• Nem Talált Eredményt

A FIZIKAI ÖSSZEFÜGGÉSEK SZÁRMAZTATÁSÁNAK ALAPJAI

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Ossza meg "A FIZIKAI ÖSSZEFÜGGÉSEK SZÁRMAZTATÁSÁNAK ALAPJAI"

Copied!
24
0
0

Teljes szövegt

(1)

A FIZIKAI ÖSSZEFÜGGÉSEK

SZÁRMAZTATÁSÁNAK ALAPJAI

dr. Majár János

(2)

CÉLOK, MEGJEGYZÉSEK

-

A fizikai összefüggések helyes felírásához szükséges tudások átadása

- Minta-gyakorlatok kidolgozása, melyek segítségével ezek használata fejleszthető

- Ezek segítségével a feladatmegoldás során a részeredmények és a formális végeredmény is ellenőrizhető (ellenőrizendő)

- Az érintett területek rövid, összefoglaló bemutatása

- Az egyes diák elkészítésénél igyekeztem csak olyan funkciókat használni,

amelyek csak az alapprogramra építenek.

(3)

TARTALOM

-

Vektorok, azok felírása derékszögű Descartes-koordinátarendszerben - Vektorokkal végzett műveletek (koordinátarendszerben is)

- Vektorok és skalárok között végzett helyes műveletek kiválasztása - Mértékegységek, azok helyes használata a számolások során

- Prefixumok, mértékegységek átváltása

- Példaként alapvető fizikai mennyiségek, azok mértékegységei, meghatározásuk a Mechanika területéről

- Gyakorlatok – ezek tényleg csak mintául szolgálnak, ezek alapján hasonlóak

könnyedén kidolgozhatóak, a mennyiségek felírása után más tudományterület

esetében is.

(4)

A VEKTOR FOGALMA

Vektor:

- Hossz + Irány

- Félkövér betűvel jelölve - Számok (skalárok) dőlt betűvel jelölve

a

Megjegyzés: ezen vektorok mindegyike ugyanaz a vektor, mivel hosszuk és irányuk azonos

Egységvektorok derékszögű Descartes-koordinátarendszerben:

x i

y

z

j

k

A választott koordinátarendszerben:

i: az x tengely irányába mutató egységvektor j: az y tengely irányába mutató egységvektor k: a z tengely irányába mutató egységvektor Megjegyzés: egységvektor: 1 (egységnyi) hosszúságú vektor

(5)

VEKTOROK DERÉKSZÖGŰ DESCARTES-KOORDINÁTA- RENDSZERBEN

x i

y

z

j

k

Jól láthatóan a=5i+2j+3k, ezzel egyenértékű, hogy a=(5, 2, 3).

Általában, ha a=ax i+ay j+az k, akkor ehelyett a koordinátarendszerben úgy írjuk fel, mint a=(ax , ay , az ).

Megjegyzés: bár később lesz részletezve, az itt látható számolásokhoz szükségesek a vektorok összeadására és számmal való szorzására vonatkozó ismeretek (lásd később)

a

(6)

VEKTOROK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA

Összeadás:

Vektor + Vektor = Vektor a

vagy

b

c=a+b

Kivonás:

Vektor - Vektor = Vektor a

vagy d=a+(-b) b

d=a-b

Derékszögű Descartes- rendszerben

c=a+b=(cx , cy , cz ), ahol

cx = ax + bx , cy = ay + by , cz = az + bz .

d=a-b=(dx , dy , dz ), ahol

dx = ax - bx , dy = ay - by , dz = az - bz .

(7)

VEKTOR SZORZÁSA SZÁMMAL

Skalár * Vektor = Vektor

Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jelét elhagytuk, így

c=μa

Derékszögű Descartes- rendszerben

c= μa =(cx , cy , cz ), ahol

cx = μ ax , cy = μ ay , cz = μ az .

a μ > 1:

irány azonos hossz nő

c

μ > 1

μ = 1:

irány azonos hossz azonos

c

μ = 1

1 > μ > 0:

irány azonos hossz csökken

c

1> μ > 0

μ = 0:

Az eredmény nullvektor

c

μ = 0 0 > μ > -1:

irány ellentétes hossz csökken

c

0 > μ > -1 μ = -1:

irány ellentétes hossz azonos

c

μ = -1

-1 > μ:

irány ellentétes hossz nő

c

-1 > μ

(8)

VEKTOR SZORZÁSA VEKTORRAL – A SKALÁRIS SZORZÁS

Vektor * Vektor = Skalár

Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jele a ‘·’, így

a·b = μ = |a||b|cosγ ,

Derékszögű Descartes- rendszerben

μ = a·b = ax bx +ay by + az bz , vagyis így

|a|2= a·a= ax2+ay2+ az2 , a

b γ

ahol |a| az a vektor hossza, és kiszámolható, mint (b-re hasonló):

|a|2= a·a ,

illetve cosγ = a·b / (|a||b|).

(9)

VEKTOR SZORZÁSA VEKTORRAL – A VEKTORIÁLIS SZORZÁS

Vektor * Vektor = Vektor

Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jele a ‘×’, így

a×b = c , ahol - |c| = |a||b|sinγ

Derékszögű Descartes- rendszerben

a

b γ

- c merőleges a-ra és b-re

··

- a, b és c ebben a sorrendben jobbkéz-szabály

c

c=a×b=(cx , cy , cz ), ahol

cx = aybz - azby , cy = azbx - axbz , cz = axby - aybx .

(10)

MEGJEGYZÉSEK

Skaláris szorzás szélsőhelyzetei

1. a azonos irányú b-vel: γ = 0 -> a·b = μ = |a||b|

2. a merőleges b-re: γ = 90° -> a·b = μ = 0

3. a ellentétes irányú b-vel: γ = 180° -> a·b = μ = - |a||b|

Derékszögű Descartes- rendszerben

Ha a skaláris szorzat értéke 0, a két vektor merőleges (egyik sem

nullvektor). -> Egyszerű feltétel, ha koordinátákkal számolunk.

Vektoriális szorzás szélsőhelyzetei

1. a párhuzamos b-vel: γ = 0 -> |c| = 0, c nullvektor 2. a merőleges b-re: γ = 90° -> |c| = |a||b|

Ha a vektoriális szorzat vektor mindegyik komponense 0, a két vektor párhuzamos (egyik sem nullvektor). -> Egyszerű feltétel, ha koordinátákkal számolunk.

Vektoriális szorzás fordított sorrendben

Mivel a, b és c ebben a sorrendben jobbkéz-szabály szerint kell működjön, ha megfordítjuk a sorrendet:

a×b = - b×a .

Ha a vektoriális szorzatot

komponensenként felírjuk, ez a szabály jól láthatóan teljesül a két vektor szerepének felcserélésekor.

(11)

MŰVELETEK VEKTOROK ÉS SKALÁROK KÖZÖTT

Vektor ± Vektor = Vektor

Skalár * Vektor = Vektor

Vektor · Vektor = Skalár

Vektor × Vektor = Vektor

Vektor ± Vektor = Skalár Vektor ± Skalár = Bármi

Skalár * Vektor = Skalár Skalár ± Skalár = Skalár

Skalár ± Skalár = Vektor

Skalár * Skalár = Skalár

Vektor · Vektor = Vektor

Vektor × Vektor = Skalár Vektor × Skalár = Bármi Skalár · Vektor = Bármi

A pp ro ve d

Bármi / Vektor = Bármi

(12)

FIZIKAI MENNYISÉGEK ÉS MÉRTÉKEGYSÉGEIK (MECHANIKA)

Mennyiség Jele és vektor/skalár jellemző Mértékegység

Elmozdulás r m (méter)

Idő t s (másodperc)

Sebesség v m/s

Gyorsulás a m/s2

Szögelfordulás* φ (kis phi) radián, számolásokban ‘1’

Szögsebesség* ω (kis omega) 1/s

Szöggyorsulás* β (kis beta) 1/s2

Tömeg m kg (kilogramm)

Lendület (impulzus) I (vagy p) kg m/s

Erő F N (Newton)

Perdület L kg m2/s

Forgatónyomaték M Nm

Energia E J (Joule)

Munka W J

Teljesítmény P W (Watt)

Tehetetlenségi nyomaték* Θ (nagy theta) kg m2

Sűrűség ρ (kis rho) kg/m3

Nyomás p Pa (Pascal)

* Ezek a mennyiségek bevezethetőek vektorként, illetve tenzorként (tehetetlenségi nyomaték), de jelen anyagban ezeket skalárként kezeljük.

(13)

MÉRTÉKEGYSÉGEK HELYES KEZELÉSE

- A mértékegységek szorzás során összeszorzódnak

- A mértékegységek osztás során ugyanúgy osztandóak egymással, mint a mennyiségek

- Differenciálás során a derivált mennyiség mértékegységét osztjuk a változó mértékegységével

- Integrálás során az integrált mennyiség mértékegységét szorozzuk a változó mértékegységével

- Csak azonos mértékegységű mennyiségek adhatóak össze, vagy vonhatóak ki egymásból!

- Egy egyenlet két oldalán azonos mértékegységű mennyiségek állhatnak!

- Egy-egy mennyiség mértékegysége kikövetkeztethető a meghatározásából.

- Egy adott fizikai mennyiség mértékegysége jelölhető úgy is, hogy a mennyiség jelét [ ] rázójelek közé írjuk, például a sebesség mértékegysége m/s, vagy [v].

(14)

GEOMETRIAI ÖSSZEFÜGGÉSEK ÉS MÉRTÉKEGYSÉGEK

Mennyiség Jele, meghatározása Mértékegység

Hosszúság, Kerület …, K m

Terület, Felszín T, A m2

Térfogat V m3

Kör (r sugár) kerülete 2r π m

Kör (r sugár) átmérője d = 2r m

Kör (r sugár) területe r2 π m2

Téglalap (a,b oldalhosszak) kerülete 2(a+b) m

Téglalap (a,b oldalhosszak) területe ab m2

Háromszög (a oldal, ma magasság) területe ama /2 m2

Téglatest (a, b, c oldalhosszak) felszíne 2(ab + bc + ac) m2

Téglatest (a, b, c oldalhosszak) térfogata abc m3

Henger (r sugár, m magasság) felszíne 2r2 π+m2rπ m2

Henger (r sugár, m magasság) térfogata r2 π m m3

Gömb (r sugár) felszíne 4r2 π m2

Gömb (r sugár) térfogata 4r3 π/3 m3

(15)

MEGHATÁROZÁSOK ÉS MÉRTÉKEGYSÉGEK

Mennyiség Meghatározása Mértékegység

Sebesség v = dr/dt m/s

Gyorsulás a = dv/dt, illetve g a gravitációs gyorsulás m/s2

Szögsebesség ω = dφ/dt 1/s

Szöggyorsulás β = dω/dt 1/s2

Lendület (impulzus) I = mv kg m/s

Erő F = ma 1N = 1kg m/s2

Perdület L = r × I kg m2/s

Forgatónyomaték M = r × F Nm

Energia (példaként mozgási energia) E = ½ mv2 1J = 1kg m2/s2

Munka W = ∫Fdr 1J = 1Nm

Teljesítmény P = dE/dt 1W = 1J/s = 1kg m2/s3

Tehetetlenségi nyomaték Θ = ∫ρr2dV, egyszerűbben Θ = mr2 kg m2

Sűrűség és tömeg m = ∫ρdV, egyszerűbben m = ρV kg

Nyomás p = F / A 1Pa = 1N/m2

Megjegyzés: a fenti meghatározásokban szerepel néhány olyan mennyiség, amely alaphelyzetben vektor, itt mégis skalárként van feltűntetve (például sebesség a mozgási energiában, vagy erő a nyomásban). Ekkor a skalár nem más, mint a vektor hosszát jellemző szám, vagyis ezekben az esetekben csak a vektorok hosszára van szükségünk.

(16)

PREFIXUMOK, ÁTVÁLTÁSOK

Prefixum Jele Szorzó 10 hatvány

deka- d(a) tíz 101

hekto- h száz 102

kilo- k ezer 103

mega- M millió 106

giga- G milliárd 109

tera- T billió 1012

peta- P billiárd 1015

exa- E trillió 1018

Prefixum Jele Szorzó 10 hatvány

deci- d tized 10-1

centi- c század 10-2

milli- m ezred 10-3

mikro- μ milliomod 10-6

nano- n milliárdod 10-9

piko- p billiomod 10-12

femto- f billiárdod 10-15

atto- a trilliomod 10-18

Fontos ezeken felül az idő mérték átváltásánál:

1 h (óra) = 60 min (perc)

1 min (perc) = 60 s (másodperc)

Illetve a szögek átváltásánál fok és radián között:

1 fok = π/180 radián, vagyis 1° = π/180 1 radián = 180/π fok, vagyis 1 = 180°/π

A térfogatmérték átváltásánál:

1 l (liter) = 1 dm3

(17)

GYAKORLAT I.

Az alábbi vektorösszefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a vektor, illetve skalár tulajdonságok alapján?

g + k = p

g + k = μ

g + k = p

g · k = x d * k = p

g × k = p

g - k = μ g × k = a

g · k = μ

g · k = μ

g × k = μ g * k = p

g - k = p

(18)

GYAKORLAT II.

Az alábbi mértékegység-átváltások közül melyek helyesek, és melyek nem?

1 kg = 1000 g 1 m/s = 3600 km/h

3,6 m/s = 1 km/h

1 m/s = 3600 m/h 1 μg = 10-9 kg

1000 kg/m3 = 1 kg/dm3

1000 kg/m3 = 1 g/cm3

1 kg/l = 1000 g/cm3

1 kg/m3 = 1 g/cm3

3,6 m/s = 1000 km/h 1 kg/dm3 = 1000 kg/cm3

(19)

GYAKORLAT III.

Mely mértékegységek tartoznak össze? Az összetartozók összekötendők.

Megjegyzés: a szögletes zárójelben lévő kifejezéseknek a mértékegységét kell használni, vagyis például [E] helyére J (joule) írandó, vagy [s/t] helyére m/s mértékegység.

[ρ]

[m/V]

kg/m3

g/cm3 [Θ ]

[ρ V r2]

kg m2

[ρ] m5

[β]

1/s2 [φ/(2t2)]

[a] / [r]

[L]

kg[r] 2[ω]

[mvr] kgm2/s

(20)

GYAKORLAT IV.

Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek egyeztetése alapján?

E = Θ ω2/2

M = m g2 r2

L = Θ v2 t / A W = m v2/2 + ρ V g h

M = E β t2

P = W / t2 E = m v2/2 + m/r

p = ρ g V

ω = β t2 + φ t V = a t

p = ma/A

v = m V / (Θt) + at

(21)

GYAKORLAT V.

Az adott fizikai összefüggéshez tartozik egy vektortulajdonságokat, és egy mértékegységeket egyeztető elem. Ezeket kellene összekötni!

p = ρVg /A

m = m*1/s2 *s2+1/s *m*s

skalár = skalár4 + skalár3

|M| = Θβ

N*m = kg*m2/s2 = kg*m/s2 *m

skalár = skalár2

L = m r × v

kg*m2/s = kg*m*m/s= [Θ]*[ω]

P = F · v

vektor = skalár*vektor × vektor

W = N*m/s = kg*m2/s3

skalár = vektor · vektor Pa = N/m2 = kg/m3*m3*m/s2/m2

skalár = skalár4 W = m * r · d2r/dt2

Θ = ∫ρr2dV J = kg*m*m*1/s2 = kg*m2/s2

skalár = skalár * vektor · vektor

kg*m2 = kg/m3*m2*m3

skalár = skalár3/skalár s = β r t2/2 + ω0 r t

(22)

GYAKORLAT VI.

Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek és vektor- tulajdonságok egyeztetése alapján?

E = Θ ω2/2

|L| = Θ ω r = g t2/ 2 + v0 t

P = W / t E = m v2/2 + ρ |g| h p = F / A

ω = L / Θ F = W / r

I = m*dr/dt

p = ρ V |g| / A

I = m · v

(23)

GYAKORLAT VII.

Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek és vektor- tulajdonságok egyeztetése alapján?

F · r - m |g| h = m v2/2

|m r × v| = Θ ω

r / t2 = F/(2m) + I0/(mt) dW/dt = F · v

Θ / m = a2/t4 + It/m ρ g · h = F / A

p1 + ρ1 g h1 = p2 + ρ2 g h2 dF/dt = M × r

I2/(2m) = mr2ω2/2

|F| r = ρ r2 V β

dI/dt = dm/dt v + ma

(24)

KÖSZÖNÖM

A FIGYELMET!

Hivatkozások

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK

Azt lehet mondani, hogy a forward, illetve futures szerződés lényegileg egy kétoldalú, egyenlő értékű, azonos lejárati időre, minőségre és mennyiségre

Azután, hogy édesapánk özvegy lett, újra meg kellett neki nősülni, de ollan nőt akart elvenni, akinek nem volt gyereke, meg nem is lesz, mert mi úgyis heten vagyunk, és ha

18. A képalkotási módszerek fizikai alapjai 19. A terápiás módszerek fizikai alapjai.. Mikroszkópia és tömegspektrometria. Jól látható, hogy míg az első nyolc, 1. félév

Mindemellett előzetesen úgy véltük, az edző maga is implicit módon kritikai pe- dagógiát folytat: lehetőséget teremt a környéken élő hátrányos helyzetű gyerekek számára

máshoz, mint a különböző szakterületen kutatók ugyanazon típusú (pl. Az eredmények alapján megállapítható, hogy a fizikai kémia tudományterület informatikai szempontból

Az erő fogalmának nem egészen határozott gondolati ele- mei alkalmasak voltak továbbá arra, hogy a kutatók tervezget ő, próbálgató folyamatait ingerelve más úton is

Optimalizálás Összes, átlagos és határmennyiségek Mennyiségek közti összefüggések.. A tananyagot készítette:

Ennek érdekében a nagyobb létszámú tan ulmán yi csoportok az iskola felszerelésétől és laboratóriumi helyiségének nagyságától függően, ki- sebb csoportokra