BME VIK - Valószínűségszámítás B 2022. február 22.
2. Gyakorlat
Szita-formula, események függetlensége, feltételes valószínűség
1. A próbagyártás során két szempontból vizsgálják a késztermékeket. Az A esemény azt jelenti, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott mintadarab anyaghibás, aB pedig az az esemény, hogy a kiválasztott gyártmány mérethibás. Tudjuk, hogy P(A) = 0,15, P(B) = 0,3 és P(A∩B) = 0,08. Mennyi annak a valószínűsége, hogy
a) egy termék anyaghibás, de nem mérethibás? b) egy termék hibátlan?
2. Két szabályos pénzérmét tízszer feldobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobások során mind a "két fej", mind a "két írás" esetekkel találkozunk.
3. a) Igazoljuk, hogy P(A) = 0,7 és P(B) = 0,6 esetén P(A∩B) ≥ 0,3 teljesül. Milyen (alsó és felső) korlátot adhatunk aP(A∪B) valószínűségre?
*b) Tegyük fel továbbá, hogy a fentieken kívül P(C) = 0,9 is teljesül. Mutassuk meg, hogy ekkor P(A∩B ∩C) ≥0,2. (Ötlet: alkalmazzuk az egyik de Morgan-azonosságot, majd használjuk a szita- formulát a komplementer eseményekre a becsléshez.)
4. Háromszor dobunk fel egy szabályos pénzérmét. Jelentse A azt az eseményt, hogy a dobások között fej és írás is előfordul, B pedig azt az eseményt, hogy legfeljebb egy írás fordul elő. Állapítsuk meg, független-eA ésB.
5. Két szabályos kockával dobunk. Tekintsük a következő eseményeket:
A={a dobott számok összege páros},
B ={a dobott számok különbségének abszolút értéke legalább három}.
Független-eA ésB?
6. Tegyük fel, hogy azA,BésCegyüttesen független eseményekreP(A) = 0,3,P(B) = 0,4, ésP(C) = 0,8.
Számoljuk ki a következo események valószínuségeit:
a) mindhárom esemény bekövetkezik, b) legalább az egyik esemény bekövetkezik, c) egyik esemény sem következik be.
7. LegyenekAésB független események,C pedig mindkettőjüket kizáró esemény. MennyiP(A∪B∪C), ha tudjuk, hogyP(A) =P(B) =P(C) = 13?
8. Legyenek A,B és C események. Tegyük fel, hogy C független A-tól, illetveB-től, továbbá azt, hogy A∩B valószínűsége éppen 0,2-vel kisebb, mintB valószínűsége. Emellett tudjuk, hogyA∩C kizárja B-t, P(A) = 0,3 és P(C) = 0,5. Határozzuk meg P(B)-t, ha tudjuk, hogy 0,75 annak a valószínűsége, hogy a három közül valamelyik esemény bekövetkezik.
9. Egy szabályos dobókockával dobunk, jelölje az eredményétx. Legyenek A={x prím} B ={x páros}
események. Ha tudjuk, hogyx páros, mekkora eséllyel lesz prím? Azaz: mennyi P(A|B)?
10. Tegyük fel, hogy az A és B eseményekre P(A) = 13, P(B) = 14 és P(A∩B) = 101. Számoljuk ki a P(A|B), P(B |A),P(A|B) ésP(A|B) valószínűségeket.
11. Egy osztályban 30 diák van, közülük kisorsolunk 5-öt, akik dolgozatot írnak. Mi a valószínűsége, hogy a legrosszabb tanuló ír, feltéve, hogy a legjobb ír?
12. Számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy két kockával dobva mindkét érték páros, feltéve, hogy összegük legalább tíz.
13. Tegyük fel, hogy azAés aBesemények közül legalább az egyik mindig bekövetkezik. HaP(A|B) = 0.2 ésP(B |A) = 0.5, akkor mennyi P(A), P(B) illetveP(A|B)? Független-eA ésB?