II. Elektrodinamika 96
10.2. A Laplace-egyenlet megold´ asa g¨ ombi koordin´ atarendszerben
ertelm˝u: Semmivel sem speci´alisabbak, mint az eddigiek!. Legfeljebb m´as a nev¨uk ´es m´as a f¨uggv´eny alakjuk. Az´ert nevezz¨uk m´egis speci´alisnak, hogy megk¨ul¨onb¨oztess¨uk
˝
oket azeddigi megszokotthatv´any-, sz¨og-, exponenci´alis-, logaritmikus-, hiperbolikus-f¨uggv´enyekt˝ol. Mindegyik felsorolt f¨uggv´enyt´ıpus egyfajta igen egyszer˝u k¨oz¨ons´eges dif-ferenci´alegyenlet megold´asak´ent l´atta meg a napvil´agot.
Vannak azonban bonyolultabb k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek is, amelyek igen gyak-ran szerepelnek a fizikai modelljeinkben.
Ezeknek a megold´asait ugyan´ugy megnevezz¨uk ´es ´abr´azoljuk, mint pl. a sin(x)-t.
A fizikai tanulm´anyaink sor´an a leggyakrabban a k¨ovetkez˝o nevekkel tal´alkozunk majd : Legendre-polinomok, Laguerre-polinomok, Bessel-f¨uggv´enyek, stb . (Kiejt´ e-s¨uk: l¨ozsandr, lager, besszel.) Ezek mindegyike egy-egy j´ol defini´alt f¨uggv´enyt jelent, amelyeknek a rajzolata a matematika k¨onyvekben megtal´alhat´o, ´es adott pontbeli ´ert´ e-keit t´abl´azatb´ol kikereshetj¨uk. Ugyan´ugy, mint azt a sin(x) eset´en tenn´enk.
10.2. A Laplace-egyenlet megold´ asa g¨ ombi koordin´ a-tarendszerben
A feladatunk teh´at a ∆φ= 0 Laplace-egyenlet megold´asa g¨ombi koordin´ata-rendszerben.
∆rϑϕφ(r, ϑ, ϕ) = 0 (10.49)
Ehhez tudnunk kell a Laplace-oper´ator pol´ar-koordin´at´as alakj´at. Fellapozva a matema-tika k¨onyvek idevonatkoz´o oldalait, azt tal´aljuk, hogy
∆r,ϑ,ϕ = ∆r+ 1
Az els˝o pillanatra meglehet˝osen bonyolultnak t˝un˝o matematikai alakzatokat l´atunk. A megold´as menete ugyanaz, mint az el˝obb, a sokkal egyszer˝ubb Descartes-f´ele esetben volt. A megold´ast szepar´alt alakban keress¨uk.
Azaz
φ(r, ϑ, ϕ) = R(r)Y(ϑ, ϕ) (10.52) majd tov´abb:
Y(ϑ, ϕ) = Θ(ϑ)Φ(ϕ). (10.53)
El˝osz¨or azR(r) sug´art´ol ´es aY (ϑ, ϕ)sz¨ogekt˝ol f¨ugg˝o r´eszeket fogjuk sz´etv´alasztani. ´Irjuk be ezt a szepar´alt φ =RY f¨uggv´enyt az egyenlet¨unkbe! Ekkor kapjuk, hogy:
Laplace-egyenletnek a t´er minden pontj´aban, azaz minden {r, ϑ, ϕ} ´ert´ekn´el teljes¨ulnie kell. Mivel a v´altoz´ok f¨uggetlenek egym´ast´ol, az´ert ez csak ´ugy lehets´eges, ha mind a k´et tag k¨ul¨on-k¨ul¨on ´alland´o, amelyek ¨osszege nulla pl: +A−A= 0. Ekkor kapjuk, hogy
r2∆rR−AR= 0, (10.57)
∆ϑ,ϕY +AY = 0. (10.58)
A (10.57) egyenlet egyszer˝u differenci´alegyenlett´e alak´ıthat´o, majd k´es˝obbAismeret´eben foglalkozunk vele. El˝osz¨or (10.58) egyenletet szepar´aljuk tov´abb a k´et v´altoz´oja szerint:
Y(ϑ, ϕ) = Θ(ϑ)Φ(ϕ) (10.59)
Ekkor (10.58) egyenlet a k¨ovetkez˝o alakot veszi fel:
Φ 1 Szorozzuk meg az egyenlet mindk´et oldal´at sin2ϑ/(ΘΦ)-vel:
1
A helyzet most is ugyanaz, mint eddig volt. Azaz k´et f¨uggetlen v´altoz´oj´u f¨uggv´eny ¨osszege
jel¨ol´esnek az oka k´es˝obb nyilv´anval´o lesz. Ezzel megkaptuk a k´et szepar´alt egyenletet,
Ez ut´obbi (10.63) az egyszer˝ubb, hiszen
Φ00 =−m2Φ (10.64)
Ennek ´altal´anos megold´asa m´ar j´ol ismert Φ(ϕ) =
Gyakran hasznos a szinusz ´es koszinusz f¨uggv´enyek helyett komplex exponenci´alisat haszn´alni. Emellett
Φ(ϕ) =cmsin(mϕ) +dmcos(mϕ) =bmexp(imϕ), (10.67) ahol abmegy¨utthat´o egy komplex sz´am. Abm´es{cm, dm}egy¨utthat´o k¨oz¨otti ¨osszef¨ugg´es megkeres´es´et az olvas´ora b´ızzuk.
A (10.62) egyenletet azx= cosϑv´altoz´o bevezet´es´evel a k¨ovetkez˝o alakra lehet hozni:
1−x2
Ez az ´un. Legendre-f´ele differenci´alegyenlet (helyesebben annak ´un kapcsolt vagy asszo-ci´alt v´altozata.
Ennek megold´asa polinom-m´odszerrel t¨ort´enik. Megmutathat´o, hogy akkor van v´eges megold´as az ´ertelmez´esi tartom´any minden x pontj´aban, ha Θ (x) egy polinom. Azaz v´egtelen sor¨osszeg eset´en nem!
A megold´as akkor lehets´eges, ha az A ´alland´o fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o m´odon:
A=l(l+ 1) l ∈N
|m| ≤l. (10.69)
M´ask´epp fel´ırva:
A=l(l+ 1) l= 0,1,2, . . .
m= 0,±1,±2,· · · ±l (10.70) Nagyon gyakran az {m, l}k¨oz¨ott fenn´all´o m= 0,±1,±2,· · · ±l szoros kapcsolata miatt az m≡ml jel¨ol´est szoktuk haszn´alni. Tipogr´afiai okokb´ol most ett˝ol eltekint¨unk. A (10.62) egyenlet megold´asai
Θ(ϑ) =
(Pl(cosϑ) (Legendre-polinom), ha m= 0
Pl|m|(cosϑ) (asszoci´alt Legendre-polinom), ha m6= 0 (10.71) Az asszoci´alt Legendre-polinom defin´ıci´oja:
Pl|m|(cosϑ) = (sinϑ)m ∂|m|
∂(cosϑ)|m|(Pl(cosϑ)) (10.72)
10.3. ´abra. Az els˝o n´egy Legendre-polinom.
A Legendre-polinomokat t´abl´azatokb´ol ki lehet keresni, mi itt csak az els˝o n´egyet soroljuk fel ´es a Fig. 10.3 ´abr´an ´abr´azoljuk:
P0(x) = 1 P1(x) =x P2(x) = 1
2(3x2−1) P3(x) = 1
(5x3−3x) (10.73)
´Irjuk fel a φ(r) potenci´alf¨uggv´enynek a sz¨ogekt˝ol f¨ugg˝o r´esz´et!
Ylm(ϑ, ϕ) = amlexp(imϕ)Pl|m|(cosϑ) (10.74) A {ϑ, ϕ} pol´ar sz¨ogp´arok a g¨ombfel¨ulet egy pontj´at jel¨olik ki. ´Igy azt´an az Ylm(ϑ, ϕ) f¨uggv´eny a g¨ombfel¨ulet minden pontj´ahoz egy sz´amot rendel. Ez´ert a neve g¨ombf¨uggv´eny.
Megmutathat´o, hogy ezek a g¨ombf¨uggv´enyek ´un. ortogon´alis, teljes rendszert alkotnak.
Ennek egyik felt´etelek´ent fenn´all a k¨ovetkez˝o (s´ulyozott) ortogonalit´asi ¨osszef¨ugg´es:
Z π
4π. Az ortogon´alis teljes f¨uggv´enyrendszer azt jelenti, hogy egy g¨ombfel¨uleten ´ertelmezett, tetsz˝olegesF (ϑ, ϕ) f¨uggv´eny (pl. a kontinensek hat´arai) ezen g¨ombf¨uggv´enyek rendszer´eben sorba fejthet˝o. Azaz:
F(ϑ, ϕ) = A Laplace-egyenlet ´altal´anos megold´asa ezek ut´an k¨onnyen megkonstru´alhat´o. Ehhez azonban m´eg meg kell oldanunk sug´art´ol f¨ugg˝o r´eszre vonatkoz´o 10.57differenci´ alegyen-letet.
ez´ert ad´odik, hogy
r d2
jel¨ol´est! Ezzel a megoldand´o egyenlet¨unk a k¨ovetkez˝o alakot ¨olti
r2Q00l =l(l+ 1)Ql (10.83) Ez m´ar eg´eszen bar´ats´agosnak t˝unik. Az egyenletb˝ol l´athat´o, hogy egy olyan f¨uggv´enyt keres¨unk, amelyet ha k´etszer deriv´alunk akkor az megfelel annak, minthar2-el osztottuk volna. A hatv´anyf¨uggv´eny pontosan ilyen! Azaz legyen
Ql(r) =rk (10.84)
Be´ırva az egyenletbe ad´odik, hogy r2
Az egyenlet ´altal´anos megold´asa ezen elemi megold´asok line´aris kombin´aci´oja lesz, hiszen a Laplace-egyenlet line´aris differenci´alegyenlet. Teh´at
R(r) =
Ezt felhaszn´alva fel tudjuk ´ırni a teljes megold´ast:
φ(r, ϑ, ϕ) =
Term´eszetesen a {alm, blm} ismeretlen egy¨utthat´okat a peremfelt´etelek teljes´ıt´es´evel ha-t´arozzuk meg.
A peremfelt´etel azt jelenti, hogy egy z´art Γ fel¨uleten el˝o´ırjuk a potenci´al viselked´es´et, azaz
φ(Γ1) =f(Γ1), n∇φ(Γ2) =g(Γ2),
Γ = Γ1 ∪Γ2. (10.93)
10.2.1. Tengelyszimmetrikus eset
Nagyban leegyszer˝us¨odik a matematikai komplik´aci´o, ha hengerszimmetrikus probl´em´ ak-kal foglalkozunk. Ez ugyan lesz˝uk´ıti a vizsg´alhat´o jelens´egek k¨or´et, de a viszonylag egy-szer˝u megoldhat´os´ag didaktikai el˝onye k´arp´otol minket.
Mint azt l´attuk, hengerszimmetrikus esetben a φ(r, ϑ) nem f¨ugg a ϕ sz¨ogt˝ol ´es ´ıgy
ahol Pl(cosϑ) a Legendre-polinomok (10.73).
A k¨ovetkez˝okben megvizsg´aljuk azt, hogy az eddigi tanulm´anyainkban megismert (K´ıs´erleti Fizika) hengerszimmetrikus elektrosztatikus terek val´oban olyan szerkezet˝ uek-e, mint azt az (10.94) ´altal´anos fel´ır´as szolg´altat!
10.1. Feladat (Pontt¨olt´es tere) Mint az ismeretes egy Qnagys´ag´u pontt¨olt´es elektro-sztatikus ter´et a
φ(r) = Q 4πε0
1
r (10.95)
potenci´allal adhatjuk meg (ha a pontt¨olt´es az orig´oban van ´es r6= 0). Nagyon t´avol a t¨olt´est˝ol
r→∞lim φ(r) = 0 (10.96)
Ez´ert az r pozit´ıv hatv´anyai el kell, hogy t˝unjenek, teh´at a potenci´al ´altal´anos alakja φ(r, ϑ) =
A pontt¨olt´es potenci´alf¨uggv´eny´et akkor kapjuk meg, ha
bl = ( Q
4πε0 ha l= 0
0 ha l6= 0 (10.98)
Azaz a pontt¨olt´es potenci´alf¨uggv´enye val´oban megold´asa a ∆φ = 0 ( r 6= 0) Laplace-egyenletnek.
10.2. Feladat (Homog´en elektrosztatikus mez˝o) A homog´en t´er skal´ar potenci´alja
φ=−Er (10.99)
hiszen
E=−∇φ= +∇(Er) =E (10.100)
Legyen az elektromos t´erer˝oss´eg z ir´any´u, azaz E = (0,0, E). Ekkor
φ =−Ez (10.101)
G¨ombi pol´arkoordin´at´akkal ez a k¨ovetkez˝ot jelenti
φ(r) =−Ercosϑ (10.102)
Tekints¨uk az ´altal´anos potenci´alf¨uggv´enyt (homog´en a t´er, teh´at hengerszimmetria van) φ(r) =X
l
alrl+ bl rl+1
Pl(cosϑ) (10.103)
Nyilv´anval´o, hogy ebb˝ol megkaphatjuk a homog´en t´er potenci´alj´at, ha
al =
(−E ha l= 1 0 ha l6= 1
bl = 0 (10.104)
Teh´at a homog´en t´er szint´en kiel´eg´ıti a Laplace-egyenletet.