• Nem Talált Eredményt

Dimat 2 tételkidolgozások

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2024

Ossza meg "Dimat 2 tételkidolgozások"

Copied!
58
0
0

Teljes szövegt

Ez a két gráf akkor izomorf egymással, ha létezik egy kölcsönösen egyedi f leképezés, amely E-t E'-re leképezi, és egy kölcsönösen egyedi g leképezés V-re V'-re úgy, hogy e ∈ E és v ∈ V e pontosan egyezik v-vel, ha f(e) megfelel a g(v), azaz. az (f,g) párnak az illesztési relációja van. Bármely G gráfban az ei, vi párok megfelelő törlésével a különböző v és v' csúcsokat összekötő sétából egy v-t v'-vel összekötő utat kaphatunk. G össze van kötve, de bármelyik él törlésével az eredményül kapott részgráf többé nem kapcsolódik össze - Ha v és v' G különböző csúcsai, akkor v-ből v'-be pontosan egy út vezet.

Irányított gráf: Egy hármas G = (ψ, E, V), ahol V a csúcsok halmaza, E az élek halmaza, és ψ az E-t V x V-hez illő leképezés (a derékszögű szorzat, azaz a rangsor párjai ) feltérképezése. Irányított gráfok izomorfizmusa: A G = (ψ, E, V) és G' = (ψ', E', V') irányított gráfok izomorfak, ha létezik egy kölcsönösen diszjunkt f E-től E'-ig és V-től V'-ig. - egy kölcsönösen kétértelmű g leképezés, amelyben minden e∈E esetén a v∈V akkor és csak akkor és csak akkor e kezdőpontja, ha g(v) f(e) kezdőpontja és e végpontja akkor és csak akkor, ha g (v ) f(e) végpontja, tehát az (f,g) pár tartja fenn a "kezdőpont" és a "végpont" kapcsolatokat. Feszítő irányított részgráf: Ha a G' irányított részgráf minden olyan élt tartalmaz, amelynek kezdő- és végpontja V'-ben van, akkor G'-t V' által meghatározott feszítő irányított részgráfnak nevezzük.

Egy élhalmaz törlésével kapott irányított gráf: Legyen G = (ψ, E, V) irányított gráf és E' ⊂ E, akkor az E' élhalmaz G-ből való törlésével kapott irányított gráf G' = (ψ| E\E', E\E', V) irányított részgráfot értünk. Csúcshalmaz törlésével kapott irányított gráf: Legyen G = (ψ, E, V) egy irányított gráf és V' ⊂ V, és legyen E' azon élek halmaza, amelyek kezdő- vagy végpontja V-beli csúcs a '. Erős kapcsolódás: Egy irányított gráf erősen összefüggő, ha bármely csúcshoz (v,v') van irányított út v-ből v'-be.

A csúcsok adott osztálya által meghatározott átívelő irányított részgráf az irányított gráf erős összetevője.

Morfizmusok (homomorfizmus, stb.) és kapcsolatuk tulajdonságokkal

Hasonlóképpen, ha e a G megfelelő egységeleme, mivel a homomorf kép minden eleme felírható g' alakban, g' e' = (ge)' = g' stb.

Részcsoport, a definíció ekvivalensei. Generált részcsoport és előállítása

Ciklikus csoport felépítése: Egy végtelen ciklikus csoport izomorf az egész számok additív csoportjával, míg az n elemű ciklikus csoport Zn modulo n maradékosztályú. Index: Ha véges számú jobb oldali alosztály van, akkor ezek száma H indexe, egyébként azt mondjuk, hogy H indexe végtelen.

Permutációcsoportok, permutációk párossága

Oszthatóság gyűrűkben, egységek és asszociáltak. Gyűrűk morfizmusai

Gyûrû: A (+,*) mûveletpárral rendelkezõ R halmazt gyûrûnek nevezzük, ha összeadással Abel-csoport, szorzás útján félcsoport, és mindkét oldali eloszlás teljesül. Nem, mert egy tetszőleges X halmazt R gyűrűvé formáló függvények Rx halmaza pontszerű összeadás és szorzás gyűrű. Az R összeadásának és szorzásának φ: R  R' leképezését homomorfizmusnak nevezzük, és azt mondjuk, hogy φ(R) R homomorf képe.

Összeadás és szorzás támogatása φ: R  R'-t R-ről R'-re epimorfizmusnak nevezzük, ha φ leképez R'-re, ami azt jelenti, hogy szürjektív. Az R' φ: R  R'-ben lévő R összeadási és szorzási támogatást izomorfizmusnak nevezzük, ha φ kölcsönösen egyértelmű és R'-re leképez, azaz bijektív. A φ: R  R' összeadási és szorzási operátor bijektív leképezését (azaz izomorfizmusát) R-ből R'-be automorfizmusnak nevezzük, ha R = R' azonos műveletekkel.

Ha ez a közös érték végtelen, akkor azt mondjuk, hogy a gyűrű karakterisztikája nulla, ha pedig véges n érték, akkor azt mondjuk, hogy a gyűrű karakterisztikája n. Bármilyen, mindkét művelettel kompatibilis osztályozáshoz a nulla osztály az ideális, és az osztályozás ennek az ideálnak megfelelő alosztályokból áll. Gyűrűk homomorfizmusának magja: Az R gyűrű R' gyűrűvé történő φ homomorfizmusán az R' gyűrű nulla elemének teljes inverz képét értjük a homomorfizmus magjába.

Példa homomorfizmusra: Ha R = Z és m ∈ Z, akkor a modulo m maradékosztályt egy egész számhoz hozzárendelő leképezés egy homomorfizmus, amelynek kernelje I = mZ és képe R/I = Zm.

Polinomok, polinomfüggvények, maradékos osztás és következményei

Polinom algebrai deriváltja. Többszörös gyökök

A polinomok reziduális eloszlási tétele: Legyen R egységelemek integrál tartománya, f,g ∈ R[x], g ≠ 0, és g főegyütthatója R-ben egység. Ha r ≠ 0, akkor, mivel deg(r) = 0, a c helyen az egyik oldal helyettesítési értéke nulla, a másik oldal pedig nem nulla. Bizonyítás: Egy mezőben minden nullától eltérő elem egység, így az előző (4) tétel bármely nullától eltérő g-re alkalmazható, és ha f, g nem nulla polinom, akkor deg(fg) = deg( f) + fok(g) ) ≥ max { fok(f), fok(g).

Négyzet nélküli polinom: Ha R mező, f ≠ 0, és d f és f' legnagyobb közös osztója, akkor q = f/d négyzetmentes, azaz. nem egyenlő bármely legalább elsőfokú g polinom négyzetével. Véges mező felépítése: Legyen Zp a maradék osztályok véges mezeje egy p prímszám modulo, és legyen f ∈ Zp[x] egy n-edik fokú irreducibilis vezetőpolinom (n ∈ N+). Ha p az F véges mező karakterisztikája, és e az egységeleme, akkor F egy {0, e, 2e, vektortér. p–1)e}, és ha n-dimenziós, akkor F-nek pn elemei vannak.

Véges mező nullától eltérő elemeinek multiplikatív halmaza: A véges mező nullától eltérő elemeinek multiplikatív halmaza ciklikus. Irreducibilis polinom: Egy mező felett definiálatlan polinomok euklideszi gyűrűt alkotnak, így bennük a főelem és az irreducibilis elem fogalma egybeesik. Z[x] egy Gauss-gyűrű, mert minden f ∈ Z[x] egyértelműen felírható egyváltozós irreducibilis polinomok véges szorzataként, kivéve az egyváltozós polinomok rendjét és asszociativitását, ami különbözik az állandó nulla fokú és elsőrendű egyváltozós polinomoktól. egyváltozós lineáris polinomok.

Kronecker-eljárás: Ha R egy (végtelen) Gauss-gyűrű, amelyben van egy eljárásunk bármely elem osztóinak meghatározására, valamint eljárások a műveletek végrehajtására (pl. ha R = Z), akkor f ∈ R[x ] lehet a polinom irreducibilis tényezőiként definiálva. Racionális törtfüggvények: Ha R integrál tartomány, akkor R[x] is az, így meg tudjuk alkotni a hányadosát; ezt R(x) jelöljük, elemeit pedig R feletti racionális függvényeknek nevezzük. Ha az R gyűrűnek nincs nullosztója, akkor az R[x1, x2, …, xn] gyűrűnek sincs nullosztója, és ennek mértéke két polinom szorzata a fokok összege .

Betűnkénti kódolás: A betűnkénti kódolásnál az eredeti üzenetet meghatározott módon átfedés nélkül egymáshoz kapcsolódó részekre osztják, az egyes részeket a szótárból kódolják, és az így kapott kódokat összefűzik a eredeti rendelés. Ez az előző mondattal együtt azt jelenti, hogy van olyan kód, amelynek átlagos szóhossza 1-nél kevesebbel haladja meg az elméleti alsó határt.). Első lépésben a sorozat utolsó m betűjét cseréljük ki egy új betűre, amelyhez az elhagyott betűk relatív gyakoriságának összegét rendeljük, és az így kapott gyakoriságok szerint helyezzük el az új betűt a sorozatban.

Ismétléses kód, kétdimenziós paritásellenőrzés, Hamming-korlát, Singleton-korlát

Lineáris kód, generátormátrix, ellenőrzőmátrix, szindróma-dekódolás

Generátor mátrix: A véges K mező feletti [n,k] lineáris kódnál célszerű a kódolást egy (kölcsönösen egyértelmű) G lineáris leképezésként választani, amely Kk-t képez C ⊂ Kn-n, ahol C a K-dimenziós altere. kódszavak. Az előző pont jelölésével, mint s ∈ Kn–k, tekintsük a H–1(s) halmaz e(s) rögzített vektorát, amelynek súlya minimális az adott alosztályban. Reed-Solomon kódok: Legyen most K tetszőleges véges mező, elemei alkotják az ábécét, jelöljük K elemeinek számát q-val.

A Reed-Solomon kód lineáris, így a hiba javítható például szindrómás dekódolással, de a Reed-Solomon kódnál lényegesen praktikusabb hibajavítás is létezik. Az előző rész jelöléseit felhasználva tegyük fel, hogy a hibahelyek száma, pl. az L(z) mértéke legfeljebb m/2 (ami d/2-nél kisebbnek felel meg, azaz hibajavítás egyáltalán elvégezhető). Számítási eljárás: Számítási eljáráson egy C = (Q, Qb, Qk, f) négyesét értjük, ahol Q az állapotok (tetszőleges) halmaza, a Qb ⊂ Q és Qk ⊂ Q részhalmazok a bemeneti állapotok és kimenetek halmazai. állapotok, illetve az f átmeneti függvény: Q  Q minden pontra rögzíti a Qk elemeit, azaz f(q) = q, ha q ∈ Qk.

Nyilvánvaló, hogy ez a számítási eljárás az előző példában megadott számítási eljárást szimulálja, nem pedig fordítva, mivel vannak olyan bemenetek, amelyekre az előző eljárás ugyanazt az eredményt adja, de a most leírt eljárás nem, mivel az előző eljárás csak a legnagyobb közös osztó, ez az eljárás x és y értékeket is ad vissza. Ha f és f* vagy g és g* véges számú tag kivételével egyenlőek, akkor nyilvánvalóan g ∈ O(f) pontosan akkor teljesül, ha g* ∈ O(f*) teljesül. Minden mezőben van egy betű a véges ábécéből, így a véges számú mező kivételével minden mezőben van egy „_” szóköz.

Matematikailag egy T Turing-gép egy T = (B, A, φ) hármas, ahol az A, B véges halmazok a sáv ábécéje és a belső állapotok halmaza, _ ∈ A, s, h ∈ B és. A táblák irányjelző táblák: azt jelentik, hogy a fej balra, jobbra mozog vagy a helyén marad az adott sávon. A számítási eljárás bemeneti állapotai azok az állapotok, amelyekre b = s, a kimeneti állapotok pedig azok, amelyekre b = h Ha a számítás során a T gép t lépést tesz, és beolvassa a bemenetet (azaz a fejet a számítás során a bemenet összes mezőjét meglátogatta), akkor a gép S 0(t2) lépést tesz meg.

Létezik egy k+1 szalagos U Turing-gép A ábécéjével úgy, hogy minden T = (B, A, φ) k-szalagos Turing-géphez a T bemenete az U első k-szalagjaira van írva, és a k +1. szalag csak egy van. Egy ω ∈ A* "program" írásával φ függvényében (amelynek utolsó betűje nem üres karakter, és maximum 6k + 4 üres karaktert tartalmaz egymás mellett), szimulálja a T működését (az első k-n. sávok). Ha A-nak legalább három eleme van, akkor U választható úgy, hogy a programok ne tartalmazzanak üres szimbólumot. Az M memória minden M[k] (k∈Z) rekeszében tetszőleges egész szám tárolható, de mindig csak véges számú nullától eltérő értéket tárol egyszerre.

A-ban az I értékét kapjuk meg) PUT B (A értékét B-be tesszük)

Ekkor T egy S Turing-géppé alakítható ugyanannyi övvel, amely szimulálja T működését, és ugyanazokkal a bemeneti szavakkal indulva A0*-ban, mint T, ugyanazokat a kimeneti szavakat állítja elő A0*-ban, de nem "későn" " szemét" , vagyis a kimenet a szavak kivételével, a szalagok minden mezője üres.RAM gép: A RAM gép (Random Access Memory) a valódi számítógépekhez közelebb álló gépmodell.

A értékét I-be tesszük)

Hivatkozások

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK

(A Goldbach-tétel kimondja, hogy minden 3-nál nagyobb páros szám mindig felírható két prímszám összegeként, míg bármely 6-nál nagyobb páratlan szám felírható

Ha a pártok száma páros, mindig létezik egy olyan egyensúly, ahol minden párt azonos arányban kap szavazatokat, de ha a pártok száma páratlan, nincs

Bizonyítsuk be, hogy egy egyszer˝u, irányítatlan gráf akkor és csak akkor páros, hogyha a szomszédossági mátrixának minden páratlan kitev˝oj˝u hatványában minden

Bizonyítsuk be, hogy egy egyszer˝u, irányítatlan gráf akkor és csak akkor páros, hogyha a szomszédossági mátrixának minden páratlan kitev˝oj˝u hatványában minden

Lássuk be, hogy egy egyszer¶ irányítatlan gráf akkor és csak akkor páros, ha szomszédossági mátrixának minden páratlan kitev®j¶ hatványában minden diagonáliselem

Lássuk be, hogy egy egyszerű, irányítatlan gráf akkor és csak akkor páros, hogyha a szomszédossági mátrixának minden páratlan kitevőjű hatványában minden diagonál-elem

Lehetséges értékei attól függenek, hogy a mag rendszáma és tömegszáma páros, vagy páratlan.. rendszám tömegszám I

Igaz-e, hogy ha minden él kapacitása páros szám, akkor van olyan maximális folyam, aminek minden élén a folyam értéke páros szám.. Igaz-e ugyanez