡λ1.2 λ-kifejezést CL-kifejezésre alakítva (λ1.2)K ≡λ^∗1.2≡Match1 2

és

f 1 ≡ Match1 2 1 →_w 2

f 3 ≡ Match1 2 3 →_w fail

7.2.2. Összegkonstruktoros absztrakciók

Az összegkonstruktoros absztrakciók értelmezésével a 3.7.2. pontban foglalkoz-tunk, és láttuk, hogy egy mintaapplikációból nemfail eredményt akkor kapunk, ha az absztrakcióban és az argumentumában szerepl˝o konstruktor megegyezik. Hason-lóan értelmezzük az összegkonstruktoros mintákat a kombinátor logikában is.

Ha s az absztrakció konstruktora, akkor legyen

λ(s p₁p₂. . .p_n).E) {_K (λ(s p₁p₂. . .p_n).E)K ≡ λ^∗(s p₁p₂. . .p_n).(E)K

Az összegkonstruktoros kifejezésre vonatkozó zárójeles absztrakció jelentését app-likációval adjuk meg. A konstruktorok vizsgálatát egy új,U_s nev˝u kombinátorral hajtjuk végre, az U név az

”uncurrying” szóból származik, spedig az absztrakció kombinátora.

λ^∗(s p1p2. . .pn).E ≡U_s (λ^∗p1. λ^∗p2.· · · . λ^∗pn.E)

AzU_skombinátor gyenge redukciós szabályai legyenek a következ˝ok:

U_s f (s F1F2. . .Fn) →_w f F1F2. . .Fn

U_s f (s⁰F₁F₂. . .F_n) →_w fail, ha s,s⁰

7.2.2. Példa. (Összegkonstruktoros absztrakció)

Tegyük fel, hogy egy definíció átalakításának egyik sora a kib˝ovítettλ-kalkulusban λ(consx xs).E

Határozzuk meg ennek a CL-kifejezését. Ha E {_K E⁰, akkor (consx xs).E {⁺

K

λ^∗(consx xs).E⁰ ≡ U_cons(λ^∗x. λ^∗xs.E⁰)

Applikáljuk a kifejezésre a cons1 nil, majd a branch F G kifejezéseket. Legyen F{_K F⁰és G{_KG⁰. Mivel

cons1nil{⁺

K cons1nil és

branchF G{⁺

K branchF⁰G⁰, a következ˝o eredményt kapjuk:

(λ^∗(consx xs).E⁰) (cons1nil)≡ U_cons(λ^∗x. λ^∗xs.E⁰) (cons1nil) →_w (λ^∗x. λ^∗xs.E⁰) 1nil

és

(λ^∗(consx xs).E⁰) (branchF⁰G⁰)≡ U_cons(λ^∗x. λ^∗xs.E⁰) (branchF⁰G⁰) →_w

fail

A kiterjesztettλ-kalkulusban az összegkonstruktoros minták mintaillesztésének λ-kifejezésében a mintaillesztést a 8 vastagvonal operátorral oldottuk meg.

Vezessünk be a mintaillesztésre is egy új kombinátort, amelyet nevezzünkTry-nak, és a gyenge redukciós szabályok legyenek a következ˝ok:

Try fail F →_w F

Try E F →_w Try E⁰ F, ha E → E⁰

Try E F →_w E, egyébként

Az E 8 F λ-kifejezésnek a kombinátor logikában a Try(E)K(F)K kifejezést feleltessük meg.

E8F {_K (E8F)K ≡ Try(E)K (F)K

Ezzel a kib˝ovített λ-kalkulusban lev˝o vastagvonal operátorokat tartalmazó kifejezéseket a kombinátor logikában applikációkra alakítottuk át.

Most nézzük meg, hogy a bevezetett Try kombinátor felhasználásával hogyan lehet az összegkonstruktoros mintákat tartalmazóλ-kifejezéseket CL-kifejezésekké átalakítani.

El˝oször nézzünk meg egy egymintás és kétsoros függvénydefiníciót. Tegyük fel, hogy a definícióból a kib˝ovítettλ-kalkulusban a következ˝o kifejezést kaptuk:

f =λx. ( ((λp1.E1) x) 8 ((λp2.E2) x) 8 ERROR )

Ha E1 {_K E₁⁰,E2 {_K E⁰₂ és p1 {_K p⁰₁,p2 {_K p⁰₂, ebb˝ol a kombinátor logikában a következ˝o kifejezést kapjuk:

f {⁺

K λ^∗x.Try ((λ^∗p⁰₁.E₁⁰)x) (Try((λ^∗p⁰₁.E₂⁰)x)ERROR)

Az egyszer˝uség kedvéért jelöljük a ((λ^∗p⁰₁.E₁⁰)x) kifejezést E₁⁰⁰-vel, a ((λ^∗p⁰₁.E⁰₂)x) kifejezést E⁰⁰₂-vel, így az f átalakítását a

λ^∗x.Try E₁⁰⁰ (TryE⁰⁰₂ ERROR)

kifejezéssel írhatjuk le. Mivel a Try konstans, alkalmazhatjuk a λ^∗ zárójeles absztrakció

λ^∗x.E F G ≡S’E (λ^∗x.F)(λ^∗x.G) átalakítási szabályát, így az fK-ra az S’ Try(λ^∗x.E₁⁰⁰) (λ^∗x.(TryE⁰⁰₂ ERROR))

kifejezést kapjuk. A jobb oldali kifejezésre ismét alkalmazva a zárójeles absztrakció szabályát, az fK kifejezés alakja

S’ Try(λ^∗x.E₁⁰⁰) (S’ Try(λ^∗x.E⁰⁰₂)ERROR))

Ezt a kifejezést tovább tudjuk egyszer˝usíteni, írjuk ki részletesen az E₁⁰⁰kifejezést:

λ^∗x.E⁰⁰₁ ≡ λ^∗x.(λ^∗p⁰₁.E⁰₁)x,

amire ha E⁰₁nem tartalmaz szabad x változót, alkalmazható a zárójeles absztrakció

λ^∗x.E x≡ E

szabálya, így ebb˝ol a λ^∗p₁.E⁰₁ ≡ λ^∗p₁.(E₁)K kifejezést kapjuk. Hasonló mód-szerrel a λ^∗x.E₂⁰⁰ kifejezés aλ^∗p2.(E2)K-ra egyszer˝usíthet˝o. Tehát az f kifejezés alakja a kombinátor logikában

λx. ( ((λp₁.E₁) x) 8 ((λp₂.E₂) x) 8 ERROR )

{_K

S’ Try (λ^∗p1.(E1)K)

(S’ Try (λ^∗p₂.(E₂)K) ERROR )

Ebb˝ol már következtethetünk a többmintás, több soros, összegtípusú konstruk-torokat tartalmazó definíció átalakítási szabályára is.

λx1. . .xn. ( ((λp1,1.· · ·. λp1,n.E1)x1. . .xn) 8 ((λp_2,1.· · ·. λp_2,n.E₂)x₁. . .x_n) . . .

8 ((λp_m,1. · · ·. λp_m,n.E_m)x₁. . .x_n) 8 ERROR

) {_K

S’ Try (λ^∗p_1,1.· · ·. λ^∗p_1,n.(E₁)K) (S’ Try (λ^∗p_2,1.· · · . λ^∗p_2,n.(E₂)K)

. . .

(S’ Try (λ^∗pm,1.· · ·. λ^∗pm,n.(Em)K) ERROR). . .)

Megjegyezzük, hogy ha a zárójeles absztrakciók végrehajtásánál egy S’-s sza-bálytól különböz˝o szabály alkalmazásának feltétele is teljesül, akkor a fenti átalakításban azS’-s szabály helyett ez a zárójeles absztrakció is alkalmazható.

7.2.3. Példa. (Egymintás, kétsoros definíció) A 3.5.4. példában adtuk meg a flip függvény

flip 0 = 1 flip 1 = 0

definícióját, és itt szerepelt a függvény λx. ( ((λ0.1) x)

8 ((λ1.0) x) 8 ERROR )

λ-kifejezése is. A flip függvénydefiníció CL-kifejezése:

S’ Try(λ^∗0.1) (S’ Try(λ^∗1.0) (ERROR) ) A konstansos absztrakciókat is beírva, az S’ Try (Match0 1)

(S’ Try (Match1 0) (ERROR) ) kifejezést kapjuk.

Most határozzuk meg a flip 1 kifejezés értékét.

(S’ Try(Match0 1) (S’ Try(Match1 0) (ERROR) ) ) 1 →_w Try((Match0 1) 1) ((S’ Try(Match1 0) (ERROR) ) 1)→_w Try fail((S’ Try(Match1 0) (ERROR) ) 1)→_w

S’ Try(Match1 0) (ERROR) ) 1→_w Try((Match1 0) 1) ((ERROR) 1) →_w

0

7.2.4. Példa. (Mintaillesztés összegkonstruktoros absztrakciókkal) A 3.5.5. példában szerepl˝o

reflect (leafn) = leafn

reflect (brancht1t2) = branch(reflect t2) (reflect t1) függvényλ-kifejezését a 3.7.5. példában adtuk meg:

reflect=λx. ( ((λ(leafn).leafn) x)

8 ((λ(brancht1t2).branch(reflect t2) (reflect t1)) x) 8 ERROR

)

Határozzuk meg a reflect függvény CL-kifejezését. El˝oször alakítsuk át az els˝o mintához tartozóλ-kifejezést, és használjuk a mintákra megadott átalakításokat is.

λ^∗(leafn).(leafn)K ≡ λ^∗(leafn).leafn ≡ U_leaf(λ^∗n.leafn)≡ U_leaf leaf

A második mintaλ-kifejezésének az átalakítása:

(λ^∗(brancht₁t₂).(branch(reflect t₂) (reflect t₁))K ≡ λ^∗(brancht₁t₂).branch(reflect t₂) (reflect t₁) ≡ U_branch(λ^∗t1t2.branch(reflect t2) (reflect t1))≡ U_branch(λ^∗t₁.(C’ branch(λ^∗t₂.reflect t₂) (reflect t₁))≡ U_branch(λ^∗t1.(C’ branchreflect) (reflect t1))≡

U_branch(B(C’ branchreflect) (λ^∗t₁.reflect t₁))≡ U_branch(B(C’ branchreflect) reflect)

így a mintákat összefogva azS’ésTry kombinátorokkal:

reflect=

S’ Try (U_leaf leaf)

(S’ Try (U_branch(B(C’ branchreflect) reflect)) (ERROR) )

és ezzel a reflect függvény CL-kifejezését meghatároztuk.

7.2.5. Példa. (A reflect (leafE) kifejezés)

Az el˝oz˝o példában meghatároztuk a reflect kifejezését, most határozzuk meg a reflect (leafE) kifejezés értékét.

reflect (leafE)≡ (S’ Try(U_leaf leaf)

(S’ Try(U_branch(B(C’ branchreflect) reflect))(ERROR) ) ) (leafE) →_w Try(U_leaf leaf(leafE))

(S’ Try(U_branch(B(C’ branchreflect) reflect))(ERROR) (leafE))→_w Try(leafE)

(Try(U_branch(B(C’ branchreflect) reflect))(ERROR) ) (leafE))→_w

leafE

7.2.6. Példa. (A reflect (branch(leafE)(leafF)) kifejezés)

Határozzuk meg a reflect (branch(leafE)(leafF)) kifejezés értékét is.

reflect (branch(leafE)(leafF)))≡ S’ Try(U_leaf leaf)

(S’ Try(U_branch(B(C’ branchreflect) reflect))(ERROR) ) (branch(leafE)(leafF))→_w

Try(U_leaf leaf(branch(leafE)(leafF)))

(S’ Try(U_branch(B(C’ branchreflect) reflect))(ERROR) (branch(leafE)(leafF))) →_w

Try fail

(S’ Try(U_branch(B(C’ branchreflect) reflect))(ERROR) ) (branch(leafE)(leafF))) →_w

S’ Try(U_branch(B(C’ branchreflect) reflect))(ERROR) (branch(leafE)(leafF))→_w

Try(U_branch(B(C’ branchreflect) reflect)) (branch(leafE)(leafF))) ((ERROR) (branch(leafE)(leafF))→_w

Try((B(C’ branchreflect) reflect) (leafE) (leafF)) ((ERROR) (branch(leafE)(leafF))→_w Try((C’ branchreflect) (reflect (leafE)) (leafF))

((ERROR) (branch(leafE)(leafF))→_w Try(branch(reflectleafF)) (reflect (leafE)))

((ERROR) (branch(leafE)(leafF))→_w

branch(reflectleafF)) (reflect (leafE))

7.2.3. Szorzatkonstruktoros absztrakciók

A szorzatkonstruktoros applikációk értelmezését a 3.7.3. szakaszban vizsgáltuk.

Az összegkonstruktoros absztrakcióhoz hasonlóan legyen

λ(t p₁ p₂. . .p_n).E {_K (λ(t p₁ p₂. . .p_n).E)K ≡λ^∗(t p₁ p₂. . .p_n).(E)K

ahol t a szorzatkonstruktort jelöli. Most is egy olyan megoldást keresünk, hogy a konstruktorok összehasonlítását az absztrakció argumentumában lev˝o konstruktor paramétereinek, azaz mintáinak feldolgozásáig elhalasszuk.

A szorzatkonstruktort tartalmazó kifejezés zárójeles absztrakcióját egy új,V_t

kombinátorral adjuk meg:

λ^∗(t p1 p2. . .pn).E ≡ V_t (λ^∗p1. λ^∗p2. · · ·. λ^∗pn.E) ahol aV_t kombinátor gyenge redukciós szabálya a következ˝o:

V_t f F →_w f (VSEL_t_1 F) (VSEL_t_2 F). . .(VSEL_t_n F)

A konstruktorok összehasonlítását aVSEL_..._...operátor végzi, ennek az operátor-nak a redukciós szabálya megfelel a kib˝ovítettλ-kalkulusban megadottSEL_..._...

operátor szabályának.

VSEL_t_i (t F₁F₂. . .F_n) →_w F_i (1≤i≤n) VSEL_t_i (t⁰F₁F₂. . .F_n) →_w fail, ha t,t⁰

Az átalakítások megadott szabályai szerint tehát a szorzatkonstruktorok összeha-sonlítására csak akkor kerül sor, ha az F paraméter adataira szükség van.

Mint a 3. fejezetben láttuk, egy egymintás szorzatkonstruktorral megadott definíciónak a kib˝ovítettλ-kalkulusban az

f =λx. ( ((λp.E) x) 8 ERROR )

kifejezést feleltettük meg. Ez a kifejezés az el˝oz˝o pontban bevezetettTry kombiná-torral könnyen átalakítható CL-kifejezésre:

f {⁺

K λ^∗x.Try ((λ^∗p.E)x) ERROR

Mivel aTryés azERRORkonstans, alkalmazhatjuk a zárójeles absztrakció λ^∗x.E F G ≡C’E (λ^∗x.F)G

szabályát, így a következ˝o kifejezést kapjuk:

C’ Try(λ^∗x.((λ^∗p.E)x))ERROR

A kifejezésben lév˝oλ^∗x zárójeles absztrakcióra alkalmazva a λ^∗x.E x≡ E

szabályt, a kifejezés még egyszer˝ubb lesz. Tehát a kifejezés alakja a kombinátor

logikában

f =λx. ( ((λp.E) x) 8 ERROR )

{_K

C’ Try(λ^∗p.E)ERROR

Ennek alapján már megadhatjuk a többmintás, szorzatkonstruktorokat tartalmazó definíció átalakítási szabályát is:

λx1. . .xn. ( ((λp1. · · ·. λpn.E)x1. . .xn) 8 ERROR

) {_K

C’ Try(λ^∗p1.· · ·. λ^∗pn.(E)K) ERROR

7.2.7. Példa. (Szorzatkonstruktoros absztrakció) A 3.7.8. példában láttuk, hogy az

add_pair (pairx y)= + x y definícióλ-kifejezése

add_pair =λz. ( ((λ(pairx y). + x y) z) 8ERROR

)

Alakítsuk át ezt a kifejezést CL-kifejezésre.

add_pair {_K

(λz. ( ((λ(pairx y). + x y) z) 8ERROR

) )K

≡

C’ Try(λ^∗(pairx y).(+ x y)K)ERROR

El˝oször a kifejezésben lev˝o zárójeles absztrakció törzsét alakítva, majd az absztrak-ciókat elvégezve:

λ^∗(pairx y).(+ x y)K ≡ λ^∗(pairx y).+ x y≡ V_pair(λ^∗x. λ^∗y.+ x y))≡ V_pair(λ^∗x.+ x)≡ V_pair+

Így az add_pair kifejezésre a C’ Try(V_pair+)ERROR

kifejezést kaptuk.

7.2.8. Példa. (Az add_pair (pair3 4) kifejezés)

Az el˝oz˝o példában határozzuk meg az add_pair definíciójának CL-kifejezését, most számoljuk ki az add_pair (pair3 4) kifejezés értékét.

add_pair (pair3 4)≡

C’ Try(V_pair+)ERROR(pair3 4)→_w Try(V_pair+(pair3 4))ERROR →_w

Try(+(VSEL_pair_1 (pair3 4)) (VSEL_pair_2 (pair3 4))ERROR→⁺_w Try(+3 4)ERROR →_δ

Try 7 ERROR→_w

7

7.2.9. Példa. (A zero_pair kifejezés) A 3.7.7. példában láttuk a

zero_pair (pairx y)=0

függvénydefiníciót, és itt mutattuk meg, hogy a zero_pair függvénnyel képzett függvényapplikációban a függvény argumentumának kiértékelésére nem kerül sor.

Most megmutatjuk, hogy ez a tulajdonság teljesül akkor is, ha a függvényappliká-ciót a kombinátor logika kifejezéseivel végezzük el.

El˝oször határozzuk meg a zero_pair CL-kifejezését.

zero_pair {_K

(λz. ( ((λ(pairx y).0) z)

| _ERROR ) )K

≡

C’ Try (λ^∗(pairx y).0) ERROR

Hajtsuk végre a zárójeles absztrakciót:

λ^∗(pairx y).0≡ V_pair(λ^∗x.(λ^∗y.0))≡ V_pair(λ^∗x.(K0))≡ V_pair(K(K0))

Tehát a zero_pair CL-kifejezése:

C’ Try (V_pair(K(K0))) ERROR

Határozzuk meg a zero_pair (pair2 3) kifejezés értékét.

zero_pair (pair2 3)≡

C’ Try(V_pair(K(K0)))ERROR(pair2 3)→_w Try(V_pair(K(K0)) (pair2 3))ERROR→_w

Try(K(K0) (VSEL_pair_1 (pair3 4)) (VSEL_pair_2 (pair3 4)))ERROR→_w Try(K0 (VSEL_pair_2 (pair3 4)))ERROR→_w

Try 0 ERROR→_w 0

A levezetésb˝ol látható, hogy a zero_pair függvény pair2 3 argumentumának

ki-értékélésére valóban nem kerül sor.

Irodalomjegyzék

[1] Appel, Andrew W.: Modern Compiler Implementation in C. Cambridge Univer-sity Press, 2004.

[2] Csörnyei Zoltán: Lambda-kalkulus, a funkcionális programozás alapjai. Typo-tex, Budapest, 2007.

[3] Csörnyei Zoltán: Programozási nyelvek típusrendszerei. kézirat, 2010.

URL"http://people.inf.elte.hu/csz".

[4] Diller, Antoni: Compiling Functional Languages. John Wiley & Sons, 1988.

[5] Peyton Jones, Simon L.: The implementation of functional languages. Prentice Hall, 1987.

[6] Peyton Jones, Simon L. – Lester, David R.: Implementing Functional Lan-guages: a tutorial. Prentice Hall, 2000.

[7] Plasmeijer, Marinus J. – van Eekelen, Marko C. J. D.: Functional Programming and Parallel Graph Rewriting. Addison-Wesley, 1993.

[8] Terese: Term Rewriting Systems. Cambridge University Press, 2003.

Vissza a tartalomhoz

Tárgy- és névmutató

azonos minták, 56

Church, Alonzo, 1, 4, 8 CL-kifejezés, 6

Eekelen van, Marko C. J. D., 134 egy definíciós

kiértékelés, 30, 42, 68, 74 függvény, 15

kalkulus

funkcionális, 30, 42, 68, 74 lusta, 55, 108

m˝uvelet jele, 14

Peyton Jones, Simon L., 134 Plasmeijer, Marinus J., 134 precedencia, 2

R

redex lásd redukálható kifejezés, 4 redukálási stratégia, 4

van Eekelen, Marko C. J. D., 134 vastagvonal, lásd8

In document Funkcionális programnyelvek implementációja I. (Pldal 130-146)