A FIZIKAI ÖSSZEFÜGGÉSEK
SZÁRMAZTATÁSÁNAK ALAPJAI
dr. Majár János
CÉLOK, MEGJEGYZÉSEK
-
A fizikai összefüggések helyes felírásához szükséges tudások átadása
- Minta-gyakorlatok kidolgozása, melyek segítségével ezek használata fejleszthető
- Ezek segítségével a feladatmegoldás során a részeredmények és a formális végeredmény is ellenőrizhető (ellenőrizendő)
- Az érintett területek rövid, összefoglaló bemutatása
- Az egyes diák elkészítésénél igyekeztem csak olyan funkciókat használni,
amelyek csak az alapprogramra építenek.
TARTALOM
-
Vektorok, azok felírása derékszögű Descartes-koordinátarendszerben - Vektorokkal végzett műveletek (koordinátarendszerben is)
- Vektorok és skalárok között végzett helyes műveletek kiválasztása - Mértékegységek, azok helyes használata a számolások során
- Prefixumok, mértékegységek átváltása
- Példaként alapvető fizikai mennyiségek, azok mértékegységei, meghatározásuk a Mechanika területéről
- Gyakorlatok – ezek tényleg csak mintául szolgálnak, ezek alapján hasonlóak
könnyedén kidolgozhatóak, a mennyiségek felírása után más tudományterület
esetében is.
A VEKTOR FOGALMA
Vektor:
- Hossz + Irány
- Félkövér betűvel jelölve - Számok (skalárok) dőlt betűvel jelölve
a
Megjegyzés: ezen vektorok mindegyike ugyanaz a vektor, mivel hosszuk és irányuk azonos
Egységvektorok derékszögű Descartes-koordinátarendszerben:
x i
y
z
j
k
A választott koordinátarendszerben:
i: az x tengely irányába mutató egységvektor j: az y tengely irányába mutató egységvektor k: a z tengely irányába mutató egységvektor Megjegyzés: egységvektor: 1 (egységnyi) hosszúságú vektor
VEKTOROK DERÉKSZÖGŰ DESCARTES-KOORDINÁTA- RENDSZERBEN
x i
y
z
j
k
Jól láthatóan a=5i+2j+3k, ezzel egyenértékű, hogy a=(5, 2, 3).
Általában, ha a=ax i+ay j+az k, akkor ehelyett a koordinátarendszerben úgy írjuk fel, mint a=(ax , ay , az ).
Megjegyzés: bár később lesz részletezve, az itt látható számolásokhoz szükségesek a vektorok összeadására és számmal való szorzására vonatkozó ismeretek (lásd később)
a
VEKTOROK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA
Összeadás:
Vektor + Vektor = Vektor a
vagy
b
c=a+b
Kivonás:
Vektor - Vektor = Vektor a
vagy d=a+(-b) b
d=a-b
Derékszögű Descartes- rendszerben
c=a+b=(cx , cy , cz ), ahol
cx = ax + bx , cy = ay + by , cz = az + bz .
d=a-b=(dx , dy , dz ), ahol
dx = ax - bx , dy = ay - by , dz = az - bz .
VEKTOR SZORZÁSA SZÁMMAL
Skalár * Vektor = Vektor
Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jelét elhagytuk, így
c=μa
Derékszögű Descartes- rendszerben
c= μa =(cx , cy , cz ), ahol
cx = μ ax , cy = μ ay , cz = μ az .
a μ > 1:
irány azonos hossz nő
c
μ > 1
μ = 1:
irány azonos hossz azonos
c
μ = 1
1 > μ > 0:
irány azonos hossz csökken
c
1> μ > 0
μ = 0:
Az eredmény nullvektor
c
μ = 0 0 > μ > -1:
irány ellentétes hossz csökken
c
0 > μ > -1 μ = -1:
irány ellentétes hossz azonos
c
μ = -1
-1 > μ:
irány ellentétes hossz nő
c
-1 > μ
VEKTOR SZORZÁSA VEKTORRAL – A SKALÁRIS SZORZÁS
Vektor * Vektor = Skalár
Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jele a ‘·’, így
a·b = μ = |a||b|cosγ ,
Derékszögű Descartes- rendszerben
μ = a·b = ax bx +ay by + az bz , vagyis így
|a|2= a·a= ax2+ay2+ az2 , a
b γ
ahol |a| az a vektor hossza, és kiszámolható, mint (b-re hasonló):
|a|2= a·a ,
illetve cosγ = a·b / (|a||b|).
VEKTOR SZORZÁSA VEKTORRAL – A VEKTORIÁLIS SZORZÁS
Vektor * Vektor = Vektor
Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jele a ‘×’, így
a×b = c , ahol - |c| = |a||b|sinγ
Derékszögű Descartes- rendszerben
a
b γ
- c merőleges a-ra és b-re
··
- a, b és c ebben a sorrendben jobbkéz-szabály
c
c=a×b=(cx , cy , cz ), ahol
cx = aybz - azby , cy = azbx - axbz , cz = axby - aybx .
MEGJEGYZÉSEK
Skaláris szorzás szélsőhelyzetei
1. a azonos irányú b-vel: γ = 0 -> a·b = μ = |a||b|
2. a merőleges b-re: γ = 90° -> a·b = μ = 0
3. a ellentétes irányú b-vel: γ = 180° -> a·b = μ = - |a||b|
Derékszögű Descartes- rendszerben
Ha a skaláris szorzat értéke 0, a két vektor merőleges (egyik sem
nullvektor). -> Egyszerű feltétel, ha koordinátákkal számolunk.
Vektoriális szorzás szélsőhelyzetei
1. a párhuzamos b-vel: γ = 0 -> |c| = 0, c nullvektor 2. a merőleges b-re: γ = 90° -> |c| = |a||b|
Ha a vektoriális szorzat vektor mindegyik komponense 0, a két vektor párhuzamos (egyik sem nullvektor). -> Egyszerű feltétel, ha koordinátákkal számolunk.
Vektoriális szorzás fordított sorrendben
Mivel a, b és c ebben a sorrendben jobbkéz-szabály szerint kell működjön, ha megfordítjuk a sorrendet:
a×b = - b×a .
Ha a vektoriális szorzatot
komponensenként felírjuk, ez a szabály jól láthatóan teljesül a két vektor szerepének felcserélésekor.
MŰVELETEK VEKTOROK ÉS SKALÁROK KÖZÖTT
Vektor ± Vektor = Vektor
Skalár * Vektor = Vektor
Vektor · Vektor = Skalár
Vektor × Vektor = Vektor
Vektor ± Vektor = Skalár Vektor ± Skalár = Bármi
Skalár * Vektor = Skalár Skalár ± Skalár = Skalár
Skalár ± Skalár = Vektor
Skalár * Skalár = Skalár
Vektor · Vektor = Vektor
Vektor × Vektor = Skalár Vektor × Skalár = Bármi Skalár · Vektor = Bármi
A pp ro ve d
Bármi / Vektor = Bármi
FIZIKAI MENNYISÉGEK ÉS MÉRTÉKEGYSÉGEIK (MECHANIKA)
Mennyiség Jele és vektor/skalár jellemző Mértékegység
Elmozdulás r m (méter)
Idő t s (másodperc)
Sebesség v m/s
Gyorsulás a m/s2
Szögelfordulás* φ (kis phi) radián, számolásokban ‘1’
Szögsebesség* ω (kis omega) 1/s
Szöggyorsulás* β (kis beta) 1/s2
Tömeg m kg (kilogramm)
Lendület (impulzus) I (vagy p) kg m/s
Erő F N (Newton)
Perdület L kg m2/s
Forgatónyomaték M Nm
Energia E J (Joule)
Munka W J
Teljesítmény P W (Watt)
Tehetetlenségi nyomaték* Θ (nagy theta) kg m2
Sűrűség ρ (kis rho) kg/m3
Nyomás p Pa (Pascal)
* Ezek a mennyiségek bevezethetőek vektorként, illetve tenzorként (tehetetlenségi nyomaték), de jelen anyagban ezeket skalárként kezeljük.
MÉRTÉKEGYSÉGEK HELYES KEZELÉSE
- A mértékegységek szorzás során összeszorzódnak
- A mértékegységek osztás során ugyanúgy osztandóak egymással, mint a mennyiségek
- Differenciálás során a derivált mennyiség mértékegységét osztjuk a változó mértékegységével
- Integrálás során az integrált mennyiség mértékegységét szorozzuk a változó mértékegységével
- Csak azonos mértékegységű mennyiségek adhatóak össze, vagy vonhatóak ki egymásból!
- Egy egyenlet két oldalán azonos mértékegységű mennyiségek állhatnak!
- Egy-egy mennyiség mértékegysége kikövetkeztethető a meghatározásából.
- Egy adott fizikai mennyiség mértékegysége jelölhető úgy is, hogy a mennyiség jelét [ ] rázójelek közé írjuk, például a sebesség mértékegysége m/s, vagy [v].
GEOMETRIAI ÖSSZEFÜGGÉSEK ÉS MÉRTÉKEGYSÉGEK
Mennyiség Jele, meghatározása Mértékegység
Hosszúság, Kerület …, K m
Terület, Felszín T, A m2
Térfogat V m3
Kör (r sugár) kerülete 2r π m
Kör (r sugár) átmérője d = 2r m
Kör (r sugár) területe r2 π m2
Téglalap (a,b oldalhosszak) kerülete 2(a+b) m
Téglalap (a,b oldalhosszak) területe ab m2
Háromszög (a oldal, ma magasság) területe ama /2 m2
Téglatest (a, b, c oldalhosszak) felszíne 2(ab + bc + ac) m2
Téglatest (a, b, c oldalhosszak) térfogata abc m3
Henger (r sugár, m magasság) felszíne 2r2 π+m2rπ m2
Henger (r sugár, m magasság) térfogata r2 π m m3
Gömb (r sugár) felszíne 4r2 π m2
Gömb (r sugár) térfogata 4r3 π/3 m3
MEGHATÁROZÁSOK ÉS MÉRTÉKEGYSÉGEK
Mennyiség Meghatározása Mértékegység
Sebesség v = dr/dt m/s
Gyorsulás a = dv/dt, illetve g a gravitációs gyorsulás m/s2
Szögsebesség ω = dφ/dt 1/s
Szöggyorsulás β = dω/dt 1/s2
Lendület (impulzus) I = mv kg m/s
Erő F = ma 1N = 1kg m/s2
Perdület L = r × I kg m2/s
Forgatónyomaték M = r × F Nm
Energia (példaként mozgási energia) E = ½ mv2 1J = 1kg m2/s2
Munka W = ∫Fdr 1J = 1Nm
Teljesítmény P = dE/dt 1W = 1J/s = 1kg m2/s3
Tehetetlenségi nyomaték Θ = ∫ρr2dV, egyszerűbben Θ = mr2 kg m2
Sűrűség és tömeg m = ∫ρdV, egyszerűbben m = ρV kg
Nyomás p = F / A 1Pa = 1N/m2
Megjegyzés: a fenti meghatározásokban szerepel néhány olyan mennyiség, amely alaphelyzetben vektor, itt mégis skalárként van feltűntetve (például sebesség a mozgási energiában, vagy erő a nyomásban). Ekkor a skalár nem más, mint a vektor hosszát jellemző szám, vagyis ezekben az esetekben csak a vektorok hosszára van szükségünk.
PREFIXUMOK, ÁTVÁLTÁSOK
Prefixum Jele Szorzó 10 hatvány
deka- d(a) tíz 101
hekto- h száz 102
kilo- k ezer 103
mega- M millió 106
giga- G milliárd 109
tera- T billió 1012
peta- P billiárd 1015
exa- E trillió 1018
Prefixum Jele Szorzó 10 hatvány
deci- d tized 10-1
centi- c század 10-2
milli- m ezred 10-3
mikro- μ milliomod 10-6
nano- n milliárdod 10-9
piko- p billiomod 10-12
femto- f billiárdod 10-15
atto- a trilliomod 10-18
Fontos ezeken felül az idő mérték átváltásánál:
1 h (óra) = 60 min (perc)
1 min (perc) = 60 s (másodperc)
Illetve a szögek átváltásánál fok és radián között:
1 fok = π/180 radián, vagyis 1° = π/180 1 radián = 180/π fok, vagyis 1 = 180°/π
A térfogatmérték átváltásánál:
1 l (liter) = 1 dm3
GYAKORLAT I.
Az alábbi vektorösszefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a vektor, illetve skalár tulajdonságok alapján?
g + k = p
g + k = μ
g + k = p
g · k = x d * k = p
g × k = p
g - k = μ g × k = a
g · k = μ
g · k = μ
g × k = μ g * k = p
g - k = p
GYAKORLAT II.
Az alábbi mértékegység-átváltások közül melyek helyesek, és melyek nem?
1 kg = 1000 g 1 m/s = 3600 km/h
3,6 m/s = 1 km/h
1 m/s = 3600 m/h 1 μg = 10-9 kg
1000 kg/m3 = 1 kg/dm3
1000 kg/m3 = 1 g/cm3
1 kg/l = 1000 g/cm3
1 kg/m3 = 1 g/cm3
3,6 m/s = 1000 km/h 1 kg/dm3 = 1000 kg/cm3
GYAKORLAT III.
Mely mértékegységek tartoznak össze? Az összetartozók összekötendők.
Megjegyzés: a szögletes zárójelben lévő kifejezéseknek a mértékegységét kell használni, vagyis például [E] helyére J (joule) írandó, vagy [s/t] helyére m/s mértékegység.
[ρ]
[m/V]
kg/m3
g/cm3 [Θ ]
[ρ V r2]
kg m2
[ρ] m5
[β]
1/s2 [φ/(2t2)]
[a] / [r]
[L]
kg[r] 2[ω]
[mvr] kgm2/s
GYAKORLAT IV.
Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek egyeztetése alapján?
E = Θ ω2/2
M = m g2 r2
L = Θ v2 t / A W = m v2/2 + ρ V g h
M = E β t2
P = W / t2 E = m v2/2 + m/r
p = ρ g V
ω = β t2 + φ t V = a t
p = ma/A
v = m V / (Θt) + at
GYAKORLAT V.
Az adott fizikai összefüggéshez tartozik egy vektortulajdonságokat, és egy mértékegységeket egyeztető elem. Ezeket kellene összekötni!
p = ρVg /A
m = m*1/s2 *s2+1/s *m*s
skalár = skalár4 + skalár3
|M| = Θβ
N*m = kg*m2/s2 = kg*m/s2 *m
skalár = skalár2
L = m r × v
kg*m2/s = kg*m*m/s= [Θ]*[ω]
P = F · v
vektor = skalár*vektor × vektor
W = N*m/s = kg*m2/s3
skalár = vektor · vektor Pa = N/m2 = kg/m3*m3*m/s2/m2
skalár = skalár4 W = m * r · d2r/dt2
Θ = ∫ρr2dV J = kg*m*m*1/s2 = kg*m2/s2
skalár = skalár * vektor · vektor
kg*m2 = kg/m3*m2*m3
skalár = skalár3/skalár s = β r t2/2 + ω0 r t
GYAKORLAT VI.
Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek és vektor- tulajdonságok egyeztetése alapján?
E = Θ ω2/2
|L| = Θ ω r = g t2/ 2 + v0 t
P = W / t E = m v2/2 + ρ |g| h p = F / A
ω = L / Θ F = W / r
I = m*dr/dt
p = ρ V |g| / A
I = m · v
GYAKORLAT VII.
Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek és vektor- tulajdonságok egyeztetése alapján?
F · r - m |g| h = m v2/2
|m r × v| = Θ ω
r / t2 = F/(2m) + I0/(mt) dW/dt = F · v
Θ / m = a2/t4 + It/m ρ g · h = F / A
p1 + ρ1 g h1 = p2 + ρ2 g h2 dF/dt = M × r
I2/(2m) = mr2ω2/2
|F| r = ρ r2 V β
dI/dt = dm/dt v + ma