• Nem Talált Eredményt

Logika (és a matematikai logika) tárgya

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2024

Ossza meg "Logika (és a matematikai logika) tárgya"

Copied!
37
0
0

Teljes szövegt

Definíció, ahol a definiálandó fogalmat (mondat, szó, képlet,...) egy adathalmaz (ábécé) felett két lépésben határozzuk meg. az alaplépésben) bizonyos adatkészlet elemekkel azonosítjuk azt az objektumot, amelyet definiálni szeretnénk. a rekurziós lépésben, ) bizonyos szabályok szerint objektumokat hozunk létre a már definiált objektumokból és az ábécé elemeiből. Tárgya az egyszerű állítások és a logikai műveletekkel nyert összetett állítások tanulmányozása (19. könyv és 28-33. oldal). Definíció: Az összetett állítás olyan összetett mondat, amely egyszerű állításokból áll, amelyek igazságértéke csak az egyszerű állítások igazságértékeitől függ.

A képlet véges számú ítéleti változót tartalmaz, így a képlet elemzéséhez csak ezek értelmezése szükséges. Definíció: Az n-változós szemantikai fa egy n-szintű bináris fa, ahol a szintek megfelelnek a mögöttes változóknak. X azt jelenti, hogy X igaz, X azt jelenti, hogy X hamis, így az összes (2n) lehetséges igazságértékelés (I értelmezés - . igazságértékelés) megjelenik a szemantikai fa ágain az n szinten.

Definíció: Az n-változós képlet igazságtáblázata egy n+1 oszlopból és 2n+1 sorból álló táblázat, amelynek fejlécében az alap (a képlet változói fix sorrendben) és a képlet szerepel. Definíció: Azt mondjuk, hogy egy I értelmezés az értékelési logikában kielégít egy B formulát (I=0B), ha a képlet helyettesítési értéke i az I értelmezésben. Definíció: Azt mondjuk, hogy egy F képlethalmaz nem teljesíthető, ha legalább egyik h képlete bármilyen értelmezésben szerepel (nincs olyan értelmezés, amely ezt kielégítené).

Definíció: Két vagy több képlet igazságtáblázata lehet azonos, ilyenkor azt mondjuk, hogy a formulák tautológiailag egyenértékűek.

Definíció: Ha a kijelentő mondat alanya egy konkrét egyén, akkor az állítást nulladrendű állításnak nevezzük. Definíció: Ha a kijelentő mondat alanya bizonyos egyének gyűjteménye, akkor az állítást elsőrendű kijelentésnek nevezzük. Ebben az esetben az állítás az elemek halmazára vonatkozik, és olyan magyarázatot/általánosítást fogalmaz meg, amely minden elemre egyidejűleg létezik, vagy olyan magyarázatot/létezést, amely a halmaz egyes elemeire (nem feltétlenül az összesre) létezik.

Az S nevű kétváltozós reláció első argumentuma lehet háromszög, a második argumentum lehet fok, és az f nevű háromváltozós függvény/matematikai művelet argumentumai és a függvény értéke is fokok. A matematikai függvények (műveletek) és a logikai függvények (relációk) az elsőrendű logika eszközei az állítások belső szerkezetének leírására. Az 1800-as évek végén és az 1900-as évek elején a matematikai struktúrák (halmazelmélet és aritmetika (számelmélet)) logikai vizsgálatához olyan eszközöket kellett megalkotni, amelyek a megfelelő matematikai szerkezetben leírják a null- és elsőrendű propozíciókat.

Más szavakkal, szükségessé vált egy olyan nyelv meghatározása, amely leírja a matematikai struktúrákat. s: az egyváltozós függőségi függvény neve. és x: az összeadási és szorzási műveletek nevei. az az elem, amely nem tartozik a következtetési függvény értékkészletébe). Definíció: A struktúra aláírása alatt a v1, v2, v3 egész függvényeket értjük, amelyek megadják az alapvető relációk és alapműveletek aritását, valamint az állandók számát. Olyan ábécével kell rendelkeznie, amelynek nem logikai szimbólumai és azok aláírása egy adott matematikai szerkezet aláírásához köthető, ezért:

Az L nyelv ábécéjét V[Vv]-nek nevezzük, ahol Vv a < Srt, Pr, Fn, Cnst > halmaznégyesét adja meg az aláírással (υ1, υ2, υ3). Kifejezések (matematikai állításokat szimbolizáló) és képletek (logikai állításokat szimbolizálva). alaplépés) minden πSrt típusú egyedi változó és a konstans szimbólumok π típusú tagok. Minden logikai ítéleti képletet az 1., 2., 3. szabályok korlátozott számú alkalmával állítanak elő. alaplépés) minden egyén változó és állandó szimbólumokat állít elő.

Definíció: Egy x változó ábrázolása egy képletben szabad, ha nem esik az x mennyiségének hatókörébe, korlátozott, ha az x mennyiségének hatókörébe esik. Megjegyzés: Ha egy változó be van kötve egy képletbe, ha ezt a változót átnevezi egy olyan változónévre, amely nem szerepel a képletben, a képlet ekvivalens marad az eredetivel. Egy atomi képlet akkor alapatom, ha argumentumai egy bizonyos univerzum állandó szimbólumai vagy elemei. b) Egy atomi képletet akkor nevezünk egy atomi képlet alappéldájának, ha argumentumai alapfogalmak.

Az igazságtáblázatban (ítéleti logika) az állításváltozók (ezek a képlet elsődleges összetevői) és a képlet az első sorba kerülnek. A képlet alatt találhatók a megfelelő helyettesítési értékek. a rendelési képlet értéktáblázatában a képlet szabad változói, a prímkomponensek és a képlet az első sorba kerülnek. Mivel a prímképletek sok esetben parametrikus állítások, az értelmezésben az egyes változók kiértékelése után állításokká válnak.).

Definíció: Azt mondjuk, hogy egy G képlet akkor teljesíthető, ha L-nek van legalább egy I értelmezése úgy, hogy I= G. Definíció: Azt mondjuk, hogy egy G képlet tautológia, ha a táblázat főkomponenseihez minden lehetséges érték hozzá van rendelve. G értékeinek igazságérték hozzárendelése esetén az i képlet helyettesítő értéke. Definíció: Azt mondjuk, hogy G és F nem kielégíthető (kielégíthetetlen), ha L-nek nincs olyan I értelmezése, hogy I= G vagy hogy I= F.

Definíció: Az F képletek halmaza nem teljesíthető, ha F közös értéktáblázatában minden sorban van legalább egy F elem, amelynek helyettesítési értéke h(amis). Definíció: Azt mondjuk, hogy a G képlet az F képletek halmazának logikai (szemantikai) következménye, ha minden I értelmezésre, ahol I= F, létezik I= G is. Vagyis F= G, ha bármely értelmezési struktúrában, ahol F, a G közös értéktáblázatában, minden olyan sorban, ahol F elemeinek helyettesítési értéke i(gaz), G helyettesítési értéke is i(gaz).

Tétel: Ha F következménye G1, S következménye G2, és {G1, G2} következménye A, akkor F  S következménye A. A következmény fogalma alapján eldöntjük, hogy F = G, elméletileg az F1, F2, .., Fn és G értékek együttes értéktáblázata alapján értelmezési struktúrákra bontható fel. Ha G is igaz minden értelmezési struktúrában, ahol F1, F2, . ., Fn ennek a táblázatnak minden sorában igaz közös értékekkel, akkor F=G (G az F logikai következménye).

Definíció: Az A és B elsőrendű képletek logikailag egyenértékűek, ha A= B és B= A. Ha G tautológia, akkor G logikailag igaz) Bizonyítás.

Definíció: A tagmondat szemantikai fához való illesztése azon ágak kiválasztása, amelyeken a tagmondat összes betűje negált. Definíció: A cáfolat csúcs a szemantikai fa csúcsa, amikor egy záradék elérésekor (amely korábban nem volt hamis) hamissá válik. Tehát minden síknak van legalább egy csúcsa, és a következő két csúcs közül legalább egy nem ellentmondásos csúcs.

Ez az n-edik szinten is így van, ami azt jelenti, hogy T-nek van legalább egy nyitott ága, szemben azzal, hogy zárt T-ből indultunk ki.

A prenex formába való átírás algoritmusa

Az x1, x2, .., xnA képletet, ahol csak univerzális kvantorok vannak az előtagban, Skolem-képletnek nevezzük. Ha az A képlet alakja KNF, akkor Skolem normál képletnek nevezzük. Ha a képlet igaz, akkor az x1, x2, .., xj-1 változók minden értékkombinációjához van legalább egy xj érték. Az elsőrendű logikában az {F1,F2,.., Fn-1,Fn,G}-ből kapott elsőrendű klózhalmaz a bemeneti vagy eredménye a Herbrand-univerzum elsőrendű záradékkészletének { F1, F2, .., Fn-1, Fn, amely tartalmazza a G}-ból kapott elsőrendű tagmondat halmaz tagmondatainak alappéldányait.

Definíció: Ha a mondatkészletben legalább egy tagmondat hamis a mondathalmaz betűinek (ítéletváltozók - alapatomok) minden I-értelmezésénél, akkor a mondathalmaz nem teljesíthető. Tétel: Ha  lineáris bemeneti felbontással származtatható K klózok halmazából, akkor K tartalmaz legalább egy unitér tételt. Létrehozzuk az elsőrendű klózok magjainak összes alappéldányát, és levezetjük az üres klózt az alapkózusok halmazáról, ítéleti logikai feloldással.

Definíció: Az n-változós képlet igazságtáblázata egy n+1 oszlopból és 2n+1 sorból álló táblázat, ahol a fejlécben az alap (a képlet változói fix sorrendben) és a képlet szerepel. Definíció: Azt mondjuk, hogy egy F képlethalmaz nem teljesíthető, ha bármely értelmezésben legalább egy képletének h helyettesítési értéke van (nincs olyan értelmezés, amely kielégítené). Az atomi képletek alapvető példáit két csoportba soroljuk. a) Egy atomi képletet alapatomnak nevezünk, ha argumentumai konstans szimbólumok vagy univerzumelemek. b) Egy atomi képletet egy atomi képlet alappéldájának nevezünk, ha argumentumai alapfogalmak.

Ha azonban az algoritmus nem éri el az adott célt, az nem feltétlenül jelenti azt, hogy meghozta a döntést a következő esetre. Definíció A x1, x2, .., xnA képletet, ahol csak univerzális kvantorok vannak az előtagban, Skolem-formulának nevezzük, ha az A képlet alakja KNF, akkor Skolem-féle normálképletnek.

Hivatkozások

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK

Tehát: azt a látsza- tot, hogy a hit valódi kéttagú viszony egy objektív propozícióhoz, a „többtagú viszony”-elmélet úgy magyarázza, hogy az elme az ítélési

Definíció (Differenciálhatóság) Azt mondjuk, hogy az függvény differenciálható az helyen, ha létezik olyan lineáris leképezés, melyre... A leképezést az

ha mégis fel akarjuk használni következtetésben, hogy nincs üres terjedelm¶ el®tag, akkor egy plusz premisszát kell felvenni (a Minden alma nom mellé Van almá-t).. hét

Fontos azonban azt is látni, hogy a függetlenségi publicista Herman Ottóról kiala- kított jellemzését egy olyan időszakban közölte, ami- kor Herman

Ilyen körülmények között nem képzelhető el, hogy legyen egy olyan sajátos tudomány, amelynek feladata valamennyi többi tudomány számára az empíriát, a

— belátható, hogy cp-nek nincS véges felső korlátja, ami úgy értelmezhető, hogy min- dig található Olyan prognózis, mely rosz—- szabb, mint a prognózisok bármely

december 8.] Igazoljuk, hogy ha egy egyszerű G gráfnak 20 csúcsa van és bármely fokszáma legalább 12, akkor G-nek van két olyan Hamilton köre, melyeknek nincs közös éle..

Meglehet, nincs is olyan egy- szerű eszköz, amellyel körülírhatnánk a punkot mint jelenséget, viszont ami világosnak tűnik, az az, hogy a Pistols valahonnan máshonnan énekelt,