E di  E xi E yi

(1)

2.2.5.3. Páros t-próba

A t-próba harmadik változata az ún. páros t-próba. Legyen x és y két normális eloszlású valószínűségi változó, mint például egy oldatsorozat két különböző elemzési módszerrel mért eredménypárjai, vagy n számú golyó két különböző mérőeszközzel mért átmérőadatpárjai, vagyis a két minta nem független egymástól, viszont a méréskor elkövetett véletlen hibák egymástól függetlenek.

A nullhipotézis:

   

H E x₀: _i E y_i .

Vezessünk be egy d valószínűségi változót a következő definícióval:

d_i  x_i  y_i. (2.31)

Paraméterei:

     

E d_i  E x_i E y_i . (2.32)

Mivel a méréskor elkövetett véletlen hibák egymástól függetlenek:

     

Var d_i Var x_i Var y _i . (2.33)

A páronkénti eltérés átlagértéke:

d

d n

i i





; (2.34)

szórásnégyzete:

 

s

d d n

d nd

d n

i

i i

i 2

2 2 2

1 1





 



 

_. _(2.35)

A következő kifejezés t-eloszlású:

t d E d

 

s_d n

 

. (2.36)

Ha a nullhipotézis igaz, ^{E d}  ^⁰. Tehát a próbastatisztika:

t d

s_d n

0  .

Amennyiben a próbastatisztika értéke a –t/2 alsó és t/2 fölső kritikus értékek között van, a nullhipotézist  szinten elfogadjuk.

2-16. példa

Textilszövet szakítószilárdságának impregnálás hatására bekövetkező változását vizsgálták. A vizsgálat szempontjából fontos, hogy a textília inhomogenitásának hatása elválasztható legyen az impregnálószer hatásától. Ezért a kivágott mintadarabokat sorszámmal jelölték, majd kettévágták. Az egyik felét impregnálták, majd mindkettőnek megmérték a szakítószilárdságát.

A mérési eredmények a következők:

(2)

i xi N/cm yi N/cm

1 260 270

2 290 290

3 280 290

4 270 280

5 250 260

6 270 270

a) Állapítsuk meg, hogy az impregnálás befolyásolja-e a textilszövet szakítószilárdságát! Vizsgálatunkat  = 0.05-os szignifikanciaszinten végezzük!

A két valószínűségi változó nem független egymástól, xi és yi

összetartozó értékek. Annak eldöntésére, hogy az impregnálásnak van-e hatása, páros t-próbát végzünk.

i di = xi – yi

1 -10

2 0

3 -10

4 -10

5 -10

6 0

di = -40

 

s

d d

n

d nd

d n

i

i i

i 2

2 2 2

1 1 26 6





 



 

 

. . Ha H0 igaz, a következő statisztika t-eloszlású:

t = d s_d n

0

0 6 66 0

26 6 6 3162

   

.  

. . .

Kétoldali ellenhipotézis esetén  = 0.05 szignifikanciaszinten a III.

táblázatból

 = 5 szabadsági fokhoz t2 = 2.571. Mivel a próbastatisztika aktuális értéke ezt meghaladja (t₀  2 571. ), a nullhipotézist elutasítjuk. Tehát az impregnálás,

 = 0.05-os szignifikanciaszinten vizsgálva, befolyásolja a textilszövet szakítószilárdságát.

b) Tételezzük fel, hogy az impregnálószer kimosta a sorszámokat. Ekkor a hat-hat mintadarabot nem tudjuk összepárosítani, az x és y értékek sorrendje tetszőleges lehet.

Vizsgáljuk meg, hogy az így mért adatokból milyen választ adhatunk az a) pontban feltett kérdésre. Mivel ebben az esetben nem állapítható

(3)

meg, hogy melyik minta honnan származik, a mérést kiértékelő személy kétmintás t-próbát alkalmazna.

 

H E x₀: E y ;

 

H E x₁: E y ;

x=270 0. ; ^y^^{276 6}^. ; ^d ^{  }^y ^x ^{6 6}^. ;

s s

n n

d

x y

2 2 1 1

  

 

, s₂ s_x² s_y²

 2 , így _s ^s ^s

d n

x y

2

2 2

 

mivel nx = ny = n, s_x² 200 0. , ^sy

2 146 6. ,

t d

s_d

0

0 6 6

200 0 146 6 6

=  0 87

 . 

. . .

.

A III. táblázatból  = 0.05 kétoldali szignifikanciaszinten  = 10 szabadsági fokhoz

t2 = 2.228. Mivel t < t2 , a statisztikai próbát végző személy az impregnálószer hatását  = 0.05-os szignifikanciaszinten nem minősítené szignifikánsnak.

A 2-18. ábra mutatja a másodfajú hiba valószínűségét a 2-16. példa adatainak páros és kétmintás t-próbával való kezelésére [a példa a) és b) részében leírt statisztikai próbákra]. Például annak valószínűsége, hogy a kétmintás próbával 10 egység nagyságú különbséget ne vegyünk észre, 85%, ugyanennek kockázata a páros próbával csak 5%.

E(x)- E(y) 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0 10 20 30 40



kétmintás páros

2-18. ábra. A kétmintás és páros t-próba jelleggörbéje a 2-16. példához

A 2-19. ábrán láthatjuk a másodfajú hiba valószínűségének függését a mintaelemszámtól kétmintás t-próbára. Ahhoz, hogy a másodfajú hiba  valószínűsége a kétmintás t-próbára is csak 5% legyen (mint a páros t- próbánál), 90 elemű minta kellene mindkét csoportban (impregnálva és anélkül).

(4)

n

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100



2-19. ábra. A másodfajú hiba valószínűségének függése a mintaelemszámtól

a 2-16. példában

Ha a textilszövet inhomogenitásának hatásától el kell különítenünk az impregnálószer hatását, feltétlenül az a) pontban leírt mintavétel szerint járjunk el. Ellenkező esetben az impregnálószer szakítószilárdságot befolyásoló hatását elfedi a szövet inhomogenitásának hatása. A feltételezett hiba előfordulása (a sorszámok kimosása) esetén ismételten textilmintákat kell venni, és a mérést meg kell ismételni.