Maple Vs. Sage Vs. Geogebra

(1)

Maple Vs. Sage Vs. Geogebra

Mit tudunk Lineáris algebrából???

Sipos Csaba

(2)

Geogebra

• Mátrixok, illetve vektorok definiálása:

MatrixFromvectors[{lista},{lista}]

VectortFromPoints[{x,y}]

• A geogebra 2 dimenziós vektorokat kezel

• Néhány fontosabb művelet:

Transpose[Mátrix]

Eigenvalue[Mátrix]

Eigenvector[mátrix]

MatrixTimesVector MatrixTimesMatrix Determinant

Inverse

(3)

Sage

PointFromVector VectorFromPoint MatrixFromVectors

• Az eszköz egyébként nagyon szemléletes, elég sok mindent meg lehet rajta érteni.

• Sage egy kicsit komolyabb eszköz, mint a GeoGebra

• Mátrix, vektor definiálás

A = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,1,1]]) w = vector([1,1,-4])

• Műveltek Mátrixokkal, vektorokkal w*A

A*w

(4)

Sage

• A.eigenvalues () – A sajátértékei

• A.eigenvectors_left() - sajátértékek, sajátvektorok, algebrai multiplicitás

• Mátrix definíciójánál megadhatjuk, hogy mi felett legyen értelmezve:

– AZ = matrix(ZZ, [[2,0], [0,1]]) ∈ ℤ^2𝑥2 – AQ = matrix(QQ, [[2,0], [0,1]]) ∈ ℚ^2𝑥2 – AR = matrix(RR, [[2,0], [0,1]]) ∈ ℝ^2𝑥2

• Lehetőség van Mátrix terek létrehozásáre Q, Z, R felett

• M = MatrixSpace(QQ,3)

• B = M.basis() - bázisrendszer

• A = M(range(9)) – mátrix létehozása

• M = MatrixSpace(GF(2),4,8) – kettes számrendszerben 4x8-as mátrixok

(5)

Sage

• A.rows() – A-nak a sorai

• A.columns() – A-nak az oszlopai

• A.transpose() – A transzponáltja

• fA.charpoly(’t’) - a karakterisztikus polinom .

• A.inverse() - inverz

• A.conjugate() - konjugált

• A[i,j] - i. sor j.eleme

• A.nrows()

• A.ncols()

• A.determinant()

• A.trace

(6)

Sage

• A.norm()

• A.norm(1)

• A.norm(Infinity)

• A.norm(‚Frob’)

• A.jordan_form(transformation=True) – Jordan alak, A=P^(-1)*J*P

• A.LU() (p permutáció mátrix, L alsó, U felső háromszög mátrix), PA=LU

• A.QR() (Q-ortog onális mátrix, R felsőháromszög mátrix ) A=QR

• A.SVD() - A=USV^(konjugált v. transzponált) Vektor Műveletek:

u.dot_product(v) - <u,v>

(7)

Sage

u.norm() =u.norm(2) - euklideszi norma u.norm(1) – 1-es (összeg) -norma

u.norm(Infinity) – végtelen(maximum) norma Összegzés:

Véleményem szerint a Sage elég jól alkalmazható lineáris algebrai feladatok megoldására, elég sok függvényt

tartalmaz, amely alkalmazható és segíti a programozó munkáját

(8)

Maple

• A maple –ben két csomag is található a lineáris

algebrai feladatokat kedvelő emberek számára 

• A maple-ben néhány függvényhez van írva grafikus oktatófelület, ami nagyon jól

használhatók a fogalmak megértésére

• A Linear Algebra csomagban megtalálható függvények:

– Basis(V) – V vektortér bázisa

– CharacteristicPolynomial(M,x) – Az M matrix karakterisztikus polinomja

(9)

Maple

• CrossProduct (v1,v2) - kiszámolja két vektor vektoriális szorzatát

• Determinant(M) – az M mátrix determinánsa

• Dimension(M) – az M mátrix dimenziója

• DotProduct(v1,v2) - <v1,v2>

• Eigenvalues(M) – M mátrix sajátértékei

• Eigenvectors(M) - M mátrix sajátértékei

• GaussianElimination(M) – Felsőháromszög alakra hozaa az M mátrixot

(10)

Maple

• LinearSolve(M) – A*x=b egyenlet megoldása

• MatrixInverse(M) - M-nek az inverze

• MatrixScalarMultiply(M,a) – kiszámítja az a*M-et, ahol a az skalár

• Transpose(M) – az M mátrix transzponáltjának a kiszámítása

• QRDecomposition(M) – Az M QR felbontása

• JordanForm(M) – Jordan felbontás

(11)

Maple

• MatrixVectorMultiply(M,v) – Mátrix –vektor szorzás

• Trace(M) – diagonális elemek összege

• VectorNorm(v) – norma

• MatrixNorm(M) - mátrix norma

Összegzés: A maple-t kényelmesebbnek tartom a

Sage-nél lineáris algebrában, de sajnos a Maple-

ért fizetni kell!!!

(12)

Maple

A Maple nagy segítségre lehet a programozónak a help-jével, amelyben példákkal illusztrálva könnyen megtalálhatjuk azt, amire szükségünk van.

Van még egy programcsomag, ami Szimbolikus számításokra szintén alkalmas.

A Maple inputjára tekintve biztosan jobb, mert a Maple újabb verzióiban szerintem igen csak nem sikerült megoldani az input bevitelt.

Ha van még egy kis idő, akkor ejtenék pár szót a Mathematica nevű programcsomag lineáris

algebrában való használhatóságáról.

(13)

Mathematica

• Úgy mint a Maple-ben, vagy a Sage-ben itt is megtalálhatók a legfontosabb lineáris algebrai műveletek:

• EigenValues

• Norm

• Cross

• Dot (.) – van operátor a skaláris szorzatra, ami nem hátrányos, a v1.v2 = <v1,v2>

• MatrixNorm

• LinearSolve

(14)

Mathematica

• SingularValueDecomposition

• QRDecomposition

• SchurDecomposition

• Inverse

• Transpose

• Det

• Stb.

• A Mathematica-nak is nagyon jó a helpje, talán még jobb is mint a Maplé. Mostanában dolgoztam Maplben és

Mathematica-ban is és az utóbbi jobban tetszett. Lehet azért mert gyorsabb, vagy talán az input de nekem jobban

tetszett.

(15)

Maple Vs. Sage Vs. Geogebra