Bernoulli-egyenletnek nevezzük. Az egyenletet annak idején energetikai megfontolások alapján hozta létre Daniel Bernoulli (1700-1782) svájci tudós. (Manapság szokás a Bernoulli-egyenletet az Euler-féle mozgásegyenlet vonal menti integráljaként is előállítani; Szlivka, 2001.)
Energetikai megfontolások alapján írhatjuk fel az egyenletet. A folyadékban lévő mozgási, helyzeti és belső energia adja az összes energiát, és a folyadék haladása során az összes energia megmarad, ezt fejezi ki a Bernoulli-egyenlet.
Áramlástechnikai gépek alapfogalmai
1.9.1. ábra
A felírt egyenletet többféle alakban szoktuk alkalmazni. Az 1.24 egyenletet, melynek nyomásdimenziója van, általában a levegővel dolgozó szakemberek használják, míg az 1.25-ös alakot főként az áramlástanban
alkalmazzuk. Itt a mértékegység , ami az egységnyi tömegre vonatkoztatott energia mértékegysége. Az 1.26 alakot a „vizesek” vagy szivattyúkkal foglalkozók használják, és méter-dimenziója van.
1.24. egyenlet - (1-24)
1.25. egyenlet - (1-25)
1.26. egyenlet - (1-26)
Az egyenlet egyégnyi súlyú anyag mozgási, nyomásban tárolt és helyzeti energiáját tartalmazza. A vízzel foglalkozók ezt magasságokkal szokták kifejezni.
Áramlástechnikai gépek alapfogalmai
a tagot nyomásmagasságnak,
a h tagot pedig geodetikus magasságnak vagy egyszerűen magasságnak nevezik.
(Itt megjegyezzük, hogy a „h”-val jelölt tag nemcsak a Föld nehézségi erőterében, hanem pl. forgó térben is értelmezhető, és az erőtér egységnyi súlyra vonatkozó potenciálját jelenti. Ezt a későbbiekben fel fogjuk használni a szivattyúk működésének tárgyalásakor.) Az egyenlet kimondja, hogy egy áramvonalon fekvő 1-es és 2-es pontokban a három energiafajta összege állandó. Az egyenlet ebben a formájában azonban csak bizonyos feltételek esetében használható.
Alkalmazhatóságának feltételei összefoglalva a következők:
• Az áramlás stacionárius.
• Örvénymentes az áramlás vagy áramvonalon integrálunk.
• Az erőtér potenciálos (legtöbbször a Föld nehézségi erőtere hat csupán, akkor ez a feltétel automatikusan teljesül).
• A sűrűség állandó (víz esetében ez gyakorlatilag mindig fennáll).
• A súrlódás elhanyagolható (bizonyos áramlások ezt a feltételt jó közelítéssel teljesítik, ilyen pl. a következőkben tárgyalásra kerülő néhány példa is) és nincs energiabevezetés a két pont között. (Ez utóbbi kitételt külön tárgyalni kell a szivattyúk és a ventilátorok esetében!)
A Bernoulli-egyenlet alkalmazásakor a következő szempontokat célszerű betartani:
• Elsőként el kell dönteni, hogy az alkalmazás feltételei megvannak-e. A feltételek összefoglalását megismételjük: az áramlás stacionárius, a rotációs tag zérus, örvénymentes az áramlás vagy áramvonalon integrálunk, a folyadékra ható erőtér potenciálos (legtöbbször a Föld nehézségi erőtere hat), a sűrűség állandó és a súrlódás elhanyagolható.
• A következő lépésben alkalmas koordináta-rendszert kell választani, amelyben egyrészt az áramlás jól leírható, pl. az áramlás stacionárius, másrészt az erőtér potenciálja egyszerűen felírható.
• A folyadéktérben alkalmas pontokat kell választani, legalább kettőt, de bizonyos esetekben, pl. ha többfajta folyadék található a rendszerben, akkor ennél többet. A pontok kiválasztásánál a következőket célszerű szem előtt tartani: az egyik pontban lehetőleg minden mennyiséget ismerjünk, a másik pontban pedig csak egy ismeretlen, a keresett mennyiség legyen. A célszerű pontok: szabad felszínen, nagy térben, kiömlő sugárban, két folyadék határfelületén stb. A kontinuitás-tétel használatakor lehet két ismeretlen is.
• Az erőtér-potenciál felírása után alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlet megfelelő alakját. Az egyenlet használatával kapcsolatos feladatokat az 1.B. alatt találjuk.
9.1. Az instacioner Bernoulli-egyenlet
Egy tartályból való kiömlést vizsgáltunk. A tartályhoz csatlakoztassunk egy viszonylag hosszú csövet (a cső hossza több nagyságrenddel nagyobb, mint az átmérője), amelynek végén egy csap található. A csapot nagyon gyorsan ki lehet nyitni, mint pl. egy golyós csapot. Lezárt csővég esetén a víz áll a csőben, a nyomás pedig a cső mentén állandó, és megegyezik a tartályban lévő vízoszlop nyomásának és a tartályban lévő túlnyomásnak az összegével. A csap hirtelen nyitásakor a nyomás a csap mögött leesik a légköri nyomásra, majd a csökkenő nyomás egy hullám formájában beterjed a cső többi keresztmetszetébe. A csőben lévő folyadékrészecskékre a nyomás csökkenése folytán gyorsító erő hat, amely megindítja a folyadékoszlopot. A kinyitás pillanatában azonban a folyadék a csőben még áll. A folyadék sebessége a csőben fokozatosan nő, majd elér egy maximális értéket, mégpedig a stacioner sebességet, amennyiben nincs súrlódás a rendszerben.
Áramlástechnikai gépek alapfogalmai
A példában mindazok a feltételek teljesülnek, amelyek a stacioner tartályból való kifolyás esetében, kivéve hogy itt a jelenség a csőben instacioner.
Ezért a Bernoulli-egyenletnek azt a formáját kell választanunk, amelyben még nem kötöttük ki az időállóság feltételét. Felírva az egyenletet, a részleteket megtaláljuk a szakirodalomban (Szlivka, 2001).
A II–V. tag mind az előző fejezetben leírtak szerint egyszerűsíthető. Az első tagot változatlanul felírva:
Az egyenlet első tagja a lokális gyorsulás vonalintegrálja egy adott időpillanatban, az „1” és „2” pontok közt felvett út mentén.
Az ábrába berajzolt útvonal egyben áramvonal is minden egyes időpillanatban, így a haladási út és a gyorsulás egyirányúak, egyszerű skalárszámok szorzatával helyettesíthető az integranduszban lévő skaláris szorzat.
A gyorsulás vonalintegrálját az alábbi megfontolások alapján fejezzük ki. Ha a tartály elegendően nagy, akkor benne a sebesség elhanyagolható, de ebben az esetben a gyorsulás is jó közelítéssel zérus. Ezért az integrálási útvonalat két részre osztjuk: „1-A” és „A-2” szakaszra:
A jobb oldal első tagja 0, mert a végtelen nagynak tekintett tartályban a közeg gyorsulását elhanyagolhatjuk. Az integrálunk a következő egyszerűbb alakot ölti:
Az integrál elvégzéséhez a lokális gyorsulás változását kell ismerni a cső hossza mentén. Ha áll., a kontinuitásból következik, hogy a cső bármely keresztmetszetében egy adott pillanatban azonosnak kell lennie a térfogatáramnak, mert ellenkező esetben a folyadék vagy összenyomódna, vagy szétszakadna:
Feltétel az is, hogy a cső keresztmetszete nem tágul, illetve nem szűkül össze. A fenti egyenletet idő szerint deriválva csak a sebességek függhetnek az időtől, így
Jelöljük a sebességek idő szerinti deriváltjait „a”-val, ekkor
Áramlástechnikai gépek alapfogalmai
Ebből következik, hogy állandó sűrűségű közeg lokális gyorsulása állandó keresztmetszetű csőben nem változik a cső hossza mentén. Ezért a gyorsulásos tag az alábbiak szerint alakítható át:
Írjuk fel ezek után a Bernoulli-egyenlet többi tagját is az „1” és a „2” pontok között.
1.27. egyenlet - (1-27)
Vezessük be a következő jelöléseket: és . Azért használhatunk idő szerinti teljes deriváltat, mert a sebesség a csőben csak az időtől függ, a helytől nem. Rendezzük át az egyenletet:
Vegyük észre, hogy az egyenlet jobb oldala éppen a „ ” stacioner sebesség négyzete.
Ezt behelyettesítve és szétválasztva a következő differenciálegyenletet kapjuk:
A stacioner sebességgel dimenziótlanítva és kijelölve az integrált:
1.9.1.2. ábra
Áramlástechnikai gépek alapfogalmai
Integrálás után az összefüggés adódik, pl. integráltáblázatból. Vezessük be a
időt, ahol -t a rendszer saját idejének is nevezhetjük. A sebességfüggvényt ezek után úgy kapjuk, hogy mindkét oldalnak vesszük a tangens hiperbolikusz függvényét.
A gyorsulásfüggvény a sebességfüggvény idő szerinti deriváltja. Az instacioner gyorsulási tagot használja ki a vízkos, amelyet a 2.B.5. feladatban tárgyalunk.