Frisch Ragnar: Maximumok és minimumok

A STATISZTIKA: ÁLTALÁNOS ELMÉLETE ÉS MÓDSZERTANA.

MATEMATIKAI STATISZTIKA

Frisch, Ragnar:

Maximumok és minimumok

, (Maxima et minima.) Théorie et application economigue. Paris. 1960. Dunod, XII, 178 p.

Frisch Ragnar, aki először használta az ökonometria kifejezést, azok számára írta

ezt a könyvét, akik nem rendelkeznek el—

mélyültebb matematikai ismeretekkel, de

ennek ellenére érdeklődnek a modern ökonometria és operáció-kutatás kérdései iránt. Az ilyen tárgyú könyvekkel szem—

ben általában azt az igényt támasztják,

hogy a közgazdászok, statisztikusok szá- mára szükséges matematikai módszereket a lehető legegyszerűbb módon ismertes- sék, azzal a részletességgel, amely meg—

világítja e módszerek gyakorlati alkal—

mazásának útját. Ezt az igényt akarta a szerző könyvében kielégíteni. Ez a törek- vése sikerült.

A könyv 13 fejezete során a matema—

tika elméletének azon részét tárgyalja szerző, amely a termelés és fogyasztás

egyensúlya, a munkaerő elosztás (olyan

körülmények között, amikor ez csak kor—

látolt számban áll csak rendelkezésre), optimumbecslés stb. során kerül gyakor—

lati alkalmazásra. Annak ellenére, hogy a szerző szeme előtt a kapitalista terme—

lési viszonyok lebegnek, a könyvben tár—

gyalt matematikai módszerek a szocialista gazdaságban is a helyes tervezés és terv—

teljesítés ellenőrzésével kapcsolatos szá—.

mításoknál esetenként alkalmazhatók.

Különösen nagy jelentőségűek ezek a módszerek az optimumszámításoknál, az idényszerű változásoknak kitett jelensé—

gek (például utasforgalom stb.) vizsgá—

latánál.

A matematikai módszereknek a gazda- ságtudományok területén való térhódítá—

sával kapcsolatban megjegyzi a szerző, hogy nem elég a tényeket Csak leltározni.

7*

Látni kell azok összefüggéseit. Ki kell deríteni a jelenségeknek egymásra gyako—

rolt hatását. Fel kell—tárni a jelenségek

között a teljes okozatiság fonalát. Nem

szabad arról sem megfeledkeznünk, hogy a legtöbb esetben azok az adatok is, ame-

lyekkel vizsgálatainkat Végezzük, csak

megközelítések. Ezeknek a megközelíté—

seknek a pontosságát munkánk megbíz—

hatósága érdekében azonban feltétlenül

ismernünk kell. Mindezek olyan kérdések,

amelyek csakis a matematika módszerei—

vel tisztázhatók. Az egyszerű szóbeli elem—

zés e téren nem egyéb, mint ,,üres fecse- gés". E megállapítás ellenére sem mond-'

hatjuk a szerzőt egyoldalúnak, mert ő

sem tartja a matematikai módszereket a gazdaságtudományi vizsgálatok kizáróla—

gos eszközeinek. Rámutat arra, hogy mindig szükséges a népgazdasági, statisz—

tikai jelenségek filozófiai, ideológiai, tör-

téneti stb. megvilágítása.

A könyvben szerencsés az alap-problé—

ma megválasztása. A maximum—minimum probléma az optimumszámítás révén a modern ökonometriai irodalom közép—

ponti kérdése. A szélső értékek problé—

mája körül csoportosítja a szerző úgy-

szólván a teljes függvénytant. Az olvasó e könyv segítségével könnyen áttekint—

heti a matematikának e nagy fejezetével kapcsolatos kérdéskomplexumot. Minden

fejezet szoros kapcsolatban áll a szélső értékek kérdésével, talán a lineáris egyen-

letrendszerekről szóló fejezet és a matrix-

számítás alapjait tárgyaló függeléknél tű—

nik lazábbnak ez a kapcsolat.

Ki kell emelnünk az egész anyag tar-

gyalásának a módszerét, amivel a szerző úgyszólván minden nehézség nélkül segíti"

át az olvasót, néha igen bonyolult kérdé:—

seken, anélkül, hogy előadása terjengőssé

válna.

Ez a módszer a könyv tematikájára i's

reá nyomja bélyegét. Először az egyvál—

756

tozós függvények szélső érték problémá—

ját mutatja be, ezt a két, majd a többvál- tozós függvények vizsgálata követi. Mind- ezen függvénye-kkel kapcsolatban külön—

külön fejezetben bemutatja a szélső érték problémát úgy is, ha azt meghatározott feltételek fennforgása mellett kell vizs- gálnunk. A tárgyalás során szerző módot talál a legalapvetőbb fogalmak tisztázá- sára is. így például a szükséges és elég—

séges feltétel a nyílt (a ( ac ( b) és a zárt (a § x § b, ahol a és b az inter-

vallum határpontjai) intervallum, az egy- változós függvény helyi minimum (f(x) :

: 0, f"(x) ; 0) és helyi maximum (f'(:r) ::

: 0, f"(:c) ( 0, ahol f'(x) a függvény első, f"(x) a második deriváltját jelenti) pontjának stb. tömör, világos meghataro—

"zását is megtaláljuk a könyvben.

* Igen érdekes az a fejezet, amely kétvál- tozós függvénynek adott feltétel melletti szélső értékeit Vizsgálja. A feltételt a kö—

vetkező egyenlet fejezi ki:

0 (mi, ma) : 0

Feltételezés szerint ennek az egyenletnek 'a koordináta rendszerbeli képe egy görbe.

Ez a görbe azon pontok összessége, ame—

lyekre az adott feltétel teljesül. Jól átte—

kinthető ábrán mutatja be a szerző a

függvény nívó—vonalait (kétváltozós függ—

vény nívóvonalai azon pontok halmazai,

amelyekben a függvény értéke konstans) és a, görbe metszéspontjai közül a szélső

értékeket. Ennek az esetnek általánosabb megfogalmazása az, amikor n változós függvény esetében m adott feltétel mel—

lett vizsgálja a szélső értékeket, A felté—

teleket most a következő egyenletek feje—

zik ki:

01031939- - ' a'") : 0

0, (x,, x,. .

...

Ahhoz, hogy f (931, 332 ac") függvénynek legyen szélső értéke, szükséges találnunk

olyan 11, A, .. .. A,, együtthatókat, ame—

lyekre teljesül a következő egyenlőség:

""

fi _i- ZM Okizo íz].

"Ezeket az együtthatókat együtthatóknak nevezzük.

A kérdés további általánosításának te- kinthető az a probléma, amelyiknek a megfogalmazása a legérdekesebb és —- véleményünk szerint —— a könyv legsike- rültebb fejezete. A kérdést a szerző több

f! (xi—y 352 '*' x"), f2 (mi! 5132 --' xing—"

Lagrange—féle

STATISZTIKAI IRODALNÚI FIGYELÖ A

fN (mi, % . . x") függvény vonatkozásá- ban veti fel és vizsgálja, hogy ezek egy—

idejűleg milyen szélső értéket érhetnek el. Ennél a kérdésnél általában nem ve—

zetne célra, ha külön—külön vizsgálnánk

egyes függvények növekedését vagy csök—

kenését. A kérdés egyik megoldása egy összetett !? (fi, fg fN) függvény beve- zetése, amelyet az adott függvények ha-

tároznak meg. Ezzel a kérdést 52 függ-

vény szélső értékeinek vizsgálatára szű—

kíthetjük le. _

Az utóbbinak egy speciális esete, amely gazdasági problémákkal kapcsolatban igen gyakran fordul elő az, amikor 52 a kö—

vetkező lineáris függvény alakjában ir- ható fel:

9 (fufzv - - -fN) : wlfi 'l— wzfz 'l— - -- waN

ahol a w szorzótényező az egyes függvé—

nyek súlyai. A súlyok meghatározása kü—

lön probléma. Ez lehet az egyes függvé—

nyeknek a többihez viszonyított relatív jelentőségének megállapítása. Ilyen pél—

dául azon tényezők árai, amelyeknek

függvényeit vizsgáljuk.

Több függvény szélső érték problémá—

ját is vizsgálhatjuk adott feltétel mellett.

Ezt a Pareto-féle optimum elv segítségé-

vel oldhatjuk meg, amit a következőkép- pen foglalhatunk össze. Adott x : : (mi, ac? . . . a:"). C feltétel mellett, akkor lehet optimum, ha az illető pont:

1. eleget tesz C feltételnek,

2. van egy másik olyan 95 : (mi, ne,;

a9;l)- pont, amely szintén eleget tesz C fel—

tételnek és

3. :c—től haladva x' felé fl (mpxa . .. m"), j', (901, x, ... avn) ... fN (mi, az: ... m") függvények nem csökkennek és van köztük legalább egy olyan, amely ténylegesen

növekszik.

A C feltételt egyenlet vagy egyenlőtlen—

ség fejezi ki. Ehhez még azt kell hozzá- fűzni, hogy ebben az esetben nem pontról,

hanem pontok összességéről van szó.

A Pareto-féle optimum elv alkalmazá—

sára lehetőséget nyújt a termelés elméle-

te. Legyen adott a termelés fi (x,, acz van) mennyisége, amelyet x,,w, . .. avn té—

nyezők határoznak meg. A termelés teljes

. költségét _Jía(w1v% van) függvény adja

meg adott árrendszerben. A kérdés vizs—

gálatánál nem szorítkozhatunk adott pont

vagy stádium vizsgálatára. Meg kell vizs—

gálnunk olyan eseteket, ahol a termelés

mennyisége nő, a termelési kö ltségek csök-

kenése nélkül vagy megfordítva: a ter-

melési költségek csökkennek a termelés

mennyiségének csökkenése nélkül. A ter—

melés elméletében ez egyben a gazdasági

helyettesíthetőségnek is szép illusztrá—

;

STATISZTIKAI IRODALMI FI GYELÖ

ciója. A Pareto-féle elv komoly támpontot nyújt a helyettesítési görbe megszerkesz- téséhez.

Ebben a fejezetben a matematikai mód—

szereknek és közgazdasági elméletnek tö—

kéletes szintézisét nyújtja a szerző. Saj- nos a könyv más helyein nem találkozunk

ehhez hasonló megoldással. Sőt úgy tű-

nik, hogy a szerző a matematikai fejte—

getések során itt—ott elveszti a közgazda—

sági és statisztikai vonatkozásokat.

A kérdés jelentőségéhez képest túl ke—

VÉs teret szentel a szerző a modern öko—

nometriai vizsgálatok egyik legelterjed-

tebb módszerének, a lineáris programozás-

nak.

(Ism.: Csikós Mihály)

Vázlatok a Szovjetunió statisztikájának

történetéről

(Ocserki po isztorii sztatisztiki SzSzSzR.) Moszkva. 1960. Goszsztatizdat. 208 p.

A Szovjetunió Tudományos Akadémíája

Közgazdaságtudományi Intézete gazdaság—

statisztikai szektora által közzétett, s a Szovjetunió Központi Statisztikai Hivata—

lának kiadóvállalata gondozásában meg—

jelent mű a szovjet statisztika történeté—

vel foglalkozó sorozat harmadik kötete.

A kötetben kilenc tanulmány kapott helyet. Az elsőtanulmány, amelynek szer- zője T. Rjabuskin, címe: ,,V. I. Lenin sze—

repe a szovjet statisztika megteremtésé-

ben", kapcsolódik ,a szerzőnek a második kötetben közzétett tanulmányához. (,,V. !.

Lenin és a statisztikai tudomány"), amely—

ben Lenin munkáinak a statisztikai tudo- mány fejlődésében betöltött szerepét ele—

mezte. A tanulmány ismerteti a neves orosz statisztikusnak, a Szovjetunió Köz—

ponti Statisztikai Hivatala első elnökének, P. I. Popovnak 1918 júniusában Leninnel

történt találkozását, amely a szovjet Köz—

ponti Statisztikai Hivatal megteremtésére vezetett. Lenin ezen a találkozáson kifej—

tette Popovnak, hogy a statisztika, mint minden más tudományos diszciplina, prob—

lémáit bizonyos osztályok érdekében veti fel és oldja meg, és hogy ő az állami sta- tisztikai intézményben a proletariátus és a forradalom érdekében dolgozó szervet szeretne látni. A Szovjetunió Központi Statisztikai Hivatala létrehozására vonat—

kozó rendeletet 1918. július 25—én írta alá Lenin. Lenin, Kautskynak arra az érvelé—

sére,vhogy Oroszország még nem ért meg

a forradalomra, gazdasági elmaradottsága,

s többek között a statisztika kielégítő szer—

vezetének a hiánya miatt, azt válaszolta:

,,a Szovjetköztársaság statisztikai intéze-

757—

tet létesített és bevonta ebbe a munkába

Oroszország legjobb statisztikusait, de ter—*

mészetesen ideális statisztikát nem lehet egyhamar teremteni". (Lenin Művei, 28.

köt. 325. old.) *

Rjabuskin idézi Lenin véleményét a

statisztika népszerűsítésének a jelentősé—

géről, amelyet 1918—ban ,,A szovjethata—'

lom soronkövetkező feladatairól" c. mun-—

kájában fejtett ki: ,,A statisztika a kapi-

talista társadalomban kizárólag ,,hivatalos személyek" vagy szakemberek szűk köré—

nek volt a dolga, —— nekünk be kell vin-

nünk a statisztikát a tömegek közé, nép—

szerűsítenünk kell, hogy a dolgozók előbb—

utóbb maguk is megértsék és lássák, ho—

gyan és mennyit kell dolgozniok, hogyan

és mennyit pihenhetnek, hogy az egyes kommúnák gazdálkodása üzleti eredmé-

nyeinek összehasonlitása általános érdek-—

lődés és tanulmányozás tárgyává váljék, hogy a kiemelkedő kommúnákat haladék—

talanul megjutalmazzák..." (Lenin Mű—

vei, 27. köt. 256. old.)

F. _ Egermayer (Prága) ,,A statisztikai elmélet alapvető tételeinek fejlődése az orosz és szovjet statisztika történetében"

c. tanulmányában részletesen bemutatja Lomonoszov statisztikai—földrajzi munkái-d tól kezdve Kirillov munkásságát, ame—

lyekben első ízben (1727—ben) szerepelnek táblázatos összeállítások, szól Tatiscsev te- vékenységéről, a nagy orosz forradalmi demokrata, Radiscsev statisztikai munkás—

ságáról, amelyet Guetelet felfogásával

állít szembe. Tanulmányában a csehszlo—

vák szerző elemzi German, Arszenev, Po—

rosin, Zsuravszkij, Kaufman, Csuprov és

mások munkásságát, majd bemutatja a

statisztikai elmélet fejlődésének szovjet korszakát; utal Szmit, Sztrumilin, Bojár—

szkij, Jasztremszkij, Druzsinin, Nemcsinov

idevágó munkáira, valamint az ötvenes

évek első felében —- a statisztikai tudo-

mány helyéről —- lefolytatott vitára.

L. Rozovszkij tanulmánya ,,Az orosz

ipar 1900. és 1908. évi összeírásai" címmel

rámutat arra, hogy az 1900. évi orosz ipari összeírás jelentősen eltért a német típusú azonos összeírásoktól, viszont sok hasonló—

ságot mutatott az 1900. évi amerikai ipari összeírás módszereivel. Az összeírást az orosz pénzügyminisztérium felügyelete

alatt, de nem kizárólag, sőt nem is elsőd—

legesen adóztatási rendszabályok megala—

pozása érdekében szervezték meg V. E.

Varzar vezetése alatt. A tanulmány elem——

zi az összeírás programját és módszereit

és foglalkozik az összeírással kapcsolatos vitás kérdések, így például a feldolgozá—

sokhoz szükséges osztályozások problé—

máival. '