• Nem Talált Eredményt

Logikai programozás (MSc)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2024

Ossza meg "Logikai programozás (MSc)"

Copied!
56
0
0

Teljes szövegt

(1)

Logikai programozás (MSc)

Elsőrendű logika

Pásztorné Varga Katalin Kőszegi Judit

2013.09.17.

(2)

Tartalom

Áttekintés

Elsőrendű logika – bevezetés Az elsőrendű logika szintaxisa Az elsőrendű logika szemantikája

Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Gyakorlat

2/51

(3)

Áttekintés - Elsőrendű logika

Szintaxis (szerkezeti indukció, rekurzió)

Szemantika

• interpretációI=L(Vν)→ hU, R, M, Ki;

formula értéktáblája – jelentéseUn→i, h

• formulák, formulahalmazok szemantikus tulajdonságai, logikai törvény

(4)

Tartalom

Áttekintés

Elsőrendű logika – bevezetés

Az elsőrendű logika szintaxisa Az elsőrendű logika szemantikája

Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Gyakorlat

4/51

(5)

Elsőrendű állítás

Az ítéletlogikában nem foglalkoztunk az állítások minősítésével és az állítások leírásával. Az állítás definíciója szerint az állítást egy kijelentő mondattal ki lehet fejezni.

Ha a kijelentő mondatalanya valamely konkrét dolog, akkor az állítást nulladrendű állításnak hívjuk. Az ilyen állítások formális leírására egy relációt (logikai függvényt) definiálunk.

Példák

• E(x) =i, haxegész szám

• P(x) =i, haxprímszám

• L(x, y, z) =i,haz azxés azy legnagyobb közös osztója Ha a kijelentő mondatalanya egy halmaz, akkor az állítástelsőrendű állításnak hívjuk. Leírásukhoz a kvantorokat (∀,∃) használjuk.

Példa

• ∀xE(x)azt jelenti, hogy a halmaz minden eleme egész szám.

(6)

Matematikai struktúra

Az 1800-as évek végén és az 1900-as évek elején a matematikai struktúrák (halmazelmélet és az aritmetika – számelmélet) logikai vizsgálatához meg kellett teremteni mind a nulladrendű, mind az elsőrendű állítások leírására szolgáló eszközöket. Szükségessé vált a matematikai struktúrákat leíró nyelv definiálása.

Definíció

A metamatikai struktúra egyhU, R, M, Kihalmaznégyes, ahol

• U: nem üres halmaz, a struktúra értelmezési tartománya (amennyibenU egyfajtájú elemekből áll)

• R: azU-n értelmezettn-változós (n= 1,2, . . . , k) logikai függvények (alaprelációk) halmaza

• M: az U-n értelmezettn-változós (n= 1,2, . . . , k) matematikai függvények (alapműveletek) halmaza

• K: azU megjelölt elemeinek egy (esetleg üres) részhalmaza Astruktúra szignatúrája (ν1, ν2, ν3 egészértékű fgv.együttes) megadja az alaprelációk és az alapműveletek aritását, valamintK elemszámát.

6/51

(7)

Matematikai struktúra leíró nyelve

Adott matematikai struktúra leíró nyelvének ábécéje áll:

• azRhalmazbeli alaprelációkneveiből

• azM halmazbeli alapműveletekneveiből

• aK halmazbeli elemekneveiből

Ezekkel a nevekkel már lehet egyszerű (nulladrendű és paraméteres) állításokat leírni. AzR, M, K-beli nevek a leíró nyelvlogikán kívüli részét képezik.

Az összetett állítások és az elsőrendű állítások leírására kibővítjük az ábécét alogikai szimbólumokkal (az ábécé logikai része):

• individuumváltozók

• unér és binér logikai műveleti jelek ¬,∧,∨,⊃

• kvantorok ∀,∃

• elválasztójelek( ),

Ez együtt egy adott matematikai struktúra logikai leíró nyelvének az ábécéje.

(8)

Példa – elemi aritmetika I.

1

hN0; =;s,+,∗; 0iegyüttes, ahol

• x, y, . . .: individuumvátozók befutják a természetes számok halmazát (N0-t)

• =: az{(x, x)} igazhalmazú alapreláció neve

• s: az egyváltozós rákövetkezés függvény neve

• +és∗: rendre az összeadás és a szorzás műveletek nevei

• 0: a megjelölt univerzumelem neve (az az elem, amely nem tartozik a rákövetkezés függvény értékkészletébe)

Astruktúra szignatúrája alatt az alaprelációk és az alapműveletek aritásait, valamint a konstansok számát megadóν1, ν2, ν3egész értékű függvényeket értjük.

Esetünkben: ν1(=) = 2,ν2(s) = 1,ν2(+) = 2,ν2(∗) = 2,ν3= 1 Feslorolással megadva: = s + ∗ 0

2 1 2 2 1

1Tk.36-37.o.

8/51

(9)

Példa – elemi aritmetika II.

Az elemi aritmetika leíró nyelvének ábécéjében az N

0

kezelésére a változók

(x, y, . . .)

szolgálnak (individuumváltozók), az

{=, s,+, x; 0}

jelek a megfelelő leképezések azonosítói. A leíró nyelv szignatúrája ugyanaz, mint struktúráé.

Az alaprelációkkal (itt az

=

relációval) lehet állításokat leírni, pl.

2 = 3,5 = 5. De nem állítás pl.

y

= 5

vagy z

=

w (paraméteres állítások). Egyéb ismert egyszerű állításokat pl. a kisebb egyenlő relációt ezen a nyelven csak összetett állítás formájában lehet felírni (formalizálni). Ehhez a nyelv ábécéjét logikai résszel bővítjük ki.

Ezek:

individuumváltozók: x, y, . . .

logikai összekötőjelek:

¬,∧,∨,⊃

kvantorok:

∀,∃

az ’egyenlő’ predikátumszimbólum:

=
(10)

Példa – aritmetika, geometria

Definiáljuk (formalizáljuk) az aritmetika logikai leíró nyelvén a

relációt:

x

y

=def ∃z((x+

z) = y)

Megjegyzés: Az aritmetika univerzuma egyfajtájú

elemekből, a természetes számokból állt. Egy matematikai struktúra univerzuma

többfajtájú

elemekből is állhat. Például a térgeometriában pontok, egyenesek és síkok alkotják az értelmezési tartományt. Ekkor a leíró nyelv ábécéjében a fajták elnevezésére is bevezetünk jeleket.

Esetünkben ezek a nevek: p, e, s. Így az értelmezési tartomány U

p

U

e

U

s

lesz, a struktúra pedig az

hUp

U

e

U

s

, R, M, Ki együttes.

10/51

(11)

Az elsőrendű logika leíró nyelve (L) – követlemények

Olyan ábécével kell hogy rendelkezzen, melynek a logikán kívüli

szimbólumai és azok szignatúrája paraméterezéssel bármely adott

matematikai struktúra szignatúrájával megfeleltethető legyen, és

ennélfogva a szimbólumok lehessenek a struktúra relációinak,

műveleteinek és megjelölt elemeinek a nevei. Más szóval a nyelv

alkalmas kell, hogy legyen tetszőleges szignatúrájú matematikai

struktúrák leírására.

(12)

Adott szignatúrájú (egyfajtájú) struktúrákat leíró nyelvek

Egyféle elemből álló U esetén az

hU, R, M, Ki

struktúra leíró nyelv logikán kívüli része lehet a következő.

Az

L

nyelv ábécéje:

hP r, F n, Cnsti.

Szignatúrája:

1

, ν

2

, ν

3).

P r: predikátumszimbólumok halamaza ν

1

: P

P r-re megadja P aritását (k)

F n: függvényszimbólumokszimbólumok halamaza ν

2

: f

F n-re megadja f aritását (k)

Cnst: konstansszimbólumok halamaza ν

3

: megadja a konstansok számát

12/51

(13)

Adott szignatúrájú (többfajtájú) struktúrákat leíró nyelvek

Többféle elemből állóU eseténazhU, R, M, Kistruktúra leíró nyelv logikán kívüli része lehet a következő.

AzLnyelv ábécéje: hSrt, P r, F n, Cnsti, szignatúrája: (ν1, ν2, ν3).

• Srt: nemüres halmaz, melynekπj elemei fajtákat szimbolizálnak

• P r: predikátumszimbólumok halamaza

ν1: P ∈P r-re megadjaP aritását (k), és hogy milyen fajtájúak az egyes argumentumok(π1, π2, . . . , πk)

• F n: függvényszimbólumokszimbólumok halamaza

ν2: f ∈F n-re megadjaf aritását (k), és hogy milyen fajtájúak az egyes argumentumok, valamint a függvény értéke

1, π2, . . . , πkf)

• Cnst: konstansszimbólumok halamaza

ν3: megadja minden fajtához a konstansok számát

(14)

Leíró nyelv – logikai rész

különböző fajtájú individuumváltozók (minden fajtához végtelen sok): x, y, y

k

, . . .

unér és binér logikai műveleti jelek:

¬,∧,∨,⊃

kvantorok:

∀,∃

elválasztójelek:

( )

,

Az

L

nyelv ábécéjére V

[Vν]-vel hivatkozunk, ahol

V

ν

adja meg a

1

, ν

2

, ν

3)

szignatúrájú

hSrt, P r, F n, Cnsti

halmaznégyest.

A nyelv kifejezési informálisan:

termek: a matematikai leképezéseket szimbolizálják

formulák: a logikai leképezéseket szimbolizálják

14/51

(15)

Tartalom

Áttekintés

Elsőrendű logika – bevezetés

Az elsőrendű logika szintaxisa

Az elsőrendű logika szemantikája

Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai

Gyakorlat

(16)

Az elsőrendű logika szintaxisa

2

– term I.

Egyfajtájú eset.

Termek – L

t

(V

ν

)

1

(alaplépés) Minden individuumváltozó és konstans szimbólum term.

2

(rekurzív lépés) Ha az f

F

n

k-változós függvényszimbólum és t

1

, t

2

, . . . , t

k

termek, akkor f

(t1

, t

2

, . . . , t

k)

is term.

3

Minden term az 1, 2 szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő.

2Tk.112.o.

16/51

(17)

Az elsőrendű logika szintaxisa – formula I.

Egyfajtájú eset.

Formulák – L

f

(V

ν

)

1

(alaplépés) Ha a P

P r k-változós predikátumszimbólum és t

1

, t

2

, . . . , t

k

termek, akkor P

(t1

, t

2

, . . . , t

k)

formula (atomi formula).

2

(rekurzív lépés)

• HaAformula, akkor¬Ais az.

• HaAésB formulák, akkor(A◦B)is formula, ahol◦ a három binér művelet bármelyike.

3

Ha A formula, akkor

∀xA

és

∃xA

is az.

4

Minden formula az 1, 2, 3 szabályok véges sokszori

alkalmazásával áll elő.

(18)

Az elsőrendű logika szintaxisa – term II.

Többfajtájú eset.

Termek – L

t

(V

ν

)

1

(alaplépés) Minden π

Srt fajtájú individuumváltozó és konstans szimbólum π fajtájú term.

2

(rekurzív lépés) Ha az f

F

n1

, π

2

, . . . , π

k;

π

f)

fajtájú függvényszimbólum és t

1

, t

2

, . . . , t

k

rendre π

1

, π

2

, . . . , π

k

fajtájú termek, akkor f

(t1

, t

2

, . . . , t

k)

π

f

fajtájú term.

3

Minden term az 1, 2 szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő.

18/51

(19)

Az elsőrendű logika szintaxisa – formula II.

Többfajtájú eset.

Formulák – L

f

(V

ν

)

1

(alaplépés) Ha a P

P r

1

, π

2

, . . . , π

k)

fajtájú

predikátumszimbólum és t

1

, t

2

, . . . , t

k

rendre π

1

, π

2

, . . . , π

k

fajtájú termek, akkor P

(t1

, t

2

, . . . , t

k)

formula (atomi formula).

2

(rekurzív lépés)

• HaAformula, akkor¬Ais az.

• HaAésB formulák, akkor(A◦B)is formula, ahol◦ a három binér művelet bármelyike.

3

Ha A formula, akkor

∀xA

és

∃xA

is az.

4

Minden formula az 1, 2, 3 szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő.

Elsőrendű logikai nyelv:

L(Vν) =Lt(Vν)∪ Lf(Vν).
(20)

Formulaelnevezések

• ¬A

negációs

A

B konjukciós

A

B diszjunkciós

A

B implikációs

• ∀xA

univerzálisan kvantált

• ∃xA

egzisztenciálisan kvantált

20/51

(21)

Elsőrendű formulákhoz kapcsolódó fogalmak

Vezessük be a

∀,∃,¬,∧,∨,⊃

prioritási sorrendet, ekkor az ítéletlogikához hasonlóan definiáljuk:

a zárójelelhagyásokat

a műveletek és a kvantorok hatáskörét

a komponens és prímkomponens fogalmakat

egy formula fő műveleti jelét

Az ítéletlogikában minden formulát fel lehet írni a prímformulák (azaz ítéletváltozók) és a műveletek segítségével. Az elsőrendű nyelvben is ilyenek a formulák. Prímformulák

a

az elsőrendű nyelvben az atomi formulák és a kvantált formulák.

aTk.113.o.

(22)

Közvetlen részterm és részformula

Közvetlen részterm

1

Konstansnak és individuumváltozónak nincs közvetlen résztermje.

2

Az f(t

1

, t

2

, . . . , t

k)

term résztermjei a t

1

, t

2

, . . . , t

k

termek.

Közvetlen részformula

1

Egy atomi formulának nincs közvetlen részformulája.

2 ¬A

közvetlen részformulája az A formula.

3

Az

(A◦

B) közvetlen részformulái az A (baloldali) és a B (jobboldali) formulák.

4

A QxA (Q

∈ {∀,∃}) közvetlen részformulája az

A formula.

22/51

(23)

Prímkomponensek

Egy formulában egy logikai művelet hatáskörében lévő részformulá(ka)t komponens formuláknak nevezzük.

1

Egy atomi formulának nincs közvetlen komponense (prímformula).

2 ¬A

közvetlen komponense az A formula.

3

Az

(A◦

B) közvetlen komponensei az A és a B formulák.

4

A QxA (Q

∈ {∀,∃}) formulának nincs közvetlen komponense

(prímformula).

Megjegyzés:

prímkomponensnek nevezzük azokat a prímformulákat, amelyekből a formula kizárólag a

¬,∧,∨,⊃

műveletek segítségével épül fel.

Ennek megfelelően a prímformulák:

1

Egy atomi formula prímformula.

2

Egy QxA formula prímformula.

(24)

Szerkezeti fák

Term szerkezeti fája.

Formula szerkezeti fája

3

.

3Tk. 116-118.o.

24/51

(25)

Logikai összetettség

Egy A formula logikai összetettsége: `(A)

Szerkezeti rekurzióval való definíció

(Tk.5.1.15) 1

Ha A atomi formula, akkor `(A) = 0

2

`(¬A) = `(A) + 1

3

`(A

B) = `(A) + `(B) + 1

4

`(QxA) = `(A) + 1

(26)

Szabad és kötött változók elsőrendű formulákban

Egy formulában egy x változó egy előfordulása

szabad, ha nem esik x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe

kötött, ha x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe esik

Egy x változó egy formulában

kötött változó, ha x minden előfordulása kötött

szabad változó, ha x minden előfordulása szabad

vegyes változó, ha x-nek van szabad és kötött előfordulása is

Megjegyzés: Ha egy formulában egy változó kötött, akkor

átnevezve ezt a változót a formulában elő nem forduló

változónévvel a formula ekvivalens marad az eredetivel. Ily módon minden formula átírható változóátnevezésekkel

vegyes változót

már

nem tartalmazó formulává.

26/51

(27)

Szabad és kötött változók – példa

A formula:

∀xP(x)⊃ ∃yQ(w, y)∨

P

(v)⊃ ∀zQ(w, z)

A prímkomponensek:

∀xP(x),∃yQ(w, y),

P

(v),∀zQ(w, z)

A szabad individuumváltozók: v, w

(28)

Formulák szintaktikus tulajdonságai

Egy formula zárt, ha minden változója kötött.

Egy formula nyitott, ha legalább egy individuumváltozónak van legalább egy szabad előfordulása.

Egy formula kvantormentes, ha nem tartalmaz kvantort.

1. rendű állításokat szimbolizálnak az

L

nyelven a zárt formulák vagy mondatok.

28/51

(29)

Alapkifejezés, alapatom, alapterm, . . .

Alapkifejezés a változót nem tartalmazó

L

kifejezés (alapformula, alapterm). Ezeket alappéldányoknak is nevezik. Az atomi formulák alappéldányait két csoportba soroljuk:

1

Egy atomi formula alapatom, ha argumentumai konstans szimbólumok vagy egy megadott univerzum elemei (pl. P

(c))

2

Egy atomi formulát az atomi formula alappéldányának

nevezzük, ha argumentumai alaptermek (pl. Q(f

(a, b), a)) Megjegyzés: Egy atomi formulát (nem alappéldány) egyébként

paraméteres állításnak is neveznek.

(30)

Termhelyettesítés

A termhelyettesítés

4

a szabad változókba megengedett.

θ

:

V

x→ Lt[Vν]

θ

= (x1

, x

2

, . . . , x

3k

t

1

, t

2

, . . . , t

3)

4Tk.123.o.

30/51

(31)

Tartalom

Áttekintés

Elsőrendű logika – bevezetés Az elsőrendű logika szintaxisa

Az elsőrendű logika szemantikája

Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai

Gyakorlat

(32)

Elsőrendű logikai nyelv interpretációja

Egy elsőrendű logikai nyelvL[Vν]interpretációja egy, az Lnyelvvel azonos szignatúrájúhU, R, M, Kimatematikai struktúra.

Másik megfogalmazás: egy, a szignatúrának megfelelőU halmaz megadása, ezen aP r,F n,Cnstszimbólumhalmazok szignatúrájával megegyezőR,M, Kreláció-, művelet- és konstanshalmaz definiálása.

AzI interpretáció működése: I=hISrt,IP r,IF n,ICnsti függvénynégyes, ahol:

• ISrt:π7→ Uπ, ahol haStregyelemű, akkor az interpretációU univerzuma egyfajtájú elemekből áll

• azIP r:P7→PI, aholPI a struktúraR halmaza

• azIF n:f 7→fI, aholfI a struktúraM halmaza

• azICnst:c7→cI, aholcI a struktúraK halmaza

32/51

(33)

Változókiértékelés

Változókiértékelés

Egyκ:V → U leképezés, ahol V a nyelv változóinak halmaza,U pedig az interpretáció univerzuma.

|x|I,κazU univerzumbeliκ(x)individuum.

(34)

Formula jelentése – informális definíció

A formula valamelyL(P1, P2, . . . , Pn;f1, f2, . . . , fk)formalizált nyelven íródott, ahol(r1, r2, . . . , rn;s1, s2, . . . , sk)azL nyelv,

típusa/szignatúrája(ν1, ν2, ν3).

1 Választunk egyS =U(R1, R2, . . . , Rn;o1, o2, . . . , ok)matematikai struktúrát, amelynek a típusa/szignatúrája

(r1, r2, . . . , rn;s1, s2, . . . , sk)/(ν1, ν2, ν3)megegyezik a nyelvével és a logikán kívüli szimbólumokat a megfelelő relációknak illetve műveleteknek feleltetjük meg: Pi=PiI,fk=fkI (ha az interpretáló struktúrának nincs leíró nyelve, vagy nem akarjuk azt használni. Ha felhasználjuk az interpretáló struktúra leíró nyelvét, akkorPiI=Ri

neve ésfkI =ok neve. Ez a nyelv szimbólumainak interpretációja, aholRiés ok jelentése egyértelmű).

2 A nem kötött individuumváltozók kiértékelése (|x|I,κ) és a kifejezések helyettesítési értékeinek kiszámítása.

34/51

(35)

Formális definíció: termek szematikája

1 hac konstansszimbólum,|c|I,κazU-belicI elem

2 haxsindividuumváltozó,|x|I,κaκ(x)∈U individuum (aholκegy változókiértékelés)

3 |f(t1, t2, . . . , tn)|I,κ=fI((|t1|I,κ,|t2|I,κ, . . . ,|tn|I,κ))

(36)

Formális definíció: formulák szemantikája

1 |P(t1, t2, . . . , tn)|I,κ=i, ha(|t1|I,κ,|t2|I,κ, . . . ,|tn|I,κ)∈PI, ahol aPI jelöli aPI reláció igazhalmazát.

2 |¬A|I,κ=¬|A|I,κ

|A∧B|I,κ=|A|I,κ∧ |B|I,κ

|A∨B|I,κ=|A|I,κ∨ |B|I,κ

|A⊃B|I,κ=|A|I,κ⊃ |B|I,κ

3 |∀xA|I,κ=i, ha|A|I,κ=i κmindenκxvariánsára

|∃xA|I,κ=i, ha|A|I,κ=i κlegalább egyκ xvariánsára (Aa formula törzse/mátrixa)

A továbbiakban egyfajtájú struktúrákkal és egyfajtájúL nyelvvel (Srt egyelemű halmaz) foglalkozunk az elsőrendű logika tárgyalása során.

36/51

(37)

Formulakifejtés – példa

U ={a, b, c}, formulakifejtésκ(y) =a, b, c-re:

• κ(y) =a

|∀xP(x, y)|I,κ=|∀xP(x, a)|I=P(a, a)∧P(b, a)∧P(c, a)

• κ(y) =b

|∀xP(x, y)|I,κ=|∀xP(x, b)|I =P(a, b)∧P(b, b)∧P(c, b)

• κ(y) =c

|∀xP(x, y)|I,κ=|∀xP(x, c)|I =P(a, c)∧P(b, c)∧P(c, c)

(38)

Komplett példa I.

Az interpretáló struktúrának van leíró nyelve:

• L nyelv:

L= (=, P1, P2;a, b, f1, f2) szignatúra: (2,2,2; 0,0,2,2)

• a struktúra leíró nyelve:

S=N(=, <, >; 0,1,+,∗) szigantúra: (2,2,2; 0,0,2,2) IP r:P→PI = P1 P2

= < >

IF n:f →fI a b f1 f2

0 1 + ∗

ICnst: nincs konstans, csak két db 0 változós függvény

38/51

(39)

Példa II.

Egy term interpretációja:

|t|I,κ=|f1(x, f2(x, y)|I,κ=

|f1|I(|x|I,κ,|f2(x, y)|I,κ) = +(x,∗(x, y)) =

x+x∗y

x y x+x∗y

κ1 1 1 2

κ2 2 3 8

κ3 0 4 0

. . . .

(40)

Példa III.

Egy formula interpretációja:

|P1(t, f1(y, f2(x, y))))|I,κ=

|P1|I(|t|I,κ,|f1|I(|y|I,κ,|f2|I(|x|I,κ,|y|I,κ))) =

<(+(x,∗(x, y)),+(y,∗(x, y)) =

<(x+x∗y, y+x∗y) = (x+x∗y)<(y+x∗y)

Egy kvantormentes formula kiértékelése: a formula minden alap előfordulását generáljuk és így minden állítás előállI-ben.

x y (x+x∗y)<(y+x∗y) 1 1 (1 + 1∗1)<(1 + 1∗1) =h 2 3 (2 + 2∗3)<(3 + 2∗3) =i

. . . .

40/51

(41)

Példa IV.

Egzisztenciális formula interpretálása:

|∃xP1(a, f1(x, x)))|I,κ=i, ha|P1(a, f1(x, x)))|I,κ=i κlegalább egy κ variánsára ebben az interpretációban, ha0<(x, x) =i legalább egy u∈N esetén.

Nézzük meg az értéktábláját:

x 0<(x+x)

0 h

1 i

. . . .

Mivel azx= 1-re a formula törzsei, ezért a∃x(0<(x+x))formula isi.

(42)

Példa V.

Univerzális formula interpretálása:

|∀xP1(a, f1(b, x)))|I,κ=i, ha|P1(a, f1(b, x)))|I,κ=i κminden κ x variánsára.

Nézzük meg az értéktábláját:

x 0<(1 +x)

0 i

1 i

. . . .

Mivel minden egészre a formula törzsei, ezért a∀x(0<(1 +x))formula értékei.

42/51

(43)

A formula értéktáblája

Egy 1. rendű formula prímformulái az atomi formulák (ezek paraméteres állítások az interpretációkban) és a kvantált formulák (ezek állítások, ha zártak).

Egy 1. rendű formula prímkomponensei a formula azon prímformulái, amelyekből a formula logikai összekötőjelek segítségével épül fel.

Azigazságtáblában(ítéletlogika) az első sorba az állításváltozók (ezek a formula prímkomponensei) és a formula kerülnek. A változók alá

igazságértékeiket (interpretáció) írjuk. A formula alatt a megfelelő helyettesítési értékek találhatók.

Egy 1. rendű formulaértéktáblájábanaz első sorba a formula szabad változói, a prímkomponensek és a formula kerülnek. (Mivel a

prímformulák több esetben paraméteres állítások, ezért az interpretációban az individuumváltozók kiértékelése után válnak

állításokká.) A individuumváltozók alá a lehetséges változókiértékelések, a prímformulák alá a megfelelő helyettesítési értékek kerülnek. A formula alatt a formulának a prímformulák értékei alapján kiszámított

helyettesítési értékei találhatók.

(44)

A formula értéktáblája – példa

A formula: F =∃xP(x)⊃ ∃yQ(w, y)∨P(v)⊃ ∀zQ(w, z)

• A prímkomponensek: ∃xP(x),∃yQ(w, y), P(v),∀zQ(w, z)

• A szabad individuumváltozók: v,w

• Legyen az interpretáló struktúra: U ={1,2,3},|P|I={1,3},

|Q|I ={(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}

• Ekkor |∃xP(x))|I =i, a többiek paraméteres állítások. Az értéktábla:

v w |∃xP(x))|I |∃yQ(w, y)|I |P(v)|I |∀zQ(w, z)|I F

1 1 i |∃yQ(1, y)|I,κ=i |P(1)|I=i |∀zQ(1, z)|I,κ=h h

1 2 i |∃yQ(2, y)|I,κ=i |P(1)|I=i |∀zQ(2, z)|I,κ=i i

1 3 i |∃yQ(3, y)|I,κ=h |P(1)|I=i |∀zQ(3, z)|I,κ=h h

2 1 i . . . . . . . . . . . .

3 1 i . . . . . . . . . . . .

2 2 i . . . . . . . . . . . .

2 3 i . . . . . . . . . . . .

3 3 i . . . . . . . . . . . .

3 2 i . . . . . . . . . . . .

44/51

(45)

A formula értéktáblája – példa

A formula: F =∃xP(x)⊃ ∃yQ(w, y)∨P(v)⊃ ∀zQ(w, z)

• A prímkomponensek: ∃xP(x),∃yQ(w, y), P(v),∀zQ(w, z)

• A szabad individuumváltozók: v,w

• Legyen az interpretáló struktúra: U ={1,2,3},|P|I={1,3},

|Q|I ={(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}

• Ekkor |∃xP(x))|I =i, a többiek paraméteres állítások. Az értéktábla:

v w |∃xP(x))|I |∃yQ(w, y)|I |P(v)|I |∀zQ(w, z)|I F

1 1 i |∃yQ(1, y)|I,κ=i |P(1)|I=i |∀zQ(1, z)|I,κ=h h

1 2 i |∃yQ(2, y)|I,κ=i |P(1)|I=i |∀zQ(2, z)|I,κ=i i

1 3 i |∃yQ(3, y)|I,κ=h |P(1)|I=i |∀zQ(3, z)|I,κ=h h

2 1 i . . . . . . . . . . . .

3 1 i . . . . . . . . . . . .

2 2 i . . . . . . . . . . . .

2 3 i . . . . . . . . . . . .

3 3 i . . . . . . . . . . . .

3 2 i . . . . . . . . . . . .

(46)

A formula értéktáblája – példa

A formula: F =∃xP(x)⊃ ∃yQ(w, y)∨P(v)⊃ ∀zQ(w, z)

• A prímkomponensek: ∃xP(x),∃yQ(w, y), P(v),∀zQ(w, z)

• A szabad individuumváltozók: v,w

• Legyen az interpretáló struktúra: U ={1,2,3},|P|I={1,3},

|Q|I ={(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}

• Ekkor |∃xP(x))|I =i, a többiek paraméteres állítások. Az értéktábla:

v w |∃xP(x))|I |∃yQ(w, y)|I |P(v)|I |∀zQ(w, z)|I F

1 1 i |∃yQ(1, y)|I,κ=i |P(1)|I=i |∀zQ(1, z)|I,κ=h h

1 2 i |∃yQ(2, y)|I,κ=i |P(1)|I=i |∀zQ(2, z)|I,κ=i i

1 3 i |∃yQ(3, y)|I,κ=h |P(1)|I=i |∀zQ(3, z)|I,κ=h h

2 1 i . . . . . . . . . . . .

3 1 i . . . . . . . . . . . .

2 2 i . . . . . . . . . . . .

2 3 i . . . . . . . . . . . .

3 3 i . . . . . . . . . . . .

3 2 i . . . . . . . . . . . .

44/51

(47)

A formula értéktáblája – példa

A formula: F =∃xP(x)⊃ ∃yQ(w, y)∨P(v)⊃ ∀zQ(w, z)

• A prímkomponensek: ∃xP(x),∃yQ(w, y), P(v),∀zQ(w, z)

• A szabad individuumváltozók: v,w

• Legyen az interpretáló struktúra:

U ={1,2,3},|P|I={1,3},

|Q|I ={(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}

• Ekkor |∃xP(x))|I =i, a többiek paraméteres állítások. Az értéktábla:

v w |∃xP(x))|I |∃yQ(w, y)|I |P(v)|I |∀zQ(w, z)|I F

1 1 i |∃yQ(1, y)|I,κ=i |P(1)|I=i |∀zQ(1, z)|I,κ=h h

1 2 i |∃yQ(2, y)|I,κ=i |P(1)|I=i |∀zQ(2, z)|I,κ=i i

1 3 i |∃yQ(3, y)|I,κ=h |P(1)|I=i |∀zQ(3, z)|I,κ=h h

2 1 i . . . . . . . . . . . .

3 1 i . . . . . . . . . . . .

2 2 i . . . . . . . . . . . .

2 3 i . . . . . . . . . . . .

3 3 i . . . . . . . . . . . .

3 2 i . . . . . . . . . . . .

(48)

A formula értéktáblája – példa

A formula: F =∃xP(x)⊃ ∃yQ(w, y)∨P(v)⊃ ∀zQ(w, z)

• A prímkomponensek: ∃xP(x),∃yQ(w, y), P(v),∀zQ(w, z)

• A szabad individuumváltozók: v,w

• Legyen az interpretáló struktúra:

U ={1,2,3},|P|I={1,3},

|Q|I ={(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}

• Ekkor |∃xP(x))|I =i, a többiek paraméteres állítások.

Az értéktábla:

v w |∃xP(x))|I |∃yQ(w, y)|I |P(v)|I |∀zQ(w, z)|I F

1 1 i |∃yQ(1, y)|I,κ=i |P(1)|I=i |∀zQ(1, z)|I,κ=h h

1 2 i |∃yQ(2, y)|I,κ=i |P(1)|I=i |∀zQ(2, z)|I,κ=i i

1 3 i |∃yQ(3, y)|I,κ=h |P(1)|I=i |∀zQ(3, z)|I,κ=h h

2 1 i . . . . . . . . . . . .

3 1 i . . . . . . . . . . . .

2 2 i . . . . . . . . . . . .

2 3 i . . . . . . . . . . . .

3 3 i . . . . . . . . . . . .

3 2 i . . . . . . . . . . . .

44/51

(49)

A formula értéktáblája – példa

A formula: F =∃xP(x)⊃ ∃yQ(w, y)∨P(v)⊃ ∀zQ(w, z)

• A prímkomponensek: ∃xP(x),∃yQ(w, y), P(v),∀zQ(w, z)

• A szabad individuumváltozók: v,w

• Legyen az interpretáló struktúra:

U ={1,2,3},|P|I={1,3},

|Q|I ={(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}

• Ekkor |∃xP(x))|I =i, a többiek paraméteres állítások.

Az értéktábla:

v w |∃xP(x))|I |∃yQ(w, y)|I |P(v)|I |∀zQ(w, z)|I F

1 1 i |∃yQ(1, y)|I,κ=i |P(1)|I=i |∀zQ(1, z)|I,κ=h h

1 2 i |∃yQ(2, y)|I,κ=i |P(1)|I=i |∀zQ(2, z)|I,κ=i i

1 3 i |∃yQ(3, y)|I,κ=h |P(1)|I=i |∀zQ(3, z)|I,κ=h h

2 1 i . . . . . . . . . . . .

3 1 i . . . . . . . . . . . .

2 2 i . . . . . . . . . . . .

2 3 i . . . . . . . . . . . .

3 3 i . . . . . . . . . . . .

3 2 i . . . . . . . . . . . .

(50)

Tartalom

Áttekintés

Elsőrendű logika – bevezetés

Az elsőrendű logika szintaxisa

Az elsőrendű logika szemantikája

Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai

Gyakorlat

45/51

(51)

Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai

AzL egy I interpretációja adott κváltozókiértékelés mellett kielégít egy 1. rendűAformulát (I, κ|=A) , ha a formula|A|I,κ értékei. Ha azAformula mondat ésI |=A, akkor azt mondjuk, hogy az S struktúra elégíti kiA-t, ígyS |=A. Más szóvalS modellje A-nak.

HaL egyI interpretációjára azkmathcalF =F1, F2, . . . , Fn zárt formulahalmazban|Fk|I értékei, minden1≤k≤n, akkorI kielégíti F-et. Jelölés: I |=F.

Azt mondjuk, hogy egyGformula kielégíthetőhaL-hez van legalább egyI interpretáció ésκváltozókiértékelés, hogy I, κ|=G.

Azt mondjuk, hogyF formulahalmaz kielégíthetőhaL-nek legalább egyI interpretációja kielégíti, azazI |=F.

(52)

Logikailag igaz és tautológia kérdése

Azt mondjuk, hogy egyGformulalogikailag igaz (logikai törvény), ha Gigaz minden lehetségesI interpretációra és mindenκ

változókiértékelésre. Ez azt jelenti, hogyGigaz minden lehetséges interpretáló struktúrában. Jelölés: |=G.

Azt mondjuk, hogy egyGformulatautológia, haGértéktáblájában a prímkomponensekhez rendelhető összes lehetséges igazságérték hozzárendelés esetén a formula helyettesítési értékei.

Példa

∀xP(x)∧ ∀xQ(x)⊃ ∀xP(x)formula prímkomponens alakja p∧q⊃p. ami tautólógia, de

∀x(P(x)∧Q(x))⊃ ∀xP(x)prímkomponens alakja r⊃pnem tautológia (viszont mindkettő logikailag igaz!)

47/51

(53)

Kielégíthetetlenség

Azt mondjuk, hogyGilletveF kielégíthetetlen(nem kielégíthető), ha L-hez nincs olyanI interpretáció, hogyI |=Gilletve, hogyI |=G. Más szóval egyGformula kielégíthetetlen, ha minden interpretációban aG értéktáblájának minden sorábanGhelyettesítési értékeh(amis). AzF formulahalmaz kielégíthetetlen, ha azF közös értéktáblájában minden sorban van legalább egy elemeF-nek, amelynek a helyettesítési értéke h(amis).

A két szemantikus tulajdonság fennállásának vizsgálatához az összes inerpretáló struktúrára szükség van.

(54)

Tartalom

Áttekintés

Elsőrendű logika – bevezetés

Az elsőrendű logika szintaxisa

Az elsőrendű logika szemantikája

Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai

Gyakorlat

49/51

(55)

Feladatok

4.1.11. Változóikban tiszták-e az alábbiLp2-beli formulák? Amelyik nem, ahhoz adjunk meg vele kongruens, változóiban tiszta formulát.

(b) ∀x¬R(x, v, w)∨ ∀z∀y(Q(y, z)⊃R(u, y, z)) (c) ∃x∀z(P(x)∨Q(x, f(z)))⊃ ∀yQ(x, y)

5.3.1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi formulák kielégíthetõk, de nem logikai törvények.

(a) ∃xP(x)⊃ ∀xP(x) (b) ∃xP(x)⊃P(x)

(g) ∀x∃yQ(x, y)⊃ ∃y∀xQ(x, y)

5.3.2. Kielégíthetõk-e a következõ formulák?

(a) ∃x∀y(Q(x, x)∧ ¬Q(x, y)) (b) ∃x∀y(Q(x, x)⊃ ∀zR(x, y, z))

(c) ∀x∀y∃z(Q(x, y)∧ ¬(Q(y, z)∧Q(z, z)))

(56)

Beadandó

5.3.1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi formula kielégíthetõ, de nem logikai törvény.

(d) ∃xP(x)∧ ∃xR(x)⊃ ∃x(P(x)∧R(x))

Segítség: adjunk meg olyan olyan konkrét interpretációkat, amelyek alátámasztják az állítást. Interpretáció megadásának módját lásd pl. a

’Formula értéktáblája – példa’ című dián.

51/51

Hivatkozások

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK

2 Óbudai Egyetem, adjunktus, e-mail: istok.robert@kvk.uni-obuda.hu.. A használt fényforrások tulajdonságai, jellemzői és szerepük terepen Az utolsó részhez érkeztünk a

Bevezetés éves program, követelmények, nyári élmények Európa a felvilágosodás és a forradalmak korában (10.-es könyv)2.

Az interjú eredményei és a szakirodalmi áttekintés alapján az ökoturista olyan utazó, aki- nek fontos a célterületen fellelhető természeti és kulturális kincsek megismerése

Transzformációs kísérletek az ásványi anyagok mennyiségének növelésére Alkaloida tartalom... A minőségi szempontból fontos tulajdonságok kialakulása,

Az értekezés terjedelme 171 oldal, melyből az irodalmi áttekintés 23 oldal, a felhasznált anyagok és alkalmazott módszer 15 oldal, míg az eredmények és következtetések 81

A tartalom (Krisztus) mindig a legtökéletesebb, maga a mi Urunk és Istenünk; a tartalom foglalata Isten remek alkotása, Jézusnak titokzatos teste (az Egyház), és van, aki a

Modern kerámiák, polimerek és fémek előállítása, tulajdonságai és felhasználási lehetőségei Nanostrukturált rendszerek. Az anyagtudomány és a felületkémia műszeres

• Saját felhasználói függvények készítése, melyek az Excelből a beépített függvényekkel azonos módon használhatók.. • Saját menük és Eszközkészletek