(x
f , tehát a függvénynek 3-nál kisebb gyöke nem lehet. Másrészt ha x3, akkor a függ-vény szigorúan monoton nő, tehát csak egyetlenegy helyen lehet az értéke 0. Egy helyen viszont fel kell vennie ezt az értéket, mert f folytonos és f(3)10 illetve f(5)10, vagyis f a [ , ]3 5 inter-vallumon minden –10 és 10 közé eső értéket felvesz, így például a 0-t is. Tehát az egyenletnek pon-tosan egy megoldása van.
A gyakorló feladatok megoldásai
I. fejezet feladatainak megoldása:
1. Határozzuk meg az alábbi függvények grafikonjának a megadott x értékeknél húzott érintőjének egyenletét:
a) f(x)4x3 3x2 5x32, x = 3 b) f(x) x24, x = 3
c) 1
3 ) 2
(
x x x
f , x = 5 d)
sin 2 4 )
(x x
f ,
3
x
Megoldás:
a) f'(x)12x26x5. f'(3)12963595, f(3)64.
Az érintő egyenlete: y f(3) f(3)(x3), azaz y6495(x3)95x221.
b) 2 2
) 1 (
'
x x
f .
2 ) 1 3 (
'
f , f(3)5. Az érintő egyenlete: y f(3) f(3)(x3), azaz
2 7 2 ) 1 3 2 (
51
x x
y .
c) 2 2
III. fejezet feladatainak megoldása:
Határozzuk meg az alábbi függvények szélsőértékeit a megadott intervallumokon az indirekt módszer segítségével!
f . Tehát a megadott intervallumon a függvény legnagyobb értéke x = 6-nál 61, legki-sebb értéke x = 3-nál –74.
b) A derivált zérushelyei közül egyik sem esik az adott intervallumba. f(1,6)23,392, 516
) 4 (
f . Tehát a megadott intervallumon a függvény legnagyobb értéke x = 4-nél 516, leg-kisebb értéke x = –1,6-nél –23,392.
f . Tehát a megadott intervallumon a függvény legnagyobb értéke x = –3-nál –23, legkisebb értéke x = –6-nál –104. ka-punk, akkor minden tag osztható lesz x-szel, tehát 12-nek is oszthatónak kell lennie x-szel. Ha a le-hetőségeket kipróbáljuk, akkor f(2)12(841612)0 adódik, tehát a 2 a derivált egyik zérushelye. Az x – 2 így a deriváltból kiemelhető pl. polinomosztás segítségével, és kapjuk, hogy
)
f . Tehát a megadott intervallumon a függvény legnagyobb értéke x = 0-nál –32, legkisebb értéke x = –3-nál –545.
f . Tehát a megadott intervallumon a függvény legnagyobb értéke x = 3-nál 103, leg-kisebb értéke x = 0-nál –32.
a) A derivált zérushelyei közül a
f . Tehát a megadott intervallumon a függvény legnagyobb értéke x =
3
a) A derivált zérushelyei közül a –2 és a 0 is az adott intervallumba esik.
7 Tehát a megadott intervallumon a függvény legnagyobb értéke x = 0-nál 1, legkisebb értéke x
= –1-nél 0.
c) A derivált zérushelyei közül egyik sem esik az adott intervallumba.
3
Állapítsuk meg az első derivált előjelvizsgálatával, hogy az alábbi függvényeknek vannak-e helyi, illetve abszolút szélsőértékei! Végezzük el vizsgálatot a második derivált segítségével is!
6. f(x)8x39x2 6x42 fő-együtthatója pozitív, ezért értéke mindig pozitív. Mivel a deriváltja mindig pozitív, ezért az f függ-vény mindig szigorúan monoton növő, ezért nincs sem helyi, sem globális szélsőértéke.
7. f(x)4x3 5x2 4x5 függvény mindig szigorúan monoton csökkenő, ezért nincs sem helyi, sem globális szélsőértéke.
8. f(x)x4 8x3 18x2 27
de-rivált előjelét x előjele határozza meg, mert a másik tényező ahol nem 0, ott pozitív. Azaz ha x > 0, akkor a derivált pozitív, ha x < 0 és x ≠ –3, akkor a derivált negatív. Az f függvény tehát x > 0 vizsgálatra van szükség (pl. az első derivált előjelének vizsgálatára).
9. f(x)3x4 20x3 84x2 61
vagy x = –2. A derivált előjelének meghatározásához készítsünk egy kis táblázatot, amelyben fel-tüntetjük a tényezők és a szorzat előjelét:
x < –2 –2 < x < 0 0 < x < 7 7 < x
A táblázat utolsó sorából leolvasható, hogy a függvény deriváltja negatív, azaz a függvény szigorú-an monoton csökken, ha x < –2, illetve ha 0 < x < 7, továbbá a derivált pozitív, vagyis a függvény szigorúan monoton nő, ha –2 < x < 0 és ha 7 < x. Az f függvénynek tehát x = –2-nél és x = 7-nél he-lyi minimum értéke van, x = 0-nál pedig hehe-lyi maximum értéke.
A második derivált vizsgálatával: f(x)36x2120x16812(3x210x14). Az első akkor minden tag osztható lesz x-szel, tehát 6-nek is oszthatónak kell lennie x-szel. Ha a lehetősé-geket kipróbáljuk, akkor f(1)12(1416)0 adódik, tehát a –1 a derivált egyik zérushelye. Az x + 1 így a deriváltból kiemelhető pl. polinomosztás segítségével, és kapjuk, hogy
)
A derivált előjelének meghatározásához készítsünk egy táblázatot, amelyben feltüntetjük a ténye-zők és a szorzat előjelét:
A táblázat utolsó sorából leolvasható, hogy a függvény deriváltja negatív, azaz a függvény szigorú-an monoton csökken, ha x < –1, illetve ha 2 < x < 3, továbbá a derivált pozitív, vagyis a függvény szigorúan monoton nő, ha –1 < x < 2 és ha 3 < x. Az f függvénynek tehát x = –1-nél és x = 3-nál he-lyi minimum értéke van, x = 2-nél pedig hehe-lyi maximum értéke.
A második derivált vizsgálatával: f(x)36x296x1212(3x28x1). Az első derivált
11. 9
f . A nevező mindig pozitív, ezért a tört előjelét a
számlá-ló előjele határozza meg. A számlászámlá-ló gyökei 9 és –1, főegyütthatója negatív (lefelé nyíszámlá-ló parabola), tehát a két gyöke között pozitív. A derivált ezért negatív, ha x < –1 vagy x > 9 (ezeken a tartomá-nyokon f szigorúan monoton csökkenő), és pozitív, ha –1 < x < 9 (ezen a tartományon az f szigorú-an monoton növekedő). Tehát a függvénynek a –1-nél lokális minimuma vszigorú-an, a 9-nél pedig lokális maximuma.
min-dig pozitív, ezért a második derivált előjelének meghatározásához elég a számlálóban szereplő zár-jeles kifejezésbe helyettesíteni az első derivált zérushelyeit. Ha x = –1, akkor a zárójelben szerelő kifejezés értéke 27+36–12–1 > 0, ezért az x = 0-nál helyi minimuma van a függvénynek; ha x = 9, akkor a zárójelben szerelő kifejezés értéke 729–1281–81+36 < 0, így az x = 9-nél helyi maximuma van a függvénynek.
12. 4
pozitív (amikor értelmezve van a tört), ezért a derivált előjelét a tört számlálója határozza meg. Ha x > 14, akkor a tört értéke negatív, így f szigorúan monoton csökken, ha x < 14, akkor a tört értéke pozitív, tehát f szigorúan monoton nő. Így az f függvénynek az x = 14-nél lokális maximuma van.
A második derivált vizsgálatával:
A 14-et a második deriváltba helyettesítve a nevező pozitív, a számláló pedig –324, tehát a máso-dik derivált negatív, így a 14-nél lokális maximum van.
13. f x cos2x sinx
. Készítsünk táblázatot a derivált előjelének megállapításához!
A táblázatból leolvasható, hogy a derivált előjelet vált a zérushelyeknél, így a 6
-nál és az 6 5
-nál lokális maximumot, a
2
-nél és a 2 3
-nél lokális minimumot találunk.
A második derivált vizsgálatával: f (x)2cos2xsinx. Behelyettesítve az első derivált
szereplő szögfüggvényértékek mind pozitívak. Tehát a 6
-nál és az 6 5
-nál lokális maximuma van
f-nek. 1
-nél lokális minimuma van f-nek.
14.Egy gyártósoron kétféle henger alakú konzervet gyártanak. A hengerek átmérője azonos, de az egyik fajta henger magassága kétszer akkora, mint a másiké. A kétféle konzervből ugyanannyi da-rabot gyártanak. Mennyi legyen a konzervek alapköre átmérőjének és magasságának aránya, hogy a konzervekhez összesen felhasznált fémlemez mennyisége minimális legyen?
Megoldás:
A 9. kidolgozott feladat megoldása alapján dolgozunk. A problémát felfoghatjuk úgy is, hogy egy h magasságú hengert akarunk gyártani, de nem két, hanem négy alapkörrel. Ez a h magasság a két konzervdoboz együttes magassága lesz, ennek harmadrésze lesz a kisebb doboz magassága, és két-harmad része a nagyobbé.
2
Tehát az
intervallumon szigorúan monoton csökken, a
V intervallumon szigorúan monoton nő.
Te-hát az 3
A konzervdobozok magassága: a kisebbé 1 3 16 3
A kisebb konzervdoboz szélességének és magasságának aránya:
2
másfélszer olyan széles, mint amilyen magas (pl. májkrémes doboz). A nagyobb doboznál értelem-szerűen az arány ennek a fele, azaz alapkörének átmérője a magasságának
4 3 része.
15.Egy adott hajóúton a hajózás napi költsége két részből tevődik össze: az egyik állandó, minden nap a forint, a másik pedig a hajó sebességének köbével arányosan növekedik. Milyen v sebesség ese-tén lesz a hajózás a leggazdaságosabb?
Megoldás:
Legyen a hajó által összesen megtett út s km, a hajó sebessége v km/nap. Ha n a napok száma, ak-kor egyrészt esetén a k(v) minimális.
16.Egy adott gömb köré írjunk minimális térfogatú kúpot!
Megoldás:
Tekintsük a gömb és a kúp síkmetszetét! A kúp metszetháromszöge le-gyen ABC, a gömb metszetkörének középpontja legyen O. Legyenek a kör érintési pontjai az ABC háromszög AB, BC, CA oldalán rendre E, F, G. Jelölje a CO távolságot x, a CG távolságot y, a kúp magasságát m, alapkörének sugarát r, a gömb sugarát R.
Ekkor a CGO és CEA háromszögek hasonlósága miatt
EA
y . Figyelembe véve, hogy a CGO háromszög G-nél derékszögű,
2 el-lenkező esetben nem találkoznának a kúp alkotói egy pontban.)
) 0
17.Az R sugarú félgömbbe írjunk maximális térfogatú négyzet alapú téglatestet!
Megoldás:
Jelölje a téglatest alapélének hosszának felét a. Ekkor az ábráról leol-vashatóan a téglatest m magassága m R2a2 .
A téglatest térfogata V 4a2m4a2 R2a2 , tehát a
2
intervallumon, szigorúan monoton csökken a
ma-ximuma van. Ebben az esetben m R 3
1 .
18.Oldjuk meg a 10. kidolgozott feladatot az alábbi változtatással:
Kezdetben naponta 20000 autós parkol, 25%-uk bliccel. Az őrök jelenléte javítja a fizetési morált, ugyanakkor a parkolni szándékozó autósok egy részét zavarja, így a bliccelők számának csökkené-se mellett a parkoló autók száma is csökken. Minden újabb parkolóőr alkalmazásával 0,5 százalék-ponttal csökken a bliccelők százalékos aránya, és 1 százalékszázalék-ponttal csökken az összes parkoló au-tós száma.
Megoldás:
A feltételek szerint n parkolóőr alkalmazása esetén a bliccelők aránya 25–0,5n százalék, a fizetők aránya 75+0,5n százalék, a parkoló autósok száma pedig
100
származó napi bevétel 150
100 5 , 0 200 25 n
n garas, a parkolóőrök napi költsége pedig 330n garas.
Tehát a napi nettó bevétel:
150000 a parkolóőrök száma egész szám, ezért csak az egész számokat kell megvizsgálnunk. A függvény monotonitási tulajdonságaiból következik, hogy ha n20, akkor f(n) f(20), továbbá ha
n
21 , akkor f(n) f(21). Így az eredeti, pozitív egész számok halmazán értelmezett függvé-nyünk maximuma 20-nál vagy 21-nél lesz. Mivel f(20)219400 és f(21)219510, ezért a ke-resett maximális nettó bevételt 21 parkolóőr alkalmazása esetén érhetjük el.
19.Több részletben összesen 350 tonna árut szeretnénk vasúton elszállíttatni. Az egyik szállítócég árajánlatában a szállítási díj két összetevőből áll. Egyrészt a szállított áru tömegének négyzetével arányos díjat kell fizetnünk, másrészt az áru tömegétől független állandó alapdíjat is felszámíta-nak. Így tehát ha t tonna árut szállíttatunk a céggel, akkor ezért 205
10
2
t eurót kell fizetnünk. A vasúti szállítás költségének csökkentése érdekében a 350 tonna tömegű árut n egyenlő részre oszt-juk, és azt tervezzük, hogy minden egyes alkalommal egy-egy részt szállíttatunk el a vasúttal. A vasúti szállítás költségén kívül figyelembe kell vennünk azt is, hogy ha a 350 tonna árut n egyenlő tömegű részre akarjuk szétosztatni, akkor a munka elvégzéséért nekünk (n1)400 eurót kell fi-zetnünk.
Hány egyenlő tömegű részletre bontva lenne a legolcsóbb a 350 tonna áru elfuvaroztatása?
Megoldás:
Egy rész elszállításáért 350 205 10
n eurót kell fizetnünk. Az n rész elszállításáért és a
részek-re osztási munka elvégzéséért összesen 12250 605 400
400
Vizsgáljuk a pozitív valós számok halmazán értelmezett 12250 605 400 )
( x
x x
f függvényt. A
függvény deriválható az értelmezési tartományán, és 12250 605 )
( 2
x x
f . A derivált zérushelye
5 pozitív, ezért a derivált zérushelyén a függvénynek minimuma van. Ha
11 98
5
x , akkor az első derivált negatív, azaz a függvény szigorúan monoton csökken, így az
11 98
5
x feltételt teljesítő egész számok közül az x = 4-nél veszi fel a legkisebb értékét. Ha x
11 98
5 , akkor az első derivált
pozitív, azaz a függvény szigorúan monoton nő, így az x 11
98
5 feltételt teljesítő egész számok közül az x = 5-nél veszi fel a legkisebb értékét. Tehát csak az egész számokat vizsgálva vagy az x = 4-nél, vagy az x = 5-nél van a függvény legkisebb értéke. f(4)5082,5 és f(5)5075, ezért a szállítási problémában akkor minimális a költségünk, ha 5 részre osztva szállíttatjuk el az árut.