• Nem Talált Eredményt

Logika Tételek - ELTE

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2024

Ossza meg "Logika Tételek - ELTE"

Copied!
21
0
0

Teljes szövegt

(1)

Logika T´etelek

Szikszai Bence 2010. j´ unius 2.

Ez a jegyzet nem j¨ohetett volna l´etre Ferencz G´abor ´es Gazsi seg´ıts´ege n´elk¨ul.

1. Els˝ o t´ etel

1.1. Feladat

Mit ´ert¨unk egy formul´anak adott I interpret´aci´oban val´o Boole ´ert´ekel´es´en (igazs´agki´ert´ekel´es´en)? Milyen eleme az igazs´agki´ert´ekel´es az ´ıt´eletlogik´anak?

Mit ad meg egy igazs´agt´abla? Mi az igazs´ag´ert´ekel´es f¨uggv´eny (ϕAi,ϕAh)? Ho- gyan kapcsol´odik egym´ashoz az igazs´ag´ert´ekel´es, az igazs´agt´abla, az igazs´agki´ert´ekel´es

´

es az interpret´aci´o?

1.2. Kidolgoz´ as

1.2.1. Mit ´ert¨unk egy formul´anak adott I interpret´aci´oban val´o Boole

´

ert´ekel´es´en (igazs´agki´ert´ekel´es´en)?

Defin´ıci´o (L0 szemantik´aja). L0-beli formul´ak I interpret´aci´obeli Boole-

´

ert´ekel´ese a k¨ovetkez˝o-szerkezeti indukci´o elve szerint defini´altBI :L0→ {i, h}

f¨uggv´eny:

1. haA pr´ımformula, akkorBI(A) legyen I(A), 2. BI(¬A) legyen ¬BI(A),

3. BI(A∧B) legyenBI(A)∧ BI(B), 4. BI(A∨B) legyenBI(A)∨ BI(B), 5. BI(A⊃B) legyen BI(A)⊃ BI(B).

R¨ovidebben:

1. haA pr´ımformula, akkorBI(A) =I(A) 2. BI(¬A) =¬BI(A)

3. BI(A◦B) =BI(A)◦ BI(B)

1.2.2. Milyen eleme az igazs´agki´ert´ekel´es az ´ıt´eletlogik´anak?

(2)

1.2 Kidolgoz´as Logika

1.2.3. Mit ad meg egy igazs´agt´abla?

Megmondja az egyes logikai ¨osszek¨ot˝ojelek igazs´ag´ert´ek´et.

Defin´ıci´o. Aegy formula;P1, . . . , Pnpedig benne szerepl˝o ´ıt´eletv´altoz´ok. Az A formula igazs´agt´abl´aja egy olyan t´abl´azat melynek fejl´ec´eben a formul´aban szerepl˝o minden egyes ´ıt´eletv´altoz´o ´es a formula neve ´all. A t´abl´azat egyes soraiban az ´ıt´eletv´altoz´okhoz logikai ´ert´ekeket rendel¨unk. Az A formula osz- lop´aban pedig az szerepel, hogy az adott interpret´aci´oban az A formula igaz vagy hamis-e.

1.2.4. Mi az igazs´ag´ert´ekel´es f¨uggv´eny (ϕAi,ϕAh)?

Defin´ıci´o. Egy A n-v´altoz´os formula jelent´ese-r¨ogz´ıtett b´azis eset´en a for- mul´aval le´ırtbA:{i, h}n→ {i, h}n-v´altoz´os logikai m˝uvelet, ahol az ´ıt´eletv´altoz´okat interpret´al´o igazs´ag´ert´ekn-esek a formula Ai-val jel¨olt igaz vagy Ah-val jel¨olt hamishalmaz´aba tartoznak. Az ´ıt´eletlogikai formul´ak szemantik´aja ezek ut´an megadhat´o ´ugy is, hogy megadunk egy olyan f¨uggv´enyt, amelyik minden for- mul´ahoz a formula igazs´aghalmaz´at, vagy ´epp a formula hamishalmaz´at rendeli.

Ez az igazs´ag´ert´ekel´es f¨uggv´eny.

Defin´ıci´o. LegyenAtetsz˝oleges ´ıt´eletlogikai formula. Hat´arozzuk megA-hoz az interpret´aci´oira vonatkoz´oϕAi ´esϕAhfelt´eteleket a szerkezeti rekurzi´o elve szerint:

1. Ha A pr´ımformula, a ϕAi felt´etelt pontosan azok azI interpret´aci´ok tel- jes´ıtik, amelyekben I(A) =i, a ϕAh felt´etelt pedig pontosan azok, ame- lyekbenI(A) =h.

2. A ϕ(¬A)i felt´etelek pontosan akkor teljes¨ulnek, ha teljes¨ulnek a ¬Ah felt´etelek.

3. A ϕ(A∧B)i felt´etelek pontosan akkor teljes¨ulnek, ha a ϕAi ´es a ϕBi felt´etelek egy¨utesen teljes¨ulnek.

4. A ϕ(A∨B)i felt´etelek pontosan akkor teljes¨ulnek, ha aϕAi vagy aϕBi felt´etelek teljes¨ulnek.

5. A ϕ(A⊃B)i felt´etelek pontosan akkor teljes¨ulnak, ha aϕAh vagy aϕBi felt´etelek teljes¨ulnek.

1.2.5. Hogyan kapcsol´odik egym´ashoz az igazs´ag´ert´ekel´es, az igazs´agt´abla, az igazs´agki´ert´ekel´es ´es az interpret´aci´o?

Mindegyik arra szolg´al, hogy formul´ar´ol meghat´arozzuk, hogy milyen esetekben lesz igaz vagy hamis ´ert´ek˝u.

(3)

2.0 M´asodik t´etel Logika

2. M´ asodik t´ etel

2.1. Feladat

Ismertesse az ´ıt´eletlogikat le´ır´o nyelvet (ABC, szintaxis, szemantika). Mi a j´olform´alt formula defin´ıci´oja az ´ıt´eletlogik´aban? Mit ´ır le egy ilyen formula?

H´any lek´epez´est lehet defini´alni n ´ıt´eletv´altoz´o felett? Milyen eleme a j´olform´alt formula fogalma az ´ıt´eletlogika le´ır´o nyelv´enek?

2.2. Kidolgoz´ as

2.2.1. Ismertesse az ´ıt´eletlogikat le´ır´o nyelvet (ABC, szintaxis, sze- mantika).

Nyelv. Az ´ıt´eletlogika nyelve aV0´ab´ec´e feletti legsz˝ukebb olyan tulajdons´ag´u sz´ohalmaz, amelynek:

1. Vv minden bet˝uje egy´uttal szava is (Vv : ´ıt´eletv´altoz´ok halmaza) 2. HaS eleme a sz´ohalmaznak, akkor¬S is

3. S, T eleme a sz´ohalmaznak ´es◦ bin´er logikai ¨osszek¨ot˝ojel, akkorS◦T is eleme

Ez a sz´ohalmaz egy´ertelm˝uen l´etezik!

Bizony´ıt´as. 1) L´etezik olyan sz´ohalmaz (V0 ´ab´ec´e feletti ¨osszes sz´o hal- maz), aminek eleme minden a defin´ıci´oban megk´ıv´ant sz´o

2) Az 1-3 tulajdons´ag´u sz´ohalmazok metszete is ilyen tulajdons´ag´u. Ez a metszet a legsz˝ukebb ilyen. Ez L0.

Szintaxis.

1. Minden ´ıt´eletv´altoz´o ´ıt´eletlogikai formula (atomi-/pr´ımformula) 2. HaA´ıt´eletlogikai formula, akkor ¬Ais az

3. Ha A, B´ıt´eletlogikai formula ´es◦ bin´er logikai ¨osszek¨ot˝ojel, akkorA◦B is ´ıt´eletlogikai formula

4. Minden ´ıt´eletlogikai formula az 1-3 szab´alyok v´eges sok alkalmaz´as´aval ´all el˝o

Bizony´ıt´as. L0minden szava ´ıt´eletlogikai formula, hisz a szintaktikai szab´alyok seg´ıts´eg´evel el˝o´all´ıtott szavak (a nyelv defin´ıci´oi szerint) 1-3 tulajdons´ag´u sz´ohalmazt alkotnak ´esL0 a legsz˝ukebb ilyen halmaz.

(4)

2.2 Kidolgoz´as Logika

Szemantika. L0-beli formul´ak. Iinterpret´aci´o-beli igazs´agki´ert´ekel´ese a k¨ovet- kez˝o (szerkezeti rekurzi´o szerint defin´ıci´o): BI :L0→ {i, h}

1. HaApr´ımformula: BI(A) legyenI(A) 2. BI(¬A) legyen ¬BI(A)

3. BI(A∧B) legyenBI(A)∧ BI(B) 4. BI(A∨B) legyenBI(A)∨ BI(B) 5. BI(A⊃B) legyen BI(A)⊃ BI(B)

(5)

3.0 Harmadik t´etel Logika

3. Harmadik t´ etel

3.1. Feladat

Mi egy formula igazs´agt´abl´aja ´es igaz halmaza? Milyen speci´alis tulajdons´ag´u formul´akat ismer az ´altaluk le´ırt lek´epez´est tekintve? Lehet-e t¨obb formula igazhalmaza ugyanaz? Ha igen, akkor mi ennek a felt´etele? Megkaphat´o- e tetsz˝oleges F1, F2 formul´ara az (F1 |= F2) igazhalmaza az F1, F2 igazhal- maz´ab´ol?

3.2. Kidolgoz´ as

3.2.1. Mi egy formula igazs´agt´abl´aja ´es igaz halmaza?

Formula igazs´agt´abl´aja. Egy n v´altoz´os formula igazs´agt´abl´aja (n+ 1)× (2n + 1)-es t´abl´azat, mely igazs´ag´ert´ekeket tartalmaz. Az oszlopoknak a for- mula b´azis´anak ´ıt´eletv´altoz´oit feleltetj¨uk meg (1≤i≤n), azn+ 1.-ik oszlop- nak mag´at a forml´at. Ezek ut´an az egyes cell´akba ker¨ulnek az ´ıt´eletv´altoz´ok k¨ul¨onb¨oz˝o interpret´aci´okban felvett igazs´ag´ert´ekei, a formula cell´aj´aba pedig az adott interpret´aci´ob´ol Boole-´ert´ekel´essel kapott igazs´ag´ert´ekeket ´ırjuk.

Igazhalmaz. Adott b : {i, h}n → {i, h} m˝uvelet igazhalmaz´an {i, h}n azon r´eszhalmaz´at ´ertj¨uk, melyhezbaz igaz ´ert´ekeket rendeli. Hasonl´oan ´ertelmezz¨uk adottAformula hamishalmaz´at is.

JeleAi(hamishalmazAi komplementere: Ah)

3.2.2. Lehet-e k´et formula igazhalmaza ugyanaz?

A´esB´ıt´eletlogikai formul´ak tautologikusan ekvivalensek, ha mindenI interp- ret´aci´obanBI(A) =BI(B).

Jel¨ol´es: A∼0B

Ekkor ny´ılv´an azonos az igazs´agt´abl´ajuk ´es igazhalmazuk.

3.2.3. Megkaphat´o-e F1∧F2 igazhalmazaF1 ´es F2 igazhalmaz´ab´ol?

Mivel

F1∧F2=i⇔F1=i∧F2=i ez´ert

(F1∧F2)i= (F1)i∩(F2)i Bizony´ıt´as. Indirekten, trivi´alis

Kapcsol´od´o t´etel. LegyenekA, B1, B2, . . . , Bn, C1, C2, . . . , Cn(n≥1) tetsz˝oleges

´ıt´eletlogikai formul´ak ´es legyenIL0egy interpret´aci´oja. Ha mindeni= 1,2, . . . , n- re BI(Bi) =BI(Ci), akkor

BI(A(X1, X2, . . . , Xn||B1, B2, . . . , Bn)) =

=BI(A(X1, X2, . . . , Xn||C1, C2, . . . , Cn)).

(6)

3.2 Kidolgoz´as Logika

Bizony´ıt´as. (Alapl´ep´es) Tegy¨uk fel, hogyApr´ımformula. Ekkor haA´epp Xi, akkor az

A(X1, X2, . . . , Xn||B1, B2, . . . , Bn)

´

eppen aBi formula, az

A(X1, X2, . . . , Xn||C1, C2, . . . , Cn)

formula pedig a Ci formula. Ha pedig A 6∈ {X1, X2, . . . , Xn}, akkor mindk´et formulahelyettes´ıt´es v´altozatlanul hagyjaA-t. Teh´atL0 minden pr´ımformul´aja j´o.

(Indukci´os l´ep´esek) Ha egyA∈ L0j´o, akkor

BI(A(X1, X2, . . . , Xn||B1, B2, . . . , Bn)) =

=BI(A(X1, X2, . . . , Xn||C1, C2, . . . , Cn)),

´ıgy (K¨onyv 4.1.15 defin´ıci´o miatt)

BI(¬A(X1, X2, . . . , Xn||B1, B2, . . . , Bn)) =

=BI(¬A(X1, X2, . . . , Xn||C1, C2, . . . , Cn)) azaz¬A is j´o

(7)

4.0 Negyedik t´etel Logika

4. Negyedik t´ etel

4.1. K´ erd´ esek

Mit jelent az, hogy egy adott igazs´agki´ert´ekel´es kiel´eg´ıt egy F formulahalmazt?

Mi az igazs´agki´ert´ekel´es? Defini´alja a tautol´ogia, a kiel´eg´ıthet˝o formula, a kiel´eg´ıthetetlen formula fogalmakat ´es a szemantikus k¨ovetkezm´eny fogalm´at

4.2. Kidolgoz´ as

4.2.1. Mi az igazs´agki´ert´ekel´es?

Az igazs´agki´ert´ekel´es egy formula adott interpret´aci´oban felvett igazs´ag´ert´ekeknek meghat´aroz´asa.

Form´alisan. LegyenA∈ L0´esIL0egy interpret´aci´oja.

I|=0A(I kiel´eg´ıtiA-t)⇔ BI(A) =i

4.2.2. Mit jelent, hogy adott igazs´agki´ert´ekel´es kiel´eg´ıti azF formu- lahalmazt?

L0formul´ainak egy tetsz˝oleges F halmaza kiel´eg´ıthet˝o, ha vanL0-nak olyanI interpret´aci´oja, hogy I |=0 A ∀A ∈F-re. EkkorI F modellje. HaF-nek nem l´etezik modellje, akkor kiel´eg´ıthetetlen.

4.2.3. Defini´alja a tautol´ogia, a kiel´eg´ıthet˝o formula, a kiel´eg´ıthetetlen formula fogalmakat ´es a szemantikus k¨ovetkezm´eny fogalm´at.

Kiel´eg´ıthet˝o egy olyan formula, ha van legal´abb egy olyan I interpret´aci´oja L0-nak, melyre I|=0A. EkkorI azAmodellje.

Kiel´eg´ıthetetlenha nincs ilyenIinterpret´aci´o.

Tautol´ogiaha mindenI-reI|=0A. Jele: |=0A

Szemantikus k¨ovetkezm´enyfogalom. LegyenFL0formul´ainak egy tetsz˝oleges halmaza ´es B egy tetsz˝oleges formula. B tautologikus k¨ovetkezm´enye F-nek, haF minden modellje, modelljeB-nek is.

(F-felt´etelformul´ak (premissz´ak), B - k¨ovetkezm´enyformula (konkl´uzi´o))

(8)

5.0 ¨Ot¨odik t´etel Logika

5. Ot¨ ¨ odik t´ etel

5.1. Feladat

Mit ´ert¨unk helyes k¨ovetkeztet´esforma alatt? Hogyan lehet igazs´agt´abl´aval el- len˝orizni, hogy F |=0 A fenn´all-e? Hogyan lehet igazs´agt´abl´aval megadni a legsz˝ukebb k¨ovetkezm´enyt. Defini´alja a tautol´ogikus ekvivalencia fogalmat.

5.2. Kidolgoz´ as

5.2.1. Mit ´ert¨unk helyes k¨ovetkeztet´esforma alatt?

LegyenF tetsz˝olegesL0-beli formul´ak halmaza,Apedig egy szint´en tetsz˝oleges L0-beli formula. Az (F, A) p´art nevezz¨uk k¨ovetkeztet´esform´anak, ami akkor

´

es csak akkor helyes, ha L0 minden olyan I interpret´aci´oj´aban, mely modellje F-nek,Ais igaz.

Jele: F |=0A

A k¨ovetkeztet´esform´at nem tekintj¨uk helyesnek, haF kiel´eg´ıthetetlen.

5.2.2. Hogyan lehet igazs´agt´abl´aval ellen˝orizni, hogyF |=0Afenn´all- e?

Vegy¨unk fel egy igazs´agt´abl´at, melynek fejl´ec´eben F formul´ai ´es A is meg- tal´alhat´o. A akkor k¨ovetkezm´enye F-nek, ha minden olyan sorban, ahol F minden formul´aja igaz ´ert´ek˝uAis igaz ´ert´eket vesz fel.

5.2.3. Hogyan lehet igazs´agt´abl´aval megadni a legsz˝ukebb k¨ovet- kezm´enyt?

Az{A1, A2, . . . , An}formulahalmazban el˝ofordul´o ´ıt´eletv´altoz´ok legyenekX1, X2, . . . , Xm. {A1, . . . , An}legsz˝ukebb k¨ovetkezm´enye - r¨ogz´ıtett b´azis mellett - az az{i, h}m

{i, h}logikai lek´epez´es, amely pontosan azokhoz az interpret´aci´okhoz rendel igaz

´

ert´eket, melyek kiel´eg´ıtik a formulahalmazt.

Ennek megfelel˝oen felvesz¨unk egy igazs´agt´abl´at, fejl´ec´eben X1, X2, . . . , Xm-el, valamint A1, . . . , An-nel. A legsz˝ukebb k¨ovetkezm´eny ´ertelemszer˝uen ott lesz igaz, aholA1, . . . , An igaz.

5.2.4. Defini´alja a tautol´ogikus ekvivalencia fogalmat.

Defin´ıci´o. A´esBformul´ak tautologikusan ekvivalensek (A∼0B), ha minden I interpret´aci´obanBI(A) =BI(B)

Kapcsol´od´o lemma.

A∼0B⇔|=0(A⊃B)∧(B⊃A)

Bizony´ıt´as. (⇒) HaA∼0Bakkor igazs´ag´ert´ek¨uk minden interpret´aci´oban azonos, ´ıgy az ´all´ıt´as mindig teljes¨ul.

(⇐) Ha|=0(A⊃B)∧(B⊃A) akkor trivi´alis, hogyA´esB igazs´ag´ert´eke csak azonos lehet, m´ask´epp a formula egy hamis ki´ert´ekel´ese ad´odna.

(9)

6.0 Hatodik t´etel Logika

6. Hatodik t´ etel

6.1. Feladat

Ha{F1, F2, . . . , Fn} |=0A, akkor milyen tulajdons´aga van a{F1, F2, . . . , Fn,¬A}

formulahalmaznak ´es mi´ert? Mondja ki ´es bizony´ıtsa be a dedukci´os t´etelt.

6.2. Kidolgoz´ as

6.2.1. Ha {F1, F2, . . . , Fn} |=0 A, akkor milyen tulajdons´aga van a {F1, F2, . . . , Fn,¬A} formulahalmaznak ´es mi´ert?

{F1, . . . , Fn} |=0Bpontosan akkor, ha{F1, . . . , Fn,¬B}formulahalmaz kiel´eg´ıthetetlen.

Bizony´ıt´as. Legyen{F1, . . . , Fn} |=0Bakkor a k¨ovetkezm´enyfogalom de- fin´ıci´o szerint minden olyan interpret´aci´o, amely kiel´eg´ıti a felt´etel formul´ak halmaz´at, az kiel´eg´ıti aBk¨ovetkezm´enyformu´at is⇒Ebben az interpret´aci´oban

¬B´esF1∧. . .∧Fn∧¬Bis hamis, tov´abb´a ezek nem el´eg´ıtik ki{F1, F2, . . . , Fn,¬B}- t. Ezek az interpret´aci´ok nem el´eg´ıtik ki a b˝ovebb {F1, . . . , Fn,¬B}-t sem a konjunkci´ot.

Legyen{F1, . . . , Fn,¬B}formulahalmaz vagyF1∧. . .∧Fn∧¬B}kiel´eg´ıthetetlen.

Ekkor vagy {F1, . . . , Fn} is kiel´eg´ıthetetlen ⇒ {F1, . . . , Fn} |=0 B, vagy ha {F1, . . . , Fn} kiel´eg´ıthet˝o, akkor r¨ogz´ıts¨ukI tetsz˝oleges modellj´et. Ez a modell sem el´eg´ıtheti ki a kiel´eg´ıthetetlen {F1, . . . , Fn,¬B}-t, teh´at ¬B hamis,B igaz

⇒I modelljeB-nek is.

Dedukci´os t´etel. Legyenek A1, . . . , An, B tetsz˝oleges ´ıt´eletlogikai formula, {A1, . . . , An} |=0B pontosan akkor ha{A1, . . . , An−1} |=0An⊃B.

Bizony´ıt´as. Γ ={A1, . . . , An},Γ0={A1, . . . , An−1} formulahalmaz.

1) Bizony´ıtsuk be, hogy ha Γ |=0 B akkor Γ0 |=0 An ⊃ B. (Γ0 modelljei kiel´eg´ıtikAn ⊃B-t). Γ0-t k´et csoportba oszthatjuk:

1. Γ-nak modelljei

2. Γ0-t kiel´eg´ıt˝o interpret´aci´o.

Vil´agos, hogy Γ minden modellje modellje Γ0-nek is. Γ modelljeibenAn, B ´es

´ıgyAn ⊃B is igaz. Γ0 azon modelljeiben melyek Γ-nak nem modelljei An-ben hamis, de An⊃B most is igaz.

2) Ha Γ0|=0An⊃Bakkor Γ|=0B. A Γ-t kiel´eg´ıt˝o interpret´aci´ok kiel´eg´ıtik Γ0-t is. A felt´etel miatt ezekbenAn ⊃B ´esAn is igaz, vagyisB is igaz.

(10)

7.0 Hetedik t´etel Logika

7. Hetedik t´ etel

7.1. Feladat

Bizony´ıtsa be, hogy{F1, F2, . . . , Fn} |=0Aakkor ´es csak akkor, ha{F1, F2, . . . , Fn−1} |=0

Fn ⊃ A. Melyik t´etel ez? Milyen fontos logikai eredm´enyt lehet a t´etel fel- haszn´al´as´aval bel´atni?

7.2. Kidolgoz´ as

7.2.1. Bizony´ıtsa be, hogy {F1, F2, . . . , Fn} |=0A akkor ´es csak akkor, ha {F1, F2, . . . , Fn−1} |=0Fn ⊃A. Melyik t´etel ez?

Dedukci´os t´etel. Legyenek A1, . . . , An, B tetsz˝oleges ´ıt´eletlogikai formula, {A1, . . . , An} |=0B pontosan akkor ha{A1, . . . , An−1} |=0An⊃B.

Bizony´ıt´as. Γ ={A1, . . . , An},Γ0={A1, . . . , An−1} formulahalmaz.

1) Bizony´ıtsuk be, hogy ha Γ |=0 B akkor Γ0 |=0 An ⊃ B. (Γ0 modelljei kiel´eg´ıtikAn ⊃B-t). Γ0-t k´et csoportba oszthatjuk:

1. Γ-nak modelljei

2. Γ0-t kiel´eg´ıt˝o interpret´aci´o.

Vil´agos, hogy Γ minden modellje modellje Γ0-nek is. Γ modelljeibenAn, B ´es

´ıgyAn ⊃B is igaz. Γ0 azon modelljeiben melyek Γ-nak nem modelljei An-ben hamis, de An⊃B most is igaz.

2) Ha Γ0|=0An⊃Bakkor Γ|=0B. A Γ-t kiel´eg´ıt˝o interpret´aci´ok kiel´eg´ıtik Γ0-t is. A felt´etel miatt ezekbenAn ⊃B ´esAn is igaz, vagyisB is igaz.

(11)

8.0 Nyolcadik t´etel Logika

8. Nyolcadik t´ etel

8.1. Feladat

Melyek az ´ıt´eletlogika eld¨ont´esprobl´em´ai? Mi k¨ozt¨uk ´es az automatikus t´etelbizony´ıt´as k¨oz¨otti kapcsolat? Mely t´etelek adj´ak ezt meg? Ismertesse e t´etelek bizony´ıt´as´anak elv´et. Van-e els˝orendben is hasonl´o eredm´eny?

8.2. Kidolgoz´ as

8.2.1. Mi az ´ıt´eletlogika eld¨ont´esprobl´em´aja?

Legyenek A1, A2, . . . , An, B´ıt´eletlogikai formul´ak. {A1, A2, . . . , An−1, An} |=0

B pontosan akkor, ha|=0A1⊃A2⊃. . .⊃An−1⊃An ⊃B

Bizony´ıt´as. {A1, A2, . . . , An−1, An} |=0B-ren-szer alkalmazva a dedukci´os t´etelt egyik ir´anyban, |=0 A1 ⊃A2 ⊃ . . . ⊃ An−1 ⊃ An ⊃ B-re n-szer alkal- mazva a dedukci´os t´etelt visszafel´e, a t´etel mindk´et ir´any´u ´all´ıt´asa bizony´ıt´ast nyer.

Megjegyz´es. Az eld¨ont´esprobl´ema t´etele bizony´ıthat´o ´ugy is, hogy meg- mutatjuk, hogy

(A1⊃A2⊃. . .⊃An−1)⊃An⊃B∼0A1⊃A2⊃. . .⊃An)⊃B

´

es alkalmazzuk a 4.4.6 t´etelt. (4.4.6. t´etel: LegyenekA1, A2, . . . , An, B (n≤1) tetsz˝oleges ´ıt´eletlogikai formul´ak.

{A1, A2, . . . , An} |=0B pontosan akkor, ha|=0A1⊃A2⊃. . .⊃An⊃B ) 8.2.2. Mi k¨ozte ´es az automatikus t´etelbizony´ıt´as k¨oz¨otti kapcsolat?

Leibniz szerint, ha a matematikai k´epletek k¨oz¨otti logikai kapcsolatot logikai m˝uveletekkel fejezz¨uk ki, akkor ilyen k´epletekkel teljes bizony´ıt´asokat lehetne fel´ırni ´es ki lehetne sz´amolni a k´eplet igazs´ag´ert´ek´et, az eredm´eny a t´etel iga- zol´asa vagy c´afol´asa. Ez az automatikus t´etelbizony´ıt´as els˝o megfogalmaz´asa.

8.2.3. Melyik t´etel adja meg ezt?

Dedukci´os t´etel

8.2.4. Ismertesse a bizony´ıt´as elv´et.

Ld. el˝oz˝o t´etelek

8.2.5. Van-e els˝orendben is hasonl´o eredm´eny?

Igen, els˝orendben is l´etezik eld¨ont´esprobl´ema.

Legyenek A1, A2, . . . , An, B(n≤1) azL[Vν] nyelv tetsz˝oleges formul´ai.

{A1, A2, . . . , An−1, An} |=B pontosan akkor, ha:

|=A ⊃A ⊃. . .⊃A ⊃A ⊃B

(12)

8.2 Kidolgoz´as Logika

A t´etel term´eszetesen kimondhat´o ´ugy is, hogy {A1, A2, . . . , An−1, An} |= B akkor ´es csak akkor, ha |= Ai1 ⊃ Ai2 ⊃. . . ⊃Ain ⊃ B, ahol i1, i2, . . . , in az 1,2, . . . , nsz´amok tetsz˝oleges permut´aci´oja.

(13)

9.0 Kilencedik t´etel Logika

9. Kilencedik t´ etel

9.1. Feladat

Mi a rezol´uci´os elv eld¨ont´esprobl´em´aja az ´ıt´eletlogik´aban? Melyek a rezol´uci´os elv alapfogalmai? Defini´alja a rezol´uci´os levezet´est. L´assa be, hogy a rezol´uci´os kalkulus helyes.

9.2. Kidolgoz´ as

9.2.1. Mi a rezol´uci´os elv eld¨ont´esprobl´em´aja az ´ıt´eletlogik´aban?

A rezol´uci´os elv l´enyege, hogy adott probl´em´ara nem szemantikai, hanem szin- taktikai megk¨ozel´ıt´essel keress¨uk a v´alaszt. A rezol´uci´os elv eld¨ont´esprobl´em´aja, hogy adott S kl´ozhalmazb´ol levezethet˝o-e az ¨ures kl´oz? Ha igen, akkor azt mondjuk, hogyS-nek van rezol´uci´os c´afolata.

9.2.2. Melyek a rezol´uci´os elv alapfogalmai?

LegyenekC1´esC2pontosan egy komplemens liter´alp´art tartalmaz´o kl´ozok. Ha C1=C10∨L1´esC2=C20∨L2, aholL1´esL2a komplemens liter´alp´ar, aC10∨C20 kl´ozt a (C1, C2) kl´ozp´ar (avagy C1∧C2 formula) rezolvens´enek nevezz¨uk. Ha C1 = L1 ´es C2 = L2, rezolvens¨unk az ¨ures kl´oz. (Rezolv´al´askor L1 ´es L2 a kirezolv´alt liter´alok)

9.2.3. Defini´alja a rezol´uci´os levezet´est.

EgySkl´ozhalmazb´ol egyCkl´oz rezol´uci´os levezet´ese egy olyan v´egesk1, k2, . . . , km(m≥ 1) kl´ozsorozat, ahol mindenj= 1,2, . . . , m-re

1. vagykj ∈S

2. vagy van olyan 1≤s, t≤j, hogy kj a (ks, kt) kl´ozp´ar rezolvense

´

es a kl´ozsorozat utols´o tagjakm´eppen aC kl´oz.

9.2.4. L´assa be, hogy a rezol´uci´os kalkulus helyes.

Lemma. Legyen S tetsz˝oleges kl´ozhalmaz ´es ak1, k2, . . . , km kl´ozsorozat re- zol´uci´os levezet´es S-b˝ol. Ekkor kj ∀j = 1,2, . . . , m-re tautologikus k¨ovet- kezm´enye azS kl´ozhalmaznak, azazS|=0kj.

Bizony´ıt´as.

1. A levezet´es els˝o kl´ozak1biztosan elemeS-nek, teh´atS|=0k1. 2. Tegy¨uk fel, hogy mindenj≤n-re igazoltuk m´ar, hogyS|=0kj.

3. Bel´atjuk, hogy kn+1-re is igaz az ´all´ıt´as. Hakn+1∈S, akkor S|=0 kn+1. Hakn+1valamelyks, ktkl´ozok rezolvense, akkor (K¨onyv 6.3.6 t´etel miatt) {ks, kt} |=0kn+1. Az indukci´os feltev´es miatt S|=0ks´esS|=0kt. Ebb˝ol pedig (K¨onyv 4.4.3 t´etel miatt)S|=0kn+1.

(14)

9.2 Kidolgoz´as Logika

T´etel. Legyen S tetsz˝oleges kl´ozhalmaz. Ha S-b˝ol levezethet˝o az ¨ures kl´oz, akkorS kiel´eg´ıthetetlen.

Bizony´ıt´as. Tegy¨uk fel, hogy van olyanIinterpret´aci´o, ami kiel´eg´ıtiS-et.

Az el˝oz˝o lemma szerint egyS-b˝ol val´o rezol´uci´os levezet´esbeli b´armelykjkl´ozra S |=0 kj, teh´at I kiel´eg´ıti a rezol´uci´os levezet´es minden kl´oz´at is, de az ¨ures kl´oz kiel´eg´ıthetetlen, teh´at nem lehet eleme a levezet´esnek, ´ıgy teh´at haS-b˝ol levezethet˝o az ¨ures kl´oz, akkor S kiel´eg´ıthetetlen.

(15)

10.0 Tizedik t´etel Logika

10. Tizedik t´ etel

10.1. Feladat

Milyen kapcsolat van aCrezolvens kl´oz ´es ˝osei,C1, C2k¨oz¨ott az ´ıt´eletlogik´aban

´

es az 1.-rend˝u logik´aban? Bizony´ıtsa be az erre vonatkoz´o t´etelt az ´ıt´eletlogik´aban.

Mit biztos´ıt ez a kapcsolat a rezol´uci´os elvre, mint kalkulusra n´ezve?

10.2. Kidolgoz´ as

10.2.1. Milyen kapcsolat van aCrezolvens kl´oz ´es ˝osei,C1, C2 k¨oz¨ott az ´ıt´eletlogik´aban ´es az 1.-rend˝u logik´aban? Bizony´ıtsa be az erre vonatkoz´o t´etelt az ´ıt´eletlogik´aban.

Defin´ıci´o. Legyenek C1 ´es C2 pontosan egy komplemens liter´alp´art tartal- maz´o kl´ozok. HaC1 =C10 ∨L1´esC2=C20 ∨L2, aholL1 ´esL2 a komplemens liter´alp´ar, a C10 ∨C20 kl´ozt a (C1, C2) kl´ozp´ar (avagy C1∧C2 formula) rezol- vens´enek nevezz¨uk. Ha C1 = L1 ´esC2 = L2, rezolvens¨unk az ¨ures kl´oz. Az a tev´ekenys´eg, amelynek eredm´enye a rezolvens, a rezolv´al´as, azon liter´alp´ar liter´aljai pedig, amely lehet˝ov´e teszi a rezolvensk´epz´est, a kirezolv´alt liter´alok.

T´etel. HaC1=C10∨L1´esC2=C20∨L2, aholL1´esL2komplemens liter´alp´ar, akkor{C1, C2} |=0C10 ∨C20.

Bizony´ıt´as. Be kell l´atni, hogy minden olyanIinterpret´aci´o, amely kiel´eg´ıti a{C1, C2}kl´ozhalmazt, kiel´eg´ıti aC10∨C20 kl´ozt is. Vil´agos, hogy haC1=L1´es C2=L2, akkor nincs a{C1, C2}kl´ozhalmazt kiel´eg´ıt˝o interpret´aci´o, teh´az igaz az ´all´ıt´as. Egy´ebk´ent a{C1, C2}kl´ozhalmazt kiel´eg´ıt˝o tetsz˝oleges interpret´aci´o

• vagy olyan, hogy azL1-hez rendeli´ert´eket (Jel¨olj¨uk ezeketIL1-gyel)

• vagy olyan, hogy azL2-h¨oz rendeli´ert´eket (Jel¨olj¨uk ezeketIL2-vel) Tekints¨unk egy IL1 interpret´aci´ot. IL1 kiel´eg´ıti {C1, C2} kl´ozhalmazt, teh´at BIL1(C1) = i ´es BIL2 = i, de az IL1 interpret´aci´oban BIL1(L2) = h, ez´ert BIL1(C20) = i, teh´at BIL1(C10 ∨C20) = i. Hasonl´ok´eppen l´athatjuk be, hogy az IL2 interpret´aci´okban BIL

2(C10) = i. Teh´at mind IL1, mindIL2 kiel´eg´ıti a C10 ∨C20 kl´ozt.

10.2.2. Mit biztos´ıt ez a kapcsolat a rezol´uci´os elvre, mint kalkulusra n´ezve?

Lemma. Legyen S tetsz˝oleges kl´ozhalmaz ´es ak1, k2, . . . , km kl´ozsorozat re- zol´uci´os levezet´es S-b˝ol. Ekkor kj ∀j = 1,2, . . . , m-re tautologikus k¨ovet- kezm´enye azS kl´ozhalmaznak, azazS|=0kj.

Bizony´ıt´as.

1. A levezet´es els˝o kl´ozak1biztosan elemeS-nek, teh´atS|=0k1. 2. Tegy¨uk fel, hogy mindenj≤n-re igazoltuk m´ar, hogyS|=0kj.

(16)

10.2 Kidolgoz´as Logika

3. Bel´atjuk, hogy kn+1-re is igaz az ´all´ıt´as. Hakn+1∈S, akkor S|=0 kn+1. Hakn+1valamelyks, ktkl´ozok rezolvense, akkor (K¨onyv 6.3.6 t´etel miatt) {ks, kt} |=0kn+1. Az indukci´os feltev´es miatt S|=0ks´esS|=0kt. Ebb˝ol pedig (K¨onyv 4.4.3 t´etel miatt)S|=0kn+1.

Ezzel a lemm´at bebizony´ıtottuk.

(17)

11.0 Tizenegyedik t´etel Logika

11. Tizenegyedik t´ etel

11.1. Feladat

Hogyan kell el˝ok´esz´ıteni egy 0-ad illetve egy 1. rend˝u t´etelbizony´ıt´asi feladatot a rezol´uci´os elvvel val´o megold´asra? Mi a rezolvens? Mikor l´etezik rezolvens?

L´assa be, hogy az ¨ures kl´oz kiel´eg´ıthetetlen.

11.2. Kidolgoz´ as

11.2.1. Hogyan kell el˝ok´esz´ıteni egy 0-ad illetve egy 1. rend˝u t´etelbizony´ıt´asi feladatot a rezol´uci´os elvvel val´o megold´asra?

0-ad rendben. Adott azF formulahalmaz ´esAformula, valamint az ezekb˝ol

´

all´o (F, A) k¨ovetkeztet´esforma. A 0-adrend˝u eld¨ont´esprobl´em´ara vonatkoz´o t´etelek alapj´an (F, A) akkor ´es csak akkor helyes, ha azA1∧A2∧. . .∧An∧ ¬A formula illetve az {A1, . . . , An,¬A} formulahalmaz kiel´eg´ıthetetlen (ahol F = {A1, A2, . . . , An}.

A tanult t´etelekkel (De Morgan azonoss´ag, disztributivit´asi szab´alyok, ¨ossze- von´asi szab´alyok, stb...) hozzuk konjukt´ıv norm´alform´ara a halmaz ¨osszes for- mul´aj´at. Ezek ut´an a kapott formulahalmaz m´ar alkalmas arra, hogy a rezol´uci´os elv seg´ıts´eg´evel megpr´ob´aljuk megoldani.

1-rendben. A 0-ad rendhez hasonl´oan itt is egy jelen esetben els˝o rend˝u kl´ozhalmaz kialak´ıt´asa a c´el. Els˝ok´ent a k¨onyv 244. oldal´an tal´alhat´o prenex- alakra hoz´as algoritmus´at alkalmazzuk. Ezut´an kvantorelimin´al´as seg´ıts´eg´evel kiiktatjuk az egzisztenci´alis kvantorokat (K¨onyv 246.o.,Skolem forma). P´eld´ak a k¨onyv 249. oldal´at´ol. Els˝orend˝u kl´oznak nevez¨unk egy olyan z´art Skolem- form´at, melynek magja els˝orend˝u liter´alok konjukci´oja.

11.2.2. Mi a rezolvens?

L´asd 9.,10. t´etel

11.2.3. L´assa be, hogy az ¨ures kl´oz kiel´eg´ıthetetlen.

Az ´all´ıt´as ad´odik az ¨ures kl´oz defin´ıci´oj´ab´ol, ami a k¨onyv 101. oldal´an tal´alhat´o.

Egy KNNF egyszer˝us´ıt´esek´epp veg¨ul egy X ∧ ¬X formul´at kapunk, melynek egyszer˝us´ıt´ese az ¨ures kl´oz. MivelX∧ ¬X kiel´eg´ıthetetlen, ez´ert( ¨Ures kl´oz) is az.

12. Tizenkettedik t´ etel

12.1. Feladat

Ismertesse a predik´atumlogik´at le´ır´o nyelvet. Mi a nyelv szintaxisa ´es szeman- tik´aja? A nyelv t´ıpusa (szignat´ur´aja) alapj´an hat´arozza meg a lehets´eges in- terpret´al´o strukt´ur´ak sz´am´at adott sz´amoss´ag´u univerzumon (szemantikus f´aval vagy kombinat´orikus ´uton).

(18)

12.2 Kidolgoz´as Logika

12.2. Kidolgoz´ as

Szintaktika. Az els˝orend˝u logikai nyelv ´ab´ec´eje logikai ´es logik´an k´ıv¨uli szimb´olumokat, valamint elv´alaszt´ojeleket tartalmaz. A logik´an k´ıv¨uli szimb´olumhalmaz meg-

adhat´o< Srt, P r, F n, Cnst >alakban, ahol

1. Srtnem ¨ures halmaz, elemei fajt´akat szimboliz´alnak 2. P rnem ¨ures halmaz, elemei predik´atumszimb´olumok 3. AzF nhalmaz elemei f¨uggv´enyszimb´olumok

4. Cnstpedig a konstansszimb´olumok halmaza.

Az< Srt, P r, F n, Cnst >´ab´ec´e szignat´ur´aja egy (ν10, ν20, ν03) h´armas, ahol

1. MindenP ∈P r-hezν10 a predik´atumszimb´olum alakj´at, azaz a (Π12, . . . ,Πk) fajtasorozatot

2. Mindenf ∈F n-hezν20 a f¨uggv´enyszimb´olum alakj´at, azaz a (Π12, . . . ,Πk,Π) fajtasorozatot

3. Minden c∈Cnst-hezν30 a konstansszim´olum fajt´aj´at, azaz Π-t rendel (k >0 ´es Π1, . . . ,Πk,Π∈Srt)

A logikai jelek az ´ıt´eletlogik´ab´ol ismert jelek ´es a kvantorok (∃,∀). A logik´an k´ıv¨uli jelek miatt az egyes nyelvek elt´er˝oek lehetnek, ez´ert mindig megadjuk az< Srt, P r, F n, Cnst >halmazn´egyest ´es ennek (ν10, ν20, ν30) szignat´ur´aj´at, ezt jel¨olj¨uk: V[Vν]-vel

A nyelv logik´an k´ıv¨uli ´ab´ec´eje, valamint annak szignat´ur´aja adja meg a nyelv szintaxis´at, mely a k¨onyv 112. oldal´an tal´alhat´o (Termek ´es formul´ak el˝o´all´ıt´as´ara vonatkoz´o szab´alyok). EgyV[Vν] ´ab´ec´e feletti termek ´es formul´ak uni´oja adja azL[Vν] nyelvet.

Szemantika. EgyL[Vν] interpret´aci´oja egyI=< ISrt, IP r, IF n, ICnst>f¨uggv´enyn´egyes, ahol

1. ISrt: Π→UΠf¨uggv´eny minden Π∈Srt-hez egyUΠnem ¨ures halmazt, a Π fajt´aj´u individuumok halmaz´at adja meg.

2. IP r : P → PI f¨uggv´eny minden predik´atumszimb´olumon defini´al egy szignat´ur´aj´aban megegyez˝o logikai f¨uggv´enyt.

3. IF n:f →fI f¨uggv´eny minden predik´atumszimb´olumon defini´al egy szig- nat´ur´aj´aban megegyez˝o matematikai f¨ugg´enyt.

4. ICnst : c →CI pedig minden Π fajt´aj´u c ∈ Cnst-hez azUΠ egy indivi- duum´at rendeli, azazCI ∈UΠ

Legyen adott L[Vν] ´es egy I interpret´aci´oja. Jel¨oljeU az interpret´aci´o univer- zum´at ´esV a nyelv v´altoz´oinak sz´am´at. Egy olyan K:V →U lek´epez´est, ahol haxΠ fajt´aj´u v´altoz´o, akkorK(x)∈UΠ I-beli v´altoz´oki´ert´ekel´esnek nevezz¨uk.

AzL[Vν] nyelvLt[Vν] termjeinek szemantik´aj´at kapjuk adottI interpret´aci´o ´es K v´altoz´oki´ert´ekel´es mellett. (K¨onyv 133.o, A defin´ıci´o a szerkezeti rekurzi´o elv´en alapul). A v´altoz´oki´ert´ekel´es seg´ıts´eg´evel megkapjuk a nyelv termjeinek

(19)

12.2 Kidolgoz´as Logika

Interpret´al´o strukt´ur´ak sz´ama. Szemantikus f´aval: Els˝orend˝u szemanti- kus fa, amint adott univerzum feletti (v1, v2, . . . , vn;s1, s2, . . . , sn) t´ıpus´u strukt´ur´ak megad´as´anak eszk¨oze. Az univerzum elemeinek felhaszn´al´as´aval el˝o´all´ıtjuk az

¨

osszes alapatomot, r¨ogz´ıtj¨uk a sorrendj¨uket (ez a b´azis), a szemantikus fa szint- jeihez ebben a sorrendben rendelj¨uk hozz´a az alapatomokat. Egy interpret´aci´o a szemantikus fa egy ´ag´an ´all el˝o.

(20)

13.0 Tizenharmadik t´etel Logika

13. Tizenharmadik t´ etel

13.1. Feladat

Mit ´ır le egy j´olform´alt formula a predik´atumlogik´aban? Mit ´ert¨unk forma- liz´al´as alatt els˝orendben? Hogyan lehet megadni egy els˝orend˝u formula ´altal le´ırt lek´epez´est? Mit jelent az, hogy egy els˝orend˝u formula logikailag igaz. Lehet-e egy els˝orend˝u formula tautol´ogia?

13.2. Kidolgoz´ as

13.2.1. Mit ´ır le egy j´ol form´alt formula a predik´atumlogik´aban?

(Els˝orend˝u logik´aban)

Az els˝orend˝u logika szintaxis´at. Megmondja, hogy hogy ´allnak el˝o a termek ´es a formul´ak az els˝orend˝u nyelvben.

13.2.2. Mit ´ert¨unk formaliz´al´as alatt els˝orendben?

Egy ´all´ıt´as formaliz´al´as´ahoz el˝osz¨or az ´all´ıt´as k¨ornyezet´et mint form´alis rend- szert tekintj¨uk. Ez a form´alis rendszer adja a le´ır´o nyelvet. Az ´ab´ec´e: az univerzum elemei, ´es a rajta defini´alt rel´aci´ok ´es oper´aci´ok. Ezzel a nyelvvel le´ırhatjuk az egyszer˝u (pr´ım) ´all´ıt´asokat majd a logikai ¨osszek¨ot˝ok ´es a kvanto- rok felhaszn´al´as´aval a tov´abbi pr´ım ´es az ¨osszetett ´all´ıt´asokat. Teh´at a felt´etel formul´akat ´es a t´etel formul´at ezen a nyelven formaliz´aljuk.

13.2.3. Hogyan lehet megadni egy els˝orend˝u formula ´altal le´ırt lek´epez´est?

σL-´ert´ekel´es egy olyan lek´epez´es, amely egy formul´ahoz hozz´arendeli annak je- lent´es´et. Inform´alis le´ır´as: A folyamat k´et f´azisb´ol ´all

1. Kiv´alasztunk egy, a le´ır´o nyelvvel azonos t´ıpus´u interpret´al´o strukt´ur´at.

Megfeleltetj¨uk a strukt´ura rel´aci´oit ´es m˝uveleteit a nyelv predik´atum- ´es f¨uggv´enyszimb´olumainak. Pσ, fσ jel¨oli a P ´es f-nek megfelel˝o, az in- terpret´al´o strukt´urabeli rel´aci´oit, illetve m˝uveletet a nyelv ´es a strukt´ura t´ıpus´aval ¨osszhangban. A strukt´ura szimb´olumait tartalmaz´o kifejez´est

´

at´ırjuk a strukt´ura szintaxisa szerint.

2. A kifejez´esben szerepl˝o v´altoz´oszimb´olumokhoz ´ert´ekeket rendel¨unk a strukt´ura univerzumb´ol. Kisz´am´ıtjuk a kifejez´es ´ert´ek´et.

Form´alis le´ır´as. Termek eset´en:

1. t=x:tσ=xσ∈U

2. t=f(t1, t2, . . . , tn) :tσ= (f(t1, t2, . . . , tn))σ=fσ(tσ1, tσ2, . . . , tσn) Formul´ak eset´en:

1. Atomi formul´ak.

Aσ= (P(t1, t2, . . . , tn))σ=P(tσ1, tσ2, σ, tσn) Aσ=i, ha < tσ1, tσ2, . . . , tσn>∈WPσ

(21)

13.2 Kidolgoz´as Logika

• (¬A)σ=¬Aσ

• (A∨B)σ=Aσ∨Bσ

• (A∧B)σ=Aσ∧Bσ

• (Aσ ⊃B)σ =A⊃Bσ

• (A⇔B)σ=Aσ⇔Bσ

3. Kvant´alt formul´ak ki´ert´ekel´ese. (∀xA)σ = i , ha Aσ(x/u) = i az U uni- verzum minden uelem´ere (∀xA)σ = i , ha Aσ(x/u) =i az U univerzum legal´abb egyuelem´ere

AzAσ(x/u) azt a ki´ert´ekelt formul´at jel¨oli, ahol a formula esetleges szabad v´altoz´oit m´ar ki´ert´ekelt¨uk ´es egy ilyen ki´ert´ekel´es mellett az x az u ´ert´ek´et kapta.

13.2.4. Mit jelent az, hogy egy els˝orend˝u formula logikailag igaz.

LegyenAazL[Vν] nyelv tetsz˝oleges formul´aja. HaAtautol´ogikusan igaz, akkor logikailag igaz is, azaz ha|=0A, akkor |=A.

13.2.5. Lehet-e egy els˝orend˝u formula tautol´ogia?

Igen, mert: LegyenL[Vν] egy els˝orend˝u logikai nyelv. Ekkor azL[Vν] nyelv egy Aformul´aja tautol´ogikusan igaz, ha a formula Quine-t´abl´azat´abanAoszlop´aban csupa i igazs´ag´ert´ek tal´alhat´o. Jel¨ol´ese: |=0A.

Hivatkozások

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK