Általános állapot vezető Lüscher korrekciója

Ebben a fejezetben az sl(2) szektor általános 2M részecske állapotának vezető Lüscher korrekcióját számítjuk ki, kiterjesztve előző fejezetbeli eredményeinket M = 1 -ről. Ere-detileg csak páros részecske számú állapotokra szorítkozunk, hiszen erre kényszerít minket az teljes impulzus eltűnésének kényszere.

BY egyenletek

A véges térfogatból adódó BY egyenletek 2n_kπ=p_kL−ilog

Ezek vezető rendű megoldása a rapiditás paraméterrel írható le a legtermészetesebben u(p) = 1 úgynevezett Baxter polinomba rendezhetjük, mely expliciten meghatározható és kifejez-hető egy hipergeometrikus függvény segítségével [50]

P(u) = 3F2(−M, M + 1,1

2 −iu; 1,1|1)

Az összimpulzus eltűnése miatt a részecskék(u_i,−u_i) rapiditás párokba rendeződnek.

Lüscher korrekció

Emlékezzünk rá, hogy az energia végesméret-korrekciójának két forrása van, és hogy a BY egyenletek módosulásából származó korrekció csak a vezető utáni rendben ad járulékot az energiához. Vagyis a vezető rendű korrekció csupán a vákuumpolarizációs hatásokból jön. Ezek a2M részecske esetén

∆₈E(L) = − Ezen formula a korábbi két-részecskés formulánk általánosítása. Vezető rendben az u_k rapiditásokat a Baxter polinom gyökei adják.

Most egyenként végignézzük a felmerülő tagokat. Az exponenciális faktor vezető rendje, mint korábban A szórásmátrix számolásánál x^± paramétereket a rapiditásokkal fejezzük ki.

x^±(u) = 2u±i

Minden egyes szórásmátrix faktorizálódik egy skalár részre és két kommutáló su(2|2) kovariáns rész szorzatára. A szórás mátrix skalár része a fúzióval számolható. Korábbi számolásaink eredményét a rapiditásban kifejezve

S_Q−1^sl(2)(˜p, u) = (˜p−i(Q−1)−2u)(2u+i)²

(˜p−i(Q+ 1)−2u)(˜p+i(Q−1)−2u)(˜p+i(Q+ 1)−2u) adódik.

A mátrix rész számolásánál kihasználjuk, hogy a két su(2|2) rész faktorizálódik, így elégséges csak egyet kiszámolni. A Lüscher korrekció számolásához csak a S_1I^1J, I, J = 1, . . .4Qmátrixelemekre van szükségünk, melyet ( mivel a szórásban az1index rögzített) 4Qdimenziós téren ható mátrixként fogunk interpretálni ésS_Qmatrix^sl(2) (u, q= ˜p)-val jelöljük.

Ennek bozonikus részétSB0, SB, SBQ-val míg fermionikus részétSF-el jelöljük. Nézzük végig szisztematikusan az összes mátrixelemet.

Az I = 1 bozonikus vektor csak önmagára szóródhat SB0(q, u) :=S₁₁¹¹(q, u) =a¹₁(q, u)

Az I = j, j = 2, . . . , Q vektorok vagy önmagukra szóródnak, vagy a másik bozonikus altér J = j +Q vektorára. Hasonló módon a másik bozonikus altér J = j +Q vektora vagy önmagába vagy I = j-be szóródik. Vagyis j = 2, . . . , Q esetén ezen szórások egy 2×2-es mátrixot adnak

SB(q, u, j+ 1) = A fermionikus részek egyszerűbbek, csak önmagukra szóródhatnak

SF(q, u, j+ 1) =S_{1 2Q+j}^{1 2Q+j}(q, u) =S_{1 3Q+j}^{1 3Q+j}(q, u) = Q−j

Q² a⁶₆(q, u) + j

2a⁷₇(q, u) Ezen változók bevezetése után a Lüscher korrekció a

∆E =− alakot ölti, ahol a mátrix részt tovább bonthatjuk

STr( Mivel a teljes Lüscher korrekció csak g⁸ nagyságrendben ad járulékot és az exponenciális faktor nagyságrendje g⁴, így a mátrix rész vezető rendjének el kell tűnnie. Először ezt

ellenőrizzük, majd minden mennyiséget kifejtünk másodrendigf(g) = f₀(1+g²δf+O(g⁴)).

A kétdimenziós mátrix diagonalizálásánál észrevehetjük, hogy a vezető rendSB(q, u,_k, j)₀ diagonalizálása nem függ a rapiditásoktólu_k. Ez lehetővé teszi, hogy a bozonikus járulékot azQ

kSB^±(q, u_k, j)₀ egyes sajátértékek szorzatának összegeként írjuk. Konkrétan SB⁺(q, u_k, j)₀ = i+ 2ij+q−iQ−2u_k

i+q−iQ−2uk

; SB⁻(q, u_k, j+ 1) =SB⁺(q, u_k, j)2u_k+i 2uk−i Mivel a rapiditások párban vannak, így a ^2u_2u^k+i

k−i faktor kiesik és az összegzések határának eltolásával a két bozonikus sajátérték járuléka azonos alakra hozható. Érdekes módon a két különálló bozonikus rész járuléka kiegészíti az előző összegzéseket oly módon, hogy a teljes járulék Az is ellenőrizhető, hogy a bozonikus és fermionikus részek járuléka megegyezik minden j-re: (SF(q, u_k, j)₀ =SB⁺(q, u_k, j)q

2uk+i

2uk−i), így a vezető rendje a mátrix résznek tényle-gesen eltűnik.

A következő rend számolásánál szisztematikus ki kell számolnunk az előző kifejezés minden egyes tagjának sorfejtését és a járulákukat fel kell összegeznünk. Eredményül

STr³Y^2M

adódik, ahol a vezető utáni korrekció δSBF(q, u_k, j) = 16

Ezen kifejezéstk-ra felösszegezve észrevehetjük azS₁(M)harmonikus összeg megjelenését

2M

amely a Baxter polinomot definiáló hipergeometrikus függvény sajátossága [50]. A (4.27) Baxter polinomot felhasználhatjuk eredményünk egyszerűsítésére is

2M

Y

k=1

SB⁺(q, u_k, j)₀ = P(¹₂(q−i(Q−1) +ij)) P(¹₂(q−i(Q−1)))

Érdekes módon a teljes végeredmény is kifejezhető a Baxter polinommal

∆E =−64g⁸S₁²

és

Egy alternatív módja a formula felírásának T(q, Q) = iP ¡₁

A Baxter egyenletet a hipergeometrikus függvényen keresztül kiterjeszthetjük páratlan részecskeszám esetére is [50]. Ekkor egy kivételével minden részecske párba rendezhető uk =−u−k. A kivételes részecske rapiditásau0 = 0és impulzusap0 =π, amely nem fizikai az eredeti AdS/CFT modellben. Viszont a modell β deformált változatában már igen, így megkísérelhetjük módosítani formulánkat, hogy ezen állapot Lüscher korrekcióját is leírjuk. Előírva a vezető rend eltűnését az S-mátrixot úgy kellett módosítanunk, hogy a fermionikus részecskék ne adjanak járulékot. Ekkor a páratlan részecskeszámú állapotok csak T(q, Q) -ban különböznek a párosaktól

T^odd(q, Q) =

A Lüscher korrekció integrálját ezek után úgy számoljuk, hogy a kontúrt a felső fél síkon zárjuk be és a reziduum tételt használjuk. Két féle pólust találhatunk. Aq =iQpólusnak kinematikai eredete van, hiszen az nem függ a szórásmátrixtól. Ezzel szemben a R(q, Q) függvény pólusai u_k-függőek vagyis azok a Lüscher korrekció µ tagjainak felelnek meg, és a részecskék virtuális bomlásaihoz tartoznak. Mivel a gyenge csatolású határesetben a részecskék még virtuálisan sem képesek elbomolni, így ezen pólusok járulékának el kell tűnnie. Az explicit számolás ténylegesen is azt mutatta, hogy habár az egyes pólusok járuléka nem tűnik el, de azokat az összes kötött állapotra felösszegezve a járulék már tényleg nulla. Összefoglalva tehát állíthatjuk, hogy a vezető rendű Lüscher korrekcióhoz elég a q=iQ kinematikai szingularitás pólusának reziduumát venni.

Ha az integrandus reziduumát vesszük q =iQ-nál a Baxter polinom deriváltjai jelen-nek meg a±₂ⁱ és ±₂ⁱ +iQ helyeken. A formulák rövidítése érdekében bevezetjük a

U(±Q) =P(±i

2 +iQ) polinomot, melynek Q= 0 nál az alábbi kifejtése van:

U(Q) = 1 + 2S₁Q+ 2(S₁² +S−2)Q²+. . .

A továbbiakban használni fogjuk az egymásba ágyazott harmonikus összegeket S_n1,n2,...,nk(2M) =

és az argumentumot ha egyértelmű nem írjuk ki.

A reziduum vétele után a kapott kifejezést racionális törtek összegére bontjuk.

A₅ A₁. Az A_ij(Q)kiszámítása nagyon körülményes így azok járulékét máshogyan számoljuk.

Kihasználva, hogy(∂_QT˜(q, Q))|_q=iQ=0 =S₁²−S−2 a vezető Lüscher korrekcióra

∆E =−128g⁸S₁² [5ζ(5) + 4S−2ζ(3) +. . .]

adódik, ahol az eddig nem számolt részek nem tartalmaznakζ függvényeket. Értéküket a maximális transzcendentalitásból rögzíthetjük, amely előírja, hogy csak olyan harmonikus összegek jelenhetnek meg melyek rendje 5 és nem tartalmaznak S−1-et. Mivel ez egy véges dimenziós tér, így egy bázist felvéve és véges sok korrekciót egzaktul kiszámolva az együtthatókat rögzíthetjük. A végső eredményre

∆₈E = 128g⁸S₁²[−5ζ(5)−4S−2ζ(3)−2S₅ + 2S−5+ 4S_4,1−4S3,−2+ 4S−2,−3−8S−2,−2,1] adódik. Ezen formula M = −1 +ω nem fizikai helyre történő elfolytatása kapcsolatba hozható a Batalin-Fadin-Kuraev-Lipatov (BFKL) elmélettel, mely tökéletes egyezést mu-tatott [27], alátámasztva ezzel mind az AdS/CFT kapcsolatot, mind pedig a hadronszó-rásokat a Regge kinematikában leíró BFKL elméletet.