• Nem Talált Eredményt

Irányítástechnika II.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Ossza meg "Irányítástechnika II."

Copied!
153
0
0

Teljes szövegt

(1)

IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II.

(2)

A megvalósítás érdekében létrehozott konzorcium résztvevői:

KECSKEMÉTI FŐISKOLA

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM AIPA ALFÖLDI IPARFEJLESZTÉSI NONPROFIT KÖZHASZNÚ KFT.

Fővállalkozó: TELVICE KFT.

(3)

Írta:

BOKOR JÓZSEF GÁSPÁR PÉTER

SOUMELIDIS ALEXANDROS

Lektorálta:

SZABÓ ZOLTÁN

IRÁNYÍTÁSTECHNI K A II.

Egyetemi tananyag

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki Kar

(4)

LEKTORÁLTA: Dr. Szabó Zoltán

Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható.

ISBN 978-963-279-603-1

KÉSZÜLT: a Typotex Kiadó gondozásában FELELŐS VEZETŐ: Votisky Zsuzsa

TÁMOGATÁS:

Készült a TÁMOP-4.1.2/A/2-10/1-2010-0018 számú, „Egységesített Jármű- és mobilgépek képzés- és tananyagfejlesztés” című projekt keretében.

KULCSSZAVAK:

Newton–Lagrange-modellezés; átviteli függvény; pólusok és zérusok; Laplace-transzformáció;

jelkövető irányítás; zavarkompenzáció; bizonytalanság modellezése; stabilitás; érzékenység függvény;

P-K struktúra; M-Delta struktúra; frekvencia függvény; robusztus stabilitás; robusztusság; PID

szabályozás; pólusallokáció; állapottér-elmélet; irányíthatóság; megfigyelhetőség; modellidentifikáció;

LQ irányítás, állapot-visszacsatolás; megfigyelő tervezés.

ÖSSZEFOGLALÁS:

A jelen jegyzet a BME Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Karán oktatott Irányítástechnika II. c.

tantárgyhoz készült. A jegyzet célja, hogy segítse a hallgatókat az előadási anyag elsajátításában és a gyakorlati feladatok megoldásában. A könyv szerkezeti felépítésében az egyetemi előadásokat és gyakorlatokat követi. A második fejezet részletesen bemutatja a lineáris időinvariáns (LTI)-rendszerek analízisét. A fejezet különféle modellezési elveket ismeret, így a fizikai elvek alapján történő

modellezésen kívül bevezet a mért jeleken alapuló modellezésbe is. Tárgyalja az idő- és frekvenciatartománybeli rendszerleírásokat tipikus bemenőjelekre. Részletesen foglalkozik a dinamikus rendszerek különböző állapottér-reprezentációival, ezek kapcsolatával, valamint az

irányíthatóság és megfigyelhetőség fogalmával. A harmadik fejezetben tárgyaljuk a rendszerstabilitási kritériumokat, a minőségi tulajdonságokat, valamint a bizonytalansági modellezési elveket. A negyedik fejezet az LTI-rendszerek szintézisével foglalkozik. A klasszikus soros kompenzátor tervezés elvein túlmenően részletesen ismerteti az állapot visszacsatolásra épülő tervezési módszereket, valamint részletesen kitér a megfigyelő tervezésre is. Az elméleti módszerekhez számos példa és gyakorlati tervezési feladat kapcsolódik, melyek segítik a hallgatókat az Irányítástechnika tárgykörébe tartozó

(5)

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 7

2. Mechatronikai rendszerek modellezése és elemzése 8

2.1. Alapfogalmak . . . 8

2.2. Modellezés fizikai elvek alapján . . . 11

2.2.1. Newton-Lagrange modellezés . . . 11

2.2.2. Egy lineáris invariáns rendszer átviteli függvénye . . . 12

2.2.3. Példák a modellezésre . . . 15

2.3. Modellezés állapottérben . . . 20

2.3.1. Bevezetés az állapottér elméletbe . . . 20

2.3.2. Állapottér és átviteli függvény kapcsolata . . . 25

2.3.3. Irányíthatósági és diagonális állapottér reprezentációk . . . 27

2.3.4. Állapottér transzformációk . . . 34

2.4. Modellezés mért jelek alapján: modell identifikáció alapjai . . . 40

2.5. Rendszerdinamika elemzése időtartományban . . . 45

2.5.1. Példák a rendszerdinamika időtartományi elemzésére . . . 46

2.6. Rendszerdinamika elemzése frekvencia tartományban . . . 51

2.6.1. Alaptagok frekvenciafüggvényei . . . 53

2.7. Irányíthatóság és megfigyelhetőség . . . 62

3. Stabilitás, minőségi tulajdonságok és bizonytalanságok 65 3.1. Stabilitásvizsgálat . . . 65

3.1.1. Rendszer stabilitása . . . 65

3.1.2. Zárt rendszer stabilitása . . . 68

3.2. Rendszerek minőségi jellemzőinek vizsgálata . . . 71

3.2.1. Érzékenységi függvény . . . 72

3.2.2. Aszimptotikus jelkövetés . . . 74

3.2.3. Zavarkompenzálás . . . 76

3.3. Bizonytalanságok modellezése . . . 77

3.3.1. P-K struktúra . . . 77

3.3.2. Modell bizonytalanság vizsgálata . . . 79

(6)

3.3.3. Nem modellezett dinamika . . . 81

3.3.4. Parametrikus bizonytalanság . . . 82

3.4. M-∆struktúra . . . 85

4. Irányítástervezés frekvencia tartományban és állapottérben 91 4.1. Soros kompenzátor tervezése . . . 91

4.1.1. Soros kompenzátor tervezési elve . . . 91

4.1.2. Robusztusság ellenőrzése . . . 96

4.2. PID szabályozás tervezése . . . 102

4.2.1. Zajszűrés . . . 106

4.2.2. Referenciajel súlyozás . . . 107

4.2.3. Beavatkozó telítődése . . . 108

4.2.4. Tuningolás, hangolás . . . 110

4.3. Pólusallokációs módszer . . . 111

4.3.1. A módszer elve és algoritmusa . . . 111

4.3.2. Példák a pólusallokációs módszerre . . . 115

4.4. Lineáris kvadratikus szabályozótervezés . . . 121

4.4.1. Az LQ módszer elve és algoritmusa . . . 121

4.4.2. Példák az LQ módszerre . . . 123

4.4.3. Pólusok és zérusok . . . 128

4.5. Jelkövető irányítástervezés . . . 131

4.5.1. Állapot szeparálás módszere . . . 131

4.5.2. Struktúra módosítás módszere . . . 133

4.5.3. Példák a jelkövető irányításra . . . 136

4.6. Megfigyelőtervezés . . . 139

4.6.1. Tervezési feladat . . . 139

4.6.2. Állapotmegfigyelő tervezése . . . 141

4.6.3. Illusztrációs példák . . . 142

4.7. Dinamikus állapotvisszacsatolás . . . 148

(7)

1. fejezet Bevezetés

A jelen jegyzet a BME Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Karán oktatott Irányítás- technika II. c. tantárgyhoz készült. A jegyzet célja, hogy segítse a hallgatókat az előadási anyag elsajátításában és a gyakorlati feladatok megoldásában.

A könyv szerkezeti felépítésében az egyetemi előadásokat és gyakorlatokat köve- ti. A második fejezet részletesen bemutatja a lineáris időinvariáns (LTI) rendszerek analizísét. A fejezet különféle modellezési elveket ismeret, így a fizikai elvek alapján történő modellezésen kívül bevezet a mért jeleken alapuló modellezésbe is. Tárgyalja az idő- és frekvenciatartománybeli rendszerleirásokat tipikus bemenőjelekre. Részle- tesen foglalkozik a dinamikus rendszerek különböző állapottér-reprezentációival, ezek kapcsolatával, valamint az irányíthatóság és megfigyelhetőség fogalmával. A harmadik fejezetben tárgyaljuk a rendszerstabilitási kritériumokat, a minőségi tulajdonságokat, valamint a bizonytalansági modellezési elveket. A negyedik fejezet az LTI rendszerek szintézisével foglalkozik. A klasszikus soros kompenzátor tervezés elvein túlmenően részletesen ismerteti az állapot-visszacsatolásra épülő tervezési módszereket, valamint részletesen kitér a megfigyelőtervezésre is.

Az elméleti módszerekhez számos példa és gyakorlati tervezési feladat kapcsolódik, melyek segítik a hallgatókat az Irányítástechnika tárgykörébe tartozó mérnöki ismeretek megszerzésében. Az érdeklődő hallgatóknak a következő könyvet ajánljuk még.

Irodalom

Bokor József és Gáspár Péter. Irányítástechnika jármudinamikai alkalmazásokkal.

TypoTex Kiadó, 2008.

(8)

Mechatronikai rendszerek modellezése és elemzése

2.1. Alapfogalmak

Az irányítástechnika célja, hogy egy rendszer tulajdonságait elemezze és a rendszer viselkedését megadott szempontok szerint módosítsa. Rendszereknek általánosan az olyan absztrakt objektumokat nevezhetjük, amelyek az őt érő külső, környezetükből jövő hatásokra valamilyen válaszreakciót generálnak. Egy rendszer külső, ún. bemenő jelek, mint gerjesztések hatására válaszjeleket, ún. kimenő jeleket generál. A rendszert az 2.1 ábrán látható módon egy blokkal szemléltetjük, a bemenőjelu, a rendszer által generált válaszy.

✲ u ( t )

G ✲

y ( t )

2.1. ábra. Egy rendszer illusztrációja

A rendszerek modellezése során különféle információkból indulunk ki, melyek forrásai elméleti és gyakorlati ismeretek, valamint feltevések lehetnek. Az egyes jelen- ségekről alkotott elméletek által szolgáltatott leírások, általában közönséges differenci- álegyenletekkel formalizált modellek. A rendszerről megfigyelések és mérések által gyűjtött adatok összessége, az elméleti modellekben szereplő paraméterek értékének meghatározását jelenti.

(9)

2.1. ALAPFOGALMAK 9

A modellezésnek különféle céljai lehetnek, melyeknek a modellezés megoldásával összhangban kell állnia:

• a rendszerek tulajdonságainak, viselkedésének megértése (analízis),

• a rendszerek jövőbeli állapotának megjóslása (predikció),

• rendszertervezési feladatok megoldása (szintézis),

• rendszerek minősítése.

Az elemzés célú modellezés során a fentiek szerint a rendszer viselkedésének minél pontosabb reprodukálása az irányadó. Ugyanakkor, ha a szintézis célú modellezést vég- zünk, akkor általában csak azok a rendszertulajdonságok érdekesek, amik az irányítási célt befolyásolják.

Az alábbiakban felsoroljuk azokat a rendszerrel kapcsolatos jellemzőket amelyek teljesülését a továbbiakban feltételezzük:

1. Linearitás

Egy lineáris rendszer működésére érvényes a szuperpozíció elve. A rendszert lineárisnak nevezzük, ha a rendszerre

u=α·u1+β·u2 (2.1)

bemenőjelet adva a válaszfüggvény

y =α·y1+β·y2. (2.2)

A szuperpozíció elvéből következik, hogy lineáris matematikai modellek alakja csak a homogén, lineáris egyenlet, illetve egyenletrendszer lehet.

2. Időinvariancia

Az időinvariancia fogalma azt jelenti, hogy a bemenőjelre adott válasz nem függ a bemenőjel alkalmazásának az időpontjától. Ha a rendszer időinvariáns, akkor egy τ időponttal késleltetett impulzusra ugyanazt a válasz függvényt adjaτ időbeli eltolással.

3. Kauzalitás

A rendszer kauzalitása azt jelenti, hogy a generált kimenőjel egy adott időpontban nem függ a bemenőjel jövőjétől. Továbbá, ha a a kimenőjel csak a bemenőjel múltjától függ, akkor a rendszert szigorúan kauzálisnak nevezzük.

Az irányítási, szabályozási feladat megfogalmazásához egy praktikus megközelítés a hatásvázlat elkészítése. Ez a következő lépésekre bontható. Az irányítási hatásvázlat általános felépítése az 2.2 ábrán látható.

(10)

• Megállapítjuk, hogy mi a szabályozni kívánt jellemző, továbbá mi a szabályozási cél.

• Megállapítjuk, hogy milyen jelet mérhetünk a visszacsatoláshoz, amely jelnek reprezentálnia kell a szabályozni kívánt jellemzőt.

• Beállítunk egy alapjelet, amellyel a visszacsatolt jelet összehasonlítjuk, majd különbséget képzünk. Ezt a jelet rendelkező jelnek nevezzük.

• A rendelkező jelet szükség szerint átalakítjuk, erősítjük, a rendszer bemenetére mint beavatkozó jelet visszük.

alapjel

rendel- kező jel

C(s) szabályozó

bemenő

jel

G(s) szabályozott

rendszer

kimenő

jel

zavaró jel

szabályozott

jellemző

2.2. ábra. Egy rendszer illusztrációja

Az elemzés és tervezés során folytonos idejű modellekkel foglalkozunk, míg a rea- lizációs részben eredményeinket kiterjesztjük diszkrét idejű modellekre. Egy folytonos idejű modell a rendszert vagy folyamatot leíró jellemzők, független és függő változók a vizsgált idő alatt bármelyik pillanatban vehetnek fel értéket: a bemeneti és kimeneti jelei egyaránt folytonos idejű jelek. A folytonos paraméterű modellekben a változók egy adott tartományon, értékhatáron belül bármilyen értéket felvehetnek. Egy diszkrét idejű modell a jellemzők csak adott, konkrét időpillanatokban vehetnek fel értékeket.

Diszkrét paraméterű modellek esetén a változók csak meghatározott diszkrét értékeket vehetnek fel.

(11)

2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 11

2.2. Modellezés fizikai elvek alapján

2.2.1. Newton-Lagrange modellezés

A Lagrange módszer a rendszer modelljét általánosított elmozdulás és sebesség kompo- nensekkel fogalmazza meg:

d dt

∂T(q,q)˙

∂q˙ ∂T(q,q)˙

∂q +∂D( ˙q)

∂q˙ + ∂U(q)

∂q =f, (2.3)

ahol T(q,q)˙ kinetikai (mozgási) energia, U(q) potenciális (helyzeti) energia, D( ˙q) disszipációs (csillapítás által elnyelt) energia, f külső erő. A kinetikus energia a sebességvektoron kívül a helyzetvektortól is függhet, míg a potenciális energia egyedül a helyzetvektortól függ. A kinetikus energia és a potenciális energia különbsége az úgynevezett Lagrange állapotfüggvényt adja meg:

L(q,q) =˙ T(q,q)˙ −U(q) (2.4) A Lagrange egyenlet felírható az egyes komponensekre bontott alakban is, azaz qi komponensre felírva:

d dt

∂T(q,q)˙

∂q˙i ∂T(q,q)˙

∂qi +∂D( ˙q)

∂q˙i + ∂U(q)

∂qi =fi. (2.5)

Példaként az 2.3 ábrán látható két tömegű lengőrendszer modelljét írjuk fel. A lengőrendszer komponensei: msésmutömegek,ktésksrugók, valamintbscsillapítás.

A rendszertwelmozdulás gerjeszti, ennek hatására a két tömeg elmozdulásaq1ésq2.

m

u

b

s

m

s

q

1

q

2

.. ..

. w

k

s

k

t

✲ ✲

.. ..

.

.. ..

.

2.3. ábra. Kéttömegű lengőrendszer

A megoldás első lépésében írjuk fel a Lagrange egyenlet komponenseit:

(12)

• Kinetikus energia egy tömegre: T = 12 ·F ·q= 12·mq¨·q= 12 ·mqt˙ ·qt˙ alapján ezért a rendszer két tömegére:

T = 1

2msq˙12+1

2muq˙22, (2.6)

• Potenciális energia egy tömegre: U = 12 ·F ·∆ = 12 ·k∆·∆,ezért a rendszerre:

U =ks(q1−q2)2

2 +kt(q2−w)2

2 , (2.7)

• Disszipációs energia a rendszerre:

D=bs( ˙q1−q˙2)2

2 . (2.8)

A számítási műveletek az egyes komponensekre (q1ésq2) bontott alakban a követ- kezők:

d dt

∂T

∂q˙1 =msq¨1, d dt

∂T

∂q˙2 =muq¨2, (2.9)

∂T

∂q1 =0, ∂T

∂q2 =0, (2.10)

∂D

∂q˙1 =bs( ˙q1−q˙2),∂D

∂q˙2 =−bs( ˙q1−q˙2), (2.11)

∂U

∂q1 =ks(q1−q2), ∂U

∂q2 =−ks(q1−q2) +kt(q2−w) (2.12) A két tömegű lengőrendszer modellje a Lagrange egyenlet alapján :

msq¨1 =−bs( ˙q1−q˙2)−ks(q1−q2), (2.13) muq¨2 =−bs( ˙q2−q˙1)−ks(q2−q1)−kt(q2−w). (2.14) Megjegyezzük, hogy a Newtoni mechanikában a rendszer modelljét erő és nyomaték egyensúlyi egyenletekkel fogalmazzuk Newton törvényeinek felhasználásával.

2.2.2. Egy lineáris invariáns rendszer átviteli függvénye

Egy rendszer modelljének leírása lineáris állandó együtthatós közönséges differenciál egyenlettel történik:

dny(t)

dtn +. . .+a1dy(t)

dt +a0y(t) = b0u(t) +b1du(t)

dt +. . .+bmdmu(t)

dmt , (2.15)

(13)

2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 13

aholai, i=1, . . . , nésbj, j =1, . . . , megyütthatók konstansok, nem függnek az időtől.

Vegyük a differenciálegyenletL- transzformáltját zérus kezdeti feltételekkel. Ekkor a következő egyenlethez jutunk:

(sn+an1sn1+. . .+a1s+a0)Y(s) =

(bmsm+. . . b1s+b0)U(s), (2.16) aholm 5 n. A G(s)racionális törtfüggvényt a rendszer átviteli függvényének nevez- zük. Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vettL- transzformáltjainak hányadosa.

G(s) = Y(s)

U(s) = bmsm+. . .+b1s+b0

sn+an1sn1+. . .+a1s+a0. (2.17) Az alábbiakban néhány alaptag átviteli függvényét írjuk fel.

• Arányos tagok: Az egyenletből hiányoznak a bemenőjel és kimenőjel differenci- álhányadosai.

y=Au Y =AU G=A. (2.18)

• Integráló tagok. Az egyenletben bemenőjel nulladik és a kimenőjel első differen- ciálhányadosa szerepel.

Tdy

dt =u T sY =U G= 1

T s (2.19)

• Differenciáló tagok: Az egyenletben kimenőjel nulladik és a bemenőjel első differenciálhányadosa szerepel.

y=Tdu

dt Y =T sU G=T s (2.20)

• Tárolós tagok: Az egyenletben a kimenőjelnek annyiad rendű differenciálhá- nyadosa szerepel, ahány energiatárolót tartalmaz a tag. Ez a tag biztosítja a rendszerben lévő további dinamikák formalizálását.

Példák:

y+T1dy

dt +T2d2y

dt2 =Au G= A

1+T1s+T2s2 (2.21) y+T1dy

dt =T2du

dt G= T2s

1+T1s (2.22)

(14)

• Holtidős tagok: Az egyenletben megjelenik egy tiszta TH időkésleltés. Az ún.

nullatárolós holtidős (0TH) tag egyenlete

y(t) =AHu(t−TH) (2.23) aholTH a holtidő. Az eltolási tétel alapján

Y(s) =AHU(s)estH, (2.24) azaz az átviteli függvény:

G=AHestH. (2.25)

(15)

2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 15

2.2.3. Példák a modellezésre

2.1. Példa. Írjuk fel az 2.4 ábrán látható két rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer modelljét. A fizikai jellemzők adatai a következők:k =10N s/m,c1=3N/m, c2 =2N/m.

.. ..

.. ..

y .

z u

k c

2

.. .. .. .. . c

1

.. ..

.. ..

.

✲ ✲

2.4. ábra. Két rugóból és csillapítóból álló rendszer

Megoldás:

A c2 rugó hatása miatt a rugó előtti z elmozdulás nem azonos a rugó mögötti y elmozdulással. Emiatt a mechanikai rendszer erőegyensúlyi egyenletének felírásához egyz elmozdulást leíró segédváltozót vezetünk be a következőképpen:

c2(y−z) = kz˙ (2.26)

c1(u−y) = c2(y−z) (2.27)

Alakítsuk át az egyenleteket Laplace transzformációval:

c2(Y −Z) = ksZ (2.28)

c1(U −Y) = c2(Y −Z) (2.29)

A kétismeretlenes egyenletrendszer mindegyikéből Z-t kifejezzük, majd felírjuk az U és Y közötti összefüggést:

[ks(c1+c2) +c1c2]Y = (kc1s+c1c2)U (2.30) Az átviteli függvény:

G= Y

U = kc1s+c1c2 ks(c1+c2) +c1c2

= 30s+6

50s+6 (2.31)

(16)

2.2. Példa. Tekintsük a 2.5 ábrán látható egyszerűsített gépjármű felfüggesztési modellt, melynek adatai a következők: m=200kg,b =100N s/m, k=9000N/m.

m

✻ u

k b

✻ y

2.5. ábra. Gépjármű felfüggesztés modellje

Megoldás:

A rendszer differenciálegyenlete:

my¨=b( ˙u−y) +˙ k(u−y) (2.32) Alakítsuk át az egyenleteket Laplace transzformációval:

ms2Y =bsU −bsY +kU −kY (2.33)

Az átviteli függvény:

G= bs+k

ms2+bs+k = 0.5s+45

s2+0.5s+45 (2.34)

(17)

2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 17

2.3. Példa. Határozzuk meg az 2.6 ábrán látható áramkörubbemenő feszültsége ésuk kimenőfeszültsége közötti átviteli függvényt.

R

C

❄ ❄

✲ i

u

k

u

b

2.6. ábra. Egyszerű villamos áramkör

Megoldás:

Az RC kör differenciálegyenletei:

ub =Ri+ 1 C

t

0

idt (2.35)

uk = 1 C

t 0

idt (2.36)

Képezzük a differenciálegyenletek Laplace transzformáltjait:

Ub = (

R+ 1 sC

)

I, (2.37)

Uk= 1

sCI. (2.38)

Az átviteli függvény (T =RC időállandó bevezetésével):

G= Uk Ub =

1 sC

R+sC1 = 1

1+sRC = 1

1+sT (2.39)

2.4. Példa. Határozzuk meg a 2.7 ábrán látható áramkör bemenő feszültsége és kime- nőfeszültsége közötti átviteli függvényt.

Megoldás:

Határozzuk meg az áramkör átviteli függvényét. Az RL kör differenciálegyenletei:

ub =Ri+Ldi

dt (2.40)

uk=Ldi

dt (2.41)

(18)

R

L

❄ ❄

✲ i

u

k

u

b

2.7. ábra. Egyszerű villamos áramkör

Képezzük a differenciálegyenletek Laplace transzformáltjait:

Ub = (R+Ls)I, Uk =LsI. (2.42)

Az átviteli függvény:

G= Uk

Ub = Ls

R+Ls = sLR

1+sRL = sT

1+sT (2.43)

aholT =L/Raz időállandó.

2.5. Példa. Határozzuk meg a 2.8 ábrán látható áramkör bemenő feszültsége és kime- nőfeszültsége közötti átviteli függvényt.

R

2

C

❄ ❄

✲ i

u

k

u

b

R

1

2.8. ábra. Villamos áramkör

Megoldás:

(19)

2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 19

Határozzuk meg az áramkör átviteli függvényét.

G= Uk Ub

= R2 R2+Rk

(2.44) aholRk=R1/(1+sR1C). Alakítsuk tovább az átviteli függvény képletét:

G= R2

R2+R1/(1+sR1C) = R2+sR1R2C

R1+R2+sR1R2C =A1+sT1

1+sT2 (2.45) aholA=R2/(R1+R2),T1=R1C,T2 =R1R2C/(R1+R2).

2.6. Példa. Határozzuk meg az 2.9 ábrán látható áramkör átviteli függvényét.

R

2

C

1

❄ ❄

✲ i

u

k

u

b

R

1

C

2

2.9. ábra. Villamos áramkör Megoldás:

G= Uk

Ub = R2+sC1

2

R2+sC1

2 +Rk (2.46)

aholRk=R1/(1+sR1C1). Alakítsuk tovább az átviteli függvény képletét:

G= R2+1/(sC2)

R2+1/(sC2) +R1)/(1+sR1C1) = 1+s(T1+T2) +s2T1T2

1+s(T1+T2+T12) +s2T1T2 (2.47) aholT1=R1C1,T2=R2C2,T12=R1C2

(20)

2.3. Modellezés állapottérben

2.3.1. Bevezetés az állapottér elméletbe

A rendszer állapota egy t0 időpontbeli információ (olyan jelek ismerete), amelyből az u(t), t t0 bemenőjel ismeretében a rendszer válasza minden t t0 időpontra meghatározható. A rendszer válasza a jövőbeli,t≥t0időpontra vonatkozóállapotokat és akimenőjeleketjelenti. A rendszer állapotait leíró jeleket, illetve ezek függvényeit, a rendszer állapotváltozóinak nevezzük. A rendszer- és irányításelméletbe a magyar származású híres tudós, Rudolf E. Kalman vezette be az általa kidolgozottLQRoptimális irányítások elméletének kidolgozása kapcsán, ld. még [13,12].

2.7. Példa. Tekintsük az alábbi felfüggesztési rendszert. u erő hatására az m tömeg függőleges irányban (y) elmozdul. Írjuk fel az erő és az elmozdulás közötti kapcsolatot.

Adatok: m=1kg,k =4N sm ,c=3Nm.

m u

y

c k

2.10. ábra. Lengőrendszer modellje

Megoldás:

A rendszer differenciálegyenlete:

my¨=−ky˙−cy+u, (2.48)

¨

y=4y˙3y+u. (2.49)

(21)

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 21

Állapotváltozók megválasztásának egy természetes módja a következő: x1 =y,x2 = ˙y.

Állapotegyenletek:

˙

x1= ˙y=x2 (2.50)

˙

x2= ¨y=4y˙3y+u=4x23x1+u (2.51)

y=x1 (2.52)

Állapottér reprezentáció:

[x˙1

˙ x2

]

=

[ 0 1

3 4 ] [x1

x2 ]

+ [0

1 ]

u (2.53)

y=[

1 0] [x1 x2 ]

(2.54) Természetesen egy másik állapottér megválasztás is lehetséges. x1 = 3y, x2 = 4y.˙ Állapotegyenletek:

˙

x1 =3y˙ = 3

4x2 (2.55)

˙

x2 =4¨y=16y˙ 12y+4u=4x24x1+4u (2.56) y= 1

3x1 (2.57)

Állapottér reprezentáció:

[x˙1

˙ x2

]

=

[ 0 34

4 4 ] [x1

x2

] +

[0 4 ]

u (2.58)

y=[1

3 0] [x1 x2 ]

(2.59) Fentiek alapján a bemenőjelek és kimenőjel közötti kapcsolat állapottér reprezentá- ciója többféle alakban felírható és az állapottér alakja nem egyértelmű.

(22)

Az állapotegyenlet, mint egy elsőrendű differenciálegyenlet megoldása két lépésben történik. Előbb megoldjuk a homogén egyenletet, majd megkeressük az inhomogén egyenlet egy partikulártis megoldását. A homogén egyenlet alakja:

˙

x(t) =Ax(t), (2.60)

azx(0) = x0kezdeti feltétellel és megoldása:

x(t) =eAtx0, (2.61) ahol az eAt mátrix-exponenciális függvényt a következőképpen értelmezzük: eAt = I +At + A2!2t2 + A3!3t3 +. . .. Például diagonál reprezentációknál eAdt (Ad R2×2) alakja: eAdt =

[ eλ1t 0 0 eλ2t

] . Az inhomogén egyenlet alakja:

˙

x(t) = Ax(t) +bu(t) (2.62) aholx(0) =x0egyenlet megoldása a következő:

x(t) =

0

eA(tτ)bu(τ)dτ. (2.63)

A fentiek alapján az elsőrendű differenciálegyenlettel leírt állapotegyenlet megoldása:

x(t) = eAtx0+

0

eA(tτ)bu(τ)dτ (2.64)

y(t) = cTx(t). (2.65)

(23)

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 23

2.8. Példa. Határozzuk meg a [x˙1

˙ x2

]

=

[ 0 1

2 3 ] [x1

x2 ]

+ [0

1 ]

u (2.66)

rendszer válaszát egységugrás bemenet esetén.

Megoldás:

1. lépés A homogén rész megoldása:

˙

x=Ax (2.67)

sX(s)−x(0) = AX(s) (2.68)

X(s) = (sI−A)1x(0) (2.69) A példában:

(sI −A)1= adj(sI −A) det(sI−A) =

[s+3 1

2 s ] s2+3s+2 =

[ s+3

s2+3s+2 1 s2+3s+2

2 s2+3s+2

s s2+3s+2

]

(2.70) A homogén rész megoldása a mátrix tagjainak inverz Laplace transzformációjával történik:

[x1(t) x2(t) ]

=

[ 2et−e2t et−e2t

2et+2e2t −et+2e2t

] [x1(0) x2(0) ]

(2.71) 2. lépés Az inhomogén rész megoldása zérus kezdeti érték feltételezésével:

˙

x=Ax+bu (2.72)

sX(s) =AX(s) +bU(s) (2.73)

X(s) = (sI −A)1bU(s) (2.74) A példában:

(sI −A)1bU(s) = adj(sI −A) det(sI−A) b 1

s

=

[s+3 1

2 s ] [0

1 ] s3+3s2+2s =

[1 s ]

s3+3s2+2s = [ 1

s3+3s2+2s 1 s2+3s+2

]

(2.75) Az inhomogén rész megoldása a mátrix tagjainak inverz Laplace transzformációjával történik:

[x1(t) x2(t) ]

=

[0.5−et+0.5e2t et−e2t

]

(2.76)

(24)

A teljes megoldás:

[x1(t) x2(t) ]

=

[ 2et−e2t et−e2t

2et+2e2t −et+2e2t

] [x1(0) x2(0) ]

+

[0.5−et+0.5e2t et−e2t

]

(2.77) Ha a kezdeti értékek zérusok, azazx1(0) =0ésx2(0) =0:

[x1(t) x2(t) ]

=

[0.5−e−t+0.5e−2t et−e2t

]

(2.78) Egy szimulációs vizsgálati eredményt mutat a 2.11 ábra.

0 1 2 3 4 5 6

0 0.5 1

x1

0 1 2 3 4 5 6

0 0.2 0.4

[sec]

x2

2.11. ábra. Átmeneti függvények zérus kezdeti értékekkel

Ha a kezdeti értékek egységnyiek, azazx1(0) = 1ésx2(0) =1:

[x1(t) x2(t) ]

=

[0.51.5e2t+2et

2et+3e2t ]

(2.79) Egy szimulációs vizsgálati eredményt mutat a 2.12 ábra.

(25)

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 25

0 1 2 3 4 5 6

0.5 1 1.5

x1

0 1 2 3 4 5 6

−0.5 0 0.5 1

[sec]

x2

2.12. ábra. Átmeneti függvények nem zérus kezdeti értékek esetén

2.3.2. Állapottér és átviteli függvény kapcsolata

Általánosan egy lineáris dinamikus rendszer állapottér reprezentációját a következő alakban írhatjuk:

˙

x = Ax+bu (2.80)

y = cTx, (2.81)

Az állapottér reprezentáció alapján a rendszer átviteli függvényét a Laplace transzfor- máció alkalmazásával kapjuk meg:

sX(s)−x(0) =AX(s) +bU(s), (2.82) ebből

(sIA)X(s) =bU(s) +x(0).

Az állapot Laplace transzformáltja:

X(s) = (sIA)1bU(s) + (sI A)1x(0), (2.83) aholx(0)a kezdő állapott =0 időpontban. Azx(0) =0 feltétel mellett

Y(s) = cTX(s) =cT(sI A)1bU(s). (2.84) AG(s)átviteli függvény:

G(s) = Y(s)

U(s) =cT(sI A)1b. (2.85)

(26)

Az átviteli függvény pólusai tehát az

det(sI A) =0 (2.86)

egyenlet gyökei.

2.9. Példa. Határozzuk meg az alábbi állapottér reprezentáció átviteli függvényét:

˙ x=

[2 4

1 0

] x+

[1 0 ]

u (2.87)

y=[ 0 2]

x (2.88)

Megoldás:

G=[

0 2] [s+2 4

1 s ]1[

1 0 ]

= 2

s2+2s+4 (2.89)

2.10. Példa. Határozzuk meg az alábbi állapottér reprezentáció átviteli függvényét:

˙ x=

0 0 4

1 0 0

0 1 2

x+

1 0 0

u (2.90)

y=[

0 0 1]

x (2.91)

Megoldás:

G=[

0 0 1]

s 0 4

1 s 0 0 1 s+2

1

1 0 0

= 1

s3+2s2+4 (2.92)

(27)

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 27

2.3.3. Irányíthatósági és diagonális állapottér reprezentációk

Irányíthatósági alak

Az irányíthatósági alakú állapottér reprezentáció a 2.13 ábrával illusztrálható és az alábbi alakban írható fel:

x˙1

˙ x2

˙ x3

=

−a2 −a1 −a0

1 0 0

0 1 0

x1 x2 x3

+

1 0 0

u (2.93)

y =[

b2 b1 b0]

x1 x2 x3

 (2.94)

R

R R

b0

a2

−a1

a0

u x˙1 x˙2 x˙3 x3

b1 b2

y

2.13. ábra. Az irányíthatósági alak illusztrációja

Induljunk ki egy általános rendszerből, melynek átviteli függvényét az alábbi alak- ban fogalmaztuk meg:

Y(s) = b(s)

a(s)U(s), (2.95)

ahola(s)ésb(s)polinomiális függvények, példáulb(s) =b1s+b0ésa(s) =s2+a1s+ a0. A bemenőjel Laplace transzformáltjaU(s)és a kimenőjel Laplace transzformáltja Y(s)közötti kapcsolatot ekkor a következőképp írhatjuk:

Y(s) =b(s)a1(s)U(s). (2.96)

(28)

Vezessük be aξ(s)változót az alábbi módon:

ξ(s) =a−1U(s). (2.97)

Ekkor a bemenőjel és a kimenőjel Laplace transzformáltja:

Y(s) = b(s)ξ(s) = [b1s+b0]ξ(s) és (2.98) U(s) = a(s)ξ(s) =[

s2+a1s+a0

]ξ(s). (2.99)

Inverz Laplace transzformációval a differenciálegyenlet:

y=b1ξ˙+b0ξ

u= ¨ξ+a1ξ˙+a0ξ (2.100)

Vezessük be a következő új változókat, amelyeket állapotváltozóknak nevezünk:

x1 = ˙ξ, x2 =ξ. (2.101)

Figyelembe véve, hogy x˙1 = ¨ξ és x˙2 = ˙ξ = x1, az alábbi elsőrendű differenciál egyenletekhez jutunk, melyek az állapotdinamika egyenletrendszerét alkotják:

˙

x1 =−a1x1−a0x2+u (2.102)

˙

x2 =x1 (2.103)

Az állapotváltozókból a rendszer kimenőjele a következőképp kapható meg. Ez az úgynevezett megfigyelési egyenlet.

y =b1x1+b0x2 (2.104)

Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva:

˙

xc=Acxc+bcu (2.105)

y=cTcxc (2.106)

ahol

Ac =

[ −a1 −a0

1 0

]

, bc= [ 1

0 ]

, cTc =[

b1 b0 ] .

Vizsgáljuk meg egy két állapotú rendszerben, hogy az irányíthatósági alak egyér- telműségét. Induljunk ki az (2.105)-(2.106) kétállapotú általános leírásból. Az átviteli

(29)

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 29

függvény és az állapottér reprezentáció közötti összefüggés alapján írjuk fel az átviteli függvényt:

G(s) =cT(sI A)1b

=[

b1 b0 ] [ s+a1 a0

1 s ]1[

1 0

]

=

[ b1 b0 ] adj

[ s+a1 a0

1 s ] [ 1

0 ]

det

[ s+a1 a0

1 s ]

=

[ b1 b0 ] [ s −a0 1 s+a1

] [ 1 0

]

s2+a1s+a0

= b1s+b0

s2+a1s+a0 (2.107)

Az átviteli függvény alapján jól látható, hogy az irányíthatósági alak egyértelműen felírható. Az Ac mátrix első sorának elemei az átviteli függvény nevezőjének együtt- hatóiként, míg a cTc vektor elemei az átviteli függvény számlálójának együtthatóiként jelennek meg.

Diagonális alak

Az diagonális alakú állapottér reprezentáció a 2.14 ábrával illusztrálható és az alábbi alakban írható fel:

x˙1

˙ x2

˙ x3

=

−λ1 0 0 0 −λ2 0

0 0 −λ3

x1 x2 x3

+

r1 r2 r3

u (2.108)

y=[

c2 c1 c0]

x1 x2 x3

 (2.109)

Tegyük fel, hogy adott egy rendszer kimenete átviteli függvényének parciális tört alakú felbontásával:

Y(s) = b(s)

a(s)U(s) = [ r1

s−λ1

+ r2 s−λ2

]

U(s), (2.110)

(30)

r1

λ1 R

R

λ2 R

λ3 r2

r3

c1

c2

c3

u y

x1

x2

x3

˙ x1

x˙2

˙ x3

2.14. ábra. A diagonális alak illusztrációja

aholλ1, λ2azs2+a1s+a0 =0 karakterisztikus egyenlet gyökei,r1, r2pedig aλ1,λ2 gyökökhöz (ab(s)/a(s)átviteli függvény pólusaihoz) tartozó rezidumok:

r1 = lim

sλ1(s−λ1) b1s+b0

(s−λ1)(s−λ2) = b1λ1+b0

λ1−λ2 (2.111)

r2 = lim

sλ2

(s−λ2) b1s+b0

(s−λ1)(s−λ2) = b1λ2+b0

λ2−λ1 . (2.112) Megjegyezzük, hogy ennél a felírásnálλ1 ésλ2 konvex pólusok is lehetnek. Vezessük be új változóként azX1(s),X2(s)változókat, melyekre

X1(s) = r1

s−λ1U(s) (2.113)

X2(s) = r2 s−λ2

U(s) (2.114)

Y(s) = X1(s) +X2(s) (2.115) amiből az alábbi egyenletek írhatók fel:

(s−λi)Xi(s) =riU(s) (2.116) sXi(s) =λiXi(s) +riU(s), i=1,2. (2.117)

(31)

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 31

Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva:

˙

xd=Adxd+bdu (2.118)

y=cTdxd, (2.119)

ahol az(Ad,bd,cTd)jelölésben adindex azAdmátrix diagonális alakjára utal, Ad=

[ λ1 0 0 λ2

]

, bd = [ r1

r2 ]

, cTd =[

1 1 ] .

Vizsgáljuk meg egy két állapotú rendszerben a diagonális alak egyértelműségét.

Induljunk ki az (2.118)-(2.119) kétállapotú általános leírásból. Mivel sem bd sem cd alakjára nézve nincs megkötés, ezért ezeket válasszuk meg a következőképpen:

bd= [ r1

r2

]

, cTd =[

m1 m2 ] .

Az átviteli függvény és az állapottér reprezentáció közötti összefüggés alapján írjuk fel az átviteli függvényt:

G(s) =cdT(sIAd)1bd

=[

m1 m2 ] [ s−λ1 0 0 s−λ2

]1[ r1 r2

]

=

[ m1 m2 ] adj

[ s−λ1 0 0 s−λ2

] [ r1 r2

]

det

[ s−λ1 0 0 s−λ2

]

=

[ m1 m2 ] [ s−λ2 0 0 s−λ1

] [ r1 r2

]

s21+λ2)s+λ1λ2

=

[ m1 m2 ] [ r1(s−λ2) r2(s−λ1)

]

s21+λ2)s+λ1λ2

= (m1r1+m2r2)s(m1r1λ1−m2r2λ1)

s21+λ2)s+λ1λ2 (2.120) Az átviteli függvény alapján látható, hogy a diagonális alak felírása nem egyértelmű.

Habár az átvityeli függvény nevezője alapján Ad egyértelműen felírható (a pólusok sorrenjének megválasztásától eltekintve),bd éscTd elemeinek megválasztása nem egy- értelmű.

(32)

2.11. Példa. Írjuk fel az alábbi, átviteli függvényével adott rendszer állapottér reprezen- tációját irányíthatósági alakban:

G= 1

s2+0.5s+45 (2.121)

Megoldás:

Ha az átviteli függvény számlálója 1, akkor az irányíthatósági állapottér reprezentá- cióhoz az állapotváltozókat y deriváltjai csökkenő rendje szerint kell megválasztani.

Válasszuk meg a két állapotot a következőképpen:

x1= ˙y (2.122)

x2=y (2.123)

Az állapotok deriváltjai:

˙

x1 =0.5x145x2+u (2.124)

˙

x2 =x1. (2.125)

A kimenőjel:

y=x2. (2.126)

Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban:

[x˙1

˙ x2

]

=

[0.5 45

1 0

] [x1 x2 ]

+ [1

0 ]

u (2.127)

y =[

0 1] [x1 x2 ]

(2.128) 2.12. Példa. Írjuk fel az alábbi, átviteli függvényével adott rendszer állapottér repre- zentációját irányíthatósági alakban.

G= 2s+1

s2+2s+3 (2.129)

Megoldás:

A bemenőjel deriváltjának megjelenése miatt az előző gondolatmenet nem alkalmazható közvetlenül. Vezessünk be egy új változót:

Z = 1

s2+2s+3U (2.130)

Ábra

2.2. ábra. Egy rendszer illusztrációja
2.13. ábra. Az irányíthatósági alak illusztrációja
2.14. ábra. A diagonális alak illusztrációja
2.17. ábra. Mért bemenő és kimenő jelek
+7

Hivatkozások

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK

Nem láttuk több sikerrel biztatónak jólelkű vagy ra- vasz munkáltatók gondoskodását munkásaik anyagi, erkölcsi, szellemi szükségleteiről. Ami a hűbériség korában sem volt

Legyen szabad reménylenünk (Waldapfel bizonyára velem tart), hogy ez a felfogás meg fog változni, De nagyon szükségesnek tar- tanám ehhez, hogy az Altalános Utasítások, melyhez

tanévben az általános iskolai tanulók száma 741,5 ezer fő, az érintett korosztály fogyásából adódóan 3800 fővel kevesebb, mint egy évvel korábban.. Az

* A levél Futakról van keltezve ; valószínűleg azért, mert onnan expecli áltatott. Fontes rerum Austricicainm.. kat gyilkosoknak bélyegezték volna; sőt a királyi iratokból

lődésébe. Pongrácz, Graf Arnold: Der letzte Illésházy. Horváth Mihály: Magyarország történelme. Domanovszky Sándor: József nádor élete. Gróf Dessewffy József:

Az 1873-as év végén a minisztériumnak felterjesztett, az előző másfél év időszakára vonatkozó könyvtári jelentésből csak Mátray Gábor terjedelmes jelentését

ke volt erre, a falai között létesült, új kulturális intézményre — buzgón látogatta a számára "múzeumot" jelentő, látványos gyűjteményt. Pedig az

rülmények közé került, hogy "ma már a munkájához felelősséget vállalni azért, hogy milliós értékű nemzeti gyűjteményeink pusztulnak el, és váltak már hosszú

kivihetetlensége azt bizonyították, amit Szalay már régóta hangoztatott: "...ideiglenes és azért mégis sok pénzbe kerülő pótlásokkal az ügyet ma már megoldani

A kutatás-fejlesztés jelene és jövője az EU új tagállamainak nemzeti könyvtáraiban címmel TEL-ME-MOR (The European Library – Modular Extensions for Mediating Online

De akkor sem követünk el kisebb tévedést, ha tagadjuk a nemzettudat kikristályosodásában játszott szerepét.” 364 Magyar vonatkozás- ban Nemeskürty István utalt

forgalom. A régi postabélyeg készletet felülbélyegezték, azon- kívül új lajtabánsági bélyegeket is nyomtak, amelyeket Mar- tiny Győző mérnök és Szekeres

Andréka többek között arra hivatkozott, hogy a Nemzeti Múltunk Kulturális Egyesület szoros kapcsolatban állt a Kettőskereszt Vérszövetséggel, mely hazafias

Éppen ezért a tantermi előadások és szemináriumok összehangolását csak akkor tartjuk meg- valósíthatónak, ha ezzel kapcsolatban a tanszék oktatói között egyetértés van.

Ennek során avval szembesül, hogy ugyan a valós és fiktív elemek keverednek (a La Conque folyóirat adott számaiban nincs ott az említett szo- nett Ménard-tól, Ruy López de

A vándorlás sebességét befolyásoló legalapvetőbb fizikai összefüggések ismerete rendkívül fontos annak megértéséhez, hogy az egyes konkrét elektroforézis

(Véleményem szerint egy hosszú testű, kosfejű lovat nem ábrázolnak rövid testűnek és homorú orrúnak pusztán egy uralkodói stílusváltás miatt, vagyis valóban

Az akciókutatás korai időszakában megindult társadalmi tanuláshoz képest a szervezeti tanulás lényege, hogy a szervezet tagjainak olyan társas tanulása zajlik, ami nem

Az olyan tartalmak, amelyek ugyan számos vita tárgyát képezik, de a multikulturális pedagógia alapvető alkotóelemei, mint például a kölcsönösség, az interakció, a

Nagy József, Józsa Krisztián, Vidákovich Tibor és Fazekasné Fenyvesi Margit (2004): Az elemi alapkész- ségek fejlődése 4–8 éves életkorban. Mozaik

A „bárhol bármikor” munkavégzésben kulcsfontosságú lehet, hogy a szervezet hogyan kezeli tudását, miként zajlik a kollé- gák közötti tudásmegosztás és a

táblázat: Az innovációs index, szervezeti tanulási kapacitás és fejlődési mutató korrelációs mátrixa intézménytí- pus szerinti bontásban (Pearson korrelációs

Mint a következőkben látni fogjuk, az oktatási rendszerek szintjén a pedagógusok szakmai fejlődése vonatkozásában is törekvés mutatható ki az el- lentétek közötti