Tanulmányunkban a hagyományos, egész rendű eltolásoperátor időben változó valós rendű kiterjesztésével egy rendkívül rugalmas idősorelemzési eszközt alkottunk, amellyel az idősorokat tetszés szerint lehet eltolni (késleltetni vagy előre-hozni), illetve tetszőleges helyen „kinyújtani” vagy „összenyomni”. Egy lineáris
(kétváltozós) modellben, az időben változó valós rendű eltolás becslésére, Bayes-i tí-pusú megközelítést dolgoztunk ki, abból kiindulva, hogy a változások fokozatosak, mentesek a nagy, egyszeri változásoktól. Megadtuk a modellegyütthatók poszterior eloszlását reprodukáló mintavételezési stratégiát, amellyel empirikus alkalmazások-ban már tetszőleges statisztikai mutató kiszámolható (például a poszterior várható ér-tékek, mint az együtthatók pontbecslései).
A bevezetett, időben változó, valós rendű operátor potenciális alkalmazási terüle-te rendkívül széles: bármely idősoros adatokon alapuló, legalább kétváltozós modell-nél szóba jöhet alkalmazása. Főleg ott hasznos a beillesztése, ahol kitüntetett a válto-zók egymásra hatásának, időzítésének vizsgálata, vagy ahol a mintaidőszakban nem szólnak erős érvek a paraméterek változatlansága mellett. Néhány alkalmazási terüle-te például a következők lehetnek.
a) Üzleti ciklusok szinkronizációjának vizsgálata, azaz különböző országok gaz-dasági teljesítményének hullámzásai közelednek-e egymáshoz.
b) Különböző előjelző idősorok (például bizalmi indexek, konjunktúramutatók, meg-rendelés-állományok) előrejelző képességeinek feltárása, azaz mennyi idővel jeleznek korábban, alakulásukat mennyivel lemaradva követi a vizsgált gazdasági változó.
c) Annak vizsgálata, milyen gyorsan működnek a fiskális, illetve monetáris poli-tikák transzmissziós csatornái. Így például egy fiskális jövedelem megszorításra mi-lyen késéssel reagál a lakosság fogyasztása, vagy a monetáris megszorítás mimi-lyen ké-séssel hat az inflációra, az irányadó kamat változtatása milyen mértékben és mikorra jelenik meg a rövid piaci hozamokban stb.
Az időben változó, valós rendű késleltetés hasonló lehetőséget nyújt, mint egy korábbinál jobb orvosi diagnosztikai eszköz: a korábban már elemzett betegségeket, mintákat, szöveteket újra megvizsgálva vele, olyan új részleteket mutathat meg, ame-lyekkel jobban érthetővé válhatnak a biológiai folyamatok, felismerhetőbbé az elvál-tozások, gyógyíthatóbbá a betegségek. Ez a tanulmány egy új ökonometriai elemzési eszköz megalkotásával, olyan lehetőséget kínál, amivel pontosabb, részletesebb ké-pet alkothatunk a gazdasági jelenségekről. Hogy ez az eszköz mennyire bővíti isme-reteinket a gazdaság működéséről, csak a vele készített empirikus vizsgálatok ered-ményein lesz lemérhető.
Függelék
A Gibbs-féle mintavételezéshez szükséges feltételes eloszlások meghatározása Az α vektor feltételes sűrűségfüggvénye rögzített β , i, σ , 2 y, x, kα, kβ és ki
ahol α=
[ ]
V V′ −1V v′ , ami egyben az OLS becslőfüggvény. A[ ]
V V′ mátrixfeltételes sűrűségfüggvény tömörebben is felírható:
(
2 α β)
2( ) ( )
A /25/ kifejezés eloszlása nem ismert, ezért a Gibbs mintavételi technika közvet-lenül nem alkalmazható. Közvetve viszont igen, ugyanis az i valószínűségi vektort felbontjuk elemeire
{
i ,i , ,i1 2… T}
és mindegyikre külön-külön hajtjuk végre a Gibbs mintavételi technikát, véletlen számokat generálva az:( )
(
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
feltételes sűrűségfüggvények eloszlása sem ismert, ezért mintát belőlük a Griddy–Gibbs-technikával vételezünk.22 Ennek lényege, hogy a sűrűségfüggvény értékét ki-számoljuk diszkrét pontokban (ún. grid pontokban) majd ebből numerikus integrálás-sal közelítjük az eloszlásfüggvényt. Az így előállt eloszlásból az ismert inverz-eloszlás technikával veszünk mintát.
A feltételes sűrűségfüggvények konkrét formája függ qi rendjétől. A perem-sűrűség-függvények konkrét alakja qi =1 esetén megtalálható Várpalotai [2006] ta-nulmányában; további qi értékekre meghatározhatók. A peremsűrűség-függvények
i 2
22 A módszerről lásd Koop [2003] 285.old. vagy Ritter–Tanner [1992].
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A V V′ invertálhatóságának bizonyítása
V V′ invertálhatóságának bizonyításához elegendő belátni, hogy a 2T q− a×T
A W W′ invertálhatóságának bizonyítása
W W′ invertálhatóságának bizonyításához ismét elegendő belátni, hogy a nulla elem. Ez gyakorlatilag nem megszorító feltevés, hiszen qβ értéke tipikusan 1, 2 vagy 3 , így T qβ. Továbbá fel kell tenni, hogy 0<kβ < ∞, ami szintén nem megszorító, hiszen kβ=0 esetén a β -hoz tartozó priorunk varianciája végtelen len-ne, míg kβ = ∞ esetén zéró.
qβ
R definíciója miatt egy T q− β×T dimenziós mátrix T q− β ranggal, amelynek tetszőleges b q≥ β számú oszlopának elhagyásával előállt almátrix rangja T b− . Ké-pezzük a W mátrixból azt az almátrixot, ami a Λi
( )
x mátrix nem zéró sorait tar-talmazza – feltevésünk miatt q darab ilyen sor van – ésβ qβ
k R nem nulla, véges elemeket tartalmazó mátrixot. Azok az oszlopok, ahová a Λi
( )
x nem nulla elemei kerültek – feltevésünk miatt q darab ilyen oszlop van –, lineárisan függetlenek egy-mástól, rangjuk így q és egyben lineárisan függetlenek az almátrix többi oszlopától, aminek a rangjaqβ
R definíciója miatt T q− . A teljes almátrix rangja ezért q T q T+ − = , ezért rang W
( )
≥T, de mivel W oszlopainak száma T, ezért oszlop-rangja, azaz lineárisan független oszlopainak száma nem lehet nagyobb, mint T. Ezekből következik, rang W( )
=T, ami miatt W W′ invertálható.Irodalom
BAXTER,M. [1995]: International trade and business cycles. NBER Working Paper. 5025. sz.
BOWDEN,R.J.–MARTIN,V.L. [1995]: International business cycles and financial integration. The Review of Economics and Statistics. 77. évf. 2. sz. 305–320. old.
FIDRMUC,J. [2004]: The endogeneity of the optimum currency area criteria, Intra-Industry Trade, and EMU enlargement. Contemporary Economic Policy. 22. évf. 1. sz. 1–12. old.
GEWEKE, J. [1999]: Using simulation methods for bayesian econometric models: Inference, development, and communication (with discussion and rejoinder). Econometric Reviews. 18.
évf. 1. sz. 1–126. old.
GRANGER,C.W.–JOYEUX,R. [1980]: An introduction to long memory time series models and fractional differencing. Journal of Time Series Analysis. 1. évf. 1. sz. 227–238. old.
GUDMUNDSSON,G. [1998]: A model of inflation with variable time lags. Central Bank of Iceland Working Paper. 2. sz.
HAMILTON,J.D. [1994]: Time series analysis. Princeton University Press, Princeton.
HODRICK, R. J. – PRESCOTT, E. C. [1980]: Post-war U.S. business cycles: an empirical investigation. Working Paper. Carnegie-Mellon University. Pittsburgh, PA.
HODRICK,R.J.–PRESCOTT,E.C.[1997]: Post-war U.S. business cycles: an empirical investigation.
Journal of Money, Credit and Banking. 29. évf. 1. sz.
HOSKING,J.R.M. [1981]: Fractional differencing. Biometrika. 68. évf. 1. sz. 165–176. old.
IMBS,J. [2003]: Trade, finance, specialization and synchronization. CEPR Discussion Paper. 3779.
sz. Munkaanyag.
KOOP,G. [2003]: Bayesian Econometrics. Wiley-Interscience Publisher.
KOSE, A. M. –PRASAD, E.S. – TERRONES, M. E. [2003]: How does globalization affect the synchronization of business cycles? The American Economic Review. 93. évf. 2. sz. 57–62.
old.
MOHR,M. [2005]: A trend-cycle(-season) filter. ECB Working Paper. No. 499.
RITTER, C. – TANNER, M. [1992]: Facilitating the Gibbs sampler: The Gibbs stopper and the Griddy-Gibbs smapler. Journal of the American Statistical Association. 87. évf. 417. sz. 861–
868. old.
SHILLER,R. [1973]: Distributed lag estimator derived from smoothness priors. Econometrica. 41.
évf. 4. sz.
STIGLER,S.M.[1978]: Mathematical statistics in the early states. Annals of Statistics. 6. évf. 2. sz.
239–265. old.
VÁRPALOTAI V. [2002]: Numerikus módszer gazdasági adatok visszabecslésére. Statisztikai Szemle.
80. évf. 9. sz. 813–824. old.
VÁRPALOTAI V. [2006]: Time-varying lag operator: Theory and an application to measure business cycle synchronization among EU members. Munkaanyag.
WHITTAKER, E. T. [1923]: On a new method of graduations. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 41. sz. 63–75. old.
Summary
Econometric methods which aim to model time-varying relations have become popular re-cently. The prevalent time-varying methods address the problem of time-varying coefficients in an unchanged model structure but cannot handle a change in model structure, e.g. if the lead/lag prop-erties of a set of time series variables change. This paper proposes a new tool, namely the time-varying real order lag operator which is explicity designed to capture changes in lead/lag properties among series variables (phase-shift). We propose a Bayesian approach to estimate the time-varying order of this extended lag operator in a simple bivariate linear model with time-time-varying co-efficients as well. This estimation approach can easily be extended to any multivariate analysis.