PDF 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása - ELTE

(1)

Numerikus módszerek 1.

3. előadás: MátrixokLU-felbontása

Lócsi Levente

ELTE IK

2013. szeptember 23.

(2)

Tartalomjegyzék

1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció

2 Háromszögmátrixokról

3 LU-felbontás Gauss-eliminációval

4 AzLU-felbontás „közvetlen” kiszámítása

(3)

Tartalomjegyzék

(4)

Balról szorzás alsó háromszögmátrixokkal

Mi történik, ha az alábbi L∈R^3×3 mátrixszal megszorzunk egy A∈R^3×3 mátrixot balról?





∗ ∗ ∗









1 0 0 2 1 0 0 0 1









? ? ?





Az 1. sor kétszeresét hozzáadjuk a 2. sorhoz.

(5)

Balról szorzás alsó háromszögmátrixokkal

Mi történik, ha az alábbi L∈R^3×3 mátrixszal megszorzunk egy A∈R^3×3 mátrixot balról?





1 0 0

2 1 0

−3 0 1





Az 1. sor kétszeresét hozzáadjuk a 2. sorhoz, valamint az 1. sor háromszorosát levonjuk a 3. sorból. (∼GE)

(6)

A Gauss-elimináció lépései mátrixszorzással

Írjuk fel a GE k-adik lépését ugyanilyen módszerrel! (A∈R^n×n)

L_k =





 1

. ..

1 l_k+1,k 1

... ...

ln,k 1







=I+v_ke_k^⊤, v_k =





 0_(1.)

...

0_(k.) l_k+1,k

...

l_n,k





 .

(A zérus elemek nincsenek feltüntetveL_k-ban.) Tehát ha l_i,k =−a^(k−1)_i,k

a^(k−1)_k,k (k =1, . . . ,n−1;i =k+1, . . . ,n), akkor L_k·A^(k−1) =A^(k), vagyis megkaptuk a GE k-adik lépését.

(7)

Példa

Példa: GE az L_k mátrixokkal

Írjuk fel a Gauss-elimináció lépéseit mátrixszorzások segítségével a következő mátrix esetén (ua. mint az előző előadáson)!

A=





2 0 3

−4 5 −2

6 −5 4





(8)

A Gauss–Jordan-módszer lépései mátrixszorzással

Házi feladat

Írjuk fel a Gauss–Jordan-féle elimináció lépéseit mátrixszorzás formájában!

(9)

Tartalomjegyzék

(10)

Elnevezések, jelölések

Definíció: alsó háromszögmátrix

Az L∈R^n×n mátrixot alsó háromszögmátrixnaknevezzük, ha i <j esetén li,j =0. (A főátló felett csupa nulla.) L:={L∈R^n×n : li,j =0(i <j)},

L₁ :={L∈R^n×n : l_i,j =0(i<j),l_i,i =1}.

Definíció: felső háromszögmátrix

Az U ∈R^n×n mátrixotfelső háromszögmátrixnaknevezzük, ha i >j esetén u_i,j =0. (A főátló alatt csupa nulla.) U :={U ∈R^n×n : ui,j =0(i >j)}.

(11)

Háromszögmátrixok halmazának zártsága

Állítás: háromszögmátrixról

1 Ha L^′,L^′′∈ L, akkor L^′·L^′′∈ L.

2 Ha U^′,U^′′∈ U, akkor U^′·U^′′ ∈ U.

3 Ha L^′,L^′′∈ L₁, akkor L^′·L^′′∈ L₁.

4 Ha L∈ Lés ∃L⁻¹, akkor L⁻¹∈ L.

5 Ha U ∈ U és ∃U⁻¹, akkor U⁻¹ ∈ U.

6 Ha L∈ L₁, akkor ∃L⁻¹ és L⁻¹∈ L₁. Biz.: házi feladat (beadható).

Útmutatás: 1.Kell:(L^′·L^′′)i,j=0 (i<j), írjuk fel a mátrixszorzást:

(L^′·L^′′)i,j=P

. . .. Használjuk ki, hogyL^′,L^′′∈ L: minden tag kiesik.

2.Hasonlóképp.3.Határozzuk meg a szorzat főátlóbeli elemeit is.

4., 5., 6.Az inverz Gauss-eliminációval meghatározható.

(12)

Az L

_k

mátrixokról

Definíció: L_k

L_k =L_k(v) :=I+ve_k^⊤∈R^n×n, ahol v ∈Rⁿ, v_i =0(i ≤k) és e_k ∈Rⁿa k-adik egységvektor.

Állítás: L_k inverze

L⁻¹_k =L_k(v)⁻¹=L_k(−v) =I−ve_k^⊤.

Biz.:

L_k ·L⁻¹_k = (I+ve_k^⊤)(I−ve_k^⊤) =I+ve_k^⊤−ve_k^⊤

| {z }

0

−v e_k^⊤v

|{z}0

e_k^⊤=I.

Szemléletesen?

(13)

Az L

_k

mátrixokról

Hogyan szorzunk össze két ilyen mátrixot?





1 0 0 0 1 0 0 3 1









1 0 0 2 1 0 1 0 1









1 0 0 2 1 0 1 3 1









1 0 0 2 1 0 1 0 1









1 0 0 0 1 0 0 3 1









1 0 0 2 1 0 7 3 1





A bal oldali sorrendben „szépen” szorzódik. Általában is.

(14)

Az L

_k

mátrixokról

Állítás: L_k mátrixok szorzata

L⁻¹₁ ·L⁻¹₂ · · ·L⁻¹_n−1 =I−v₁e₁^⊤−v₂e₂^⊤−. . .−v_n−1e_n−1^⊤ .

Biz.: Indukcióval.

• L⁻¹₁ ·L⁻¹₂ = (I−v₁e₁^⊤)(I−v₂e₂^⊤) =I−v₁e₁^⊤−v₂e₂^⊤+v₁(e₁^⊤v₂)e₂^⊤.

• Tfh. L⁻¹₁ ·L⁻¹₂ · · ·L⁻¹_k =I−v1e₁^⊤−v2e₂^⊤−. . .−v_ke_k^⊤.

• L⁻¹₁ ·L⁻¹₂ · · ·L⁻¹_k ·L⁻¹_k+1 =

= (I−v₁e^⊤₁ −v₂e₂^⊤−. . .−v_ke_k^⊤)(I−v_k+1e_k^⊤₊₁) =

=I−v1e₁^⊤−v2e₂^⊤−. . .−v_ke_k^⊤−v_k+1e_k+1^⊤ + +v₁e₁^⊤v_k+1e_k+1^⊤ +. . .+v_ke_k^⊤v_k+1e_k^⊤₊₁

| {z }

kiesnek

=X.

(15)

Tartalomjegyzék

(16)

LU -felbontás

Definíció: LU-felbontás

Az Amátrix LU-felbontásának nevezzük azL·U szorzatot, ha A=LU, L∈ L₁,U ∈ U.

(17)

LU -felbontás Gauss-eliminációval

A Gauss-eliminációt felírhatjuk alsó háromszögmátrixok segítségével:

L_n−1· · ·L₂·L₁·A=U, majd az inverzekkel egyesével átszorozva:

A=L⁻¹₁ ·L⁻¹₂ · · ·L⁻¹_n−1

| {z }

L

·U.

Az imént láttuk, hogy a fenti szorzat is alsó háromszögmátrix.

A=LU.

(18)

Példa

Példa: LU-felbontás GE-val

Készítsük el a példamátrixunk LU-felbontását

(a) részletezve azL_k mátrixokat, a számítás menetét, (b) majd „tömör” írásmóddal!

(19)

LU -felbontás Gauss-eliminációval

Tétel: LU-felbontás létezése

Ha a Gauss-elimináció végrehajtható sor és oszlopcsere nélkül, azaz a_k,k^(k−1)6=0(k=1, . . . ,n−1), akkor az A mátrixLU-felbontása létezik.

Biz.: Láttuk.

Összefoglalva: Haa^(k−1)_k,k 6=0, akkor azL_k mátrixok felírhatók, a Gauss-elimináció („előre” része) végén felső háromszög alakú mátrixot kapunk. Ez leszU. AzLk

mátrixok inverzének szorzataként pedig adódikL.

(20)

LU -felbontás Gauss-eliminációval

Definíció: főminorok

Az A∈R^n×n mátrix A_k főminoraazA mátrix bal felsők×k-as részmátrixa.

Tétel: LU-felbontás létezése (A-ra vonatkozó feltétellel) Ha detA_k 6=0(k =1, . . . ,n−1), akkor létezik az Amátrix LU-felbontása.

Biz.: Belátjuk, hogy ekvivalens az előző feltétellel.

• A_k =L_k·U_k (főminorok).

• detA_k =detL_k ·detU_k =1·u_1,1·u_2,2· · ·u_k,k =

=a_1,1⁽⁰⁾·a⁽¹⁾_2,2· · ·a_k,k^(k−1).

• detA_k = (detA_k−1)·a^(k−1)_k,k ⇔a^(k−1)_k,k 6=0.

(21)

LU -felbontás Gauss-eliminációval

Tétel: az LU-felbontás egyértelműségéről

Ha A-nak létezikLU-felbontása, továbbá detA6=0, akkor az LU-felbontás egyértelmű.

Biz.: Indirekt, táblán. Meggondoltuk.

Megjegyzés: L és U megadása

Az eddigieket összefoglalva felírhatjuk azA=LU felbontást:

L∈ L1 és l_i,j = a_i^(j−1)_,j

a_j^(j−1)_,j (i >j), U ∈ U és u_i,j =a⁽ⁱ⁻¹⁾_i,j (i ≤j).

(22)

Miért jó az LU -felbontás?

Tegyük fel, hogy

• az Ax=b LER megoldható, és

• rendelkezésünkre áll az A=LU felbontás.

Ekkor Ax=L·U·x

| {z }

y

=b helyett (¹₃n³+O(n²)) 1 oldjuk meg azLy =b, (₂¹n²+O(n)) 2 majd az Ux =y LER-t. (¹₂n²+O(n))

Persze valamikor elő kell állítani azLU-felbontást. (¹₃n³+O(n²))

Előnyös, ha sokszor ugyanaz A.

(23)

Tartalomjegyzék

(24)

Az LU -felbontás „közvetlen” kiszámítása

• Nem ismerjük L-t és U-t: ismeretlenek a mátrixokban.

• Viszont szorzatukat ismerjük: LU =A.

• A egyes elemeit a mátrixszorzás alapján felírva egyenleteket kapunk Lés U elemeire.

• Jó sorrendben felírva az egyenleteket, mindig megkapjuk egy-egy új ismeretlen értékét.

(25)

Jó sorrendek







1. 1. 1. 1.

2. 3. 3. 3.

4. 4. 5. 5.

6. 6. 6. 6.







sorfolytonosan







1. 3. 5. 7.

2. 3. 5. 7.

2. 4. 5. 7.

2. 4. 6. 7.







oszlopfolytonosan







1. 1. 1. 1.

2. 3. 3. 3.

2. 4. 5. 5.

2. 4. 6. 7.







parkettaszerűen

(26)

Példa

Példa: LU-felbontás közvetlenül

(a) Készítsük el a példamátrixunkLU-felbontását közvetlenül a mátrixszorzás alapján.

(b) Nézzünk egy újabb példát is. (Vigyázat, detB₂ =0.)

A=





2 0 3

−4 5 −2

6 −5 4



, B=





2 −2 3

−4 4 −2

6 −5 4





(27)

Az LU -felbontás „közvetlen” kiszámítása

Tétel: az LU-felbontás „közvetlen” kiszámítása

Az Lés U mátrixok elemei a következő képletekkel számolhatók:

i ≤j (felső) u_i_,j =a_i,j−

i−1X

k=1

l_i,k ·u_k_,j,

i >j (alsó) l_i,j = 1 u_j,j



a_i,j−

j−1

X

k=1

l_i,k·u_k,j



.

Ha jó sorrendben számolunk, mindig ismert az egész jobb oldal.

Biz.: Mátrixszorzás felírása, háromszögmátrix voltuk kihasználása, egy tag leválasztása, kifejezése. Táblán.

(28)

Példák Matlab-ban

1 Az LU-felbontás működése „kisebb” (n≈7) mátrixokra,

2 valamint „nagyobb” mátrixokra (n≈50) színkóddal.

3 LER megoldásaLU-felbontás segítségével.

4 Sok LER (m≈10,100) megoldása futási idejének összevetése nagyobb mátrixok (n≈50,100,200) esetén: GE-val valamint az LU-felbontás kihasználásával.