Bevezet´es a sz´am´ıt´aselm´eletbe I. Csima Judit
2008. november 17., h´etf˝o csima@cs.bme.hu
10. gyakorlat F´ ak, s´ıkbarajzolhat´ os´ ag
1. A hat pont´u teljes gr´afb´ol elhagyunk k´et ´elet. Lehet-e a marad´ek gr´af s´ıkbarajzolhat´o? ´Es ha 3 ´elet hagyunk el?
2. Van-e olyan konvex poli´eder, melynek lapjai, ´elei ´es cs´ucsai sz´ama egyar´ant oszthat´o 4-gyel? (ZH, 2003. december 17.)
3. S´ıkbarajzolhat´oak-e az al´abbi gr´afok?
4. Tegy¨uk fel, hogy G = (V, E) egy olyan egyszer˝u gr´af, aminek E ´elhalmaza el˝o´all az E1, E2, E3 diszjunkt
´elhalmazok uni´ojak´ent. Ut´obbiakra teljes¨ul, hogy a (V, E1), (V, E2) ´es (V, E3) r´eszgr´afok mindegyike G egy fesz´ıt˝of´aja. Bizony´ıtsuk be, hogy ekkorGnem s´ıkbarajzolhat´o. (ZH, 2005. december 8.)
5. Egy s´ıks´agon ¨ot h´az ´es ¨ot k´ut ´all. Minden h´azt´ol minden k´uthoz k¨ul¨on ¨osv´enyt kell ´ep´ıten¨unk. Az ´ep´ıtend˝o
¨
osv´enyek n´emelyike keresztezheti egym´ast, de egy-egy keresztez˝od´esben legfeljebb k´et ¨osv´eny tal´alkozhat. Mu- tassuk meg, hogy ekkor kilencn´el kevesebb keresztez˝od´essel biztosan nem megoldhat´o a feladat.
6. Egy g¨ombre rajzolt 6 tartom´anyb´ol ´all´o 3-regul´aris egyszer˝u gr´afban mennyi az ´elek sz´ama?
7. Vegy¨unk egy 4-regul´aris ¨osszef¨ugg˝o gr´afot a boltban ´es t¨or¨olj¨uk ki valahogyan egy fesz´ıt˝of´aj´anak az ´eleit. Bi- zony´ıtsa be, hogy a marad´ek gr´afban van legal´abb k´et k¨or.
8. S´ıkbarajzolhat´oak-e az al´abbi gr´afok?
9. Egy 20 cs´ucs´u konvex poli´eder lapjainak sz´ama 12. H´any oldala van az egyes lapoknak, ha tudjuk, hogy ez a sz´am minden lapra azonos?
10. Egy mez˝on k h´az ´esk k´ut ´all. Minden h´azt´ol pontosan 5 (k¨ul¨onb¨oz˝o) k´uthoz vezet ´ut (m´eghozz´a k¨ozvetlen¨ul, vagyis m´as h´azak vagy kutak ´erint´ese n´elk¨ul). Mutassuk meg, hogy biztosan van k´et olyan ´ut, amelyek keresztezik egym´ast! (ZH, 2003. december 11.)
11. Bizony´ıtsd be, hogy minden egyszer˝u, s´ıkbarajzolhat´o gr´afnak van olyan cs´ucsa, aminek a foka legf¨oljebb 5.
12. Egy f´ar´ol azt tudjuk, hogy 8 cs´ucsa van ´es foksz´amai k´etf´el´ek. Mi lehet ez a k´etf´ele ´ert´ek?
13. H´any olyan hatjegy˝u sz´am l´etezik, amelyben van k´et azonos sz´amjegy?
14. L. Ott´o minden h´eten nyolc szelv´ennyel ¨ot¨oslott´ozik. A szelv´enyeket teljesen tal´alomra t¨olti ki, m´eg arra sem figyel, hogy ne dobjon be k´et ugyan´ugy kit¨olt¨ott lott´oszelv´enyt. H´anyf´elek´eppen t¨oltheti ki egy h´eten a nyolc lott´oszelv´enyt? (A kit¨olt¨ott szelv´enyek sorrendje term´eszetesen k¨oz¨omb¨os. Az ¨ot¨oslott´oban 90 sz´am k¨oz¨ul kell beikszelni ¨ot k¨ul¨onb¨oz˝ot.) (ZH, 2002. december 5.)
15. Egynpont´u egyszer˝u gr´afban minden pont foka legal´abb n2. Bizony´ıtsd be, hogy a gr´af ¨osszef¨ugg˝o!
