Véges csoportok reprezentációi: monomialitásról, blokkokról és mélységről: habilitációs tézisek

V ´EGES CSOPORTOK REPREZENT ´ACI ´OI: MONOMIALIT ´ASR ´OL, BLOKKOKR ´OL ´ES M ´ELYS ´EGR ˝OL

HABILIT ´ACI ´OS T ´EZISEK

HORV ´ATH ERZS ´EBET

BME TTK MATEMATIKA INT ´EZET, ALGEBRA TANSZ ´EK H-1111 BUDAPEST, M ˝UEGYETEM RKP. 3–9.

2016. SZEPT 29.

Bevezet´es

A publik´aci´oimban szerepl˝o szerte´agaz´o t´em´ak k¨oz¨ul h´armat v´alasztottam ki a t´ezisf¨uzet sz´am´ara: a monomialit´ast, a blokkelm´eletet ´es a m´elys´eget. Ezek a v´eges csoportok reprezent´aci´oelm´elet´ehez tartoznak. A v´eges csoportok reprezent´aci´o- elm´elet´evel 1984 k¨or¨ul, a doktori dolgozatom kapcs´an kezdtem el kutat´asszer˝uen foglalkozni, melyet Corr´adi Kereszt´ely vezet´es´evel ´ırtam.

Ebben az id˝oben Magyarorsz´agon m´eg nem nagyon ismert´ek a szimbolikus sz´am´ı- t´asi komputer algebrai szoftvereket. 1992-ben a M˝uegyetemen Joachim Neub¨userrel (RWTH-Aachen), E. F. Robertsonnal (University of St Andrews), Andrea Caran- tival (Trento University), Wettl Ferenccel (BME K¨ozleked´eskari Matematika Tsz.) valamint Recski Andr´assal (BME Villamoskari Matematika Tsz.) ´es a hozz´ajuk tar- toz´o EUROMATH Laborat´oriummal, Komputer Algebra Ny´ari iskol´at szervezt¨unk, melynek keret´eben megismerkedt¨unk t¨obbek k¨oz¨ott a GAP programcsomaggal vala- mint a komputer algebra elm´eleti h´atter´evel. A munka´allom´asokkal felszerelt EUROMATH-laborat´oriumban voltak a sz´am´ıt´og´epes gyakorlatok. Ez a g´epi k¨or- nyezet akkoriban Magyarorsz´agon igen kiv´eteles volt, mivel sok´aig a munka´allom´a- sok embarg´o alatt ´alltak.

1993-ban DAAD ¨oszt¨ond´ıjjal az RWTH-Aachen egyetemen GAP programokat

´ırtam reprezet´aci´oelm´eleti kutat´asaimhoz. Az RWTH-Aachen D Matematika Tan- sz´eke akkor a GAP fejleszt´esi k¨ozpontja volt, Joachim Neub¨user vezet´es´evel. Ezen az egyetemen intez´ıv kutat´as folyt a modul´aris reprezent´aci´oelem´elet valamint an- nak komputeres vizsg´alataiban is. Herbert Pahlings professzor is ezekben a t´em´ak- ban dolgozott, t¨obbsz¨or tartott el˝oad´asokat Budapesten is. A modul´aris reprezent´a- ci´oelm´eleti kutat´asoknak Magyarorsz´agon akkor m´eg nem volt hagyom´anya. B´ar az ELTE-n, Pelik´an J´ozsef speci´alel˝oad´asain el tudtam saj´at´ıtani ennek alapjait.

K´es˝obb rendszeresen szervezt¨unk olvas´oszemin´ariumokat a t´emak¨orben.

G. R. Robinson budapesti l´atogat´asa is nagy hat´assal volt e t´ema ir´anti ´erdekl˝od´es felkelt´es´ere. 1993-1996 ”Using Computer Algebra” c. TEMPUS projekt¨unk keret´e- ben, k´es˝obbi kutat´asi (OMFB, T´et, OTKA) projektekben tov´abbi csoportelm´eleti

´

es reprezet´aci´oelm´eleti kutat´asokba kapcsol´odtam be. E projektek vezet˝oi ma- gyar r´eszr˝ol Babai L´aszl´o, P´alfy P´eter P´al, Moln´ar Emil, Schmidt Tam´as, Corr´adi Kereszt´ely, R´onyai Lajos, n´emet partnerei Joachim Neub¨user, Herbert Pahlings, Gerhard Hiss, Burkhard K¨ulshammer ´es Christine Bessenrodt voltak. Jelenleg is r´esztveszek az ”Algebra ´es algoritmusok” (t´emavezet˝o: R´onyai Lajos) valamint a

”Csoporthat´asok” (t´emvezet˝o: Pyber L´aszl´o) c. OTKA projektek munk´aj´aban.

2000-ben Reprezet´aci´oelm´eleti Workshopot szervezt¨unk az Erd˝os K¨ozpont t´amo- gat´as´aval a kutat´asi projekt¨unk r´esztvet˝oivel egy¨utt (Aachen, Jena, Magdeburg), valamint a reprezent´aci´oelm´elet neves egy´enis´egeivel: itt volt G. D. James, R. Dip- per, G. R. Robinson ´es J. Olsson is.

A t´ezisf¨uzet t´em´ai k¨oz¨ul monomialit´ast m´ar a doktori dolgozatomban is vizsg´al- tam. K´es˝obb a szubnorm´alis monomialit´as, valamint a blokkok ´es a monomialit´as kapcsolata ker¨ult az ´erdekl˝od´esem el˝oter´ebe, Guan Aun How, valamint C. Bessen- rodt munk´ainak hat´as´ara. A Dade-sejt´es sz´am´ıt´og´epes tanulm´anyoz´as´ara Herbert Pahlings h´ıvta fel a figyelmemet.

3

Nabila Mohammed Hassan t´arst´emavezet˝ojek´ent a Dade-sejt´essel kezdtem fog- lalkozni. Ezzel kapcsolatban k´et publik´aci´o sz¨uletett: az egyikben igazoltuk a Dade- sejt´est a sporadikus egyszer˝u Higman-Sims csoportra, a m´asikban kapcsolatot bi- zony´ıtottunk a projekt´ıv Dade-sejt´es ´es a csoport centr´alis b˝ov´ıt´es´ere vontakoz´o k¨oz¨ons´eges sejt´es k¨oz¨ott.

A tov´abbi blokkelm´eleti cikkekben t´arsszerz˝oim: H´ethelyi L´aszl´o (BME), Tho- mas Breuer (Aachen), Burkhard K¨ushammer (Jena), John Murray (Maynooth) valamint Szab´o Endre (R´enyi Int´ezet).

Az ut´obbi ´evekben az ´erdekl˝od´esem a csoportok r´eszcsoportjainak kombina- torikus valamint k¨oz¨ons´eges m´elys´eg´enek vizsg´alata fel´e fordult. Ez a fogalom a von Neumann-algebr´akban bevezetett m´elys´egfogalomb´ol eredeztethet˝o. B. K¨ulsham- mer, S. Burciu, L. Kadison ´es R. Boltje munk´ai nyom´an fejl˝od¨ott ki a t´ema.

K¨ulshammer n´eh´any tan´ıtv´anya (S. Danz, T. Fritzsche, C. Reiche) is publik´alt m´ar ebben a k´erd´esk¨orben.

H´ethelyi L´aszl´oval ´es doktoranduszommal, Pet´enyi Francisk´aval, k´et m´elys´eggel kapcsolatos cikket ´ırtunk. Az egyik m´ar megjelent, az Sz(q) Suzuki-csoportokat, a m´asik (e t´ezisf¨uzetben nem szerepel) Pet´enyi Franciska PhD dolgozat´anak r´esz´et k´epezi, a ReeR(q) csoportoszt´alyt vizsg´alja.

A t´eziseket a megadott 10 cikk alapj´an k´esz´ıtettem. Az id´ezett t´etelek t¨obbnyire e cikkek eredm´enyei, ellenkez˝o esetben ezt k¨ul¨on jel¨olj¨uk. A k¨oz¨os cikkek eset´en az

´

en hozz´aj´arul´asom a cikkekhez k¨or¨ulbel¨ul a r´am es˝o ar´anyos r´esz. A t´ezisekbenG mindig v´eges csoportiot jel¨ol.

K¨osz¨onetnyilv´an´ıt´as: K¨osz¨on¨om a BME Algebra Tansz´ek t´amogat´as´at a ha- bilit´aci´o k¨olts´egeinek ´atv´allal´as´aban, valamint Nagy Attila biztat´as´at a habilit´aci´os elj´ar´as elind´ıt´as´aban. K¨osz¨on¨om Recski Andr´as, R´onyai Lajos valamint Wettl Fer- enc seg´ıt˝o tan´acsait is. A jelenlegi kutat´asok t´amogat´oi: az NKFI 115288 valamint az NKFI 115799 projektek.

1. T´ezis - M-blokkok [1]

El´egs´eges felt´etelt adunk arra, hogy egy feloldhat´o csoportp-blokkjaM-blokk legyen.

Vizsg´aljuk, hogy a f˝oblokk, illetve a maxim´alis defekt˝u blokkok hogyan hat´arozz´ak meg egy csoport monomialit´as´at.

1.1. Defin´ıci´o. LegyenG v´eges csoport. Azt mondjuk, hogy egy χ∈Irr(G) irre- ducibilis (komplex) karakter monomi´alis vagy M-karakter, ha χ induk´alhat´o valamely H ≤ G r´eszcsoport alkalmas line´aris karakter´eb˝ol. Egy csoport M- csoport, ha minden irreducibilis karaktere monomi´alis. Azt mondjuk, hogy χ ∈ Irr(G)szubnorm´alisan monomi´alisvagySM-karakter, ha χ a Gcsoport egy H szubnorm´aloszt´oj´anak line´aris karakter´eb˝ol induk´alhat´o. Egy csoportSM-cso- port, ha minden irreducibilis karaktere szubnorm´alisan monomi´alis.

K. Taketa egy ismert t´etele szerint minden M-csoport feloldhat´o. Viszont min- den szuperfeloldhat´o csoport M-csoport. Az M-csoportok oszt´alya val´odi m´odon e k´et oszt´aly k¨oz´e esik. A monomialit´as nem ¨or¨okl˝odik r´eszcsoportra. Ha egy M- csoport minden r´eszcsoportja isM-csoport, akkor ˝otM U-csoportnak nevezz¨uk.

MindenSM csoportM U, de a ford´ıtott ´all´ıt´as nem igaz. AzSM-csoportokkal a t´ezisf¨uzetben nem szerepl˝o kor´abbi cikkben is foglalkoztunk, melyet Gua Aun How dolgozatai insprir´altak.

A modul´aris reprezent´aci´oelm´eletet R. Brauer vezette be. C´elja a reprezent´aci´ok

”lok´alis” vizsg´alata volt. Legyen (K, R, F) p-modul´aris rendszer, azazR teljes diszkr´et ´ert´ekel´esgy˝ur˝u,Knulla karakterisztik´aj´u h´anyadostesttel ´esF =R/J(R)p- karakterisztik´aj´u marad´ekoszt´aly testtel. Feltessz¨uk, hogyF-ben, ´esK-ban benne vannak a |G|-edik egys´eggy¨ok¨ok. Ekkor az RG csoportgy˝ur˝u felbomlik felbont- hatatlan k´etoldali ide´alok direkt ¨osszeg´ere:

RG=⊕Bi

F Gugyancsak hasonl´oan felbomlik felbonthatatlan k´etoldali ide´alok direkt ¨osszeg´e- re:

F G=⊕B_i^∗

Ezeknek a felbont´asoknak megfelel az 1 felbont´asacentr´alisan primit´ıv idem- potensekre1 =P

eB_i illetve 1 =P eB_i^∗.

Azt lehet tudni, hogy a mod J(R) ´atmenet bijekci´o a k´et felbont´as direkt t´enyez˝oi k¨oz¨ott. Ezeket h´ıvjuk a k´et felbont´as p-blokkjainak. A megfeleltet´esn´el a centr´alisan primit´ıv idempotensek is a megfelel˝obe k´epz˝odnek bijekt´ıv m´odon.

Viszont a Wedderburn-Artin strukt´ura-t´etelb˝ol tudjuk, hogyK⊗RG'KG=

⊕Mn_j[K] m´atrixalgebr´ak direkt ¨osszege ´es minden direkt t´enyez˝o sorvektorai egy- m´assal izomorf irreducibilis jobboldaliKG-modulusok. AzazGegy-egy irreducibilis karaktere KG egy m´atrixalgebra direkt t´enyez˝oj´ehez tartozik (multiplicit´assal).

Mivel pedig RG minden blokkja K felett m´atrixalgebr´akra bomlik, ´ıgy minden χ∈Irr(G) alkalmas blokkhoz tartozik. Ahhoz aB blokkhoz, amelyreK⊗RB a neki megfelel˝o m´atrixalgebr´at direkt t´enyez˝ok´ent tartalmazza.

1.2. Defin´ıci´o. Legyen G v´eges csoportnak B p-blokkja. Irr(B)-vel jel¨olj¨uk a B blokkhoz tartoz´o irreducibilis karakterek halmaz´at. Azt mondjuk, hogy aB blokk M-blokk, ha minden χ ∈ Irr(B) monomi´alis karakter. Azt mondjuk, hogy a B blokkSM-blokk, ha Irr(B) minden elemeSM-karakter. Azt ap-blokkot, amely

5

a trivi´alis karaktert tartalmazza a csoport f˝oblokkj´anak nevezz¨uk ´es B0(G)-vel jel¨olj¨uk.

Mivel a C⁺ oszt´aly¨osszegek a csoportalgebra centrum´anak b´azis´at alkotj´ak,

´ıgy,e^∗_B =Pβ_B^∗(C)C⁺, alkalmasβ_B^∗(C)∈F egy¨utthat´okra.

1.3. Defin´ıci´o. Legyen χ ∈ Irr(G). A χ-hez tartoz´o centr´alis karakternek nevezz¨uk ´esωχ-vel jel¨olj¨uk azt az ωχ : Z(RG) → R R-algebra homomorfizmust, melyre ωχ(C⁺) = ^χ(g)|C|_χ(1) , ahol g ∈ C ´es C a G csoport egy konjug´altoszt´alya, C⁺∈RGpedig a hozz´a tartoz´o oszt´aly¨osszeg.

Azt lehet tudni, hogy a mod J(R) ´atmenetn´el az azonos blokkokhoz tartoz´o irreducibilis karakterek centr´alis karakterei ugyanoda k´epz˝odnek. ´Igy van ´ertelme ablokk centr´alis karakter´er˝olbesz´elni. Nevezetesen: ω_B^∗(C⁺) :=ω_χ(C⁺) mod J(R), aholχ∈Irr(B) tetsz˝oleges karakter.

Egy´uttalωB^∗:Z(F G)→F algebra homomorfizmustinduk´al.

1.4.Defin´ıci´o. LegyenGv´eges csoport, ´esC legyenG-nek egy konjug´altoszt´alya.

Legyenx∈C. Tekints¨uk ennekCG(x) centraliz´ator´at. Ennekp-Sylow r´eszcsoport- j´at aCkonjug´altoszt´aly defektcsoportj´anaknevezz¨uk. Ez konjug´alts´ag erej´eig egy´ertelm˝u. A defektcsoport p^d rendj´enek d kitev˝oj´et, a konjug´altoszt´aly de- fektj´enek nevezz¨uk. Egy konjug´altoszt´alydefektoszt´alya aB p-blokknak, ha ωB^∗(C⁺) 6= 0 ´es βB^∗(C) 6= 0 egyidej˝uleg teljes¨ul. Egy blokk defektoszt´aly´anak defektcsoportj´at, ablokk defektcsoportj´anaknevezz¨uk ´esδ(B)-vel jel¨olj¨uk.

|δ(B)|=p^d eset´end-t a B blokk defektj´eneknevezz¨uk ´es d(B)-vel jel¨olj¨uk.

1.5. Defin´ıci´o. Egy χ ∈ Irr(G) karakter p-defektje a _χ(1)^|G|-t oszt´o maxim´alis p-hatv´any kitev˝oje. Jele: d(χ).

Ismert, hogy d(B) = max{d(χ)|χ∈Irr(B)}.

1.6.Jel¨ol´es. R¨ogz´ıtettpeset´en egy csoportp-blokkjai halmaz´atBl(G)-vel aD defektcsoport´u blokkjai halmaz´atBl(G|D)-vel jel¨olj¨uk. Gkonjug´atoszt´alya- itCl(G)-vel,Ddefektcsoport´u konjug´altoszt´alyaitpedig Cl(G|D)-vel jel¨olj¨uk.

1.7. Defin´ıci´o. Egy G csoportot p-nilpotensnek nevez¨unk, ha van norm´al p- komplementuma, azazG=P K, aholP ∈Syl_p(G) ´esK / G p⁰-csoport.

1.8.Defin´ıci´o. Minim´alis nem nilpotens csoportnak, vagy (p, q)-csoportnak nevez¨unk egy olyan csoportot, melynek minden val´odi r´eszcsoportja nilpotens.

Ezeknek a strukt´ur´aja ismert,Schmidt-csoportoknakis szokt´ak ˝oket nevezni.

LegyenGegy ilyen csoport. Ekkor a k¨ovetkez˝o felt´etelek teljes¨ulnek G-re:

(i) Gfeloldhat´o.

(ii) |G|rendje k´et pr´ımmel oszthat´o csak, azaz|G|=p^aq^b. (iii) G⁰=P ∈Sylp(G).

(iv) Hap >2, akkor exp(P) =p; hap= 2, akkor exp(P)≤4. Mindk´et esetben exp(Z(P)) =p.

(v) P Abel-csoport vagyP⁰= Φ(P) =Z(P)≤Z(G).

(vi) HaQ∈Sylq(G), akkorQciklikus, ´es ha Q=hxi, akkor x^q ∈Z(G).

(vii) haPAbel, akkorQirreducibilisen hatP-n ´es exp(P) =p. HaP nem Abel, akkorQirreducibilisen hatP/Z(P)-n ´es exp(P/Z(P) =p. Az els˝o esetben

P, a m´asodik esetben P/Z(P) a GF(p) feletti vektort´ernek tekinthet˝o, melynek dimenzi´ojao(p) modq, amely p´aros a nem Abel esetben.

(vii) G-t aq-Sylow r´eszcsoportjai gener´alj´ak.

Ezek a csoportok nem p-nilpotensek. Azt is be lehet l´atni, hogy egy csoport pontosan akkorp-nilpotens, ha nem tartalmaz (p, q)-csoportot.

1.9.Jel¨ol´es. Ha a G csoporttartalmaz(p, q)-csoportot, akkor eztG≥(p, q)-val, ha nem tartalmaz, akkor eztG6≥(p, q)-val r¨ovid´ıtj¨uk.

Corr´adi Kereszt´ely egy cikk´eben megmutatta, hogy a G 6≥ (p, q) tulajdons´ag faktorcsoportra ¨or¨okl˝odik.

1.10.Defin´ıci´o. EgyG p-csoport modul´aris, ha r´eszcsoportjai h´al´oja modul´aris.

(Hap6= 2, akkor ez pontosan akkor teljes¨ul, hap³-rend˝up-exponens˝u extraspeci´alis csoport nem izomorfGegy r´eszcsoportj´anak faktor´aval.)

Az M-blokk fogalm´at C. Bessenrodt vezette be 1990-ben. Az ˝o eredm´enyei inspir´alt´ak a k¨ovetkez˝o t´etelt az [1] cikkben, melybenel´egs´eges felt´eteltadtunk arra, hogy egy feloldhat´o csoport bizonyos blokkjaiM-blokkok legyenek:

1.11.T´etel. Legyen Gv´eges feloldhat´o csoport, amely p´aratlan rend˝u. Legyenpa

|G|egy pr´ımoszt´oja. LegyenN aGcsoport egy norm´aloszt´oja, melyre

(i) Ha tekintj¨uk |G/N| b´armely k´et k¨ul¨onb¨oz˝o pr´ımoszt´oj´at r-et ´es q-t, ahol r6=p, akkorG/N 6≥(r, q);

(ii) |N|minden q6=ppr´ımoszt´oj´ara,N q-Sylow r´eszcsoportja modul´aris.

EkkorGminden olyanp-blokkja, amelynek defektcsoportja modul´aris,M-blokk lesz.

Feloldhat´op-nilpotenscsoportokban egy m´asikel´egs´eges felt´etelttal´altunk arra, hogy egy blokkM-blokk, illetveSM-blokk legyen. Ezt az eredm´enyt Herbert Pahlings egy dolgozata inspir´alta.

1.12. T´etel. Legyen G feloldhat´o p-nilpotens csoport. Ekkor minden olyan blokk, amely tartalmaz line´aris karaktertM-blokk lesz. HaG/Op⁰(G) Abel-csoport, akkor minden olyan blokk, amely tartalmaz monomi´alis karaktert, azM-blokk lesz, ha meg tartalmaz SM-karaktert, akkorSM-blokk lesz.

Ez az eredm´eny nem igaz nemp-nilpotens csoportokra. P´eld´aulSL(2,3) eset´en p= 2-re Irr(B0(G)) = Irr(G). A t´etel csak el´egs´eges felt´etelt ad, ezek a felt´etelek nem sz¨uks´egesek.

Ha af˝oblokkM-blokk, az m´eg nem biztos´ıtja a csoport monomialit´as´at. P´eld´a- ulSL(2,3)-banp= 3 eset´en B0(G)M-blokk, deGnem M-csoport. AzSM esetre sem igaz az anal´og ´all´ıt´as. Ezt mutatja a k¨ovetkez˝o

1.13.P´elda. LegyenGegy 3³rend˝u, 3 exponens˝u extraspeci´alis csoport 2-odrend˝u automorfizmussal vett b˝ov´ıt´ese, amely a kommut´ator faktorcsoporton reducibilisen hat. p= 2 eset´en a f˝oblokkSM-blokk, de a csoport nemSM-csoport.

Lehet p´eld´at mutatni arra is, hogy a maxim´alis defekt˝u blokkok monomialit´asa sem vonja maga ut´an a csoport monomialit´as´at.

ViszontFrobenius-csoportokrabizonyos esetben lehet t¨obbet is tudni:

1.14. T´etel. Legyen G egy Frobenius-csoport, N maggal. Legyen p az |N| egy pr´ımoszt´oja. Ekkor a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok ekvivalensek:

(i) B₀(G)M-blokk.

7

(ii) Gmonomi´alis csoport.

(iii) Gszubnorm´alisan monomi´alis csoport.

(iv) B0(G)SM-blokk.

Ha a p pr´ım nem |N|-t osztja, hanem a Frobenius-komplementum rendj´et, akkor m´ar el˝ofordulhat, hogyB₀(G)M-blokk, deGnemM-csoport.

Azonban, igaz, a k¨ovetkez˝o

1.15.T´etel. Legyen Gv´eges feloldhat´o csoport.

(a) Legyen G-ben minden r´eszcsoport minden maxim´alis defekt˝u p-blokkja M- blokk. Ekkor a Gcsoport M U-csoport lesz.

(b) LegyenGminim´alis nemM-csoport, azazGminden r´eszcsoportj´anak min- den faktora, amely |G|-n´el kisebb rend˝u, M-csoport. Ekkor, haG minden maxim´alis defekt˝up-blokkjaM-blokk, akkor aGcsoport M-csoport lesz.

2. T´ezis - Dade-sejt´es a Higman-Sims csoportra [2]

A Higman-Sims sporadikus egyszer˝u csoportra bel´atjuk az invari´ans projekt´ıv Dade- sejt´est.

E. Dade az 1990-es ´evekben fogalmazta meg sejt´eseinek sorozat´at. Bel´atta, hogy a leg´altal´anosabb ´u.n. indukt´ıv Dade-sejt´es pontosan akkor igaz, ha minden v´eges egyszer˝u csoportra igaz. Ez´ert meghirdetett egy programot, a v´eges egyszer˝u cso- portok Dade-sejt´es szempontj´ab´ol val´o vizsg´alat´ara. A sejt´es jelenlegi ´all´asa nyo- mon k¨ovethet˝o a J. B. Olsson ´es K. Uno ´altal m˝uk¨odtetett web-lapon:

http://www.math.ku.dk/∼olsson/links.dade.html.

Legyen (K, R, F)p-modul´aris rendszer, mint kor´abban.

2.1. Defin´ıci´o (Brauer). Legyen H ≤ G r´eszcsoport. Legyen sH : Z(RG) → Z(RH) az az R-homomorfizmus, amelyre sH(C⁺) := P

x∈C∩Hx. Ez a lek´epez´es egys^∗_H :Z(F G)→Z(F H)F-homomorfizmust induk´al. Legyenb∈Bl(H). Ekkor ω_b^∗◦s^∗_H :Z(F G)→F isF-homomorfizmus. Amennyiben ezF-algebra homomor- fizmus is, akkor van olyan B ∈ Bl(G) blokk, melyre ω_B^∗ = w_b^∗◦s^∗_H. Ekkor azt mondjuk, hogy az induk´alt blokk, b^G Brauer ´ertelemben ´ertelmezve van ´es egyenl˝oB-vel. Jele: b^G=B.

• Ismert, hogy ha egyQ p-csoportra, CG(Q)≤H ≤NG(Q) teljes¨ul, akkor az a BrQ : Z(F G) → Z(F H) lek´epez´es, amelyet a BrQ(C⁺) = (C ∩ H)⁺ megfeleltet´es ad meg algebra homomorfizmus. Ez az ´u.n. Brauer- homomorfizmus. Ha m´eg az is igaz, hogyQCG(Q)≤H ≤NG(Q), akkor mindenb∈Bl(H) blokkraω_b^∗◦s^∗_H =ω^∗_b◦BrQ, azaz algebra homomorfizmus, teh´atb^G ´ertelmes.

• Brauer I f˝ot´etele szerint, ha NG(D) ≤ H ≤ G, akkor bijekci´o van Bl(H|D) ´es Bl(G|D) k¨oz¨ott ´es ezt a bijekci´ot egyik ir´anyban blokk indukci´o, m´asik ir´anyban pedig a blokk idempotensnek a Brauer-homomor-fizmusn´al vett k´epe adja meg.

• Azt is lehet tudni, hogy egy B ∈ Bl(G) blokk defektcsoportja az a maxim´alis olyanQ≤G p-csoport konjug´alts´ag erej´eig, melyre Br_Q(e^∗_B)6=

0.

• A blokk indukci´o tranzit´ıv, azaz haL≤H ≤G,b∈Bl(L) ´esb^H´ertelmezve van, akkor b^G ´es (b^H)^G egyik´enek l´etez´ese eset´en a m´asik is l´etezik ´es (b^H)^G =b^G.

• Ha egyb∈Bl(H) blokkDdefektcsoportj´araCG(D)≤H, akkorb^Gmindig

´

ertelmes. Ekkorb-tmegengedett blokknaknevezik.

• Brauer III. f˝ot´etele szerint, ha H ≤ G ´es b ∈ Bl(H) blokk D defek- tcsoportj´ara CG(D) ≤ H teljes¨ul, akkor b^G = B0(G) pontosan akkor ha b = B0(H), azaz H ´es G f˝oblokkjai egym´asnak felelnek meg a blokkin- dukci´on´al.

2.2. Jel¨ol´es. LegyenC :P0 < P1 < P2 <· · ·< Pn egy p-l´anc, azaz a Gcsoport p-r´eszcsoportjainak egy n hossz´u l´anca, azaz |C| =n. A P csoporttal kezd˝od˝o l´ancok halmaz´at P(G|P)-vel jel¨olj¨uk. Ha P norm´aloszt´o G-ben, akkor ezeken a l´ancokonGkonjug´al´assal hat. Jel¨oljeP(G|P)/Gezenl´ancok G-orbitjainak egy reprezent´ans rendszere´et.

R. Kn¨orr ´es G. R. Robinson megmutatt´ak, hogy egy C p-l´anc normaliz´ator´ar´ol mindig ´ertelmezve van a blokk indukci´o Brauer-´ertelemben, ´es egy B ∈ Bl(G)

9

blokkot ´epp azok ab∈Bl(NG(C)) blokkok induk´alnak, amelyeketBrP_n(e^∗_B) nem anull´al, azaz az ´u.n. Brauer-megfeleltetett blokkok.

2.3. Sejt´es (DADE’S ORDINARY CONJECTURE). Legyen G v´eges cso- port, melyre O_p(G) = 1. Legyen B ∈Bl(G|D)p-blokk, ahol d(B)>0. Legyend nemnegat´ıv eg´esz sz´am. Ekkor

X

C∈P(G|1)/G

(−1)^|C|k(NG(C), B, d) = 0,

ahol k(NG(C), B, d) = |{χ ∈ Irr(NG(C))| b(χ)^G = B,d(χ) = d}|. Itt b(χ) ∈ Bl(NG(C)), a χ-t tartalmaz´o blokk.

Dade megmutatta, hogy az ¨osszesp-r´eszcsoport l´ancok helyett vehet˝ok kevesebb p-csoportot tartalmaz´o oszt´alyok is, p´eld´aul elemi Abelp-csoportok l´ancai, jeleE, radik´alp-csoportok l´ancai, jeleU stb.

2.4.Defin´ıci´o. EgyP ≤Gradik´al p-r´eszcsoport, haP = O_p(N_G(P)).

Az invari´ans Dade-sejt´es megfogalmaz´as´ahozG-t be kell ´agyazni norm´aloszt´ok´ent egy b˝ovebb E csoportba. HaZ(G) = 1, mint eset¨unkben, akkorE az Aut(G)-nek v´alaszthat´o. E hat a p-l´ancokon ´esNG(C)/ NE(C). Mindenχ∈Irr(NG(C))-nek vanNE(C)-ben egy T(χ)inercial r´eszcsoportja. LegyenG≤H ≤E. Legyen

k(NG(C), B, d, H) :=|{χ∈Irr(NG(C))|d(χ) =d,b(χ)^G =B, T(χ)G=H}|.

2.5. Sejt´es (DADE’S INVARIANT CONJECTURE). Legyen Gv´eges cso- port, melyreOp(G) = 1 ´esB ∈Bl(G), ahol d(B)>0. Legyendnemnegat´ıv egy´esz sz´am. LegyenG / E´esG≤H ≤E.

X

C∈F/G

(−1)^|C|k(NG(C), B, d, H) = 0.

IttF lehetP(G|1),U(G|1),E(G|1), stb.

Ismert, hogyG-nekαfaktor halmaz´ahoz tartoz´oprojekt´ıv reprezent´aci´oiek- vivalensek azokhoz, amelyeket fel lehet emelni aG^∗ fed˝ocsoport k¨oz¨ons´eges repre- zent´a-ci´oj´av´a, ahol G^∗ a G csoport Z^∗ = hαi-gal vett centr´alis b˝ov´ıt´ese. Ha r¨ogz´ıt¨unk egyζ∈Irr(Z^∗) h˝u, irreducibilis karaktert, akkor azon irreducibilis karak- terei aG^∗-nak, melyek G projekt´ıv karaktereinek felemel´eseib˝ol sz´armaznak, ´epp azok az Irr(G^∗)-beli karakterek, amelyek megszor´ıt´as´abanζ el˝ofordul

k(N_G∗(C^∗), B^∗, d^∗, ζ) :=

|{ψ∈Irr(NG^∗(C^∗))| d(ψ) =d^∗,b(ψ)^G∗ =B^∗,(ψ|Z^∗, ζ)6= 0, d^∗> νp(|Z^∗|)}|.

Az mondjuk, hogy B^∗ a ζ felett fekszik, jele B^∗ ∈ Bl(G^∗|ζ), ha ζ el˝ofordul egy χ ∈ Irr(B^∗) karakter Z^∗-ra val´o megszor´ıt´as´aban. Ekkor azt is ´ırjuk, hogy χ∈Irr(B^∗|ζ), azaza χ karakterζ felett fekszik.

2.6.Sejt´es(DADE’S PROJECTIVE CONJECTURE). LegyenGv´eges cso- port, melyre Op(G) = 1. LegyenZ^∗ a Gcsoport Schur-multiplik´ator´anak egy cik- likus r´eszcsoportja. Legyen G^∗ a GcsoportZ^∗-gal vett centr´alis b˝ov´ıt´ese. Legyen ζ ∈ Irr(Z^∗) h˝u karakter. Ekkor minden olyan B^∗ ∈ Bl(G^∗|ζ) eset´en, melyre d(B^∗)> ν_p(|Z^∗|),

X

C^∗∈F(G^∗|Op(G^∗))/G^∗

(−1)^|C∗|k(NG∗(C^∗), B^∗, d^∗, ζ) = 0, aholF lehetP,E,U valamelyike.

Legyen most

k(NG∗(C^∗), B^∗, d^∗, H^∗, ζ) :=

{ψ∈N_G^∗(C^∗)|d(ψ) =d^∗, b(ψ)^G∗=B^∗,(ψ|Z^∗, ζ)6= 0, T^∗(ψ)G^∗=H^∗}, aholT^∗(ψ) aψ karakterN_E∗(C^∗)-beli inerciacsoportja.

2.7.Sejt´es(DADE’S INVARIANT PROJECTIVE CONJECTURE). Le- gyenGv´eges csoport, melyre Op(g) = 1. LegyenZ^∗aGcsoport Schur-multiplik´a- tor´anak egy ciklikus r´eszcsoportja. Legyen G^∗ a G csoport Z^∗-gal vett centr´alis b˝ov´ıt´ese. Legyen ζ ∈ Irr(Z^∗) h˝u karakter. Legyen E^∗ egy csoport, amely G^∗- ot norm´aloszt´ok´ent tartalmazza ´es E^∗ trivi´alisan hat Z^∗-on. Ekkor minden H^∗ r´eszcsoportra, melyre G^∗ ≤ H^∗ ≤ E^∗ ´es minden olyan B^∗ ∈ Bl(G^∗|ζ) eset´en, melyred(B^∗)> ν_p(|Z^∗|),

X

C^∗∈F(G^∗|Op(G^∗))/G^∗

(−1)^|C∗|k(NG∗(C^∗), B^∗, d^∗, H^∗, ζ) = 0, aholF lehetP,E,U valamelyike.

Ismert, hogy a projekt´ıv invari´ans sejt´es teljes¨ul´ese eset´en igaz a projekt´ıv ´es az invari´ans sejt´es. Ez ut´obbi k´et sejt´es mindegyike er˝osebb, mint a k¨oz¨ons´eges sejt´es.

Mivel a gyeng´ebb sejt´esek megmutat´asa az er˝osebb sejt´esek r´eszbeni bizony´ıt´asa is, ez´ert a sz´am´ıt´asokat a k¨oz¨ons´eges sejt´essel kezdt¨uk.

A Higman-Sims csoport rendje: 2⁹·3³·5³·7·11.

Dade 1996-ban bebizony´ıtotta sejt´es´et ciklikus defekt csoport´u blokkra. ´Igy csak a 2,3,5 pr´ımekkel kell foglalkozni.

A sz´amol´asokat GAP programokkal v´egezt¨uk, ´esU-l´ancok konjug´altoszt´alyainak reprezet´anselemeivel sz´amoltunk.

Ily m´odon bebizony´ıtottuk a Higman-Sims-csoportra a projekt´ıv invari´ans Dade- sejt´est, amely e csoport eset´en ekvivalens az indukt´ıv Dade-sejt´essel, mivel a HS csoport Schur-multiplik´atora ´es a k¨uls˝o automorfizmus csoportja is m´asodrend˝u. A sz´amol´asokat aHS-csoport 100 fok´u, h˝u, permut´aci´oreprezent´aci´oj´aval v´egezt¨uk.

2.8.Megjegyz´es. A Dade-sejt´esek kapcsolatban ´allnak a J.L. Alperin ´altal 1986- ban megfogalmazott ´u.n. Alperin-s´ulysejt´esselis.

2.9. Sejt´es (ALPERIN’S WEIGHT CONJECTURE). LegyenGv´eges cso- portF algebrailag z´artp-karakterisztik´aj´u test. Ekkor egyenl˝oek:

(i) Az egyszer˝u FG-modulusok izomorfia t´ıpusai sz´ama;

(ii) P

Qa projekt´ıv egyszer˝uNG(Q)/Q-modulusok izomorfia t´ıpusai sz´ama. Itt aQaGcsoportp-r´eszcsoportjaiG-konjug´altoszt´alyai reprezent´ans elemein fut.

11

Ennekblokkokra vonatkoz´o v´atozat´aban: (i)-ben csak egyB blokkhoz tar- toz´o (azaz B-vel nem anull´alt) modulusokat sz´amoljuk ¨ossze, (ii)-ben pedig csak azon projektiv egyszer˝u modulusokat, amelyekNG(Q)-modulusk´ent benne vannak B egy Brauer-megfeleltetett blokkj´aban.

1989-ben R. Kn¨orr ´es G. R. Robinson bebizony´ıtott´ak a k¨ovetkez˝ot:

2.10. T´etel (Alperin-sejt´es Kn¨orr-Robinson alakja). Az Alperin-sejt´es egy p pr´ımre pontosan akkor teljes¨ul, ha minden G v´eges csoportra ´es annak minden pozit´ıv defekt˝uB p-blokkj´ara

X

C∈P(G|1)/G

(−1)^|C|k(NG(C), B) = 0, Aholk(NG(C), B) =|{φ∈Irr(NG(C))| b(φ)^G=B}|.

Ez a t´etel motiv´alta Dade-et sejt´eseinek megfogalmaz´as´aban. Megjegyezz¨uk, hogy b´ar ezek szerintHS-re igaz az Alperin-sejt´es Kn¨orr-Robinson v´atozata, azaz

X

C∈P(G|1)/G

(−1)^|C|k(NG(C), B) = 0, ez m´eg nem bizony´ıtja az eredeti Alperin-sejt´est aHS-csoportra.

3. T´ezis - Tov´abbi eredm´enyek a Dade-sejt´essel kapcsolatban[2],[3]

Bel´atjuk, hogy minden olyan v´egesGcsoportra, amelyreOp(G) = 1,d= 1eset´en a k¨oz¨ons´eges ´es invari´ans Dade-sejt´esek teljes¨ulnek. Tanulm´anyozzuk a k¨oz¨ons´eges ´es a projekt´ıv Dade-sejt´es k¨oz¨otti kapcsolatot, pr´ımrend˝u Schur-multiplik´ator eset´en.

Bel´atjuk, hogy Brauer III. f˝ot´etele igaz l´ancnormaliz´atorokra. P´eld´akat mutatunk, hogy Brauer I. f˝ot´etel´enek analogonja valamint az Alperin-McKay sejt´es analogonja nem igazp-l´ancok normaliz´atoraira.

Az el˝oz˝o t´ezisek jel¨ol´eseit haszn´aljuk.

3.1.T´etel. LegyenGv´eges csoport.

(i) Ha C : 1 = P₀ < P₁ < · · · < P_n p-l´anc G-ben ´es |P_n| > p, akkor az N_G(C)l´ancnormaliz´atornak nincs1-defekt˝u blokkja, ´es1-defekt˝u karaktere sem. Ez´ertk(N_G(C), B,1) = 0mindenB ∈Bl(G)blokkra.

(ii) Ha B ∈Bl(G)´es d(B) >1, akkor minden C ∈ P(G|1) p-l´ancra, NG(C) mindenB-t induk´al´obblokkj´ara, d(b)>1teljes¨ul. Teh´atk(NG(C), B,1) = 0.

(iii) Ha egyB∈Bl(G)blokkDdefektcsoportja Abel, akkorNG(C)minden olyan p-blokkja, amelyB-t induk´alja,D-hez konjug´alt defetcsoporttal rendelkezik.

Speci´alisan, had(B) = 1, akkor azNG(C)r´eszcsoportB-t induk´al´o blokkjai is1defekt˝uek. Teh´atB, csak nulla ´es egy hossz´u l´ancok normaliz´atorainak blokkjaib¨ol induk´alhat´o. Az ut´obbi esetben|P1|=pis teljes¨ul.

(iv) Legyen Gv´eges csoport, melyreOp(G) = 1. Ekkor G-red= 1eset´en igaz a k¨oz¨ons´eges ´es invari´ans Dade-sejt´es.

Legyen G v´eges csoport q-adrend˝u Schur-multiplik´atorral, ahol q pr´ımsz´am.

Tegy¨uk fel, hogy O_p(G) = 1. Legyen G^∗ egy nem sz´etes˝o centr´alis b˝ov´ıt´eseG-nek egyZ^∗ q-adrend˝u ciklikus r´eszcsoporttal. Ekkor l´etezik egy tartalmaz´ast megtart´o bijekci´oG´esG^∗p-l´ancai k¨oz¨ott, ahol egyG-beliC p-l´ancnak olyanG^∗-beliC^∗l´anc felel meg, amelyreZ^∗ p-r´esze benne van a l´anc els˝o szem´eben.

3.2.Defin´ıci´o. LegyenG=G^∗/Z^∗, ekkor l´etezik egyµ^∗_Z∗:F G^∗→F Galgebra ho- momorfizmus, melyrePa_gg7→Pa_gg, aholgag∈G^∗k´epe aG^∗→Gterm´eszetes homomorfizmusn´al. E lek´epez´es nevedomin´al´asi lek´epez´es.

Ismertek a k¨ovetkez˝o eredm´enyek:

• Hap=q, akkor a domin´al´as bijekci´o B^∗ ∈Bl(G^∗) blokkok ´es B ∈Bl(G) blokkok k¨oz¨ott, ahol a k´ep blokk defektcsoportja a defektcsoport k´epe,

´ıgy d(B^∗) = d(B) + 1. Ezen k´ıv¨ul Irr(B) ⊆ Irr(B^∗), ez´ert Irr(B^∗)\ Irr(B) =∪^q_j=2Irr(B^∗|ζ_j). Hasonl´o ´all´ıt´asok igazakp-l´ancok normaliz´atorai p-blokkjaira is, azaz hasonl´o a kapcsolatN_G^∗(C^∗) illetve N_G(C) blokkjai k¨oz¨ott.

• Ha p 6= q ´es B^∗ ∈ Bl(G^∗) p-blokk, akkor ez vagy nem domin´al egyetlen G-hez tartoz´o blokkot se, vagy egyetlenB blokkot domin´al ´es Irr(B^∗) = Irr(B). Az els˝o esetben Irr(B^∗) =∪^q_j=2Irr(B^∗|ζj). A m´asodik esetben pedig Irr(B^∗|ζj) = ∅, j ∈ {2, . . . , q}. Ekkor d(B^∗) = d(B). Hasonl´o ´all´ıt´asok igazak p-l´ancok normaliz´atorai p-blokkjaira is, azaz hasonl´o a kapcsolat NG^∗(C^∗) illetveNG(C) blokkjai k¨oz¨ott.

13

3.3. Megjegyz´es. Legyen µ^∗_Z∗ : F G^∗ → F G a domin´al´asi lek´epez´es. Legyenek sH∗ : F G →F H, sH^∗∗ :F G^∗ →F H^∗ projekci´ok, ekkorµZ^∗◦s^∗_H∗ =sH∗◦µ^∗_Z∗, azaz a projekci´ok ´es a domin´al´asi lek´epez´esek felcser´elhet˝oek.

3.4. T´etel. Legyen b ∈ Bl(N_G^∗(C^∗)) ´es B^∗ ∈ Bl(G^∗). Legyen b ∈ Bl(N_G(C)) ´es B∈Bl(G). Ekkor:

(i) HaB^∗ domin´alja B-t ´esb domin´aljab-t, akkor B^∗=b^G∗ pontosan akkor, ha b^G=B.

(ii) Ha b^G =B ´es b^G∗ =B^∗. Akkor B^∗ pontosan akkor domin´alja B-t, ha b domin´aljab-t.

Tekint¨uk ap=qesetet:

3.5.T´etel. LegyenekB ´esB^∗ egym´asnak megfelel˝o blokkok G-ben, illetve G^∗-ban, C´esC^∗ pedig egym´asnak megfelel˝op-l´ancok. Legyend^∗=d+ 1. Legyen k(H, B, d) a k¨oz¨ons´eges Dade-sejt´esbeli, k(H^∗, B^∗, d^∗, ζ) pedig a projekt´ıv Dade-sejt´esben sze- repl˝o f¨uggv´eny. Ekkor

k(NG^∗(C^∗), B^∗, d^∗)−k(NG(C), B, d) =

p

X

j=2

k(N_G^∗(C^∗), B^∗, d^∗, ζ_j) = (p−1)k(N_G^∗(C^∗), B^∗, d^∗, ζ₂).

Tekints¨uk most ap6=q esetet:

3.6.T´etel. Legyenpaq-t´ol k¨ul¨onb¨oz˝o pr´ımsz´am. LegyenekB^∗´esBa domin´al´asn´al egym´asnak megfelel˝o blokkok, mint a kor´abbiakban. Legyenek C ´es C^∗ egym´asnak megfelel˝op-l´ancokG-ben ´esG^∗-ban,d^∗=d. Legyen k(H, B, d)a k¨oz¨ons´eges Dade- sejt´esbeli,k(H^∗, B^∗, d^∗, ζ)pedig a projekt´ıv Dade-sejt´esben szerepl˝o f¨uggv´eny. Ekkor

k(N_G^∗(C^∗), B^∗, d^∗, ζ_j) = 0,

ha j= 2, . . . , q.HaB^∗ nem domin´aljaGegyetlen blokkj´at sem, akkor k(N_G^∗(C^∗), B^∗, d^∗) =

q

X

j=2

k(N_G^∗(C^∗), B^∗, d^∗, ζ_j) = k(N_G^∗(C^∗), B^∗, d^∗, ζ_i) alkalmasi∈ {2, . . . , q} eset´en.

Legyen megintp=q:

Ha Op(G)> 1, akkor ´altal´aban a k¨oz¨ons´eges Dade-sejt´esbeli altern´al´o ¨osszege nem nulla. Bel´atjuk, hogy haG-re igaz a projekt´ıv Dade-sejt´es, akkorG^∗-ra ez az altern´al´o ¨osszeg mindig nulla.

3.7. T´etel. Legyen Gegy v´eges csoport, p-edrend˝u Schur-multiplik´atorral. Tegy¨uk fel tov´abb´a, hogy Op(G) = 1. Legyen G^∗ a G csoport egy nem sz´etes˝o centr´alis b˝ov´ıt´ese egy p-edrend˝u ciklikus csoporttal. Ekkor a k¨ovetkez˝ok ekvivalensek:

(i) G-re appr´ım eset´en teljes¨ul a k¨oz¨ons´eges Dade-sejt´es ´es X

C^∗∈P(G^∗|Op(G^∗))/G^∗

(−1)^|C∗|k(NG^∗(C^∗), B^∗, d^∗) = 0, aholka k¨oz¨ons´eges Dade-sejt´esbeli f¨uggv´eny.

(ii) G-re teljes¨ul a projekt´ıv Dade-sejt´es a ppr´ım eset´en.

Ha a fenti ¨osszef¨ugg´esek mindk´et oldal´at ¨osszegezz¨uk k¨ul¨onb¨oz˝o defektekre, akkor kapjuk a k¨ovetkez˝ot:

3.8.K¨ovetkezm´eny. LegyenGv´eges csoport.

(a) Legyen aG csoportZ^∗ Schur-multiplik´atora p= 2-odrend˝u, tov´abb´a O₂(G) = 1´esG^∗aGcsoport nem sz´etes˝o centr´alis b˝ov´ıt´ese aZ^∗csoporttal.

LegyenB^∗∈Bl(^∗), melyred(B^∗)>1. Ekkor X

d^∗≥1

X

C^∗∈P(G^∗|Op(G^∗))/G^∗

(−1)^|C∗|k(NG^∗(C^∗), B^∗, d^∗) = 0

(b) Legyen aGcsoportZ^∗Schur-multiplik´atorap-edrend˝u, aholp >2, valamint legyen Op(G) = 1. Legyen G^∗ a G csoport Z^∗-gal vett, nem sz´etes˝o, centr´alis b˝ov´ıt´ese. Legyen B^∗∈Bl(G^∗) p-blokk, melyre d(B^∗)>1. Ekkor, ha Dade k¨oz¨ons´eges sejt´ese teljes¨ul aB^∗´altal domin´alt B∈Bl(G)blokkra, akkor az (a) pontbeli egyenl˝os´eg teljes¨ul. Speci´alisan, ha igaz az Alperin- s´ulysejt´es Kn¨orr-Robinson-f´ele v´atozata G-re, akkor az (a)-beli egyenl˝os´eg teljes¨ul.

Megjegyezz¨uk, hogy az el˝oz˝o t´etel igaz marad akkor is, ha a kor´abban eml´ıtett t¨obbi t´ıpus´u l´ancokat tekint¨unk.

Vizsg´aljuk most a p6=qesetet:

3.9. T´etel. Legyen Gv´eges csoport, q-adrend˝u Schur-multiplik´atorral, ahol q 6=p pr´ım. Legyen G^∗ a G csoportnak nem sz´etes˝o centr´alis b˝ov´ıt´ese egy q-adrend˝u ciklikus csoporttal. Ekkor ekvivalensea:

(i) AG´esG^∗ csoportokra teljes¨ul a k¨oz¨ons´eges Dade-sejt´es appr´ımre.

(ii) G-re teljes¨ul a projekt´ıv Dade-sejt´es a ppr´ımra.

A [2] cikkben bel´attuk Brauer III. f˝ot´etel´enek analogonj´at l´ancnormaliz´atorokra:

3.10. T´etel. Legyen C p-l´anc G-ben. Ekkor b ∈ Bl(NG(C)) eset´en b^G mindig

´

ertelmes ´es bpontosan akkor f˝oblokkjaN_G(C)-nek, ha b^G f˝oblokkjaG-nek.

Brauer II. f˝ot´etel´enek analogonja nem igazp-l´ancok normaliz´atoraira, l´asd [3]:

3.11.P´elda. L´etezik olyanGcsoport ´es olyan C p-l´anc G-ben, hogyS∈Syl_p(G)

´

esS≤N_G(C), de nincs bijekci´o Bl(N_G(C)|S) ´es Bl(G|S) k¨oz¨ott.

3.12. Defin´ıci´o. Legyen G v´eges csoport, legyen B ∈ Bl(G) p-blokk. Egy χ ∈ Irr(B)karakter magass´ag´anakh´ıvjuk ´es ht(χ)-vel jel¨olj¨uk a ht(χ) = d(B)−d(χ) sz´amot. k0(B)-vel jel¨olj¨uk aB blokk nulla magass´ag´u karakterei sz´am´at.

3.13.Sejt´es(ALPERIN-MCKAY, 1975). Hab∈Bl(NG(D)|D), akkor k0(b) = k0(b^G)

Az anal´og ´all´ıt´asp-l´ancok normaliz´ator´ara nem felt´etlan igaz l´asd [3]:

3.14. P´elda. Van olyan G v´eges csoport ´es benne olyan C p-l´anc, valamint b ∈ Bl(NG(C)), hogy k0(b)6= k0(b^G).(A p´eld´abanbr´aad´asul f˝oblokk.)

15

4. T´ezis - Blokk indukci´o [4]

Tanulm´anyozzuk a blokk indukci´o k¨ul¨onf´ele v´altozatait. ¨Osszehasonl´ıtjuk az ´ertelme- z´esi tartom´anyaikat az ´altal´anos esetben valamint nulla defekt˝u blokkok ´esp-csopor- tok eset´en. Felt´etelt adunk arra, hogy ne legyen ´ertelmezve a blokk indukci´o semmi- lyen ´ertelemben sem. p-l´anc normaliz´atorok blokkjair´ol is vizsg´aljuk az indukci´ot.

4.1. Defin´ıci´o. LegyenG v´eges csoport, legyen H ≤G. Legyenb ∈ Bl(H), B ∈ Bl(G). Jel¨oljes^∗_H :F G→F H a megfelel˝o projekci´ot.

(1) Azt mondjuk, hogy ablokk indukci´o ´ertelmes Brauer ´ertelemben a b∈Bl(H) blokkra ´esb^G=B, haω^∗_b ◦s^∗_H =ω^∗_B. (L´asd 2.1 Defin´ıci´o).

(2) Azt mondjuk, hogy ablokk indukci´o ´ertelmes p-regul´aris ´etelemben, a b blokkra ´es induk´altja B, jele b^reg(G) = B, ha ω^∗_b ◦s^∗_H|Z(F Gp⁰) = ω_B^∗|Z(F Gp⁰).

(3) Azt mondjuk, hogy a b blokkra a blokk indukci´o ´ertelmes Alperin- Burry ´ertelemben´es induk´altjaB, habdirekt ¨osszeadand´oja BH×H- nak ´esB az egyetlen ilyen blokkjaG-nek. Jele: b^(G)=B.

(4) Azt mondjuk, hogy abblokkraa blokk indukci´o ´ertelmes kiterjesztett

´

etelemben´es induk´altjaB, haω_b^∗◦s^∗_H(e^∗_B)6= 0,´esB az egyetlen ilyen blokkjaG-nek. Jele: B^ext(G)=B.

(5) Azt mondjuk, hogy a b∈Bl(H|D) blokkraa blokk indukci´o ´ertelmes Green ´ertelemben´es induk´altja B, ha CG(D)≤H, azaz ab blokk ´u.n.

megengedett blokk´esb^G=B. Jele: b^Gr(G)=B.

(6) Azt mondjuk, hogy a b∈Bl(H|D) blokkraa blokk indukci´o ´ertelmes karakter ´ertelemben´es induk´altjaB, ha l´etezikχ∈Irr(b), melyreχ^G∈ Irr(B). Jele: b^Char(G)=B.

(7) Azt mondjuk, hogy a b∈Bl(H|D) blokkraa blokk indukci´o ´ertelmes egy multiplicit´as´u ´ertelemben´es induk´altjaB∈Bl(G), habegy mul- tiplicit´as´u direkt ¨osszeadand´ojaaRG_H×H-nas´es direkt ¨osszeadan- d´ojaBH×H-nak. Jele: b^{M ult(G)}=B.

• B´armely k´et blokk indukci´o fogalom megegyezik az ´ertelmez´esi tar- tom´anyaik k¨oz¨os r´esz´en.

• (5)→(7)→(1)→(2)→(4).

• (6)→(7)→(3)→(4).

4.2. T´etel. Az (1)-(7) ¨osszes olyan r´eszhalmaz´ara, amely z´art a fent eml´ıtett im- plik´aci´okra adunk olyan p´eld´at, ahol kiz´ar´olag a r´eszhalmazhoz tartoz´o t´ıpus´u in- dukci´ok vannak ´ertelmezve.

Ismert, hogy:

• A Brauer, ap-regul´aris ´es az Alperin-Burry indukci´o, ha ´ertelmezve van a f˝oblokkon, akkorf˝oblokkot f˝oblokkbavisz.

• A kib˝ov´ıtett indukci´o nem felt´etlenvisz f˝oblokkot f˝oblokkba

Sz¨uks´eges felt´etel a Brauer-indukci´o l´etez´es´ere egy r´eszcsoport f˝oblokkj´ar´ol:

4.3. Megjegyz´es. Legyen H ≤ G, A b0(H)^G l´etez´es´enek sz¨uks´eges felt´etele, hogyZ(G)≤H ´es azonG-beli konjug´altoszt´alyok, amelyek tartalmaznak centr´alis elemetGvalamelyp-Sylow r´eszcsoportj´ab´ol, nemtrivi´alisan metszikH-t.

Ez k¨ovetkezik az al´abbi ´altal´anosabb t´etelb˝ol, amelybensz¨uks´eges ´es el´egs´eges felt´eteltadunk arra, hogy a Brauer, illetve ap-regul´aris indukci´o ´ertelmezve legyen egy r´eszcsoport f˝oblokkj´an.

4.4.T´etel. LegyenG v´eges csoport,H ≤Gr´eszcsoport. EkkorH f˝oblokkj´an pon- tosan akkor ´ertelmes a Brauer-indukci´o (illetve a p-regul´aris indukci´o), ha minden g∈Gelemre (illetve, minden g∈G p⁰-elemre) teljes¨ul, hogy |g^G| ≡ |g^H∩H|mod p.

Nulla defekt˝ublokkokat tekintve kaptuk:

4.5.T´etel. Legyen H≤Gr´eszcsoport b∈Bl(H)nulla defekt˝u blokk. Ekkor (6)´es (7)blokk indukci´o t´ıpusokekvivalensek. A nulla defekt˝u blokkokra a 4.2 T´etelbeli r´eszhalmazok k¨oz¨ul azon blokk indukci´o t´ıpusokrealiz´al´odnak egy¨utt, ahol vagy (6)´es (7)mindegyike, vagy egyike sem szerepel.

4.6. T´etel. Legyen H val´odip⁰-r´eszcsoportjaG-nek. Ekkor H f˝oblokkja nem in- duk´alhat´oBrauer ´ertelemben. HaGmaga is p⁰-csoport, akkor nem defini´alta kib˝ov´ıtett indukci´oH f˝oblokkj´an.

p-csoportokattekintve kaptuk:

4.7. T´etel. p-csoportokra az (5) ´es (7) blokkindukci´o t´ıpusok ekvivalensek. A (2)´es (3)indukci´o t´ıpusok mindig ´ertelmezve vannak. A 4.2 T´etelben pontosan azon r´eszhalmazok realiz´al´odnak egyidej˝uleg valamely p-csoport blokk induci´o t´ıpusaik´ent, amelyek(2)-˝ot ´es(3)-at tartalmazza´ak, valamint(5)´es(7)mindegyik´et, vagy egyik´et sem tartalmazz´ak.

p-csoportokra a k¨ovetkez˝osz¨uks´eges ´es el´egs´egesfelt´etelt l´attuk be a Brauer- indukci´ora:

4.8. T´etel. Legyen G p-csoport, H ≤G. Ekkor a b0(H) f˝oblokk pontosan akkor induk´alhat´o Brauer-´ertelemben, ha Z(G) ≤ H ´es ha g 6∈ Z(G), akkor p oszt´oja a |g^G∩Z(H)| sz´amnak. Ha H / G, akkor Z(G) ≤ H sz¨uks´eges ´es el´egs´eges b^G l´etez´es´ehez.

N´eh´any felt´etel, amely azt biztos´ıtja, hogy semmilyen ´ertelemben se legyen

´

ertelmezve a blokk indukci´o:

4.9.T´etel. LegyenH p-r´eszcsoportjaG-nek. Tegy¨uk fel, hogyZ(N_G(H))tartalmaz egy nemtrivi´alis p⁰-elemet. Ekkorb₀(H)nem induk´alhat´o egyik ´ertelemben sem.

4.10.T´etel. LegyenG=H×K, aholKnemtrivi´alisp⁰-csoport. EkkorH egyetlen blokkj´an sem ´ertelmezhet˝o egyik blokk indukci´o sem.

4.11. Defin´ıci´o. Azt mondjuk, hogy p-r´eszcsoportok egy l´anca P₁ < . . . , < P_n radik´al p-l´anc, ha Pi = Op(NG(Ci)) minden 1≤ i ≤n indexre, ahol Ci : Pi <

. . . , < Pn, azi-edik h´atuls´o r´eszl´anc.

4.12.Defin´ıci´o. LegyenH ≤G´esb∈Bl(H). Azt mondjuk, hogybl´ep´esenk´ent Green, ha van egyH =H1< H2<· · ·< Hn=Gr´eszcsoportl´anc ´esbi ∈Bl(Hi) blokkok, hogyb₁=b´esb_i=b^Gr(H_i−1 ⁱ⁾,i= 2, . . . , n-re.

A k¨ovetkez˝oket l´attuk be:

• p-r´eszcsoportok l´anc´anak normaliz´atoramindig l´ep´esenk´ent Green.

17

• B´ar a Green-indukci´o l´etez´ese maga ut´an vonja az Alperin-Burry indukci´o l´etez´es´et, ez a l´ep´esenk´enti Green indukci´ora nem igaz.

• Ismert volt, hogy Brauer-indukci´o ´esp-regul´aris indukci´o, valamint a kiter- jesztett indukci´otranzit´ıv. P´eld´at mutattuk arra, hogy a Green, az Alpe- rin-Burry, ´es az egy multiplicit´as´u indukci´onem felt´etlen¨ul tranzit´ıv.

• Ismert volt, hogyp-r´eszcsoport l´ancok normaliz´ator´ar´ol a Brauer-indukci´o minding ´ertelmes. P´eld´at adunk arra, hogy Alperin-Burry valamint Green-indukci´oraez nem felt´etlen teljes¨ul.

• Radik´alp-l´ancok normaliz´ator´ar´ol aGreen-indukci´o ´ertelmes. Hasonl´o eredm´eny igazelemip-l´ancokra, ´esnorm´alisp-l´acokra is.

• Megmutattuk, hogy aDade-sejt´esekigazol´as´an´al a Brauer-indukci´otki- cser´elhetj¨ukak´armelyik m´asik indukci´o fogalomra, kiv´eve a karakter in- dukci´ot. A karakter indukci´o eset´ere ellenp´eld´at mutatunk.

5. T´ezis - Defektcsoportok, konjug´altoszt´alyok ´es a Robinson-lek´epez´es[5]

Bebizony´ıtjuk a Brauer-Nesbitt-t´etel ´altal´anos´ıt´as´at. Egy´uttal ´uj bizony´ıt´ast adunk az eredeti t´etelre is. Tanulm´anyozzuk a Robinson-lek´epez´est, valamint azonos de- fektcsoport´up-regul´aris konjug´altoszt´alyok ´es blokk idempotensek kapcsolat´at. Jelle- mezz¨uk a defektoszt´alyokat ´es azon oszt´aly¨osszegeket, amelyek k´epe a Brauer-homo- morfizmusn´al nem nilpotens.

Legyen (K, R, F)p-modul´aris rendszer. Tegy¨uk fel, hogyK, F felbont´asi testje aGv´eges csoport minden r´eszcsoportj´anak.

5.1.Jel¨ol´es. Bl(G),Bl(G|d),Bl(G|D) jel¨oli aGcsoportp-blokkjai, ad-defekt˝u p-blokkjai, valamint aD defektcsoport´up-blokkjai halmaz´at.

Cl(G⁰), Cl(G⁰|d), Cl(G⁰|D) jel¨oli a G csoport p-regul´aris konjug´altoszt´alyai halmaz´at, valamint azon r´eszhalmazait, amelyekd defekt˝uek, illetve D defekt- csoporttalrendelkeznek. Ezen k´ıv¨ul Cl(G|D) aD defektcsoport´uG-konjug´alt- oszt´alyok halmaza, dCl(G⁰|B) jel¨oli aB blokk defektoszt´alyaihalmaz´at, dCl(G⁰|D) pedig a D defektcsoport´u defektoszt´alyai halmaz´at. (L´asd 1.4 Defin´ıci´o.)

e^∗_B a B blokkhoz tartoz´ocentr´alis idempotensZ(F G)-ben,

ω_B^∗ : Z(F G)→F a B blokkhoz tartoz´o centr´alis homomorfizmus.

β_B^∗(C) a C⁺ egy¨utthat´ojae^∗_B-ban. (L´asd 1. T´ezis).

Ismert, hogy aze^∗_B blokk idempotensree^∗_B =P

C∈Cl(G⁰)βB^∗(C)C⁺.

5.2. Defin´ıci´o. A Robinson-lek´epez´es R : Z(F G) → Z(F G), az a lek´epez´es, amelyre R(x) =P

B∈Bl(G)ωB^∗(x)eB^∗

Ez egy projekci´o Z(F G)-r˝ol Id(Z(F G))-re, ahol Id(Z(F G)) jel¨oli azt az alteret Z(F G)-ben, amelyet F G centr´alisan primit´ıv idempotensei fesz´ıtenek ki. Ekkor Z(F G) = Id(Z(F G))⊕J(Z(F G)) mint vektort´er direkt ¨osszeg.

5.3. Jel¨ol´es. LegyenK, L∈Cl(G⁰), P ∈Syl_p(G) ´es Ω_K,L{(y, z)∈K×L| P y= P z}.

Ismert, hogy

R(L⁺) = X

K∈Cl(G⁰)

(|ΩK,L|

|K| )^∗K⁺

´ es

(|ΩK,L|

|K| )^∗= X

B∈Bl(G)

ω^∗_B(L⁺)β_B^∗(K) .

5.4. T´etel (R. Gow, J. Murray). Jel¨olje K a K konjug´altoszt´alybeli elemek inverzei ´altal meghat´arozottkonjug´altoszt´alyt. Ekkor

β^∗_B(K) = (dim(B)/|G||K|)^∗ω_B^∗(K⁺).

19

Ismert, hogy´altal´aban |Bl(G|D)| ≤ |Cl(G⁰|D)|.

ViszontD∈Sylp(G) eset´enegyenl˝os´eg van:

5.5.T´etel (BRAUER-NESBITT). HaP∈Syl_p(G), akkor

|Bl(G|P)|=|Cl(G⁰|P)|

.

Ennek´altal´anos´ıt´asaa k¨ovetkez˝o t´etel¨unk:

5.6.T´etel. LegyenD azGv´eges csoport egy p-r´eszcsoportja.

(i) Ekkor |Cl(G⁰|D)| − |Bl(G|D)| ≤ |Cl(DCG(D)⁰|D)| − |Bl(DCG(D)⁰G|D)|

teljes¨ul.

(ii) Speci´alisan, ha|Cl(DCG(D)⁰|D)|=|Bl(DCG(D)|D)|, akkor |Cl(G⁰|D)|=

|Bl(G|D)|=|dCl(G⁰|D).

(iii) Ha DC_G(D) p-nilpotens, akkor |Cl(DC_G(D)⁰|D)| =|Bl(DC_G(D)⁰G|D)|, teh´at|Cl(G⁰|D)|=|Bl(G|D)|=|dCl(G⁰|D).

Ap-nilpotens csoportokatjellemzi a k¨ovetkez˝o eredm´eny¨unk:

5.7.T´etel. Ekvivalensek egyGv´eges csoportra:

(i) G p-nilpotens

(ii) Ap-regul´aris elemek ´altal gener´alt r´eszalgebra F G-ben f´eligegyszer˝u.

(iii) R(L⁺) =L⁺ minden L p-regul´aris konjug´altoszt´alyra.

(iv) G p-blokkjai sz´ama megegyezik ap-regul´aris konjug´altoszt´alyai sz´am´aval.

5.8.K¨ovetkezm´eny. Gpontosan akkorp-nilpotens, ha mindenD≤G p-r´eszcso- portra|Cl(G⁰|D)|=|Bl(G|D)|. Ekkor ez|dCl(G⁰|D)-vel is megegyezik.

Bel´attuk m´eg:

• Minden maxim´alis defekt˝u p-regul´aris konjug´altoszt´alydefektoszt´alya a f˝oblokknak.

• P´eld´at adtunk arra, hogym´as maxim´alis defekt˝u blokkokn´all´etezhet olyan maxim´alis defekt˝u konjug´altoszt´aly, amely nem defektoszt´alya a blokknak.

• Minden Kdefektoszt´alyraBr_D(K⁺) nem nilpotens.

• A Cl(G⁰|D) ´es a Cl(N_G(D)⁰|D) k¨oz¨ottiK→K∩C_G(D) bijekci´o,bijekci´ot induk´al a defektoszt´alyokonisB´es a Brauer-megfeleltetettbblokkj´ara n´ezve.

• |Bl(G|D)| fel¨ulr˝ol becs¨ulhet˝oazon D defektcsoport´u C konjug´altoszt´a- lyok sz´am´aval, ahol BrD(C⁺) nem nilpotens.

N´egyf´ele t´ıpusavan konjug´altoszt´aly¨osszegeknek:

(1) K⁺ nilpotens,

(2) K⁺ nem nilpotens de BrD(K⁺) nilpotens,

(3) BrD(K⁺) nem nilpotens ´esK defektoszt´alya valamely blokknak, (4) BrD(K⁺) nem nilpotens ´esK nem defektoszt´alya egyik blokknak sem.

A k¨ovetkez˝o t´eteljellemziazon konjug´altoszt´alyokat, amelyek a (3)vagy a(4) kateg´ori´aba esnek:

5.9.T´etel. LegyenK∈Cl(G⁰|D). Ekkor a k¨ovetkez˝ok ekvivalensek:

(i) Br_D(K⁺)nem nilpotens.

(ii) β_B^∗(K⁺¹)6= 0 valamelyB∈Bl(G|D)blokkra.

(iii) ω_B^∗(K⁺)6= 0 valamelyB∈Bl(G|D)blokkra.

Nulla defekt˝ublokkokra kaptuk:

LegyenB∈Bl(G|1),C∈Cl(G⁰|1) x∈C ´es Irr(B) ={χ}. Ekkor (i) ω_B^∗(C⁺)6= 0 pontosan akkor, haχ(x)^∗6= 0

(ii) β_B^∗(C)6= 0 pontosan akkor, ha χ(x)^∗6= 0

(iii) C defektoszt´alyaB-nek pontosan akkor, ha (|χ(x)|²)^∗6= 0.

P´eld´atmutattunk arra, hogy:

• dCl(G⁰|D)|<|Bl(G|D)|el˝ofordulhat.

• A (4)-beli t´ıpus el˝o is fordul.

Ez a p´elda egyben egy hib´ara mutat r´a I. M. Isaacs: Character theory of finite groups c. k¨onyv´eben (Problem (15.6)).

Mivel Z(F G) = Id(Z(F G))⊕J(Z(F G))) mint F-vektort´er, ez´ert minden K⁺ oszt´aly¨osszeg el˝o´allmint blokk idempotensek F-line´aris kombin´aci´oja plusz egy nilpotens elem. Nevezetesen K⁺ =P

B∈Bl(G)ω_B^∗(K⁺)K⁺+N, ahol N nilpotens elem.

5.10.Defin´ıci´o. Azt mondjuk, hogye^∗_B blokk idempotens el˝ofordul K⁺-ban, haω_B^∗(K⁺)6= 0.

Azel˝ofordul´asokkal kapcsolatbanbel´attuk:

5.11.T´etel. Legyen Gv´eges csoport,D≤G p-r´eszcsoport.

(i) LegyenB ∈Bl(G|D), ekkor ekvivalensek:

• e^∗_B pontosan k darab p-regul´aris, D defektcsoport´u konjug´altoszt´aly-

¨

osszegben fordul el˝o

• e^∗_B-ban pontosankdarabDdefektcsoport´u konjug´altoszt´aly¨ossszeg for- dul el˝o

(ii) LegyenK∈Cl(G⁰|D), ekkor ekvivalensek:

• K⁺ pontosankdarab D defekt˝u blokk idempotens´eben fordul el˝o

• K⁺-ban pontosan k darab D defetcsoport´u blokk idempotense fordul el˝o

Adefektoszt´alyok jellemz´es´etadtunk a Robinson-lek´epez´es seg´ıts´eg´evel:

5.12.T´etel. Legyen K∈Cl(G⁰|D). EkkorK pontosan akkor defektoszt´aly, ha R(BrD(K⁺))R(BrD(K⁺))6= 0.

Teh´atK pontosan akkor defektoszt´aly, ha

BrD(K⁺)BrD(K⁺) nem nilpotens.

21

5.13. K¨ovetkezm´eny. Legyen K ∈ Cl(G⁰|D), B ∈ Bl(G|D), K legyen a K-beli elemek inverzeib˝ol ´all´o konjug´altoszt´aly, B pedig a b-beli karakterek komplex kon- jug´altjait tartalmaz´o blokk. Ekkor:

(i) Kpontosan akkor defektoszt´alyaB-nek, hae^∗_Bel˝ofordulK⁺-ban ´esK⁺-ban is.

(ii) K pontosan akkor defektoszt´alya B-nek, haK⁺´esK⁺is el˝ofordule^∗_B-ban.

(iii) K pontosan akkor defektoszt´alya B-nek, haK defektoszt´alya B-nek.

(iv) K pontosan akkor defektoszt´alyaB-nek, ha K⁺ el˝ofordule^∗_B-ban ´ese^∗

B-ban is.

(v) K pontosan akkor defektoszt´alya B-nek, hae^∗_B ´ese^∗

B is el˝ofordul K⁺-ban.

(vi) K pontosan akkor defektoszt´alya B-nek, ha defektoszt´alya B-nek.

6. T´ezis - Szimmetrikus algebr´ak centr´alis ide´aljai ´es Cartan-invari´ansai[6]

Egy algebrailag z´art, p-karaktisztik´aj´u, szimmetrikus A algebra centrum´anak bi- zonyos ide´aljait vizsg´aljuk. T¨obbek k¨oz¨ott a Higman-ide´alt ´es a Reynolds-ide´alt.

Ezek szoros kapcsolatban ´allnak azA algebr´an defini´alt p-hatv´anyoz´as lek´epez´essel.

Ezen ide´alok bizonyos tulajdons´agait ´altal´anos´ıtjuk a csoportalgebra eset´er˝ol szim- metrikus algebr´akra. A p = 2 esetben ezek az ide´alok kapcsolatba hozhat´ok az A algebra Cartan-m´atrix´anak p´aratlan diagon´alis elemeivel.

6.1. Defin´ıci´o. EgyAF v´eges dimenzi´os algebraF test felett szimmetrikus al- gebra, ha l´etezik olyan (,) :A×A→F nem elfajul´o, biline´aris f¨uggv´eny, amely asszociat´ıv, azaz (ab, c) = (a, bc), minden a, b, c∈Aelemre,

´

esszimmetrikus, azaz (a, b) = (b, a), mindena, b∈Aelemre.

P´eld´aul:

• mindenF test felettiMn[F] m´atrixalgebra szimmetrikus: (a, b) :=tr(ab).

• Minden G v´eges csoportra az F G csoportalgebra szimmetrikus algebra:

(g, h) :=δ_g,h−1.

6.2.Defin´ıci´o. LegyenA_F szimmetrikus algebraF p-karakterisztik´aj´u algebrailag z´art test felett.

• A KAkommut´ator-alt´er, azab−ba A-beli kommut´atorok ´altal gener´alt alt´er. Legyen ZA az A algebra centruma. Ekkor a KA alt´er egyben ZA- r´eszmodulusa isA-nak.

• Legyen T0A:= KA, TnA:={x∈A|x^pn∈KA}.

• Z0Aaz Aazonblokkjai (felbonthatatlan k´etoldali ide´aljai) centru- mainak¨osszege, amelyek egyszer˝uF-algebr´ak.

• Legyena1, . . . , an ´esb1, . . . , bn Aegy du´alis b´azisp´arja, az az (ai, bj) = δi,j. Anyom lek´epez´esτ:A→A, melyrex7→Pn

i=1bixai. AHigman- ide´alj´anaknevezz¨ukτ(A)-t. Jele HA. AReynolds-ide´alj´anaknevezz¨uk,

´

es RA-val jel¨olj¨uk, ZA∩SA-t, ahol SAazAtalpa,A-t bal- vagy jobboldali A-modulusnak tekintve.

Ekkor B. K¨ulshammer kor´abbi eredm´enyeib˝ol ismert, hogy:

• KA=T0A⊆T1A⊆ · · · ZA-r´eszmodulusok n¨ov˝o l´anca;

• P

nT_nA= JA+ KA;

• L´eteziknnemnegat´ıv eg´esz sz´am, hogy T_nA= JA+ KA.

• Aminden ZA-r´eszmodulus´anak mer˝olegese ZA-modulus

• ZA = KA^⊥ = T₀A^⊥ ⊇ T₁A^⊥ ⊇ · · · ⊇ RA ⊇ HA ⊇ Z₀A ⊇ 0 ZA- r´eszmodulusok, azaz centr´alis ide´alok sorozata. (T_iA^⊥neve´altal´anos´ıtott Reynolds-ide´al )

• HaIide´alA-ban, akkor I^⊥ is ide´al. JA^⊥= SA.

• ∩^∞_n=0TnA^⊥ = RA.

• Mindennterm´eszetes sz´amra ´esz∈ZAelemre l´etezik egyetlenζn(z)∈ZA, hogy (ζ_n(z), x)^pn= (z, x^pn) teljes¨ul mindenx∈A-ra. Ekkor egyζ_n: ZA→ ZAlek´epez´est kapunk.

23

Bebizony´ıtottuk:

6.3. T´etel. Legyen A szimmetrikus F-algebra, ahol F p-karakterisztik´aj´u, algeb- railag z´art test. Ekkor:

(i) (T1A^⊥)²⊆HA.

(ii) (T₁A^⊥)(T₂A^⊥) = (T₁A^⊥)³= Z₀A.

(iii) Happ´aratlan, akkor(T₁A^⊥)²= Z₀A.

(iv) Hap= 2, akkor (T₁A^⊥)²= ZA·ζ₁(1)², ´es Aminden B blokkj´ara teljes¨ul, hogy: ZBζ₁(1)²=F ζ₁(1)²1_B.

Bel´attuk m´eg:

• HaAblokk, ´esm6= 06=n, akkor (T_nA)^⊥(T_mA)^⊥=F ζ_n(1)ζ_m(1),

• Altal´´ aban (TnA)^⊥(TmA)^⊥= ZAζn(1)ζm(1), ham6= 06=n, azaz a szorzat egy f˝oide´al ZA-ban.

• happ´aratlan ´esm+n >2, akkor (T_nA)^⊥(T_mA)^⊥ dimenzi´oja megegyezik Aegyszer˝u blokkjai sz´am´aval.

2-karakterisztik´abanbel´attuk:

6.4.T´etel. Legyen Aegy szimmetrikus algebra2-karakterisztik´aj´u, algebrailag z´art F test felett. Legyene egy primitiv idempotensA-ban. Ekkor ekvivalensek:

(1) dim(eAe)p´aros (2) eζ₁(1)²= 0 (3) (e, ζ₁(1)²) = 0

6.5. Defin´ıci´o. Az A algebra Cartan-m´atrix´anak nevezz¨uk azt a C = (ci,j) m´atrixot, melyre ci,j = dim(eiAej), ahol i, j = 1, . . . , l ´es e1, . . . , el A primit´ıv idempotensei, aholAe1, . . . , Aela projekt´ıv felbonthatatlan baloldaliA-modulusok izomorfia t´ıpusainak egy reprezent´ans rendszere. Aci,j nemnegat´ıv eg´esz sz´amokat azAalgebra Cartan-invari´ansainaknevezz¨uk.

Ismert, hogy azA algebra Cartan-m´atrixa szimmetrikus m´atrix.

6.6.K¨ovetkezm´eny. A fentiAalgebra Cartan-m´atrix´ara ekvivalensek:

• valamelyi-recii p´aratlan

• ζ1(1)²6= 0

Legyen e1, . . . , el mint fent, legyen el+1, . . . , en JA+ KA egy b´azisa. Ekkor e₁, . . . , e_n A-nak b´azisa. Legyenb₁, . . . , b_n ehhez tartoz´o du´alis b´azis. Ekkorr₁:=

b₁, . . . , r_l:=b_l a (JA+ KA)^⊥= SA∩ZA= RAegy b´azisa. Bel´attuk a k¨ovetkez˝ot:

6.7.T´etel. A fenti jel¨ol´esek mellett ζ₁(1)²=

l

X

i=1

dim(e_iAe_i)·r_i

´

esζ₁(1)²e_i= dim(e_iAe_i)·e_ir_i, ahole_ir_i6= 0 i= 1, . . . , l eset´en.

Bel´attuk m´eg:

Legyen τ a Higman-ide´al defin´ıci´oj´aban szerepl˝o lek´epez´es Ekkor (τ(e_i), e_j) = dim(e_iAe_j)·1_F i, j= 1, . . . , l.

Bel´attuk aTnA^⊥ ZA-beli ide´alokMorita-invarianci´aj´at:

6.8.T´etel. LegyenB egy szimmetrikusF-algebra, aholF algebrailag z´art ´esp >0 karakterisztik´aj´u. LegyenAegy vele Morita-ekvivalens algebra. Ekkor l´etezik egyF- algebra izomorfizmusZA´esZB k¨oz¨ott, amely mindennterm´eszetes sz´amraT_nA^⊥- etT_nB^⊥-re k´epezi.

25