Elektromágneses hullámegyenlet

Elektromágneses hullámegyenlet

Valódi töltésektől és vezetési áramoktól mentes szigetelőkre felírva az első két egyenletet:

Az anyagegyenletek továbbá:

Ezekből levezethetők a homogén hullámegyenletek a térerősségekre.

Bármely komponensre (i lehet x, y, vagy z):

Összehasonlítva az általános homogén hullámegyenlettel egy tetszőleges u mennyiségre:

∆: Laplace operátor Az általános alakban v a hullám terjedési sebessége, tehát az elektromágneses hullámra:

amely vákuum esetén: (a fény sebessége

vákuumban)

Monokromatikus síkhullám megoldás

Az előbbi homogén hullámegyenleteknek egyik lehetséges megoldásai a síkhullámok.

Ha a hullám forrásától elegendően messze vagyunk akkor mindig tekinthetjük a hullámokat síkhullámoknak. Egy z irányba terjedő síkhullámra:

f: frekvencia λ: hullámhossz körfrekvencia

körhullámszám Ez a megoldás monokromatikus mivel csak egyféle frekvenciát tartalmaz.

z

elektromos tér

mágneses

tér Az elektromágneses hullámban

E és H merőleges, továbbá E, H, és v jobbsodrású rendszert alkot (itt x, y, z).

Az elektromágneses hullám transzverzális.

Tetszőleges irányba terjedő síkhullám

Általánosan a hullám terjedési irányát a hullámszám vektor iránya jelöli ki (a sebesség iránya is ugyanaz). Az elektromos és mágneses térerősség a hely és idő függvényében:

Térben az azonos fázisban lévő pontok halmaza egymást hullámhossznyi

távolságonként követő síkok.

Általában az elektromágneses hullám sok különböző frekvenciájú hullámból tevődik össze. A különböző frekvenciák arányát mutatja a ez elektromágneses hullám spektruma (színképe).

Ha a hullámhossz nagyjából 400 és 800 nm között van, akkor a hullám a látható

tartományba esik.

A teljes elektromágneses színkép

Az elektromágneses hullám hullámhossza (frekvenciája, vagy energiája) több nagyság- renden keresztül változhat. A látható tartomány (fény) ennek csak nagyon kis része:

Energiaterjedés az elektromágneses hullámban

Az elektromágneses hullám terjedése során energia is áramlik. Az energiaterjedés iránya ugyanaz mint a hullám iránya, és a pillanatnyi energia-áramsűrűséget egy pontban

a Poynting-vektor adja meg:

Egy tetszőleges felületen átáramló pillanatnyi teljesítmény tehát:

Az elektromágneses tér energiasűrűsége:

Mivel az energia oda-vissza alakul elektromos és mágneses energia között:

Tehát a Poynting-vektor kifejezhető csak az egyik térerősséggel:

a hullám terjedési irányába mutató egységvektor

Belátható továbbá, hogy: 𝑆 = 𝑤_𝐸𝑀𝑣𝑒

10. feladat

A hullám intenzitása

Az energia-áramsűrűség nagyságának időátlagát a hullám intenzitásának nevezzük:

időátlag

Ha két egyenlő frekvenciájú, egymásra nem merőleges síkokban rezgő hullám a tér egy részében úgy találkozik, hogy a fázisuk közötti különbség huzamosabb ideig állandó akkor abban a térrészben állóhullám jön létre.

Az ilyen hullámokat koherens hullámoknak nevezzük, a megfigyelhető jelenség pedig az interferencia.

Legyen a két hullám:

Az eredő térerősség minden pontban és időben a két térerősség vektori összege:

𝐸 = 𝐸₁ + 𝐸₂ = 𝐸₁₀cos 𝜔𝑡 − 𝑘₁ ∙ 𝑟 + 𝐸₂₀cos 𝜔𝑡 − 𝑘₂ ∙ 𝑟 + 𝛿 Az eredő térerősség négyzete: 𝐸² = 𝐸² = 𝐸₁² + 𝐸₂² + 2𝐸₁ ∙ 𝐸₂

Hullámok interferenciája

: fáziskülönbség 𝐼₁₂ = 𝜀

𝜇𝐸₁₀ ∙ 𝐸₂₀cos 𝑘₂ − 𝑘₁ ∙ 𝑟 − 𝛿 = 𝜀

𝜇𝐸₁₀ ∙ 𝐸₂₀cos ∆𝜑 A két hullám által létrehozott intenzitás:

𝐼 = 𝜀

𝜇 𝐸² = 𝜀

𝜇 𝐸₁² + 𝜀

𝜇 𝐸₂² + 𝜀

𝜇 2𝐸₁ ∙ 𝐸₂ = 𝜀 𝜇

𝐸₁₀²

2 + 𝜀 𝜇

𝐸₂₀²

2 + 𝜀

𝜇 2𝐸₁ ∙ 𝐸₂

𝐼₁ 𝐼₂ 𝐼₁₂

Az interferencia tag:

𝐼₁₂ = 𝜀

𝜇 2𝐸₁₀ ∙ 𝐸₂₀cos 𝜔𝑡 − 𝑘₁ ∙ 𝑟 cos 𝜔𝑡 − 𝑘₂ ∙ 𝑟 + 𝛿

𝐼₁₂ = 𝜀

𝜇 𝐸₁₀ ∙ 𝐸₂₀ cos 2𝜔𝑡 − 𝑘₁ ∙ 𝑟 − 𝑘₂ ∙ 𝑟 + 𝛿 + cos 𝑘₂ ∙ 𝑟 − 𝑘₁ ∙ 𝑟 − 𝛿 Az első tag időátlaga 0, másodiké önmaga, hisz az időtől független:

Speciális eset: 𝐸₁₀ = 𝐸₂₀ = 𝐸₀ tehát 𝐼₁ = 𝐼₂ = 𝐼 konstruktív és destruktív interferencia:

𝐼_𝑘 = 𝐼 + 𝐼 + 2𝐼 = 4𝐼 ∆𝜑 = 0 𝐼_𝑑 = 𝐼 + 𝐼 − 2𝐼 = 0 ∆𝜑 = 𝜋

Különböző közeghez érve a hullám egy része mindig visszaverődik (ugyanolyan

szögben), a másik része pedig megtörve behatol a másik közegbe. Bizonyos esetekben a hullám teljes mértékben visszaverődik.

A beesési és a törési szögekre érvényes a Snellius-Descartes törvény:

Hullám viselkedése két közeg határfelületén*

beesési merőleges

n₁ és n₂ az 1-es és 2-es közeg abszolút törésmutatója (vákuumra vonatkoztatott), míg n₂₁ a 2-es közeg 1-esre

vonatkoztatott törésmutatója.

A törésmutató a közegekben mért fénysebességek hányadosának reciprokja:

A teljes visszaverődés határszöge:

Csak akkor lehetséges ha n₂₁ < 1, vagyis n₂ < n₁ (sűrűbb közegből ritkább felé haladva)

Egy közeg törésmutatója általában függ a rajta áthaladó fény hullámhosszától. Emiatt a különböző színű fénysugarak különböző mértékben törnek meg.

Az ilyen eszközökkel a fehér fény színeire bontható:

Diszperzió*

A modern fizika születése

Lord Kelvin a 19. század végén azt mondta, hogy a fizika egy befejezett tudomány:

„Nincsen olyan probléma amit a tudomány ne tudna megoldani. A fizika egy befejezett tudomány, elméleteink olyan jól működnek, hogy biztosan helyesek. Talán két picike felhő van a tiszta kék égen.”

Ezek a felhőcskék (fény terjedése és a hőmérsékleti sugárzás) azonban alapjaiban rengették meg a fizikát és két új elmélet megalkotásához vezettek:

• Relativitáselmélet (speciális és általános)

• Kvantum fizika

Ezáltal a 20. század eleje egyben a modern fizika kezdetét is jelentette.

A hőmérsékleti sugárzás

Felhevített tárgyak több száz fokos hőmérsékletet elérve először vörösen, majd még magasabb hőmérsékleten sárgán izzanak, tehát fényt

(elektromágneses hullámokat a látható tartományban) bocsátanak ki.

Bár csak a nagyon forró testek sugárzását láthatjuk saját

szemünkkel, műszerek segítségével az alacsonyabb hőmérsékletű testek sugárzását is megmérhetjük. Minden test, aminek a

hőmérséklete nem abszolút nulla, sugároz.

A hőmérsékleti sugárzást feketetest sugárzásnak is nevezik.

Ideális fekete test: amely a ráeső sugárzást teljesen elnyeli, és a kibocsátott sugárzása csak a hőmérséklettől függ. Ez bármely anyagból készült üreges testel és azon egy kicsiny lyukkal valósítható meg, mert a lyukra igaz, hogy

• a ráeső sugárzás a lyukon mind bemegy az üregbe

• az üreg belső faláról visszavert fény nagy valószínűséggel belül marad és elnyelődik

• belül az elektromágneses sugárzás és az anyag között termodinamikai egyensúly áll be

• a sugárzás spektruma ekkor csak az anyag hőmérsékletétől függ.

A hőmérsékleti sugárzás spektruma

Maxwell egyenleteiből klasszikus elgondolással nem sikerült levezetni a hőmérsékleti

sugárzást leíró egyenletet (kis frekvenciákra és nagyfrekvenciákra voltak közelítő képletek, de ezek a teljes tartományra végtelent adtak a kisugárzott teljesítményre).

Végül Max Planck sikerrel járt, de csak úgy, hogy feltételezte, hogy az elektromágneses energia nem lehet folytonos, hanem csomagokban van jelen (fotonok), melyek energiája f frekvenciájú sugárzás esetén:

E = hf ahol h a Planck konstans: h = 6,626∙10^-34 Js

Ez egyre jobban feltűnő amikor a frekvencia nagy és a csomagok (kvantumok) energiája nagy, például gamma sugárzás esetén. Ez az eredmény jelentette a kvantum fizika kezdetét.

Az emisszió-képesség hullámhosszfüggése (spektrum):

Nagyobb hőmérsékleten a görbe maximuma alacsonyabb hullámhossz felé tolódik: Wien-féle eltolódási törvény:

λ_max∙T = állandó A Wien-féle állandó értéke 2,9∙10^-3 Km.

A teljes kisugárzott teljesítményt (görbe alatti területet, vagyis az integrált) a hőmérséklet függvényében a

Stefan-Boltzmann törvény adja meg:

P = σ∙T⁴∙A

ahol σ = 5,67∙10^-8 W/(m²∙K⁴) a Stefan-Boltzmann állandó.

11. feladat

Fényelektromos hatás (fotoeffektus)

Ultraibolya fény hatására egy cinklemezt elektronok hagynak el.

A jelenséget a fény hullámtermészetével magyarázva azt várjuk, hogy az elektronok kilépése csak a hullám intenzitásától függ.

Kísérleti tapasztalat:

• Ha a megvilágító fény frekvenciája nem ér el egy f₀ (határfrekvencia) értéket akkor elektronkilépés nincs, bármekkora is az intenzitás ( f₀ az anyagi minőségtől függ).

• Ha van kilépés, akkor a kilépő elektronok sebessége a fény frekvenciájától függ.

• A kilépő elektronok száma arányos a fény intenzitásával, állandó f > f₀ mellett.

• Az elektronok kilépése szinte azonnal megindul a megvilágítás kezdetétől mérve.

Ezek a tapasztalatok a fény hullámtermészetével nem magyarázhatók.

Einstein (1905): A fény részecskeként viselkedik, részecskéi a fotonok, melyek energiája E = hf. Ez az energia csak egy elektronnak adódik mind oda, amellyel a foton kölcsönhatásba lép. Nem oszlik szét a környező elektronok közt.

Einstein fotoelektromos egyenlete (Nobel-díjat kapott miatta):

W_ki: fémre jellemző kilépési munka (egy e^- kiszabadításához szükséges energia).

m_e: elektron tömege Határfrekvencia:

A foton összes energiája a kilökésre fordítódik, nem marad fel kinetikus energia:

12. feladat

A foton lendülete

Az Einstein-féle tömeg-energia ekvivalencia alapján: E = mc². A foton energiája: E = hf

Tehát a fotonhoz rendelhetünk egy tömeget (nem a nyugalmi tömeg, mert az nincs neki!):

Ezt a foton c sebességével megszorozva kapjuk a foton lendületét:

Ez a mennyiség a fontos akkor, amikor a foton részecskéken szóródik (Compton-szórás), illetve emiatt a foton nyomást fejt ki a felültre, ami őt elnyeli vagy visszaveri.

A fény nyomását használva vitorlázhatunk az űrben.

Gázok emissziós és abszorpciós színképe

Szilárd testet folytonos spektrumú hősugárzásával ellentétben atomos gázok vagy gőzök csak bizonyos frekvencián sugároznak (emisszió), illetve bizonyos frekvenciájú sugárzást elnyelnek (abszorpció).

A színkép vonalai egyfajta ujjlenyomatként használhatók és segítségükkel távoli testek anyagának összetétele határozható meg.

Gázok színképének magyarázata - Bohr-posztulátumok

A jól meghatározott frekvenciájú kisugárzott, illetve elnyelt fotonokból arra lehet

következtetni, hogy az atomokban csak bizonyos nagyságú energia átmenetek lehetségesek.

Bohr-posztulátumok:

• Az atomokban az elektronok csak diszkrét energiaszinteken E₁, E₂, …, E_i tartózkodatnak és ezeken a stacionárius pályákon nem sugároznak.

• Az atomok csak akkor sugároznak (emisszió) ha az elektron egy magasabb energiájú pályáról egy alacsonyabbra kerül.

Az emisszió fordítottja az abszorpció.

Bohr-féle frekvencia feltétel:

A lézer működése

LASER: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (fényerősítés indukált emisszióval)

Az indukált emisszió esetében a legerjesztődés és az emisszió nem spontán történik, hanem azt egy ugyanolyan energiájú foton váltja ki (indukálja). Az emittált foton ugyanabban az irányban halad, mint az indukáló foton és fázisa is ugyanaz (koherens).

Működés: Energia bepumpálással elérik, hogy több elektron legyen a gerjesztett, mint az alacsony energiaszinten (populáció inverzió). Ekkor több indukált emisszió lesz, mint abszorpció, tehát a fény erősödik.

Tulajdonságok: monokromatikusság (azonos frekvencia), kismértékű divergencia, nagyfokú koherencia, nagy felületi teljesítménysűrűség, nagy spektrális

teljesítménysűrűség (mivel csak egy frekvencia van).

A Hidrogén* atom Bohr modellje

A modellnek szolgáltatnia kell az elektron diszkrét E_n energiáit.

Az elektron pálya-impulzusmomentuma: L = mvr

Az energiához hasonlóan ez is kvantált: L = nh/(2π) = nħ

*Nem csak hidrogénre, hanem Z rendszámú ionra is jó, amely egy elektront tartalmaz csupán (hidrogénszerű):

Az elektron teljes (mechanikai) energiája:

Az előzőleg levezetett képletből Z = 1 esetben kapjuk a hidrogén energiaszintjeit:

A Hidrogén atom energiaszintjei

Az emissziós és abszorpciós frekvenciákra:

R: Rydberg-állandó

Lyman-sorozat:

Balmer-sorozat:

Paschen-sorozat:

Láttuk, hogy a fény viselkedhet hullámként is és részecskeként is. De Broglie felvetette, hogy ez a kettős természet talán az anyagi részecskékre is igaz.

Feltételezve, hogy a fotonra levezetett lendület-hullámhossz kapcsolat általános érvényű, egy részecskéhez (pl. elektronhoz) rendelhető hullámhossz:

A kettősrés kísérletet elvégezve ugyanolyan interferenciaképet kaptak elektronokra

mint fotonokra. Az interferenciakép csakis a hullámtulajdonságokkal magyarázható.

De Broglie-féle anyaghullámok

Az elektronmikroszkóp nem működhetne ha az elektron nem viselkedne hullámként.

13. feladat

Stacionárius esetben az atommag körül keringő elektron egy állóhullámnak felel meg.

Tehát a kör kerülete a hullámhossz egész számú többszöröse kell, hogy legyen:

nλ = 2πr

De Broglie hipotézise az atomi elektronra

Beírva a De Broglie hullámhosszt:

Az elektron pálya-impulzusmomentumára tehát:

A De Broglie hipotézis megmagyarázza az impulzusmomentum kvantált természetét!