Ide-oda csúszkálva… Feladat: ■

v[j+i*m]=t[i][j];

Hasonlóan a fenti táblázatból az is kiderül, hogy az ⁱ és ^j is felírható ^k és ^m függvényében, vagyis az ellentett művelet (vektor mátrixszá alakítása) így néz ki (a vek- tor n*m elemű):

// vektort mátrixba for(i=0; i<n*m; ++i) t[i/m][i%m]=v[i];

Kovács Lehel

Ide-oda csúszkálva…

Feladat:

■Egy vízszintes felület két pontja közé (A és B) kifeszített hosszú rugó (állandója k) közepéhez (O) egy kis, lapos testet erősítünk (tömege m, csúszósurlódási együtthatója μ); (az 1. ábra szerint).

1. ábra

A testet taszítsuk az AB mentén az O-ból a C pontba, annyira, hogy ha elengedjük, kezdjen el rezegni. A test csillapodó rezgést végez, majd megáll.

■Adjuk meg és ábrázoljuk e csillapított mozgás törvényét!

Határozzuk meg az indítási kimozdítás (OC) függvényében:

● a rezgés időtartamát,

● a test által befutott út hosszát,

● a fejlődő hőmennyiséget,

● a frekvenciát.

Megoldás:

■ Belátható, hogy mivel az AB közé fektetett egészrugó állandója k, az AO és OB félrugóké külön-külön 2k, valamint az ezek alkotta – a testet mozgató – rugó-együttesé

* 4. .

k  k

■ Vizsgáljuk meg előbb a rugalmas inga mozgásának két súrlódásmentes esetét:

1.) A vízszintes rezgőrendszer súrlódásmentes esetében az m tömegű test harmonikus rez- gőmozgást végezne. Ennek frekvenciája

1 * 1 4. 1

2. 2.

k k k

m m m

 ^  ^  ^



periódusa T ¹  ^. m k



lenne, amplitúdója állandó (OC).

2.) A rugós-rendszert tartó síklapot tartsuk úgy, hogy az AB rugó legyen függőleges!

Ekkor nincs súrlódás, de az egyensúlyi pont (O’) lennebb fog kerülni az OO^' m g k. ^* távolsággal. Ha most a rezgést a függőleges mentén elindítjuk, a test az új egyensúlyi pont (O’) körül, az előbbi periódussal rezeg harmonikusan.

■ A valós – a súrlódásos – rezgés esete:

Ekkor a rugóerő ( )F mellett még a csúszósurlódási erő ( )F_s is hat a testre; pl. az indításkor F k OC^*. , és F_s . . .m g

■Észrevétel:

A további vizsgálatok szempontjából fontos lesz figyelembe venni, hogy a csúszósur- lódási erő nagysága állandó, viszont irányítottsága változik, és ez mindig a test pillanat- nyi sebességvektorával ellentétes, (lásd [1.]).

Megoldásunk alapötletét erre alapozhatjuk, vagyis a test csillapodó rezgőmozgását részekre – félperiódusonkénti – egyirányú mozgásokra bontjuk. Ezt az is indokolja, hogy ezek így, külön-külön, a letárgyalt 2.) esettel teljes hasonlóságot mutatnak. Csupán, ennél a testre ható súlyerőt, a szintén állandó, súrlódási erőre kell cserélnünk.

Ennek a GF_s cserének {a 2.) szerinti!} következménye, hogy egy ilyen, az egyik maximális kitéréstől a másikig terjedő, csak az egyik irányba történő mozgás, egy

.

T  m k periódusú harmonikus rezgőmozgás része, mely egy, az O-tól különböző egyensúlyi pont körül történik. Nyilván, a test jobbról-balra történő mozgásánál az új egyensúlyi pont, az O’, az O-tól jobbra, d F k_s ^* . . 4.m g k távolságra, mígnem a balról-jobbra mozgásnál, az O”, ugyanennyivel tőle balra tevődik át, (O’O”=2.d).

Azonnal belátható, hogy ahhoz, hogy a test rezgése meglökés nélkül beinduljon, az indítási pont (C) az O”OO’ szakaszon kívül kell legyen (mert csak ekkor: F F _s ).

2. ábra

■ Indítás:

Legyen indításkor a test elég messze az O-tól, pl.



0 0



2.



0 0



0.

x t  OC d és v t  

 A kezdő, az első félrezgés (jobbról-balra) amplitúdója A₁OC d .

 A T/2 elteltével, miután a test megáll, az O’ másik oldalán, szintén

A

₁ távolságra lesz, így koordinátája x t



T 2



 d A₁. A következő (a második) félperiódus

alatti (balról-jobbra) mozgást az O” egyensúlyi helyzet körüli

A

₂ amplitúdójú rez- gés írja le: A₂ x T



2



 d



A₁d



 d A₁2.d ; (2. ábra).

A félperiódusonként megváltozó mozgásokat jellemző harmonikus rezgőmozgások amplitúdójának változása A₁A₂ A₁



A₁2.d



2. .d Ez, az amplitúdónak 2.d- vel való lépcsőzetes csökkenése, minden félperiódus után bekövetkezik, összesen

1

2. 2.

A OC d

d d

 

   

   

   

-szer; (itt a […] a beléje írt szám egész-részét jelöli, lásd [2.] ).

● Mivel az utolsó amplitúdócsökkenés után lehet még egy félperiódus, a teljes rez- gés alatti félperiódusok száma ¹

2.

n A

  



d



 

 

, és ezért a teljes csillapodó rezgés időtartama:

. . . . .

2 2. 2

csill rezgés

T OC d m

t n

d k



      

 

 

A súrlódás okozta csillapítás miatt leálló rezgés utolsó félperiódusánál az amplitúdó:

0A_n2.d , és ezért ₁ 2. . ¹ .

n 2.

A A d A

 



d



 

 

● Meghatározható a test által megtett út (s) is, ha összegezzük a félpriódusonként, egyirányba, megtett utakat: s2.A₁2.A₂  2.A_n 2.



A₁A₂  A_n



.

Ez tulajdonképpen egy számtani haladvány, amelynek összege:

1 1 1

. 2. . 2. 1 . ,

2 2. 2.

n csill rezgés

A A A A

s n A d

d d

                

1

. . . 4.

ahol A OC d és d m g k

  

 

 

 

● A fejlődő hőmennyiség egyenlő a súrlódási erő munkájával: QL F( )_s s F. ._s

● Mivel mind a két irányban a mozgás egyaránt ugyanakkora T . m k perió- dusú harmonikus rezgés, ezért a csillapodó rezgés frekvenciája: 1 1

. k.

T m

 ^{ }

■Megjegyzés:

A csillapított rezgés tanulmányozásánál nem vettük figyelembe a tapadási súrlódási erő problémáját, valamint elhanyagoltuk a rugó saját tömegét.

■Példa:

Végül egy példa, egy ilyen, ténylegesen megépíthető, oszcillátorra. A rugó eléggé hosz- szú, AB=1 m, valamint m0, 5 ,kg k5N m, 0,1 és az indításnál OC=14 cm, (legyen most a számítás megkönnyítéséért g10m s²).

● A súrlódási erő nagysága F_s . .m g 0,1 0, 5 10 0, 5   N , így

*

0, 5 0, 025 2, 5 4 5

Fs

d m cm

 k   

 . Mivel, itt a dOC feltétel teljesül, a rezgés elin- dul.

● Továbbá: 0, 5

. 3,14. 1

5

T m s

 k

   , és így a frekvencia: 1 1

1 .

1 Hz

 T  

● A rezgés egyirányú mozgásainak amplitúdói:

1

2 1

3 2

14 2, 5 11, 5 , 2. 11, 5 2 2, 5 6, 5 , 2. 6, 5 5 1, 5 .

A OC d cm

A A d cm

A A d cm

    

     

    

Tehát ez a csillapodó rezgés három félperiódusból áll. Ugyanehhez jutunk az n kép- letével is:

   

1 11, 5

2, 3 3 3.

2. 2 2, 5

n A

   d          



 

 

 

 

   

● A mozgás időtartama így: tcsill rezgés. n T.



2



 3 1 2

 

1, 5 .s

● A rezgő test által megtett út,

   

. 2. 1 2 3 2 11, 5 6, 5 1, 5 39

csill rezgés

s  A A A      cm .

● Ezért a súrlódás miatt fejlődő hőmennyiség: Q s F . _s 0, 39 0, 5 0.195 .  J Ez még a rugó deformációs-helyzeti energiájának a megváltozásával is megkapható:

 

* 2 * 2

2 2

4 5 0,14 0, 01 0,195 ,

2 2 2

pC pF

k OC k OF

Q W W  J

        (C indítás,

F leállás).

■A mozgástörvény:

A mozgás törvénye ennél a csúszósurlódás által csillapított rezgésnél, nyilván, ennek az egyirányú – rész-mozgásait leíró – harmonikus rezgéstörvények egymásutánja.

Írjuk fel a konkrét példánk rezgésére a mozgás törvényét (a koordináták legyenek cm- ben)!

Mindhárom félperiódusban – a nekik megfelelő harmonikus rezgéseknél – azonos a frekvencia és a kezdőfázis, azonban, csökken az amplitúdó, és az egyensúlyi pont – felváltva– egyik oldalról a másikra tevődik át.

 Az első félperiódusban

   

1

0 2 .sin 2. .

ha t T x t d A t 2

T

 

   

  

 

  

 A második idején

   

2

2 .sin 2.

ha T t T x t d A t 2

T

 

    

  

 

  

_.

 A harmadiknál (utolsó)

   

3

3. / 2 sin 2. .

ha T t T x t d A t 2

T

 

   

  

 

  

Behelyettesítve a

d , A

₁

, T

ismert értékeket, az ide-oda csúszkáló test mozgásegyen- lete:

 

 

 

 

2, 5 11, 5.sin 2. . 2 0 0, 5

2.5 6, 5.sin 2. . 2 0, 5 1

2, 5 1, 5.sin 2. . 2 1 1, 5

t ha t s

x t t ha s t s

t ha s t s

 

 

 

   

     

   

 

 

(az x cm-ben!)

Ennek grafikonja a 3. ábrán látható:

3. ábra

■További vizsgálódás tárgyát képezhetné az, az általánosabb eset, amikor a tárgyat nem nyugalomból, hanem meglökve indítjuk.

Ajánlott irodalom

[1.] FIZIKAI KISLEXIKON – Kriterion Könyvkiadó-Bukarest 1976

[2.] Kiss Ernő – A SZÁMELMÉLET ELEMEI – Dacia Könyvkiadó-Kolozsvár 1987 Bíró Tibor

Tények, érdekességek az informatika világából

Videójáték-konzolok

(forrás: http://hu.wikipedia.org/wiki/Videojáték-konzolok_listája)

 Negyedik generáció (1987–1996):

Név Megjelenés Gyártó Típus

Sega Mega Drive /Sega

Genesis 1988 Sega konzol

Sega Pico 1994 Sega/Majesco konzol

TurboGrafx-16/PC Engine

1987 NEC konzol

TurboGrafx-CD 1990 NEC konzol

SuperGrafx 1989 NEC konzol

Konix Multisystem nem jelent

meg Konix konzol

Neo Geo 1990 SNK konzol/arcade

Neo Geo CD 1994 SNK konzol