Kétrészecskés relativisztikus egyenletek

Spenik Sándor, Turóci Jolán Ungvári Nemzeti Egyetem

Kétrészecskés relativisztikus egyenletek Bevezetés

Az utóbbi években az elméleti fizika egyik legaktívabban fejlődő tudományága az elemi részecskék fizikája, amely újból a világ figyelmének középpontjába került a Genfben működő Nagy Hadron ütköztető (LHC) beindításával. Ezzel az elemi részecskék közötti kölcsönhatások kísérleti és elméleti vizsgálata nagy energiáknál új aktualitást nyert.

A kötött állapotok relativisztikus leírása mindig fontos feladata volt a magfizikának és az elemi részecskék fizikájának. Ez a feladat különösképpen aktuálissá vált a kvarkfizika rohamos fejlődésével, amelyben fontos szerepet játszanak a kvarkok relativisztikus tulajdonságai.

A részecskegyorsítók által nagy mennyiségű új adat ismert, amely jellemzi a fent említett elemi részecskéket és azok tulajdonságait, többek között az élettartamukat, az új részecskék születését (pl. Higgs-bozon), a gluonokat és hibrideket. Ezért az említett folyamatok vizsgálata fölöttébb aktuálissá vált.

Mivel minden ilyen folyamat a fénysebesség közelében megy végbe, leírásukra különböző relativisztikus egyenleteket és megközelítéseket szükséges felhasználni. A legismertebb egyenletek, amelyeket a nemzetközi és hazai kutatók is vizsgálnak, a Dirak-, Faggyeev- és Beta-Salpeter-egyenletek. Eddigi kutatásaink során mi főként a Dirak-egyenletet vizsgáltuk.

A kétrészecskés Dirak-egyenlet

Két relativisztikus részecske a vektor- és skalárpotenciálokon keresztül hat egymásra, így a Dirak-egyenlet felírható a következő formában:

0 ) )

(

(

_{1 1 1 1 1}

51

1



 

 p  A  m  S





S

, (1.a)

0 ) )

(

(

_{2 2 2 2 2}

52

2



 

 p  A  m  S





S

, (1.b)

ahol

m

₁,

m

₂ – a részecskék tömegei;

p

₁,

p

₂ – a részecskék impulzusai;

A

₁,

A

₂,

S

₁,

S

₂ – a potenciális energia vektoros és skaláris összetevői.

A továbbiakban a vektoros potenciálok A_i^ három kovariáns függvény G, E1 és E2 segítségével lesznek meghatározva (Crater, Wong, 2012):







      

₁ ^{1 2 1 2} _{2 2}

1

ˆ ( 1 ) 2

2 ) (

2 )

(      



 



 

 



 i G

p G G P

A G

, (2.a)







      

₂ ^{2 1 1 2} _{1 1}

2

ˆ ( 1 ) 2

2 ) (

2 )

(      



 



 

 



 i G

p G G P

A G

. (2.b)

A skaláris potenciálok

S

_i szintén a G, valamint további két invariáns

M

₁ és

M

₂ függvényei:

2 1 2 1

1

1

2 M

G M m i

M

S 









 , (3.a)

1 2 1 2

2

2

2 M

G M m i

M

S 









 . (3.b)

Az _i változók pedig az alkotó részecskék tömegközéppontjainak energiái:



^



^

₁



²

 m

₁²

 m

₂²

/ 2

, ^



^ 1²

 ^{/ 2}

^

2 2 2

2

  m  m

, (4)

ahol ₁



₂



.

Általában G,

E

₁ és

E

₂ függvények összefüggésben vannak egymással, és a kvantumszíndinamikában ezek csak két invariáns függvénynek, a V(r) és A(r) függvényei:



1 ^{2 2}



2 2

1(A,V) G ( A) 2 V V

E     _  , (5.a)



₂ ^{2 2}



2 2

2(A,V) G ( A) 2 V V

E     _  , (5.b)

ahol

 1 2 /





2

1 G A

 

.

Az

M

₁ és

M

₂ függvények pedig az A(r) és S(r) függvényektől függnek:

) 2

( )

,

( ₁^{2 2 2}

2

1 A S m G m S S

M   _  , (6.a)

) 2

( )

,

( ₂^{2 2 2}

2

2 A S m G m S S

M   _  . (6.b)

Ily módon az öt invariáns függvény M1, M2 ,E1 , E2 és G csak három invariáns függvénytől S, A, V fog függni.

A fenti kifejezések alapján a továbbiakban a (3.a) és (3.b) egyenleteket át tudjuk írni a következő formában:

0 )

2

²

(

^{1 2 51 52}

51 1 51 1 1 2 1 1

1

 



 



           



        



i J L

G M

E G

S

, (7.a)

0 )

2

¹

(

^{2 1 51 52}

52 2 52 2 2 1 2 2

2

 



 



          



        



i J L

G M

E G

S

, (7.b)

ahol

.

ˆ , 2

ˆ , ˆ 2

5

























































i i

i i i i i

i i i

i

P P P

(8)

i i

i i G

p

P    ln 

2 ^.

Ezek után a (7.a) és (7.b) egyenleteink szétválnak nyolc különböző egyenletté, amelyek megfelelő kombinálásával eljutunk a következő egyenlethez:

 

 

, ) ( ) )

) ( 6 ((

) 1 ( n

6 l 1

) 6 (

) 1 6 (

) 1 ( n

6 l 1

) n

6 l 1 6

n 1 3 l ) 1 2 ( 1 3

1

n l n

n l 2 l ) 1 4 ( 3 2

ˆ 1 n

l ) 4 (

1

1 2 4 2

1

2 1 2

2 1

1 2

1 2

1 2 1 2

2

2 2 1

1 2

1 2

2 2

1 2

































 

 









b r S

L L J

J L

J

L r J

L L J

J L

J

S r G

G G G

G G

r L r L

G G

G p

r i

L J

T

T

 





 



 

  

 

 

 

 



 





























 

 



 

 





 





 

    



 



 

 



 





 

      





 



 

 

 

 





 











(9)

ahol _i

 ( E

_i

 M

_i

) / G

.

Ezt a bonyolult egyenletet felírhatjuk egy egyszerűbb általános formában (Whitney, Crater, 2014):

 

.. . . . . . . . . ^{) 2( ) ,}

2 2

52

51  

 _{ }

 p b

p   _SI _D _SO _SS _T _DO  (10)

ahol a



_S.I. tag a spin kölcsönhatást jelöli, a



_D. tag a Darwin-féle potenciálért, a



_S.O. tag a spin-orbitális kölcsönhatásért, a



_S.S. tag a spin-spin kölcsönhatásért, míg a



_T. tag pedig a tenzoros kölcsönhatásért felel.

Todorov-Bogoljubov egyenlet

Fentebb a kétrészecskés Dirak-egyenletet mutattuk be. Azonban kutatásaink során mi főleg a félnehéz barionokat vizsgáltuk meg, amelyhez már ki kellett dolgoznunk egy háromrészecskés modellt is.

Tehát, a Todorov-Bogoljubov egyenlet a következőképpen írható fel:

 

 





 i j

ij i

i

i

m U

p W

3

1

2

 2 _{, (11)}

ahol

p i

és

m i

– az "і" részecske impulzusai és tömegei, а

U

ij – a kölcsönhatás potenciálja, amelyet az erősen kölcsönható részecskék esetében célszerű a következő alakban felírni:

) (

2 1

ij ij

ij

S V

U  

^{, (12)}

ahol

S

ij – a potenciál skaláris része, míg

V

ij – a vektoros.

Figyelembe véve azt, hogy az energia felírható a következő formában (Semay, Buisseret, Stancu, 2008):

i i i i i

i

i

p m α p β m

E  

₂



₂

   

(13)

és felhasználva az

 ^

és β mátrixokat (Давидов, 1973):

















 0

0

i i

i

σ

σ

α 

 

,

















 

i i

i

I

I

β 0

0

, (14)

megkapjuk a következő kifejezést, amely már tartalmazza a spin-spin és spin-orbitális kölcsönhatásokat három részecskére:



























 



 



 







 



 



 





































; m I m I m I ) p σ ( ) p σ ( ) p σ (

;

;

; m I m I m I ) p σ ( ) p σ ( ) p σ ( U

W ij 2

3 3 2 2 1 1 2 3 3 2 2 1 1 2 3 3 2 2 1 1 2 3 3 2 2 1 2 1

0

0























 . (15)

Mi azokat a barionokat vizsgáltuk, amelyek két nehéz és egy könnyű kvarkból állnak. Mivel a nehéz kvarkok sokkal nagyobb tömegűek, mint a könnyű, ezért ez utóbbi mozog az előző kettő körül. Ennek az egyszerűsítésnek köszönhetően a háromrészecskés barion modellünk átmegy egy kétrészecskés kvarkmodellbe, amelyet a következő egyenlet ír le:































 



 



 







 



 



 





























; m I m I p σ σ

;

;

; m I m I p σ σ U

W

z z z

z z z

ij 2

1 1 2 2

1 2 1

1 2 2

2 1

0

0







 



. (16)

Ahhoz, hogy átmenjünk a

 z

 ^ , ^

1

^{-től az}

S  S 

z

1

,

-ig felhasználjuk a következő kifejezéseket:

, S S σ

σ

_z ^z

2 1 1

4











































 4 1 4

3

1

S

z

S  

_{. (17)}

Ily módon megkapunk két egyenletet a hullámfüggvényekre, megfelelően a szinglet és triplet nem gerjesztett állapotokra:

 ^{W V} 

²

^Ψ ₁ ^{9 p 2}  ^m ₁ ^m ₂ ^m ₃ ^S  ²

^

^Ψ ₁



 





   



 

, (18.a)

 ^{W V} 

²

^Ψ ₂ ^{13 p 2}  ^m ₁ ^m ₂ ^m ₃ ^S  ²

^

^Ψ ₂



 





   



 

_{, (18.b)}

Ahhoz, hogy megoldjuk ezeket az egyenleteket, át kellett mennünk szférikus koordinátarendszerbe, ahol megkaptuk a következő radiális egyenleteket:

    ^{ }

, r R W r A M r

α l r l R dr

d 0

9 1 1

9 1

2 2 2 0 2 2

2 2

2







 

 



















 (19.a)

    ^{ }

. 0 13 1 2

13 2

2 2 2 0 2 2

2 2

2







 

 



















 R r

W r A M r

α l r l

R dr

d _(19.b)

Az egyenletek analitikus megoldását bemutatjuk a (19.a) egyenleten. A következő megjelölés segítségével:

   

_{2 2}

2 0

1

2

9

A r

r α l

r l

E   



⁽²⁰⁾

átírjuk a (19.a) egyenletet:

   

  . r R M W r E r R dr

d

20 1 1

2 2 2

2



























⁽²¹⁾

Az energiát Furié sorba fejtjük:

 

















 



 



 























 



 



 







 







 





      



^{2 3 2 2}

2 2

2 1

m m

m m

m

m

r-r O r r K F r-r O r r

r d

r E d r

E r

E

^{, (22)}

ahol

   

_{2 2}

2 0

1

2

9

rm

A

r

m

α l

r l E

K   





^,

   

₂

4 0

2 2

2

27 1 3

2

1

A

r

m

α l

l r

d r E

F d   





^{. (23)}

Figyelembe véve, hogy

E   r  M

²

 W

² és az

r

mértékét, megkapjuk a következő megoldást a szinglet állapotra:

 n  M M

F K

W   



 



 



 2

1

1

12

1

2 1

^(24.a)

ahol

9 ( 1 ) 2

2 0

1

 A l l   

K

^{, 2}

0 1

4 A F 

^.

Megfelelően a triplet állapotra:

 n  M M

F K

W   



 



 



 2

2

2

17

2

2 1

^{, (24.b)}

ahol

13 ( 1 ) 2

2 0

2

 A l l   

K

, 2

0 2

4A F 

^.

Eredmények

Az első számú táblázatban a „double charmed Xi” nevű barion tömegspektrumai vannak ábrázolva, amely két c-kvarkból és egy u-kvarkból áll. Kiszámítottuk az energiát a szinglet és triplet állapotokban, valamint szintén megállapítottuk a spin-spin hasadást. Látható, hogy az általunk kapott eredmények jó pontossággal egybeesnek a kísérleti eredménnyel (Amsler, 2008).

1. sz. táblázat. A Ξ++cc barion tömegspektruma

n

Elméleti adatok

Kísérleti adatok

2 3 4

S

(MeV)

2 1 2

S

(MeV)

2 1 2 2 3

4

S  S

(MeV)

2 5 4

P

(MeV)

2 3 2

P

(MeV)

2 3 2 2 5

4

P  P

(MeV)

2 3 4

S

(MeV)

1 3513 1745 1768 3512

2 4732 2416 2316 5604 2881 2723

A második számú táblázatban annak a barionnak a tömegspektrumai vannak kiszámítva, amely két c- kvarkból és egy d-kvarkból áll. Itt is megfigyelhető, hogy az általunk használt modell pontos eredményeket ad.

2. sz. táblázat. A Ξ+cc barion tömegspektruma

n

Elméleti adatok Kísérleti adatok

2 3 4

S

(MeV)

2 1 2

S

(MeV)

2 1 2 2 3

4

S  S

(MeV)

2 5 4

P

(MeV)

2 3 2

P

(MeV)

2 3 2 2 5

4

P  P

(MeV)

2 3 4

S

(MeV)

1 3512 1744 1768 3518

2 4730 2415 2315 5603 2879 2724

A harmadik számú táblázatban a „double charmed Omega” bariont vizsgáltuk meg, amely két c-kvarkból és egy s-kvarkból áll. Itt szintén kiszámítottuk a spin-spin hasadást. A kapott eredmény pedig elég jó pontossággal egyezik más kutatók eredményeivel (Tursunov, 2012).

3. sz. táblázat. A Ω+cc barion tömegspektrumai

n

Elméleti adatok Más kutatók

adatai

2 3 4

S

(MeV)

2 1 2

S

(MeV)

2 1 2 2 3 4

S  S

(MeV)

2 5 4

P

(MeV)

2 3 2

P

(MeV)

2 3 2 2 5

4

P  P

(MeV)

2 3 4

S

(MeV)

1 3441 1695 1746 3739

2 4650 2356 2294 5518 3629 1889

A negyedik és ötödik számú táblázatokban kiszámítottuk a „double bottom Xi” barion tömegspektrumait, amely két b- és egy u-kvarkból áll, valamint, amelyik két b- és egy d-kvarkból.

4. sz. táblázat. A Ξ0bb barion tömegspektrumai

n

Elméleti adatok

2 3 4

S

(MeV)

2 1 2

S

(MeV)

2 1 2 2 3

4

S  S

(MeV)

2 5 4

P

(MeV)

2 3 2

P

(MeV)

2 3 2 2 5

4

P  P

(MeV)

1 1510 625 885

2 2238 934 1304 2808 1168 1640

5. sz. táblázat. A Ξ‒bb barion tömegspektrumai

n

Elméleti adatok

2 3 4

S

(MeV)

2 1 2

S

(MeV)

2 1 2 2 3

4

S  S

(MeV)

2 5 4

P

(MeV)

2 3 2

P

(MeV)

2 3 2 2 5

4

P  P

(MeV)

1 1509 624 885

2 2237 933 1304 2807 1167 1640

Összefoglalás

Láthattuk, hogy az elemi részecskék vizsgálata a mai tudományos világ egyik kihívása közé tartozik. Hisz ahhoz, hogy ezeket a részecskéket vizsgáljuk, újabb és újabb modelleket és megközelítéseket kell kidolgozni. Az általunk bemutatott megközelítésnek nagy előnye van, mégpedig azért, mert a spin-spin és spin-orbitális kölcsönhatások már a legelejétől fogva be voltak építve az egyenleteinkbe: semmilyen új paraméter nem volt bevezetve.

Köszönetnyilvánítás

Szeretnék köszönetet nyilvánítani vezetőtanáromnak, dr. Spenik Sándornak, a Collegium Talentum a külhoni tehetségekért tehetség-támogató rendszernek.

A kutatás a TÁMOP 4.2.4.A/2-11-1-2012-0001 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program – Hazai hallgatói, illetve kutatói személyi támogatást biztosító rendszer kidolgozása és működtetése konvergencia program című kiemelt projekt keretében zajlott. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg.

Felhasznált irodalom

1. Amsler, C. (2008). Review of Particle Physics. Particle Data Group. Physics Letter B., 667, 1-5.

2. Crater, H. V., Wong, Ch. Y. (2012). Magnetic states at short distances. Phys. Rev., D. 85., 116005 3. Давидов, А. С. (1973). Квантовая механіка. Москва, Наука, 704 с.

4. Lazur, V. Yu., Reity, O. K., Rubish, V. V. (2009). Relativistic quark model of D-, DS-, B- and BS-mesons.

Scientific Herald of Uzhhorod University. Series Physics, 22, 88-96.

5. Semay, C., Buisseret, F., Stancu, F. (2008). Charm and bottom baryons masses in the combined 1/Nc and 1/mQ expansion versus the quark model. Phys. Rev., D. 78., 076003

6. Tursunov, E. M. (2012). Spectrum of the excited N^* and Δ^* baryons in a relativistic chiral quark model. Phys.

Rev., D. 90., 074015.

7. Whitney, J. F., Crater, H. V. (2014). Baryon Spectrum Analysis using Dirac's Covariant Constrain Dynamics.

Phys. Rev., D. 89., 014023.