• Nem Talált Eredményt

Az általánosítás, mint a problémamegoldás része.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Ossza meg "Az általánosítás, mint a problémamegoldás része."

Copied!
6
0
0

Teljes szövegt

(1)

m i n t a p r o b l é m a m e g o l d á s része

OROSZ GYULÁNÉ

A b s t r a c t . ( T h e generalization is as p a r t of the p r o b l e m solving) F i r s t p a r t is an i n t r o d u c t i o n . It is a b o u t György Polya's m e t h o d in generally and we give s o m e i m p o r t a n t definitions, such as problem, problem solving, t h e steps of t h e problem solving. Second p a r t consists of a generalization of t h e m a t h e m a t i c s p r o b l e m . T h i s p a r t consists of exam- ples c o n n e c t with t h e generalization.

A problémamegoldás módszertanát, a tanításban és a tanárképzésben betöltött szerepét egy kiváló matematikus, Pólya György könyvei, cikkei részletesen elemzik. Pedagógiai művei a tanárképzésben is jól hasznosítható problémákat, metodikai észrevételeket, útmutatásokat tartalmaznak.

P r o b l é m á n a k , nevezzük az olyan szituáció, kérdés, feladat felvetődé- sét, amelyre a választ, a megoldást nem tudjuk azonnal észlelés, emlékezés, tapasztalás alapján közvetlenül megadni, hanem csak közvetet úton, gon- dolkodási és logikai műveletvégzéseken keresztül.

P r o b l é m a m e g o l d á s o n egy kitűzött cél meghatározott feltételek mel- lett történő elérésére irányuló tevékenységet értjük.

A p r o b l é m a m e g o l d á s egyes fázisait általánosítható törvényszerű- ségek jellemzik.

Először a szemlélődés, empirikus tevékenység oldaláról közelítjük meg a kitűzött feladatot, próbáljuk megsejteni az eredményt, találgatunk. Ezt kö- veti a fogalmi szintre történő áttérés. Definíciókat, segédtételeket, részprob- lémákat fogalmazunk meg, összefüggéseket keresünk. Az elsődleges megol- dást egyre finomítjuk, kiküszöböljük az esetleges hiányokat. Eredményeinket tapasztalati úton ellenőrizzük, m a j d a megoldást megfelelő logikai rendbe szedve megfogalmazzuk. Ezt a fogalmi szakaszt már átszövi az asszimilálás.

A megoldott problémát beépítjük meglévő ismereteink rendszerébe. A meg- oldásnál alkalmazott módszereket gondolkodásunk egészébe illesztjük, hogy azokat újabb feladatok megoldásánál felhasználhassuk. Felvetődik az alkal- mazások lehetősége, esetleg új problémákat, további általánosításokat fogalmazhatunk meg.

(2)

A tanárjelöltek képzésében az „Elemi matematika" című tárgy célja a problémamegoldás metodikájának elsajátítása, a problématervezéshez és- megoldáshoz szükséges tanári készség kifejlesztése. A feldolgozásra kerü- lő problémaanyag tartalmaz általános és középiskolai versenyfeladatokat is.

Ezen versenyfeladatok megoldása is alkotó szellemi munka, amely sok örö- met okozhat tanárnak, diáknak egyaránt.

A tanulmányi versenyek feladatainak, megoldásuknak az elemzése so- rán felvetődnek azon túlmutató kérdések. Űj problémák adódnak az adatok és feltételek variálásakor, az analógiák, átfogalmazások kapcsán, az általá- nosításra, vagy specializálásra törekvés útján.

Az általánosítások, specializálások fejlesztik a tanárjelöltek probléma- látó és problémaalkotó készségét. A tanítás során való alkalmazási lehető- ségük jelentős, hiszen a specializálás számos versenyfeladat konstruálását teszi lehetővé. A versenyfeladatok általánosításai, a főiskolai tananyagból ismert mélyebb tételek, módszerek speciális esetei vezethetnek olyan elemi problémákra, amelyek középiskolai, esetenként általános iskolai ismeretek birtokában megközelíthetők.

Úgy véljük, hogy a fenti gondolatokat egy konkrét matematikai példával támaszthatjuk alá leginkább. A következőkben egy középiskolai tanulmányi versenyfeladat általánosítását fogalmazzuk meg és a megoldás gondolatme- netét ismertetjük.

E g y versenyfeladat általánosítása

Egy n (n > 1) napig tartó sportversenyen m db érmet osztottak ki. Első nap 1 érem és a megmaradó érmék ^-ad része került kiosztásra (a > 1), a másodikon 2 érem, s a még fennmaradók ^-ad része és így tovább. Végül az n-edik, azaz utolsó napon kiosztották a még visszamaradt pontosan n darab érmét. Hány napig tartott a sportverseny és hány érmét osztottak ki összesen?

Megoldás. Vizsgáljuk meg az egyes napokon megmaradó érméket. Az első nap után:

. a — 1

( m - l ) —

érem maradt. A második nap után:

v a — 1 \ a - i ( m - l ) 2

(3)

érem maradt. A harmadik nap után:

a — 1 \ a — 1 \ a — 1 ( ( M ^ r - 2 ) ^ " 3 )

érem maradt.

Az (n — l)-edik nap után n érem maradt. A fentiekből a következő egyenletet kapjuk:

w ( ( ( « - D ^ - » ) ^ - - ( - 1 ) )

Az egyenletet a következő alakba írhatjuk:

f a — 1\ n _ 1 / a - l \n _ 1 Ía-Vn~2

ml -1 -2 a-1 = n

(i \ a \ a

( 2 )

- - ( - « ( 4

1

)

A (2) egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg ~nel a \ l a ' 2

m- 1 - 2 - 3,

Í3) V ß _ 1

' / \ n —2 / \ n — 1

m-re a (3)-ból a következet kapjuk:

\ / \ 2

a \ I a

^ ' / \ ti —2 / \ n —1

Észrevehetjük, hogy az egyenlet jobb oldalán az 1 + 2x + 3X2 + • • • + nxn'1 = / ( X )

függvény x = ^-j- (a > 2) helyen vett értéke áll. Állítsuk elő f(x)-et egy- szerűbben.

(4)

A mértani sorozat összegképletét alkalmazva:

xn — 1

1 + X + X2 + • • • + xn~l = —, ha X ^ 1 x — 1

xn~l — 1 xn — X

X

+

x2 + b xn~x = X x2 + • • • + xn~l = x2

x — 1 x — 1 xx~2 - 1 xn — X2

X — 1 £ — 1

\ n — 1 n — 1 # 1 ^

a;" = a:'1

a: — 1 a; — 1

Adjuk össze a fenti egyenlőségeket, a jobb oldalon a lehetséges kieme- lések után kapjuk:

f(x) = l + 2x + Sx2 +••• + nxn~l = -i— ( nxn - ^ ~ 1

x — 1 \ x - 1

A jobb oldalt tovább alakítva:

1 /nzn+1 - nxn - xn + 1\ nxn+l - (n + l)xn + 1 1 fnxn+1 - nxn - xn + 1\

Í ( X ) = Í T I (

)

(x - l)2

Behelyettesítve az x = értéket (4)-ből a következő adódik.

n( ^ r )n + 1 - (» - 1) ( ^ r )n + 1 « » ( „ - „ + 1) , x

(5) m = — — 7 r y Z = ; + ( « - ! )

(« - 1 )

Az m egész szám, ezért —^ t ^-nek is egész számnak kell lennie.

(a - 1)

Mivel a és (a — 1) relatív prímek, ez csak úgy lehet, ha — , is egész (a - l)n

szám. Megmutatjuk, hogy n = a — 1 és m = (a - 1) .

Minden n > 1 természetes számra és a > 1 rögzített természetes számra:

n - a < an~l

Teljes indukcióval bizonyítjuk állításunkat: n — 1, esetén 1 — a < a° = 1, mert a > 1.

(5)

Tegyük fel, hogy n = k-ra k — a < ak 1 szorozzuk a-val az egyenlőtlen- ség mindkét oldalát ak - a2 < = ak.

Mivel (k + 1 )a — a2 < ak — a2, ha k > 1, ezért méginkább

(k + l ) - a < a ^ ~ l .

Tehát —p, csak akkor lehet egész szám, ha n = a — 1, de ekkor

(a - 1)"

viszont m = (a — 1) . 2

Megjegyzések

Specializálással a fenti általánosított feladatra támaszkodva olyan fela- datokat készíthetünk, amelyek középiskolai, illetve általános iskolai ismere- tek felhasználásával megoldhatók.

1. Ha a = 7, akkor egy középiskolai versenyfeladatot kapunk, amelynek megoldása azonnal adódik, n = 6 és m — 36.

2. Ha o. = 9, akkor a következő általános iskolai versenyfeladatot fogal- mazhatjuk meg:

Egy kis csapat szilvát kapott a táborban uzsonnára. A csapat vezetője úgy osztja szét a tagok között a szilvát, hogy az elsőnek ad egy szilvát és a megmaradt szilvák 9-ed részét, a másodiknak két szilvát és a megma- radt szilvák 9-ed részét, a harmadiknak három szilvát és a megmaradt szilvák 9-ed részét stb. Az utolsó részt a vezető magának tartotta meg.

Csodálkozva látták a csapat tagjai, hogy mindenki egyenlően kapott a szilvából.

Hány szilvát kapott a csoport? Hányan voltak? Hány szilvát kapott egy-egy gyerek?

3. Ha n = 4 és a = 5, akkor konstruálhatunk egy újabb elemi problémát.

Egy iskola tanulói 4 napos gyalogtúrán vettek részt. Az első nap meg- tettek 1 km-t és a hátralévő út | részét. A második nap 2 km-t és a még hátralévő út részét. A harmadik nap 3 km-t és az azután megmaradt út \ részét. A negyedik nap 4 km-t gyalogoltak. Hány km-t gyalogoltak a négy nap folyamán?

4. Függetlenül a jelölésektől számos hasonló feladat adódik még.

Például: Egy ékszerész hétfőn eladta drágaköveinek felét és még 4 da- rabot. Kedden a maradék felét és még 2 darabot. Szerdán 5 darabot.

Csütörtökön kettő híján a maradék felét. így 8 darab drágakő maradt.

Hány darab drágakő volt hétfőn reggel?

(6)

I r o d a l o m

[1] D R . C Z E G L É D Y I S T V Á N : Matematika tantárgypedagógia I . Calibra, Budapest, 1994.

[2] K O S Z T O L Á N Y I — M I K E — V L N C Z E : Érdekes matematikai feladatok.

Mozaik Oktatási Stúdió, Szeged, 1992.

[3] K O S Z T O L Á N Y I — M I K E — P O L Á N K A I N É — S Z E D E R K É N Y I N É —

VlNCZE: Matematika összefoglaló feladatgyűjtemény 10—14 évesek- nek. Mozaik Oktatási Stúdió, Szeged, 1994.

[4] M O L N Á R E . : Matematikai versenysenyfeladatok gyűjteménye. Tan- könyvkiadó, Budapest, 1989.

[5] P Ó L Y A G Y Ö R G Y : A problémamegoldás iskolája I—II. Tankönyvki- adó>, Budapest, 1971.

[6] P Ó L Y A G Ö R G Y : A gondolkodás iskolája. Tankönyvkiadó, Budapest, 1970.

Hivatkozások

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK

Legyen szabad reménylenünk (Waldapfel bizonyára velem tart), hogy ez a felfogás meg fog változni, De nagyon szükségesnek tar- tanám ehhez, hogy az Altalános Utasítások, melyhez

tanévben az általános iskolai tanulók száma 741,5 ezer fő, az érintett korosztály fogyásából adódóan 3800 fővel kevesebb, mint egy évvel korábban.. Az

* A levél Futakról van keltezve ; valószínűleg azért, mert onnan expecli áltatott. Fontes rerum Austricicainm.. kat gyilkosoknak bélyegezték volna; sőt a királyi iratokból

Garamvölgyi „bizonyítási eljárásának” remekei közül: ugyan- csak Grandpierre-nél szerepel Mátyás királyunk – a kötet szerint – 1489 májusá- ban „Alfonso

Az akciókutatás korai időszakában megindult társadalmi tanuláshoz képest a szervezeti tanulás lényege, hogy a szervezet tagjainak olyan társas tanulása zajlik, ami nem

A kiállított munkák elsősorban volt tanítványai alkotásai: „… a tanítás gyakorlatát pe- dig kiragadott példákkal világítom meg: volt tanítványaim „válaszait”

Az olyan tartalmak, amelyek ugyan számos vita tárgyát képezik, de a multikulturális pedagógia alapvető alkotóelemei, mint például a kölcsönösség, az interakció, a

Nagy József, Józsa Krisztián, Vidákovich Tibor és Fazekasné Fenyvesi Margit (2004): Az elemi alapkész- ségek fejlődése 4–8 éves életkorban. Mozaik