Lineáris algebra
11. A Gauss-elimináció
11.2. A Gauss-elimináció lépései
1. Az első egyenletet elosztjukx1 együtthatójával, és az így kapott egyenlet megfelelő számszorosait hozzáadjuk a többi egyenlethez, hogy kiessen belőlük az x1.
2. A második egyenletet elosztjuk x2 együtthatójával, és az így kapott egyenlet megfelelő többszöröseit hozzáadjuk a többi egyenlethez, hogy kiessen belőlük az x2.
3. A harmadik egyenletet elosztjuk x3 együtthatójával, és az így kapott egyenlet megfelelő többszöröseit hozzáadjuk a többi egyenlethez, hogy kiessen belőlük az x3.
4. . . . És így tovább, mindig a soronkövetkező egyenletet elosztjuk a soron-következő ismeretlen együtthatójával, és az így kapott egyenlet alkalmas számszorosait kivonjuk a többi egyenletből, hogy kiessen belőlük a so-ronkövetkező ismeretlen.
Mindezt addig folytatjuk, amíg el nem fogynak az ismeretlenek vagy az egyen-letek.
1. Ha elakadunk Előfordulhat, hogy a soronkövetkező egyenletben a soron-következő ismeretlen 0 együtthatóval szerepel. (Vagyis nem szerepel benne).
Ilyenkor két választásunk is van: az egyik, hogy felcseréljük az egyenletek sor-rendjét, a másik, hogy egy másik ismeretlennel folytatjuk az eljárást. Mi inkább a második lehetőséget fogjuk alkalmazni.
Ha valamelyik lépésben a soron következő egyenletben minden ismeretlen együtthatója 0 (tehát a bal oldalról minden ismeretlen kiesett), de van még olyan ismeretlen, amellyel nem hajtottuk végre az eljárást, akkor átugrunk a következő egyenletre. (Ez az eset fordult elő akkor, amikor két párhuzamos egyenes metszéspontjait kerestük.)
2. Ha0a bal oldal Előfordulhat, hogy olyan egyenletet kapunk, amelynek a bal oldalán0áll (kiesett az összes ismeretlen). Az ilyen egyenleteket a rövidség kedvéért függő egyenleteknek fogjuk nevezni. A többitfüggetlennek.
Ha a jobb oldalukon is 0marad, akkor ezekkel nincs mit tenni (azonosan nulla az egyenlet). Ha azonban a jobb oldalon nem 0 marad, akkor ellentmondásra jutottunk, az egyenletrendszernek nincsen megoldása, kár is tovább folytatni az eljárást. (Az egyik eset akkor fordult elő, amikor két egymással azonos egyenes metszéspontjait kerestük, a másik meg amikor párhuzamosak volt a két egyenes.)
3. Ha elfogynak az ismeretlenek Amikor az utolsó ismeretlennel is el-végeztünk az eliminációt, akkor az eljárás szerint lesz annyi egyenlet, ahány ismeretlen, amelyek tehát xi =di alakúak. Ezekből megkaptuk minden isme-retlen értékét.
Lehetnek további függő egyenletek, amelyeknek ha 0 áll a jobb oldalán, akkor minden rendben, de ha nem, akkor – mint korábban mondtuk – ellentmondásos az egyenletrendszer.
(Ilyen esethez jutottunk, amikor három nem egy ponton átmenő egyenes közös pontját keressük a síkban.)
4. Ha elfogynak az egyenletek, de van még ismeretlen Ha elfogy min-den egyenlet, és nem jutottunk ellentmondásra (ha kaptunk is függő egyenletet, annak a jobb oldalán is 0 van), akkor bár nincs ellentmondás, de nem kapunk egyértelmű megoldást.
Ez történt, amikor két egyenes metszéspontját keresve kiderült, hogy az egye-nesek egybeesnek.
Ilyenkor végtelen sok megoldást kapunk.
Ezeket is „fel lehet sorolni” valamiképpen, például amikor azt kaptuk, hogy x+ 2y = −1, 0 = 0. Ekkor x = −2y−1 alakban adható meg, bárhogyan is választjuk meg y-t. Vagy fordítva: y= −x−1
2 , bárhogyan adjuk is meg x-et.
11.2.1. Definíció. A fent ismertetett eljárás neve: Gauss-elimináció.
Az elimináció eltüntetést, elnyelést jelent, és az ismeretlenek eltüntetésére utal.
Foglaljuk tehát össze a megoldásra vonatkozó következtetéseinket:
Ha az ismeretlenek számát n, a független egyenletek számát r jelöli, akkor a következő esetek fordulhatnak elő:
1. a „függő” egyenletek (amelyek bal oldala 0-ra redukálódik) valamelyiké-nek jobb oldala nem 0 – az egyenletrendszervalamelyiké-nek nincs megoldása, ellent-mondásos;
2. a „függő” egyenletek jobb oldala 0, és kevesebb a független egyenlet, mint az ismeretlen (r < n) – végtelen sok megoldás van;
3. a „függő” egyenletek jobb oldala 0, és ugyanannyi a független egyenlet, mint az ismeretlen – egyetlen megoldás van.
11.2.2. Megjegyzés. A függő egyenletek száma nem múlik azon, hogy milyen sorrendben írjuk fel az egyenleteket, vagy hogy milyen sorrendben ejtjük ki az ismeretleneket.
11.2.3. Megjegyzés. Az a megoldási eljárás, amelyben kifejezzük az ismeret-leneket az egyes egyenletekből, vagyis: kifejezzük x1-et az elsőből, és behelyette-sítjük a többibe, utána kifejezzük x2-t a másodikból, és behelyettesítjük a többibe stb., míg el nem fogynak az ismeretlenek vagy az egyenletek, pontosan ugyanaz, mint a Gauss-elimináció, csak a lejegyzése kevésbé szisztematizálható.
Feladatok
1. Keressen olyan a paramétert (ha lehet), amelyre a ax1 + x2 − x3 = 2
x1 − x2 + x3 = 3 x1 + x2 − x3 = 3 egyenletrendszernek
(a) 0 (b) 1 (c) 2
(d) végtelen sok megoldása van.
Adjon magyarázatot a válaszaira!
Mennyiben függ az egyenletek jobb oldalán álló értéktől a megoldások száma?
2. Oldja meg Gauss-eliminációval a valós számok halmazán a következő li-neáris egyenletrendszereket!
(a)
x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 1 3x1 − x2 − x3 − 2x4 = −4 2x1 + 3x2 − x3 − x4 = −6 x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = −4 (b)
x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6 2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 8 3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4 2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8 (c)
1x2 − 3x3 + 4x4 = −5
x1 − 2x3 + 3x4 = −4
3x1 + 2x2 − 5x4 = 12 4x1 + 3x2 − 5x3 = 5
3. Határozza meg a független egyenletek számát a következő egyenletrend-szerben!
4x2 + 10x3 + x4 = 1 4x1 + 8x2 + 18x3 + 7x4 = 1 10x1 + 18x2 + 40x3 + 17x4 = 1 x1 + 7x2 + 17x3 + 3x4 = 1 Ellentmondásos-e ez az egyenletrendszer?
12. Mátrixok
Már általános iskolás korunktól kezdve keressük és alkalmazzuk a tanult el-járások rövid leírását. Maga a helyiértékes írás is egy rövidítés (kihagyjuk a számrendszer alapszámának hatványai leírását), és hasonlót alkalmaztunk a polinomok körében végzett maradékos osztásnál vagy a Horner-elrendezésnél.
Amennyiben minden együttható helye konkrétan meghatározott helyen szere-pel, nem szükséges kiírni azt az ismeretlent, amelynek ő az együtthatója.
A polinomok maradékos osztásánál a 3 6 4 felírás megfelelt a 3x2 + 6x+ 4 polinomnak.
A lineáris egyenletrendszerek leírásában nagyon sok időt szánunk a műveleti jelek és az ismeretlenek lejegyzésére (amelyeket ráadásul nem is mindig ugyan-azokkal a fajta jelekkel írunk le). Így ha egy szisztematikus jelölésért cserébe elhagyhatnánk ezeket, az segíthetne.
Lehetne például az
x−y= 3 x+y= 1 2x+y= 0 egyenletrendszerben a bal oldalának lejegyzése
1 −1 1 1 2 1
Mégiscsak rövidebb. A jobb oldal pedig akkor lehetne 3
1 0
A ismeretlenek rendszere pedig – bár nem létszükséglet – lehetne x
y
Ha most fel akarjuk írni, hogy az együtthatókat szorozva az ismeretlenekkel az eredményt kapjuk, akkor könnyen összefolyhat a jelölés, ezért a jelölt egy-ségeket valahogy határolni kell. Eszerint a fenti lineáris egyenletrendszer így jelölhető: