Kérelem
MATEMATIKUS
mesterszak (MSc) indítására
Szeged
2007
ÚTMUTATÓ
a mesterszakok INDÍTÁSÁRA irányuló kérelmek összeállításához
ÚTMUTATÓ
a mesterszakok INDÍTÁSÁRA irányuló kérelmek összeállításához
Tartalomjegyzék
I. Adatlap...
3
II. A szakindítási kérelem indoklása, a továbblépés körülményei. A képzési kapacitás bemutatása...
5
1. A szak képzési és kutatási előzményei az intézményben ...
5
2. Az új típusú szakon végzők iránti regionális és országos igény prognosztizálása, a foglalkoztatási igény lehetőség szerinti bemutatásával/dokumentálásával.
...
6
3. Az indítandó mesterszak hallgatóinak a kutatás-fejlesztésre, illetve a doktori képzésre való felkészítésének, valamint a doktori képzésre való továbblépés lehetőségének bemutatása.
...
6
4. A kiemelkedő képességű hallgatók alkalmasságát figyelő, azt előmozdító,
„tehetséggondozó” tevékenység beépítésére vonatkozó elképzelések, ill. intézkedések bemutatása.
...
7
5. A felsőoktatási intézmény képzési kapacitásának bemutatása az érintett képzési területen, illetve szakon. A tervezett hallgatói létszám képzési formánként bemutatva ...
8
III. A mesterképzési szak tanterve és a tantárgyi programok leírása. A képzési és kimeneti követelményeknek való megfelelés bemutatása...
9
1. A szak tantervét táblázatban összefoglaló, krediteket is megadó, óra és vizsgaterv ...
9
2. Tantárgyi programok
...
11
3. Kompetenciák elsajátíttatása
...
41
4. A képzési és kimeneti követelményekben előírt idegen nyelvi követelmények
teljesítésének intézményi elősegítése, feltételei
...
41
ÚTMUTATÓ
a mesterszakok INDÍTÁSÁRA irányuló kérelmek összeállításához
5. A képzési és kimeneti követelményeknek való megfelelés bemutatása a szakra való
belépés tekintetében
...
41
6. Az értékelési és ellenőrzési módszerek, eljárások és szabályok bemutatása ...
42
IV. A képzés személyi feltételei...
43
1. A szakfelelős, a szakirányfelelősök és a záróvizsgatárgyak felelősei ...
43
2. Tantárgylista – tantárgyak felelősei, oktatói
...
43
3. Az oktatók személyi-szakmai adatai
...
54
4. Nyilatkozatok
...
113
V. A szakindítás kutatási és infrastrukturális feltételei...
155
1. Országosan (és nemzetközileg) elismert tudományos műhely(ek) és együtt dolgozó szakmai közösséggel bíró alapvető K+F/művészeti terület bemutatása ...
155
2. A képzés tárgyi feltételei, a rendelkezésre álló infrastruktúra ...
156
3. Az intézményvezető nyilatkozata
...
158
ÚTMUTATÓ
a mesterszakok INDÍTÁSÁRA irányuló kérelmek összeállításához Kérjük, hogy a beadásra kerülő kérelmeket tartalomjegyzékkel
és folyamatos oldalszámozással lássák el!
Kérjük továbbá, hogy a kérelmeket kétoldalas nyomtatásban (1 eredeti és 4 másolati példányban) és elektronikus formában is (CD-n vagy a
titkarsag@mab.hu címre) juttassák el hozzánk.
I.
Adatlap
1. A kérelmező felsőoktatási intézmény neve, címe Szegedi Tudományegyetem
6270 Szeged, Dugonics tér 13.
2. Kari tagozódású felsőoktatási intézmény esetén a képzésért felelős kar megnevezése Természettudományi Kar
3. Az indítandó mesterszak megnevezése Matematikus mesterszak
4. Az oklevélben szereplő szakképzettség megnevezése Okleveles matematikus
5. Az indítani tervezett és oklevélben szerepeltetni kívánt szakirány(ok) megnevezése szakirány nincs
6. Az indítani tervezett képzési formák (teljes idejű, részidejű, székhelyen kívüli, távoktatás) teljes idejű képzés
7. A képzési idő
a félévek, valamint az oklevél megszerzéséhez szükséges kreditek száma 4 félév, 120 kredit
az összóraszámon (összes hallgatói tanulmányi munkaidőn) belül a tanórák (kontaktórák) száma, figyelemmel a hatályos Ftv. 33.§. (1) bekezdésére, amely a teljes idejű képzésnél félévenként legalább 300 tanórát határoz meg.
(Ha a tervezett egyéb [esti, levelező tagozatos] képzési forma képzési ideje eltér a nappali tagozatos képzés idejétől, akkor – félévekben, tanórákban – azt is meg kell adni.)
1200 tanóra
a szakmai gyakorlat időtartama és jellege (ha van).
szakmai gyakorlat nincs
8. A szak indításának tervezett időpontja (figyelembe véve az engedélyezési eljárás időtartamát)
ÚTMUTATÓ
a mesterszakok INDÍTÁSÁRA irányuló kérelmek összeállításához 2008. szeptember 1.
9. A szakért felelős oktató megnevezése és aláírása
……….
Dr. Totik Vilmos egyetemi tanár, akadémikus
10.Dátum, és az intézmény felelős vezetőjének megnevezése és cégszerű aláírása
Szeged, 2007. június
……….
Dr. Szabó Gábor
egyetemi tanár, az SZTE rektora
11.Az adatlap mellékletei
A szenátus támogató javaslata Mellékelve
A mesterszak képzési és kimeneti követelményeit (KKK) tartalmazó leírás
(A szaklétesítési beadvány MAB által támogatott változata alapján közzétett OM / OKM dokumentum.)
Mellékelve
Felhasználói kapcsolatok és vélemények (amennyiben a felhasználói szféra jól azonosítható)
Nincs mellékelve
II.
A szakindítási kérelem indoklása, a továbblépés körülményei A képzési kapacitás bemutatása
(Legfeljebb 2-5 oldal terjedelemben)
1. A szak képzési és kutatási előzményei az intézményben. Intézményi képzési előzmények esetén az indítandó szak kimenetének és a korábbi egyetemi végzettségi színvonalnak az összevetése, a megfelelés konkrét bemutatása. (A korábbi egyetemi képzés tartalmával és kimeneti elvárásaival való összevetés.)
A Szegedi Tudományegyetem Matematikai Tanszékcsoportját, a Bolyai Intézetet 1921-ben alapította a matematikai analízis két világhírű kutatója, Riesz Frigyes és Haár Alfréd. Riesz a funkcionálanalízis egyik megalapítója, Haár pedig az ortogonális sorok és a folytonos csoportok elméletének egyik legkiválóbb művelője volt. Mindketten meghatározó alakjai a 20. századi matematikának. Riesz Frigyes, tanítványával, Szőkefalvi-Nagy Bélával közösen írt, “Leçons d’analyse Fonctionelle” című monográfiáját számos nyelvre lefordították, és matematikusok generációi tanulták belőle a funkcionálanalízis elemeit. Az Intézet professzori arcképcsarnokában a fentiek mellett olyan nagy nevek szerepelnek, mint Radó Tibor, Kerékjártó Béla, Szőkefalvi-Nagy Gyula, Kalmár László, Rédei László, Fodor Géza és Tandori Károly.
A Bolyai Intézet jelenleg a következő hat tanszékből áll: Algebra és Számelmélet, Alkalmazott és Numerikus Matematika, Analízis, Geometria, Halmazelméleti és Matematikai Logikai, és Sztochasztika. A nagy elődök tevékenységét folytatva, ezeken a tanszékeken több mint 50 oktató dolgozik; 33-an rendelkeznek tudományos fokozattal — közülük 8 a tudományok doktora és további 4 akadémikus. Az Egyetemi Könyvtár a múlt évben költözött az új Tanulmányi és Információs Központ épületébe. Ott a hallgatóság a legkorszerűbb körülmények között jut hozzá a matematikai alapkurzusokhoz szükséges irodalomhoz.
Emellett tovább működik a Bolyai Intézet országos jelentőségű, mintegy ötvenezer kötetes matematikai szakkönyvtára is. A matematika oktatásának és kutatásának feltételeihez a Bolyai Intézet kiadói tevékenysége is hozzájárul. A Bolyai Intézet 1922 óta adja ki a Riesz és Haár által alapított Acta Scientiarum Mathematicarum nemzetközi folyóiratot, 1994 óta a Polygon jegyzet- és tankönyvsorozatot, továbbá 1991 óta az azonos nevű matematikai-didaktikai szakfolyóiratot. A 2003-ban létesített korszerű számítógépes kabinet is az oktatás szolgálatára áll.
A hagyományos egyetemi szintű matematikus szak és az alkalmazott matematikus szak jelenleg is működnek egyetemünkön. Mindkét szak előzmény szaknak tekintendő, ugyanis matematikus szakunkon az elméleti matematika mellett az alkalmazásokhoz közelebb álló irányokba is specializálódhatnak a hallgatók, melyek közül a legnépszerűbb a pénzügyi matematika. Az alkalmazott matematikus szak négy éve, a matematikus szak pedig évtizedek óta folyamatosan létező képzési forma a Bolyai Intézetben. A specializálódási lehetőséget 1998-ban vezettük be. Ezen nagy hagyományokkal rendelkező, nemzetközi mércével mérve is magas színvonalú képzések legfőbb értékeit visszük át a lineáris, kétfokozatú képzési rendszerbe amellett, hogy a képzés szerkezetét rugalmasabbá kívánjuk tenni.
A matematikus mesterképzési szakon szerzett végzettség megfelel a jelenleg működő matematikus (egyetemi szintű) szaknak. Az új képzés a régiben oktatott ismeretek kb. 70 %-át tartalmazza, a 30 %-os eltérés a diploma piacképesebbé tételét szolgálja. A mesterképzésben részt vett matematikusok (hasonlóan a jelenlegi matematikus szakos hallgatókhoz) biztosítják a szakember-utánpótlást azokon a területeken, ahol a matematika alkalmazásainak magas szintű használata szükséges konkrét gyakorlati problémák megoldásához, valamint felsőoktatásunk magas szintű utánpótlását szolgáltatják.
2. Az új típusú szakon végzők iránti regionális és országos igény prognosztizálása, a foglalkoztatási igény lehetőség szerinti bemutatásával/dokumentálásával.
Az indítandó matematikus mesterszakon végző hallgatók iránti regionális és országos igény hirtelen változásoktól mentes és jól prognosztizálható. Mindez megbízhatóan állapítható meg az előzmény szakok, valamint a matematika fejlődési vonulatának elemzéséből. A matematika szerepét — szemben sok más tudománnyal és szakmával — nagyfokú stabilitás jellemzi. Már az ókorban tudománynak számított a mai mércével mérve is.
Az eltelt több mint kétezer év óta töretlenül fejlődik. Fejlődése jórészt a többi tudomány előremenetelével kapcsolatos, sokszor pedig a belső fejlődés során nyert tételek találnak váratlanul fontos alkalmazásra. A matematika szerepe a kutatásban napjainkban is nő. George W. Bush, az Egyesült Államok elnöke 2006-ban, az Unió helyzetéről tartott beszédében meghirdette az Amerikai versenyképességi kezdeményezés című programot, amelyben lényeges költségvetési növekedést javasolt az alapkutatások területén, különös tekintettel a matematikai és fizikai tudományokra. Az Európai Unió jelenlegi irányelvei szerint a tagállamokban erősíteni kívánják a matematika és a természettudományok szerepét. Ezek jól példázzák, hogy a világban a matematika egyre fontosabb szerepet tölt be, így a méltán világhírű hazai matematika tudományos szerepe aligha fog hanyatlásnak indulni a közeljövőben.
Az egyre szigorodó gazdasági-piaci körülmények között a gazdasági szféra biztonsággal működni kívánó egységeinek szükségük van matematikára. Például a biztosítók díjtételeinek megállapításához a kockázatok elemzésében és a matematikai statisztika módszereiben magas szinten járatos szakemberek alkalmazása szükséges. Sok matematika kell műszaki, számítógépes és közgazdasági területeken is. A Délalföldi Régióban számos munkahely foglalkoztat matematikusokat. Ide sorolhatók az ismert rangos kutatóintézeteken (SZBK, Gabonatermesztési Kutató Kht, Bay Zoltán Intézet) kívül a MATÁV, a NOKIA, a Siemens- SYSDATA regionális fejlesztő központjai, valamint egyes kisebb hazai szoftverfejlesztő cégek (pl. SCRIPTUM) is. A felsoroltak az informatikusok mellett már most is alkalmaznak néhány olyan, az Egyetemünkön végzett matematikust, akiknek a bonyolult problémák matematikai műveltséget igénylő áttekintése a munkaköri feladata. A közelmúltban két nagyhírű nemzetközi cég, a Morgan Stanley és a Hewitt Associates alapított Magyarországon elemző és kutatóközpontot, aminek egyik legfontosabb oka a nálunk képzett matematikusok jó híre a világban. Mindkét cég megkereste Intézetünket, és vett fel matematikusokat induló csapatába végzős hallgatóink közül. Elsősorban a mély és jól megalapozott matematikai tudással rendelkező szakembereket keresik.
A matematikus mesterképzés (hasonlóan a korábbi matematikus és alkalmazott matematikus képzéshez) biztosítja a szakember-utánpótlást az alapos matematikai ismereteket igénylő alkalmazási területeken, az oktatói utánpótlást a felsőoktatás számára, továbbá a szakma kutatói utánpótlását is.
3. Az indítandó mesterszak hallgatóinak a kutatás-fejlesztésre, illetve a doktori képzésre való felkészítésének, valamint a doktori képzésre való továbblépés lehetőségének bemutatása.
Az SZTE Doktori Intézetének keretében 1992 óta működik a Matematikai és Számítástudományi Doktori Iskola. Évente a 3-4 legtehetségesebb hallgatónk kerül be a doktori képzésbe, többnyire a tudományos diákköri munkát végző hallgatók közül. A doktori képzésben tanítványaink általában a diplomamunkájuk témájában kutatnak tovább, ami a képzési rendszer szerves egységét mutatja. Úgy gondoljuk, hogy ez a matematikus mesterképzés beindítása után is így lesz. A Bolyai Intézet rendszeresen szervez és a jövőben is szervezni fog különböző témakörökben kutatói szemináriumokat, amin tehetséges hallgatóink részt vehetnek és előadást tarthatnak. Eredményeiket nemzetközi konferenciákon
is bemutathatják, amit a Bolyai Intézet mind szakmailag, mind anyagilag támogat. A mesterképzés időtartama alatt — akárcsak jelenleg — lehetőség lesz a szűkebb, specializáltabb szakterületeken megrendezett nyári iskolákon való részvételre, ami tovább mélyíti az érdeklődő hallgatók szakmai ismereteit. Az ezeken való részvételt — lehetőségeinkhez képest — anyagilag is támogatjuk. Jellemző, hogy a doktori képzésbe bekerülő hallgatók közül többnek már van megjelent tudományos publikációja, amit oktatóink szakmai irányítása mellett írt. Ennek a több évtizedes hagyománnyal rendelkező szakmai mentori tevékenységnek az eredménye, hogy intézetünk mindig is ki tudta termelni oktatói és kutatói utánpótlását.
4. A kiemelkedő képességű hallgatók alkalmasságát figyelő, azt előmozdító, „tehetség- gondozó” tevékenység beépítésére vonatkozó elképzelések, ill. intézkedések bemutatása.
A Bolyai Intézetben nagy hagyománya van a tudományos diákköri tevékenységnek, melynek keretében a hallgatók elmélyíthetik ismereteiket egy adott területen, és önálló kutatómunkát végezhetnek. Évente számos TDK dolgozat születik Intézetünkben, melyek legnagyobb része továbbjut az országos fordulóra, ahol már sok díjat és kitüntetést nyertek hallgatóink.
Oktatóink szakmai és témavezetői tevékenységükkel támogatják a diákköri tevékenységet. Az idei OTDK-n a négy matematikai szekcióból háromban szegedi lett mind az első, mind a második helyezett.
A képzés ideje alatt hallgatóinknak lehetősége van az ERASMUS program keretein belül külföldi egyetemeken eltölteni egy-egy szemesztert. Ilyen cserekapcsolataink vannak olaszországi, németországi, finnországi és romániai egyetemekkel. Jelenleg minden évben átlagosan 8-10 hallgatónk utazik így részképzésre, amivel az egyetemi mezőnyben a hallgatói mobilitás szempontjából a legjobbak közé tartozunk. ERASMUS kapcsolatainkat a mesterfokú képzésben részt vevő hallgatók a jövőben is igénybe vehetik.
Hallgatóink rendszeresen részt vesznek és sikeresen szerepelnek hazai és külföldi matematika versenyeken. A versenyekre való felkészülésüket feladatmegoldó kurzusokkal, válogató és pontversenyekkel, a részvételt pedig kísérőtanár biztosításával és — lehetőségeinkhez mérten — anyagi hozzájárulással segítjük. A londoni University College által megrendezett IMC Matematika Versenyen hallgatóink számos trófeát gyűjtöttek be. Ki kell emelnünk a 2004. évet, amikor egyik hallgatónk kiemelt I. díjat (Grand First Prize), másikuk I. díjat kapott. A 2005. és a 2006. évi Schweitzer-versenyt az összes kitűzött feladat hibátlan megoldásával úgy nyerte meg egy hallgatónk, hogy második díjat nem is adtak ki. A Bolyai Intézet évtizedek óta és a jövőben is szervez általános és középiskolai szakköröket és versenyeket (ilyen pl. a Szőkefalvi-Nagy Gyula-verseny), illetve évente általános iskolai tehetséggondozó tábort is. Az is hagyomány, hogy a tehetséggondozás a felsőoktatási évek alatt több szinten folyik. Az alapképzésben például legtehetségesebb diákjaink számára magasabb kreditszámú kiemelt előadásokat tartunk a legfontosabb kötelező tárgyakból, melyekhez kiemelt gyakorlatok is tartoznak.
A fentiekből bőven kitűnik, hogy az 52 fős, hat tanszékből álló Bolyai Intézet nemcsak magas kutatói potenciált képvisel, hanem kiemelkedő matematikaoktatói tapasztalatokkal és tudással rendelkezik. A hallgatóink számára — hasonlóan az eddigi gyakorlathoz — kötelezően választható matematikai tárgyak igen széles skáláját kínáljuk a mesterképzés keretében is. Ez lehetőséget nyújt arra, hogy a Bolyai Intézet kutatási irányainak megfelelő területeken a hallgatók megismerhessék a legmodernebb eredményeket és módszereket, és a legjobbak be is kapcsolódhassanak a kutatómunkába. Ezeket a kurzusokat a normál kurzusok esetében megszokottnál kisebb hallgatói létszám esetén is megtartjuk.
5. A felsőoktatási intézmény képzési kapacitásának bemutatása az érintett képzési területen, illetve szakon. A tervezett hallgatói létszám képzési formánként bemutatva.
A matematikusok iránti igény becslését megkönnyíti, hogy ez a pálya soha nem volt felkapott divatszakma, mindig is az elhelyezkedési lehetőséget mérlegelő elhivatottak választották. Egyetemünkön a 2003-2004-es tanévre összesen 22 matematikus és alkalmazott matematikus szakos hallgató iratkozott be, a 2004-2005-ös tanévre 35-en nyertek felvételt, a 2005-2006-os tanévben pedig 31 matematikus és 17 alkalmazott matematikus hallgató kezdte meg nálunk tanulmányait. Az új képzési rendszerben, 2006-ban a matematika alapszakunkra 94 hallgató iratkozott be. Megfigyelhető, hogy a beiratkozottak száma emelkedő tendenciát mutat. Azt is figyelembe kell venni, hogy az induló mesterszakra a nem matematika alapszakon végzettek közül is jelentkezhetnek hallgatók. A kétciklusú képzésnek és a korábban bevezetett kreditrendszernek éppen az az egyik lényegi eleme, hogy megkönnyíti a tanulmányok és a diplomák egymásra épülését. A bemeneti lehetőségek bővülése magával fogja vonni a matematikus mesterképzési szakra jelentkező hallgatók számának növekedését.
Ennek alapján azt lehet prognosztizálni, hogy a matematikus mesterképzési szakra jelentkezők száma az alapszakok beindulása után 3-4 évvel (mikor már jelentős számban lesznek alapszakokon végzett hallgatók) meg fogja haladni a jelenlegi matematikus szakra jelentkezők létszámát.
Mindezek alapján a matematikus mesterszakon képezendő (és azt követően a megszerzett tudást pályaorientáció nélkül ténylegesen hasznosító) hallgatók száma Szegeden várhatóan évi 20 körül lesz. A matematikus szakon képzési kapacitásunkat évfolyamonkénti 40 hallgatóra becsüljük.
III.
A mesterképzési szak tanterve és a tantárgyi programok leírása A képzési és kimeneti követelményeknek való megfelelés bemutatása 1. A szak tantervét táblázatban összefoglaló, krediteket is megadó, óra és vizsgaterv
Ha vannak szakirányok, azok bemutatása, kredit-tartalommal is.
Az idegen nyelven folyó képzés tantervi táblázatát, a tantárgyak leírását a tervezett idegen nyelven is mellékelni kell.
Amennyiben az idegen nyelven folyó képzés tanterve nem azonos a magyar nyelvű képzésével, úgy az eltéréseket részletesen be kell mutatni.
Elméleti alapozás (20 kredit)
A hallgatónak, előtanulmányaitól függően, előírjuk bizonyos matematika alapszakos tárgyak elvégzését az alábbiak közül (dőlt szedés jelzi azokat a tárgyakat, amelyeket az SZTE matematika alapszakán — esetleg a tanári szakirány kivételével — minden hallgató elvégez):
TÁRGY ea. gy. lab. szám.k. kr. felelős oktató
Absztrakt algebra 2 2 K+Gyj 5 B. Szendrei Mária
Algebra és alkalmazásai 2 2 K+Gyj 5 Czédli Gábor
Komplex és valós függvénytan 4 3 K+Gyj 8 Kérchy László
Közönséges differenciálegyenletek 2 2 K+Gyj 5 Krisztin Tibor
Konvex és diszkrét geometria 3 2 K+Gyj 6 Kincses János
Differenciálgeometria 3 2 K+Gyj 6 Kurusa Árpád
Valószínűségelmélet 4 1 K+Gyj 6 Csörgő Sándor
Matematikai statisztika 3 1 K+Gyj 5 Krámli András
Statisztikai programcsomagok 0 0 2 Gyj 2 Viharos László
Kombinatorika 3 0 K 4 Hajnal Péter
Halmazelmélet és matematikai logika 3 0 K 4 Totik Vilmos
26 15 2 52
Várakozásunk szerint a matematikus mesterszakra többségében olyan hallgatók jelentkeznek majd, akik elvégezték a matematika alapszak alkalmazott matematikus vagy matematikus szakirányát. Ezért a hálóterv számukra készült. Az elméleti alapozásra félretett 20 kreditet ők választható matematikai tárgyak teljesítésével szerzik meg. A hálótervben megnevezett tárgyak a szakmai törzstárgyak, teljesítésük a szakot végző összes hallgató számára kötelező.
Hálóterv(óra- és vizsgaterv):
TÁRGY ea. gy. szám.k. kr. felelős oktató
1. Félév
Csoportelmélet 2 2 K 5 B. Szendrei Mária
Funkcionálanalízis 2 1 K 4 Kérchy László
TÁRGY ea. gy. szám.k. kr. felelős oktató
Diszkrét matematika 2 2 K 5 Hajnal Péter
Bevezetés az elméleti fizikába 2 0 K 3 Fehér László
Kötelezően választható matematika tárgyak 8
10 7 30
2. Félév
Testelmélet és Galois-elmélet 2 1 K 4 B. Szendrei Mária
Parciális differenciálegyenletek 2 2 K 5 Krisztin Tibor
Geometriai struktúrák 2 1 K 4 Fodor Ferenc
Sztochasztikus folyamatok 3 1 K 5 Csörgő Sándor
Kötelezően választható matematika tárgyak 12
9 5 30
3. Félév Kötelezően választható tárgyak a differenci-
ált szakmai ismeretek témaköreiből 17
Szabadon választható tárgy 3
Diplomamunka Gyj 10
0 0 30
4. Félév Kötelezően választható tárgyak a differenci-
ált szakmai ismeretek témaköreiből 17
Szabadon választható tárgy 3
Diplomamunka Gyj 10
0 0 30
2. Tantárgyi programok
Az egyes tantárgyak keretében elsajátítandó ismeretanyag rövid, (néhány soros) leírása, valamint minden tantárgyhoz a tantárgyfelelős, az előtanulmányi feltételek, a kredit feltüntetése, és a 3-5 legfontosabbnak ítélt kötelező, illetve ajánlott irodalom (jegyzet, tankönyv) felsorolása.
Törzsanyag
Elméleti alapozás (20 kredit) Algebra alapjai
Absztrakt algebra 2+2 óra, 5 kredit Előfeltétel: –
Tárgyfelelős: B. Szendrei Mária
Tematika: Véges halmaz permutációi. Csoport definíciója, az asszociativitás és az invertálhatóság következményei; nevezetes példák. A részcsoport, izomorfizmus, homomorfizmus fogalma és alapvető tulajdonságai, példák. Cayley tétele. Hatványozás csoportban, az elemrend definíciója és tulajdonságai. Generátorrendszer, ciklikus csoportok.
Részcsoport szerinti mellékosztályozás, Lagrange tétele. Normálosztó, normálosztó szerinti mellékosztályozás, faktorcsoport, csoportelméleti homomorfiatétel és izomorfiatételek.
Faktorcsoport részcsoportjai. Egyszerű csoportok, az alternáló csoportok egyszerűsége.
Csoportok direkt szorzata, direkt fölbontása; a véges Abel-csoportok alaptétele.
A gyűrű definíciója, nevezetes példák. Ideál, ideál szerinti osztályozás, faktorgyűrű.
Gyűrűelméleti homomorfiatétel és izomorfiatételek. Gyűrűk direkt szorzata, a maradékosztálygyűrűk direkt fölbontása. Egyszerű gyűrűk, a főideálgyűrűk faktortestei.
Integritástartomány hányadosteste. Test karakterisztikája, prímteste. Egyszerű algebrai és egyszerű transzcendens testbővítés, minimálpolinom, végesfokú testbővítés.
Absztrakt algebrai alapfogalmak: művelet, algebra, részalgebra, generátorrendszer, homomorfizmus, izomorfizmus, kongruencia, kompatibilis osztályozás, faktoralgebra.
Homomorfiatétel.
Irodalom:
Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó, 1985., 1988., JATE Press, 1993., 1998., Polygon 2005.
Csákány Béla: Algebra, JATE jegyzet, Tankönyvkiadó, 1973,…,1995.
Fried Ervin: Algebra I, II, Tankönyvkiadó, 2000, 2002.
Fuchs László: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993.
Schmidt Tamás: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993.
Algebra és alkalmazásai 2+2 óra, 5 kredit
Előfeltétel: Absztrakt algebra Tárgyfelelős: Czédli Gábor
Tematika:Lineáris transzformációk és mátrixok sajátértékei, sajátvektorai és karakterisztikus polinomja. Sajátaltér.
Euklideszi terek. Lineáris leképezés adjungáltja, mátrixa ortonormált bázisban. Önadjungált és ortogonális leképezések, ortogonális mátrixok. Spektráltétel és következményei kvadratikus alakokra és szimmetrikus mátrixokra. Unitér terek. Lineáris leképezés adjungáltja, mátrixa ortonormált bázisban. Normális és unitér leképezések, unitér mátrixok.
Spektráltétel. Polinommátrixok ekvivalenciája és kanonikus alakja. Hasonló mátrixok.
Lineáris transzformációk és mátrixok minimálpolinomja, Cayley-Hamilton-tétel. Mátrixok Jordan-féle normálalakja.
Az algebrai számelmélet elemei: algebrai és transzcendens számok, algebrai egészek, kvadratikus testek. Kvaterniók, a természetes számok fölbontása négyzetszámok összegére, a Waring-problémakör. Polinom felbontási teste. Véges testek és algebrai kódok. Prímtesztek, RSA titkosítás. Véges automaták és reguláris nyelvek.
Irodalom:
Czédli Gábor, Boole-függvények, JATEPress, Szeged 1994, 89 oldal; Polygon, Szeged, 1995.
D.K. Fagyejev, I.S. Szominszkij: Felsőbb algebrai feladatok, Műszaki Könyvkiadó, 1973, Typotex, 2000.
Freud Róbert: Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1998.
Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.
Megyesi László: Bevezetés a számelméletbe, Polygon, 1997.
Analízis alapjai
Komplex és valós függvénytan 4+3 óra, 8 kredit
Előfeltétel: –
Tárgyfelelős: Kérchy László
Tematika:Komplex függvények differenciálhatósága, a Cauchy-Riemann-egyenletek.
Harmonikus függvények. Törtlineáris függvények. Nevezetes egész függvények: az exponenciális és a trigonometrikus függvények, hatványsoraik és inverzeik. A görbe menti integrál. A Cauchy-féle integráltétel és integrálformula, Morera tétele.
Analitikus függvények és tulajdonságaik: hatványsorba fejtés, zéróhelyek, a Maximum-tétel, Liouville tétele, a Schwartz-féle lemma. Az Algebra alaptétele. Analitikus függvények egyenletesen konvergens sorozatai. Laurent sorok, az izolált szinguláris helyek osztályozása.
A Reziduum-tétel, a reziduumszámítás alkalmazásai határozott integrálok kiszámítására.
Mérték, mértéktér, mérték kiterjesztése félalgebráról szigma-algebrára, külső mérték. Mérhető és integrálható függvények. Az integrál és tulajdonságai. Konvergenciatételek: Lebesgue tételei, Fatou lemmája. Borel-mértékek, regularitás, Luzin tétele. Pozitív Borel-mértékek megadása az egyenesen és Rn-en, a Lebesgue-féle mérték. A Riemann- és a Lebesgue- integrál kapcsolata. Mértékterek szorzata, Fubini-tétel, végtelen sok valószínűségi mértéktér szorzata. Függvényterek, a Hölder- és a Minkowski-egyenlőtlenségek, a Riesz-Fisher-tétel.
Banach-terek, Hilbert-terek, Hilbert-tér duálisa. Komplex mértékek, a teljes változás mérték.
A Radon-Nikodym-tétel, Lebesgue-felbontás, Hahn-felbontás.
Irodalom:
Kérchy László: Valós- és funkcionálanalízis, Polygon, Szeged, 2007.
Kérchy László: Hilbert terek és operátoraik, Polygon, Szeged, 2003.
Sarason, D.: Notes on complex function theory, Hindustan Book Agency, New Delhi, 1998.
Szőkefalvi-Nagy Béla: Komplex függvénytan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988.
Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Polygon, Szeged, 2002.
Komplex és valós függvénytan Közönséges differenciálegyenletek 2+2 óra, 5 kredit
Előfeltétel: –
Tárgyfelelős: Krisztin Tibor
Tematika: A kezdetiérték-probléma megoldásának létezése és egyértelműsége, folytathatósága.
Magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek és rendszerek megoldásainak tere;
alaprendszer, alapmátrix, Wronski-determináns. Konstansvariáció. Konstans együtthatós egyenletek és rendszerek.
Autonóm rendszerek, szimmetrikus differenciálegyenlet-rendszerek pályái. Első integrálok.
Kapcsolat az elsőrendű parciális differenciálegyenletekkel.
Egyensúlyi helyzet stabilitása, aszimptotikus stabilitása. Ljapunov tételei. Konzervatív mechanikai rendszer egyensúlya. Stabilitásvizsgálat az első közelítés alapján. Egyensúlyi helyzet stabilis és instabilis halmaza. A matematikai inga fázissíkja: súrlódásmentes eset, a súrlódás hatása.
Irodalom:
L.Sz. Pontrajagin, Közönséges differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, 1970.
Terjéki József, Differenciálegyenletek, Polygon, 1997.
M. Hirsh, S. Smale, Differential equations, dynamical systems and linear algebra, Academic Press, 1974.
Geometria alapjai
Konvex és diszkrét geometria 3+2 óra, 6 kredit
Előfeltétel: –
Tárgyfelelős: Kincses János
Tematika: Konvexitás, Chratheodory tétel, Radon tétel, Helly tétel. Szeparációs tételek.
Konvex halmazok polaritása, lapok és extremális részhalmazok. Hausdorff metrika, a konvex halmazok terének lokális kompaktsága. Politop approximáció. Konvex halmazok térfogata, felszíne, Cauchy formula. Minkowski összeg, Brunn-Minkowski egyenlőtlenség. Steiner formula, izoperimetrikus tétel. Invariáns mérték az altereken, konvex test vetületeinek ill.
metszeteinek integrálja. Poliéderek algebrai leírása, a linearis programozás alapfeladata, Farkas lemma. Politopok laphálója, felső korlát tétel. Politopok kombinatorikus típusa, Steinitz tétele. Poliéderek merevsége, Cauchy tétele. Legsűrűbb körelhelyezések. Gömbi geometria: metrika, trigonometria, területmérés, izometriacsoport és ennek diszkrét részcsoportjai. Projektív geometria: Harmonikus pontnégyes, Homogén koordináták.
Másodrendű görbék végtelen távoli pontjai. Konjugáltság, pólus, poláris. Desargues és Pappos síkok és koordinátázhatóságuk. Másodrendű görbék és felületeket, polaritások.
Irodalom:
Szabó Zoltán: Bevezető fejezetek a geometriába,
H.G.Eggleston: Convexity, Cambridge Univ. Press 47, (1958).
B.Grünbaum: Convex Polytopes, John Wiley & Sons, London, 1967.
P.M. Gruber, J.M.Wills: Convexity and its applications, Birkhauser, 1983.
Kiss Gy.-Szőnyi T.: Véges geometriák, Polygon, 2001.
Differenciálgeometria 3+2 óra, 6 kredit Előfeltétel: –
Tárgyfelelős: Kurusa Árpád
Tematika:Görbék síkban: körülfordulási tétel.
Görbék magasabb dimenziókban és síkban: Görbületek, görbék alaptétele.
A felület definíciója, paramétervonalak, érintősík, vektormezők, iránymenti derivált, kovariáns deriválás, Christoffel szimbólumok, párhuzamosság. Felületi görbék, geodetikus görbület, geodetikusok, differenciálegyenletek és extremalitás, exponenciális leképezés, Weingarten leképezés, normálgörbület, Euler-tétel, Gauss és Minkowski görbület. Lie zárójel, Jacobi azonosság, indukált leképezés, folyam, Gauss és Codazzi Mainardi egyenlet, Riemann
görbület, Bianchi egyenletek, Theorema egregium, Stokes tétel, Gauss-Bonnet tétel, Euler karakterisztika.
A sokaság definíciója, érintőtér, vektormező, Lie-derivált, kovariáns deriválás, Christofel- szimbólumok, torzió, Riemann-görbület.
Riemann-metrika, Levi-Civita kovariáns deriválás, görbe és ívhossza, geodetikusok, szorzatgörbület, konstansgörbületű terek. Lie-csoportok: invariáns vektormezők, Lie-algebra, exponenciális leképezés.
Irodalom:
Szőkefalvi Nagy Gyula – Nagy Péter – Gehér László: Differenciálgeometria;
B.A. Dubrovin – A. T. Fomenko – S. P. Novikov: Modern Geometry – Methods and applications Part I.-II.;
S. Kobayashi – K. Nomizu: Foundations of differential geometry;
Kurusa Á.: Bevezetés a Differenciálgeometriába, Polygon, 1999;
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjai Valószínűségelmélet
4+1 óra, 6 kredit
Előfeltétel: Komplex és valós függvénytan Tárgyfelelős: Csörgő Sándor
Tematika: Eseményalgebrák, Kolmogorov-féle valószínűségi mezők: mértékek szigma- additivitása és folytonossága. Véletlen változók és vektorváltozók eloszlása és eloszlásfüggvénye. Abszolút folytonos eloszlások és sűrűségfüggvényeik, szinguláris eloszlások, Lebesgue dekompozíció. Események, eseményosztályok és véletlen változók függetlensége. Függetlenség véges dimenzióban az együttes eloszlásfüggvény, illetve sűrűségfüggvény segítségével. Független kísérletek és szorzat valószínűségi mezők. Várható érték és tulajdonságai, szórás, momentumok. Kovariancia és korrelációmátrix, lineáris függetlenség, transzformációk. A többdimenziós normális eloszlás. Sztochasztikus, majdnem biztos, és Lp-konvergencia; kapcsolatuk, valószínűségi metrikák. Nagy számok gyenge és erős törvényei: Kolmogorov és Etemadi tételei. A Kolmogorov-féle 0-1 törvény és következményei. Független véletlen változók végtelen sorainak konvergenciája: a Kolmogorov-féle három-sor tétel. Mértékek gyenge konvergenciája és kapcsolata a sztochasztikus konvergenciával, eloszlásbeli konvergencia. Karakterisztikus függvények és tulajdonságaik: inverziós formulák, unicitástétel, momentumok és sorfejtés, a Lévy-Cramér folytonossági tétel, nevezetes eloszlások karakterisztikus függvényei, a Cramér-Wold lemma.
A centrális határeloszlás-tétel: Lévy, Ljapunov és Lindeberg tételei. Aszimptotikus elhanyagolhatóság, Feller tétele. Momentum konvergenciatétel, a Stirling formula mint a centrális határeloszlás-tétel következménye. Többdimenziós centrális határeloszlás-tételek.
Az extrémumelmélet elemei: maximumok határeloszlásának típusai. A feltételes valószínűség és feltételes várható érték általános fogalma és tulajdonságaik: konvergencia-tételek, Jensen- egyenlőtlenség, a teljes valószínűség és várható érték tételének általános formája. Martingálok és szemimartingálok: megállasi idők, opciós mintavételi tétel, felmetszés-egyenlőtlenség, martingál konvergencia tétel, martingál centrális határeloszlás-tétel.
Irodalom:
Tandori Károly: Valószínűségszámítás , JATE jegyzet, Szeged, 1973.
Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.
W. Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978.
Prékopa András: Valószínűségelmélet, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972.
Bognár Jánosné, Mogyoródi József, Prékopa András és Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény, Tankönyv-kiadó, Budapest, 1971.
Matematikai statisztika 3+1 óra, 5 kredit
Előfeltétel: Valószínűségelmélet Tárgyfelelős: Krámli András
Tematika: Statisztikai minta, mintavételezés. Tapasztalati eloszlás, tapasztalati eloszlásfüggvény és az ezekre alapozott becslések; a Glivenko-Cantelli-tétel. Elégségesség, a Fisher-Neyman faktorizációs tétel, exponenciális családok. Fisher-információ, együttes Fisher-információ, statisztikák információja, információ és paramétercsere. Pontbecslések elmélete: torzítatlanság, hatásosság, megengedhetőség, minimaxitás, konzisztencia. Rao- Blackwell-tétel, teljesség, Cramér-Rao-egyenlőtlenség. Becslési módszerek: a momentum- módszer, a minimális távolságok módszere, a maximum-likelihood becslés. A maximum- likelihood becslés aszimptotikus tulajdonságai: konzisztencia, aszimptotikus normalitás és hatásosság. Bayes-becslések: megengedhetőség, minimax tulajdonság, torzítatlanság.
Konfidencia intervallumok szerkesztése egzakt és aszimptotikus módszerekkel. A statisztikai hipotézisvizsgálat alapfogalmai. A Neyman-Pearson-lemma. A próba erejének aszimptotikája.
A normális eloszlás paramétereire vonatkozó klasszikus próbák: u-, t- és F-próba, a Fisher- Bartlett-tétel. Tiszta és becsléses illeszkedésvizsgálat. A többdimenziós normális eloszlás paramétereinek becslése és azok tulajdonságai. Regresszió és lineárisi regresszió. Becslés és hipotézisvizsgálat lineáris modellekben.
Irodalom:
Vincze István: Matematikai statisztika ipari alkalmazásokkal, Budapest, Műszaki Könyvkiadó, 1968.
Tandori Károly: Matematikai statisztika, JATE jegyzet, Szeged, 1974.
Bolla Marianna, Krámli András: Statisztikai következtetések elmélete, Budapest, Typotex, 2005.
Móri Tamás, Szeidl László és Zemplényi András: Matematikai statisztika példatár, Budapest, ELTE Eötvös K., 1997.
Prékopa András: Valószínűségelmélet műszaki alkalmazásokkal, Műszaki Kiadó, Budapest, 1972
Statisztikai programcsomagok 0+0+2 óra, 2 kredit
Előfeltétel: –
Tárgyfelelős: Viharos László
Tematika:Számítógépes statisztikai programcsomagok működésének általános ismertetése, az SPSS, SAS, S+, Statistica, R, BMDP programcsomagok. Ezek alkalmazása konkrét adathalmazok statisztikai vizsgálatára: adatbevitel, adatmanipuláció, ábrák, grafikonok tervezése, alapstatisztikák számítása. Véletlenszám generálás. Illeszkedésvizsgálatok, grafikus tesztek, khi-négyzet próbák diszkrét illeszkedés-, homogenitás- és függetlenség-vizsgálatra, becsléses illeszkedésvizsgálat. Minta átlagára vonatkozó hipotézisek tesztelése, több független minta átlagának összehasonlítása. Gyakorisági táblázatok készítése. Egy és többváltozós regresszióanalízis, lineáris regresszió, korlátos rangú regresszió, ridge- regresszió. Szórásanalízis. Többváltozós statisztikai módszerek: főkomponens analízis, faktoranalízis, klaszteranalízis, kanonikus korrelációanalízis. Idősor analízis.
Irodalom:
Csendes Tibor: Bevezetés a számítógépes statisztikába, NOVADAT, Szeged, 2001.
Füstös László és Kovács Erzsébet: A számítógépes adatelemzés statisztikai módszerei. Tankönyvkiadó Budapest, 1989.
Walter Jahn és Hans Vahle: A faktoranalízis és alkalmazása. KJK, Budapest, 1974.
Kerékgyártó Györgyné és Mudruczó György: Statisztikai módszerek a gazdasági elemzésben. KJK, Budapest, 1987.
Székelyi Mária és Barna Ildikó: Túlélőkészlet az SPSS-hez. Typotex Kiadó, Budapest, 2002.
Egyéb alapozó tárgyak Kombinatorika 3+0 óra, 4 kredit Előfeltétel: –
Tárgyfelelős: Hajnal Péter
Tematika: Binomiális és polinomiális tétel. Alapvető leszámlálási eljárások. Szitaformula.
Generátorfüggvények módszere. Rekurzív sorozatok. Gráfelméleti alapfogalmak. Speciális gráfok, tulajdonságaik. Gráfok színezése, az ötszíntétel. Páros gráfok és független élrendszerek, párosítási algoritmusok, Kőnig tétele. Euler-vonal, Hamilton-kör. Síkba rajzolható gráfok jellemzése. Fák, Kruskal-algoritmus. Lineáris algebra és gráfok.
Algoritmikus és bonyolultsági kérdések a kombinatorikában és gráfelméletben.
Irodalom:
Hajnal Péter: Összeszámlális problémák, Polygon jegyzettár, Szeged, 1997.
Hajnal Péter: Gráfelmélet, Polygon jegyzettár, Szeged, 1997.
Halmazelmélet és matematikai logika 3+0 óra, 4 kredit
Előfeltétel: –
Tárgyfelelős: Totik Vilmos
Tematika: Halmazok megadása, halmazműveletek, hatványhalmaz. Halmazok ekvivalenciája.
Számosságok és összehasonlításuk, műveletek számosságokkal. Rendezett halmazok, hasonlóság, rendtípus, jólrendezett halmazok. Kiválasztási axióma. Transzfinit indukció és rekurzió. Rendszámok és összehasonlításuk. Logikai műveletek, az ítéletkalkulus formulái.
Igazságfüggvények, Boole-függvények. Normálformák. Levezetések. Az ítéletkalkulus teljességi tétele. Kompaktsági tétel. Elsőrendű nyelvek és struktúrák. Az elsőrendű logika kifejezései és formulái. Levezetések, ellentmondásmentesség. Teljességi és nemteljességi tétel.
Irodalom:
Hajnal András és Hamburger Péter, Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, 1983. [A tematika többé-kevésbé megfelel a tankönyvben az I. résznek.]
Csirmaz László, Matematikai logika, Tankönyvkiadó, 1994,
Kalmár László, A matematika alapjai II. kötet, JATE jegyzet, Tankönyvkiadó, 1977, Urbán János, Matematikai Logika, példatár, Műszaki Könyvkiadó, 1987,
Totik Vilmos, Matematikai Logika, vázlat.
Szakmai törzsanyag (40 kredit)
A szakmai törzstárgyak teljesítése minden hallgatók számára kötelező.
Algebra és számelmélet Csoportelmélet
2+2 óra, 5 kredit
Előfeltétel: Algebra és alkalmazásai Tárgyfelelős: B. Szendrei Mária
Tematika:Permutációcsoportok, a Cayley-ábrázolás általánosítása. Csoport automorfizmusai, szemidirekt szorzat.
Konjugáltság, normalizátor, centralizátor, centrum. Osztályegyenlet, Cauchy-tétel, Sylow- tételek. Véges p-csoportok.
Nilpotens, ill. feloldható csoportok. A véges nilpotens csoportok jellemzése.
Szabad csoportok, definiáló relációk. Szabad Abel-csoportok. A végesen generált Abel- csoportok alaptétele.
Lineáris csoportok. A projektív speciális lineáris csoport egyszerűsége.
Irodalom:
Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó 1985, 1988, JATE Press 1993, 1998., Polygon 2005.
Csákány Béla: Algebra, Tankönyvkiadó, 1973,…,1995.
Fuchs László: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993.
K.G. Kuros: Csoportelmélet, Akadémiai Kiadó, 1955.
Schmidt Tamás: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993
Testelmélet és Galois-elmélet 2+1 óra, 4 kredit
Előfeltétel: Csoportelmélet Tárgyfelelős: B. Szendrei Mária
Tematika: Egyszerű algebrai, ill. egyszerű transzcendens testbővítés, algebrai ill.
transzcendens testbővítés.
Végesfokú bővítés, fokszámtétel. Felbontási test, normális testbővítés. Véges testek.
Tökéletes testek és végesfokú bővítéseik. Test algebrai lezártja.
Galois-csoport, a Galois-elmélet főtétele. Radikálbővítés. A gyökjelekkel való megoldhatóság jellemzése. Ruffini-Abel-tétel. Gyökjelekkel megoldhatatlan racionális együtthatós algebrai egyenlet létezése.
Algebrai feltétel geometriai alakzat szerkeszthetőségére körzővel és vonalzóval.
Irodalom:
Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó, 1985, 1988, JATE Press 1993, 1998., Polygon 2005.
Csákány Béla: Algebra, Tankönyvkiadó, 1973,…,1995.
Czédli Gábor: Szerkeszthetőségi feladatok, JATE Press, 2001.
Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Geometriai szerkeszthetőség, Polygon, 1997.
Fuchs László: Algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993.
Analízis
Funkcionálanalízis 2+1 óra, 4 kredit
Előfeltétel: Komplex és valós függvénytan Tárgyfelelős: Kérchy László
Tematika: Hilbert-tér, altér ortogonális komplementere. Ortonormált rendszerek, Bessel- egyenlőtlenség, Parseval-azonosság, a teljesség jellemzése, Hilbert-tér dimenziója.
Fourier-sorok, Riemann-Lebesgue-lemma, Fejér tétele, a trigonometrikus rendszer teljessége.
Banach-terek, korlátos lineáris transzformációk, Banach-tér duálisa, reflexivitás.
Az Lp terek duálisai, folytonos függvények terének duálisa, Hilbert-tér duálisa.
Hahn-Banach-tétel, Banach-limesz. Nyílt leképezések tétele, Zárt gráf tétel, Banach- Steinhaus-tétel és következményeik.
Gyenge topológiák. Stone-Weierstrass-tétel.
Irodalom:
Kérchy László: Valós- és funkcionálanalízis, Polygon, Szeged, 2007.
Kérchy László: Hilbert terek operátorai, Polygon, Szeged, 2003.
Leindler László: A funkcionálanalízis elemei, JATE Kiadó, 1988.
Rudin, W.: Real and complex analysis, McGraw Hill Book Co, New York, 1966.
Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, 1972.
Parciális differenciálegyenletek 2+2 óra, 5 kredit
Előfeltétel: Közönséges differenciálegyenletek Tárgyelelős: Krisztin Tibor
Tematika: A matematikai fizika modellegyenleteire kitűzött kezdeti érték-problémák egzisztencia, unicitás és stabilitás-vizsgálatai (húrrezgés, hővezetés, Laplace-egyenlet és transzformáltjaik) korlátos ill. nemkorlátos idő-változó esetén. Cauchy-problémák analitikus megoldásai, „kezdeti érték”-feltételek nem karakterisztikus állású felületeken.
Félvégtelen ill. véges húrok rezgései (reflexiós módszer, Fourier-módszer, a Duhamel-elv).
Membránok rezgései. Többdimenziós alakzatok rezgései, hullámterjedés páros és páratlan térdimenziókban; a leereszkedés módszere; a megoldások simasági vizsgálata.
Hővezetési és diffúziós problémák. Maximum-minimum elv általános lineáris és nemlineáris parabolikus egyenletekre. Forrásfüggvény és szerepe a hővezetés egyenletére kitűzött Cauchy-probléma megoldásának előállításában; a Poisson-integrál, hőpotenciálok. A megoldások simaságának vizsgálata. Stacionárius hőeloszlás, a Laplace-egyenlet és alapmegoldása. Harmonikus, szuper- és szubharmonikus függvények. A Green-függvény. A belső Dirichlet-probléma megoldása tetszőleges dimenziós gömbben (a Poisson-formula).
Harnack tételei, a Harnack-egyenlőtlenség, a Liouville-tétel; harmonikus függvények sorozatai. A külső és belső Dirichlet- és Neumann-problémák unicitásvizsgálata.
Általánosított megoldások, energia módszerek.
Feladatok megoldása a Fourier-módszerrel, Laplace- és Fourier-transzformálttal.
Irodalom:
Petrovszkij I.G.: Előadások a parciális differenciálegyenletekről, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1955;
Vlagyimirov V.Sz.: Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979;
Tyihonov A.N., Szamarszkij A.A.: A matematikai fizika differenciálegyenletei, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1956;
Simon L., E.A. Baderko: Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.
Vlagyimirov V.Sz.: Parciális differenciálegyenletek. Feladatgyűjtemény, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980.
Geometria
Differenciálható sokaságok és topológia 2+2 óra, 5 kredit
Előfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és Differenciálgeometria Tárgyfelelős: Kurusa Árpád
Tematika:Topológiák lokális és globális megadási módjai, bázis, szubbázis, környezetbázis, lezárási operátor, Moore-Smith-konvergencia, konvergenciaosztályok. Altér, szorzattér, faktortér, folytonosság. Metrikus terek, fixponttételek, teljes térbe való beágyazás, Baire- kategória-tétel. Reguláris, normális terek, Uriszon-tétel, Tietze-tétel. Kompaktság.
A sokaság definíciója, érintőtér, vektormező, Lie-derivált, kovariáns deriválás, Christofel- szimbólumok, torzió, Riemann-görbület. Riemann-metrika, Levi-Civita-kovariáns deriválás, görbe és ívhossza, geodetikusok, szorzatgörbület, konstansgörbületű terek. Szimpliciális felbontások. Kompakt felületek osztályozása. Homotópia. Sima sokaságok, tenzorok és differenciálformák. A d-operátor és Stokes tétele, bevezetés a de Rham-elméletbe. Gauss- Bonnet-tétel.
Irodalom:
B.A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov: Modern Geometry – Methods and applications I.- II.
S. Kobayashi, K. Nomizu: Foundations of differential geometry.
Kurusa Á.: Bevezetés a Differenciálgeometriába, Polygon, 1999.
H. Schubert, Topológia, Műszaki Könyvkiadó, 1986.
Geometriai struktúrák 2+1 óra, 4 kredit
Előfeltétel: Konvex és diszkrét geometria és Differenciálgeometria Tárgyfelelős: Fodor Ferenc
Tematika:Véges geometriák. Illeszkedési struktúrák. Projektív és affin síkok. Galois- geometriák. Kombinatorikai és csoportelméleti módszerek geometriai alkalmazásai. Véges algebrai geometria. Kódelméleti alkalmazások. Izometria-csoport geometriája. Politopok geometriája, konvexitás. Az euklideszi geometria véges halmazaiból kiválasztható speciális alakzatok (kollineáris pontok, konvex sokszögek), illetve ezek száma. Helly-típusú tételek, transzverzálisok. Megvilágítási és fedési problémák. Rácsok, rácsszerű elrendezések.
Irodalom:
Kiss Gy., Szőnyi T.: Véges geometriák, Polygon 2001.
Coxeter, H.S.M.: A geometriák alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987.
V. Boltyanski, H. Martini, P. S. Soltan, Excursions into Combinatorial Geometry, Springer, 1997.
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika Sztochasztikus folyamatok
3+1 óra, 5 kredit
Előfeltétel: Statisztikai programcsomagok, Valószínűségelmélet, Matematikai statisztika Tárgyfelelős: Csörgő Sándor
Tematika: Véletlen bolyongások, visszatérés, Pólya tétele. Az arkusz-szinusz tétel. A feltételes valószínűség és feltételes várható érték általános fogalma és tulajdonságaik:
konvergencia-tételek, Jensen-egyenlőtlenség, a teljes valószínűség és várható érték tételének általános formája. Feltételes sűrűségfüggvény, reguláris feltételes eloszlás. Martingálok és szemimartingálok: megállasi idők, opciós mintavételi tétel, felmetszés-egyenlőtlenség, martingál konvergencia tétel, martingál centrális határeloszlás-tétel. Diszkrét idejű, általános állapotterű Markov-láncok. A Bienaymé-Galton-Watson elágazó folyamat: momentumok, kihalási tétel, konvergencia. Folytonos idejű sztochasztikus folyamatok. A Poisson-folyamat.
Kolmogorov egzisztenciatétele. Szeparábilis és mérhető változatok. Folytonos változatok konstrukciója. Folytonos Gauss-folyamatok egy osztálya, Wiener-folyamat, Brown-mozgás, Ornstein-Uhlenbeck folyamat. Empirikus folyamatok és a Brown-híd. A Wiener-folyamat tulajdonságai: differenciálhatatlanság, négyzetes variáció, reflexió, a szuprémum eloszlása, az iterált logaritmus tétel. Korlátlanul osztható eloszlások. Független növekményű folyamatok, Lévy-folyamatok.
Irodalom
I. I. Gikhman , A. V. Szkorohod: Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletébe, Műszaki Kiadó, Budapest, 1975.
P. Billingsley: Probability and Measure, Third Edition, Wiley, New York, 1995.
K. L. Chung: A Course in Probability Theory, Academic Press, New York, 1974.
K. Sato: Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions, Cambridge University Press, 2005.
Diszkrét matematika Diszkrét matematika 2+2 óra, 5 kredit
Előfeltétel: Kombinatorika Tárgyfelelős: Hajnal Péter
Tematika: Gráfok magasabb összefüggősége, diszjunkt fák és fenyők, az összefüggőség növelése. Gráfok és hipergráfok színezései, perfekt gráfok. Párosítás-elmélet. Gráfok beágyazásai. Erősen reguláris gráfok. Az egészségi feltétel és alkalmazásai. Véletlen
módszerek: várható érték és második momentum-módszer, véletlen gráfok, küszöbfüggvény.
Extremális kombinatorika: extremális halmazrendszerekről és gráfokról szóló klasszikus tételek.
Irodalom:
Hajnal Péter, Gráfelmélet, 2. kiadás, Polygon Jegyzettár, Szeged, 2004.
Lovász László, Kombinatorikai problémák és feladatok, Typotex kiadó, Budapest, 1999.
Hajnal Péter, Halmazrendszerek, Polygon Jegyzettár, Szeged, 2005.
Egyéb szakmai törzstárgy Bevezetés az elméleti fizikába 2+0 óra, 3 kredit
Előfeltétel: –
Tárgyfelelős: Fehér László
Tematika: Mechanika: A tömegpont mechanikája: A mechanika és a kinematika alapfogalmai. A Newton-féle mozgástörvények. A Newton-törvények egyszerű alkalmazásai, mozgás egy dimenzióban, a harmonikus oszcillátor.
Pontrendszerek mechanikája: A tíz megmaradási törvény. A kéttest probléma és a Kepler- Coulomb-probléma.
Kötött rendszerek: kényszererők, d’Alembert-elv. Analitikus mechanika: Lagrange-függvény, extremális hatás elve.
Noether tétele a szimmetriákról, a Galilei-csoport. Hamilton-függvény, kanonikus mozgásegyenlet, fázistér, fázisáram, Liouville tétele, Poisson-zárójel. Kis reszgések harmonikus közelítése. Merev testek mechanikája:
A kinematika és a tehetetlenségi tenzor, mozgásegyenletek. A kontinuumok mechanikájának alapjai.
Kitekintés: az analitikus mechanika modern matematikai megfogalmazásának vázlatos ismertetése.
Kvantummechanika: Alapfogalmak: Történeti bevezetés. A kvantummechanika alapvető axiómái és matematikai hátterük. A Heisenberg-féle határozatlansági reláció. A kanonikus kvantálás. A Schrödinger-egyenlet: Az alapegyenlet, az időfejlődés mint unitér transzformáció. Áthatolás pontenciállépcsőn, az alagútjelenség. A kváziklasszikus WKB- közelítés. Szabad és kötött állapotok a potenciálvölgyben. A harmonikus oszcillátor. Az implulzusmomentum és az atom szerkezete: Az impulzusmomentum algebrája és ábrázolásai.
Pálya impulzusmomentum, gömbfüggvények. A hidrogénatom spektruma. Szimmetriák a kvantummechanikában. Azonos részecskék, bozonok és fermionok, Pauli-elv.
Az atomszerkezet és a periódusos rendszer. Perturbációelmélet és szórás: Az időtől független perturbációszámítás.
Az időtől függő perturbációszámítás. Szórás és a Born-féle első közelítés. Kitekintés:
Kvantummechanika és funkcionálanalízis, unitér csoportábrázolások, kvantálási módszerek.
Irodalom:
Stauffer D., Stanley H.E.: Newtontól Mandelbrotig. Bevezetés az elméleti fizikába. Springer Hungarica, Budapest 1994.
Landau L. D., Lifshitz E. M.: Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest 1974.
Landau L. D., Lifshitz E. M.: Kvantummechanika, Tankönyvkiadó, Budapest 1978.
Arnold V.I.: A mechanika matematikai módszerei, Műszaki Kiadó, Budapest, 1985.
Bohm, A.: Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Third Edition, Springer, New York, 1993.
Differenciált szakmai anyag (34 kredit)
A felsorolt tárgyak a Bolyai Intézetben folyó kutatások témaköreinek alapismereteit fedik le, és széles választékot kínálnak a hallgatók számára. Várhatóan a tárgyak egy részét rendszeresen, azaz legalább kétévente meghirdetjük, másik részét pedig a hallgatóság érdeklődésének függvényében esetleg csak ritkábban.
Az előírt kreditszám úgy teljesítendő, hogy a következő ismeretkörök közül legalább háromból választandó ismeretanyag min. 10-10 kredit értékben.
Algebra
Félcsoportelmélet 2+1 óra, 4 kredit
Előfeltétel: Algebra és alkalmazásai Tárgyfelelős: B. Szendrei Mária
Tematika:Transzformáció-félcsoportok, félcsoportok ábrázolása transzformációkkal. Ciklikus félcsoportok, szabad félcsoportok. Ideál és Rees-kongruencia.
Green-relációk, D=J a periódikus, ill. bizonyos minimumfeltételeknek eleget tevő félcsoportokban, a D-osztályok szerkezete, Green tétele. Reguláris elem, inverzelem, reguláris D-osztályok. Lallement lemmája.
Egyszerű félcsoportok, főfaktorok. Rees tétele teljesen egyszerű félcsoportokra.
Teljes reguláris félcsoportok "nagybani" szerkezete, csoportok félhálóinak "finom"
szerkezete.
Inverz félcsoportok, Wagner-Preston-tétel, Munn-tétel, McAlister tételei.
Irodalom:
John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon, 1995.
Hálóelmélet 2+1 óra, 4 kredit
Előfeltétel: Algebra és alkalmazásai Tárgyfelelős: Czédli Gábor
Tematika: Háló fogalma, dualitás, teljes háló, fixponttétel. Algebrai hálók és részalgebrahálók. Disztributív hálók. Birkhoff és Stone reprezentációs tétele, a véges disztributív hálók szerkezete. Birkhoff és Dedekind kritériuma. A három elem által generált szabad moduláris és disztributív háló kongruenciái. Moduláris hálók: intervallumok izomorfiatétele, elemfelbontások, független elemrendszerek. Geometriai hálók és komplementumos moduláris hálók. Projektív geometriák mint moduláris hálók. Hálók koordinátázása. Hálóvarietások.
Irodalom:
Czédli Gábor: Hálóelmélet, JATE Press, 1999.
Univerzális algebra 2+1 óra, 4 kredit
Előfeltétel: Algebra és alkalmazásai Tárgyfelelős: Maróti Miklós
Tematika: Algebra, kifejezésfüggvény, polinomfüggvény. Részalgebra. Izomorfizmus, homomorfizmus. Kongruenciareláció, faktoralgebra. Homomorfiatétel, általános izomorfiatételek. Direkt szorzat, további szorzatfajták. Szubdirekt fölbontás, Birkhoff tétele.
Lezárási operátorok, lezárási rendszerek. Kísérő struktúrák (endomorfizmus-monoidok,
automorfizmus-csoportok, részalgebra-hálók, kongruenciaháló). Szóalgebra, szabad algebra.
A H, S, P lezárási operátorok algebraosztályokon. Varietások, Birkhoff varietástétele, s kapcsolat a szóalgebrák teljesen invariáns kongruenciáival. Birkhoff-féle teljességi tétel.
Magari tétele. Varietások ekvivalenciája. Azonosságokkal jellemezhető tulajdonságok varietásokon. Malcev és Pixley tétele. A modulusvarietások jellemzése. Elsőrendű nyelvek és struktúrák. Ultraszorzat, kompaktsági tétel. Speciális varietások (pl. monounáris varietások, minimális varietások, diszkriminátorvarietások).
Irodalom:
Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó 1985, 1988, JATE Press 1993, 1998., Polygon 2005.
S. Burris, H.P. Sankappanavar: Bevezetés az univerzális algebrába, Tankönyvkiadó, 1988.
Rendezett halmazok 2+1 óra, 4 kredit
Előfeltétel: Algebra és alkalmazásai Tárgyfelelős: Zádori László
Tematika:Soros-párhuzamos rendezett halmazok. Dilworth láncokra bontási tétele. Rendezett halmazok dimenziója. Véges disztributív hálók és rendezett halmazok kapcsolata. Sperner típusú tételek. Lebontható rendezett halmazok és a fixponttulajdonság. Rendezett halmazok aritmetikája. Irreducibilis rendezett halmazok. Rendezett halmazok varietásai.
Irodalom:
K. Bogart, R. Freese, J. Kung (szerk.): The Dilworth's theorems, Birkhauser, 1990.
D. Duffus, I. Rival: A structure theory for ordered sets, Discrete Math. 35(1981), 53-118.
P. Grillet: Maximal clone chains and antichains, Fund. Math. 65(1969), 157-167.
W.T. Trotter: Combinatorics and Partially Ordered Sets: Dimension Theory, Johns Hopkins University Press, 1992.
J. Valdes, R.E. Terjan, E.L. Lawler: The recognition of series parallel digraphs, SIAM J. Comp. 11(1982), 298- 313.
Kódoláselmélet 2+0 óra, 3 kredit
Előfeltétel: Algebra és alkalmazásai Tárgyfelelős: Czédli Gábor
Tematika: Shannon tétele jó hibajavító kódok létezéséről. Véges testek. Lineáris kódok, generátor- és paritásellenőrző mátrix. Hamming-, Hadamard-, Golay- és Reed-Muller-kódok.
Ciklikus kódok. BCH kódok és hibajavító dekódolásuk. Reed-Solomon-kódok. QR (kvadratikus maradék) kódok. Hibajavító kódok a digitális audiotechnikában.
Néhány klasszikus rejtjelrendszer. DES. Charmicael-számok és prímtesztek (Miller-Rabin, Solovay-Strassen). Nyilvános kulcsú titkosírások: RSA, Diffie-Hellman-kulcsváltás, Massey- Omura-rejtjelrendszer, ElGamal. Az RSA kvadratikus test feletti verziója (Williams).
Elliptikus görbéken alapuló titkosírások.
A megbízhatóság kérdései: prímfaktorizáció (rho-módszer, Fermat-faktorizáció, lánctörteken alapuló módszer), diszkrét logaritmus meghatározása (Sylvester-Pohlig-Hellman- és az indexkalkulus-módszer), nagyhatékonyságú és párhuzamos számítási módszerek a kriptológiában.
Irodalom:
Czédli Gábor: Boole-függvények, Polygon, Szeged, 1995.
S. A. Vanstone, P. C. van Oorschot: An Introduction to Error correcting Codes with applications, Kluwer, 1989.
A. Salomaa: Public-Key Cryptography, Springer-Verlag, 1990.
H. C. A. van Tilborg: An Introduction to Cryptology, Kluwer, 1989.
Sakai, Yasuyuki and Sakuray, Kouichi: Timing attacks against a parallelized RSA implementation. IPSJ J. 45 (2004), 1813-1822.
Reguláris félcsoportok 2+0 óra, 3 kredit
Előfeltétel: Félcsoportelmélet Tárgyfelelős: B. Szendrei Mária
Tematika: Reguláris félcsoportok kongruenciái: kongruenciák magja és nyoma, a kongruenciaháló, speciális kongruenciák. Teljesen reguláris félcsoportok finom szerkezete, Lallement tétele, kötegek. Inverz félcsoportok: E-unitér inverz félcsoportok, fedési tétel, P- tétel. Ortodox félcsoportok: Hall-félcsoportok, E-unitér reguláris félcsoportok. Lokálisan inverz félcsoportok: Pastijn és McAlister fedési tételei. Reguláris félcsoportok és birendezett halmazok. Reguláris félcsoportok általánosításai.
Irodalom:
Grillet: Semigroups: An introduction to the structure theory Howie: Fundamentals of Semigroup Theory
Lawson: Inverse Semigroups: The Theory of Partial Symmetries Petrich: Inverse Semigroups
Félcsoportosztályok univerzális algebrai vizsgálata 2+0 óra, 3 kredit
Előfeltétel: Félcsoportelmélet Tárgyfelelős: B. Szendrei Mária
Tematika: Félcsoportvarietások hálója, fontos részhálói, véges bázis tulajdonság, szóprobléma. Szabad teljesen reguláris félcsoportok, a teljesen reguláris félcsoportok varietásainak hálója, a kötegvarietások hálója. Szabad inverz félcsoportok, az inverz félcsoportok varietásainak hálója. Nincs szabad reguláris ill. szabad ortodox félcsoport.
Reguláris félcsoportok egzisztenciavarietásai, biszabad objektumok, lokálisan inverz és ortodox félcsoportok egzisztenciavarietásai. Véges félcsoportok pszeudovarietásai, provéges objektumok.
Irodalom:
Almeida: Finite Semigroups and Universal Algebra Howie: Fundamentals of Semigroup Theory Petrich: Inverse Semigroups
Petrich, Reilly: Completely Regular Semigroups
Hálók koordinátázáselmélete 2+0 óra, 3 kredit
Előfeltétel: Hálóelmélet Tárgyfelelős: Czédli Gábor
Tematika: Geometriai hálók. Geomoduláris hálók és projektív geometriák jellemzése. A Desargues-tétel hálóelméleti megfelelői. Desargues-féle geometriai hálók (direkt tényezőinek) koordinátázása. Neumann-keretek és az általuk generált komplementumos moduláris hálók koordinátázása. Huhn-gyémánt. Az n-disztributív hálók elmélete. Huhn-gyémánt által prezentált szubdirekt irreducibilis hálók. Gyémánt (illetve keret) által generált Desargues-féle hálók koordinátázása. Neumann-féle dimenziófüggvény. Lineáris hálók bizonyításelmélete.
Irodalom:
Crawley, Dilworth: Algebraic Theory of Lattices Grätzer: General Lattice Theory
Neumann: Continuous Geometries
Herrmann: On the arithmetic of projective coordinate systems, Transaction of the Amer. Math. Soc. 284 (1984), 759-785.
Klónok
