A STATISZTIKA ÁLTALÁNOS ELMÉLETE ÉS MÓDSZERTANA MATEMATIKAI STATISZTIKA
FARRAR, D. E.——GLAUBER, R. R.:
A MULTIKOLLINEARITÁS A REGRESSZIÓS ELEMZÉSBEN
(Multicollinearity in regression analysis: the problem revisited.) —— The Review of Economics ami Smtist'ics.
1967. 1. sz. 92—107. p.
Figyelembe véve a legkisebb négyzetek módszerének széles körű alkalmazását, érthető, hogy egyre több olyan módszertani munka lát napvilágot, amelyek e módszer alkalmazásá-
nak feltételeivel, illetve a feltételeket biztosító
eljárásokkal foglalkoznak. Ezek közé tartozik * a multikollinearitas is.
A legkisebb négyzetek feltételei közé tartozik az a feltevés, hogy a független változók mat—
rixa lineárisan független vektor-okból áll. Az y::Xb—I—u egyenlet b paraméretének a legki—
sebb négyzetek módszerével szolgáltatott becs- lése ugyanis a következő:
b' : (X'X) —1X§,
ahol:
y —- a. függő változó vektora, X — a független változók matrixa, X! —- pedig az X matrix transzponaltja.
Ez a becslés csak akkor állítható elő, ha az
X'X matrix invertélható, nem szingularis matrix. Ennek pedig az a feltétele, hogy az X matrix vektor-ai lineárisan függetlenek legye- nek. Általában a. regresszorok idősorai között nem egzakt, hanem csak approximatikuslineá- ris függőség van. Ezt nevezzük multikollinea- ritásnak. (A változók közötti egzakt lineáris kapcsolatot szokás teljes multikollinearitésnak nevezni.)
Ha a magyarázó változók között csak appro- ximatikus a lineáris függőség, az XIX martix
invertálható, és így a b becslése elvégezhető.
Ennek ellenére a multikollinearitás igen jelen- tős nehézségeket okoz mind a becslés hatékony- ságának, mind a specifikáció korrektségének tekintetében.
_ A becslés során a multikollinearitás általá—
ban a paraméterek standard hibajat növeli.
Ahogy ugyanis az XtX matrix tart a. szingula- ritás felé, úgy determinansanak értéke a nullát ' közelíti, s ennek következtében a (XtX) "1 inverz-matrix elemei igen nagyok lesznek.
Mivel a paraméterek varianciéit ( V/b/) a követ;
kező összefüggés szerint határozzuk meg:
V(b) : a-u(XfX) -1
az inverz-matrix elemeinek növekedése a paraméterek hibáinak növekedéséhez vezet, ami a gyakorlatban azt jelenti, hogy megnő a paraméterek felhasználásával nyert rossz döntések valószínűsége.
Az ökonometriai kutatók ismervén a multi- kollinearitas káros következményeit, régóta.
foglalkoznak a probléma kiküszöbölésével és megoldásával. Az alkalmazott módszerek lé- nyegükben az összefüggésben szereplő változók közötti, szóba jöhető előzetes korrelációszámí- tások elvégzését igénylik.
Farrar és Glauber a független változók korre- lációs matrixának elemzésén alapuló módszert dolgoztak ki a multikollinearitás vizsgálatára..
A módszer előnye, hogy az előző módszerek elméletét felhasználva az elektronikus gépi számítások igényéhez van alakítva; követ- keztetéseit pedig statisztikai hipotézisvizsgá- lattal támasztja alá..
Az őkonometriai problémák definiálása ál- talában a megfigyelt sokaságnak valamilyen hipotetikus tulajdonságtól való eltérésére vo- natkozik. A multikollinearitás definiálható úgy, mint az orthogonalitastól való eltérés. Ameny- nyire a független változók vektorai eltérnek az orthogonalitastól, olyan mértékben mondhat—
juk, hogy a változók multikollinearisak.
Az első lépés tehát a multíkollinearitás lété- nek, illetve az orthogonalítastól való eltérés mértékének megállapítása.
Mivel a korrelációs matrix determinánsának értéke a (O,l) intervallumban helyezkedik el (0 akkor, ha a matrix szinguláris; 1 pedig, ha a változók orthogonálisak) a független vál—
tozók korrelációs matrixanak (a korabban XtX-szel jelzett matrixnak) a determinansát kell megvizsgálni. Mivel a determinansértékek egyszerű transzformációval approximatikusan
STATISZTIKAI IRODALIVII FIGYELÓ
1053
x! eloszlásúvá tehetők a xz statisztikát fel- használva valószínűségi alapon eldönthető, hogy az orthogonalitástól való eltérés, illetve a multikollinearitás káros—e vagy elhanyagol- ható.
M ásodz'k lépésben a multikollinearitás lokali- zálását kell megoldani. Annak az eldöntésére, hogy mely változóknál jelentkezik multikolli- nearitás a többszörös regressziós programba minden magyarázó változóra nézve beépítenek egy indexet, amely a változónak a többi válto- zótól való függőségéről tájékoztat. Ez az index az inverz-matrix megfelelő diagonális eleme, amely (1 4— x) intervallumban helyezkedik el.
Ismét egy transzformációs lépéssel, majd ezt követően az F próba alkalmazásával dönthet—
jük el azt, hogy melyik változónál vagy válto- zóknál lép fel káros mértékű multikollinearitás.
Utolsó lépésként vizsgálatot végzünk abból a
célból, hogy a multikollineáris változók közötti
összefüggésekbe betekintést nyerjünk. Erre a célra a változók parciális korrelációs koefficien- seit használjuk fel, amelyek szintén az inverz—
matrix elemeiből állíthatók elő. A parciális kor- relációs koefficiensek szignifikaneiájának vizs—
gálata ! próbával történik.
(Ism.: Hulyák Katalin)
GODIN, L.:
GLOBÁLIS TERMELÉS! FüGGVÉNYEK:
ELFOGADOTT HIPOTÉZISEK És EBBÖL FOLYÓ KÖVETKEZMÉNY EK
(Fonotions de production globales: les hypothéses admises et leurs lmplivations.) — Cahiers d'Études de l*Asxocwtion Frangaise pour l'Accroissemem de la Pro- ductivüé. Becherche et Développement. 1967. 8. sz. 87—
100 p.
A cikk a termelési függvényekkel kapcsolat- ban felmerülő fontosabb problémák összefog—
laló áttekintését nyújtja.
Legelőször azokat a hipotéziseket vizsgálja, amelyek termelési függvények alkotásának alapvető feltételei. A klasszikusnak mondható előfeltételek közé tartozik, hogy a függő válto- zó végterméket jelöl; hogy a termelőtényézők homogének és hogy a termelés (P) a termelési időszak kezdetén meglevő tőkeállomány (K) és a termelési időszak alatt foglalkoztatott mun- kaerő (T) mint termelőtényezők közreműkö- désének az eredménye. A homogeneitás elő-
feltétele általában teljesül, ha mind a terme-
lés, mint a tőke pénzértékben vagy index- számokban van feltüntetve. A termelési függ- vény általános alakja:
P :f(K: T)
Minden termelési függvény ezen felül bízo—
nyos előfeltételezést foglal magában a termelés technológiáját illetően; A termelési függvény konstrukciója annak a hipotézisnek az alapján történik, hogy a termelési feltételek az adott kö-
rülmények között optimálisak. A szerző szerint ezért látszik problematikusnak a különböző- képpen fejlett országok termelési eredményei- nek termelési függvények segítségével történő
összehasonlítása. *
A termelési függvény alapvető elvi feltéte- lein túlmenően szükséges a termelési függvény alakjára nézve is bizonyos hipotézisekkel élni.
Ezenkívül -— és ez a hipotézisek további cso- portja —— vannak olyan további előfeltevések, amelyek a függvény együtthatóinak kiszámí- tásával kapcsolatosak.
A szerző a termelési függvényekkel kapcso—
latban olyan értelmű aggályt juttat kifejezésre, hogy a termelőtényezőket reprezentáló függet—
len változók között kollinearítás állhat fenn,
ami a függvény együtthatóinak becslését bi- zonytalanná teszi, illetve a becsült eredménye- ket torzítja. Ez pedig nem az alkalmazott számítási módszerekből folyik, hanem a modell alapvető gyengesége. További nehézséget je?
lenthet, hogy kellő hosszúságú és pontosságú
statisztikai idősorok nem mindig állnak rendel-_
kezésre. Ezen a formális jellegű feltételen kívül a gazdasági elmélet részéről olyan vonatkozású közreműködésre, illetve annak megállapítására van szükség a termelési függvények vonatkozá—
sában, hogy a tőkén és a munkaerőn kívül még milyen más tényezőket volna szükséges függet—
len változóként explicite a modellbe belefoglal—
ni. Megállapítható, hogy bár ezen a téren még nagyon sok tisztázandó kérdés van, a fejlődés jelei is mutatkoznak.
A szerző megállapítása szerint ahhoz, hogy megbízhatóan támaszkodhassunk a termelési függvényekre a makroökonómiai kutatások területén, a termelési függvényekkel kapcsola- tos néhány további hipotézist közelebbről szem- ügyre kell venni. Ezek közül a leglényegeseb- bek a következők:
]. A kontinuitás feltétele: a függvényben specifikált termelőtényezők bármilyen kicsiny növekedése a termelés eredményének növeke- dését idézi elő.
2. Az additivitás feltétele: ha (Kv TI) és (K2,*T2)'tényezők termelési eredménye P1 és P,, szimultán közreműködésük (KH—Ka, Tri—T,) eredménye Pl-í—P2 formában jut kifejezésre.
3. Az oszthatóság feltétele: ha a. tényezők bármelyikét m pozitív egész számmal osztjuk, a termelést kifejezésre juttató output-változó is az eredeti érték m—ed része.
4. A tőke és a munka határtermelékenységé—
nek hipotézise. Ha valamely termelőtényező végtelenül kis mennyiséggel nő (dN ), ami a termelésnek is végtelen kis mennyiséggel való növekedését (dP) idézi elő, a dP/dN hányados- nak van egy határértéke, amikor dN végtelenül kicsiny, és ez adja az illető termelőtényező marginális termelékenységét.
5. A függvény konvexitásának feltétele viszont röviden azt juttatja kifejezésre, hogy a
