A TELJES TERMELÉS ÉS KIBOCSÁTÁS ERTEKÉNEK MEGHATÁROZÁSA
DR. NEM—EDI MIHÁLY
Az ágazati kapcsolatok mérlegében a teljes termelés, illetőleg a teljes kibocsátás értékét rendszerinta végső felhasználás értékéből a technológiai koef—
ficiensek matrixának inverze segítségével határozzák meg. A végső felhaszná- lások (Y), valamint a teljes termelés (X) közti kapcsolatot az alábbi matrix- egyenlet mutatja:
' X—AX : Y,
vagy
xm _A) : Y, ahol: /1/
A — a technológiai koefficiensek matrixa, E — az egységmatrix.
A végső felhasználások értékeinek, azaz az Y értékeknek ismeretében az ]1/ alatti egyenletben szereplő (E—A) matrix1 helyett ennek inverzével, az (E — A)"1 matrixszal számolunk, amit még rövidebben általában R-rel jelölnek.
Ezek után a fenti egyenlet így írható:
Y : ex /2/
Ez röviden a teljes termelés, illetve a teljes kibocsátás értékeinek megha—
tározási módja a végső felhasználások értékéből kiindulva.
Jelen tanulmányunkban azt mutatjuk be, hogy az értékben kifejezett technológiai koefficiensek, továbbá a hozzáadott értékek (value added) ismerete esetében a teljes termelés és teljes kibocsátás értékei igen egyszerű módon számíthatók ki. A teljes termelés, illetve teljes kibocsátás értékeinek ismere—
tében viszont a végső felhasználások, vagyis az Y értékek már könnyen kiszá- míthatók, tehát nincs szükség az inverzmatrix meghatározására.
Mielőtt ezzel a számítási móddal tovább foglalkoznánk, a könnyebb meg-
értés szempontjából szükséges, hogy az ágazati kapcsolatok mé rlege szerkezeti felépítését vázlatosan ismertessük. E mérlegséma a következő :
' Az (E'—A) matrixot Minkowski-Leontief matrixnak is szokták nevezni. A nyugati szakiro—
dalomban azonban csak Leontief matrix néven említik. *
1246 ms. NEMEDI MIHÁLY
1- 2— — - - % Végső Teljes ,
ága za tok felhasználás kibocsátás
l . X11 X 13 . . . X m Y 1 , X1
2. X 21 X az . . . X an Y 2 X ,
n . X m X ng . . . Xnn Y ,, Xn
Hozzáadott érték Z1 Z , . . _ . Z n —— —
Teljes termelés X1 X a . . . Xn —— (_ X
Megjegyzés: A mérlegsémában az x az ágazatközi forgalmat, 2 pedig a "hozzáadott érté—,—
ket" jelöli. ,
Ha az 7: ágazatok kibocsátásaiból a 7' termelő ágazatok által igénybe vett, felhasznált értékeket a 7' ágazat teljes termelési értékével osztjuk, akkor az
értékben kifejezett technológiai koefficienseket kapjuk eredményül. Aktmy—
nyebb megértés céljából számításainknál egy háromszektoros mérlegsémát
hasznalunk. Ennek értelmében a technológiai koefficienseket matrix—elrende—
zésben a következőképpen írjuk: '
au an au
A : an az: az: 131,
aal %: aaa
Általánosságban e technológiai koefficiensek így értelmezhetők;
ai] : —— /4/
(A képletben z' a sorok, 7' pedig az oszlopok indexei.)
Szorozzuk meg az A matrixot az X értékekkel, vagyis a teljes termelés vektoraval:
au am "'la XI auX1 '*'aizXa '*'axsXa
AX : %i aza aaa Xs : (12le 'Jf'asza '*"azaXa , /5/
asi aaz aaa Xs %in '*'aaaXz '*'aaaXs
A teljes termelés értékeit, vagyis az XI, Xz, X3 értékeket az alábbi elgyen—
letek szerint kapjuk:
_N
: a11X1'F021X14'a31X1"l*Z1
: aiaxz'l'aszzé'aazXeé'Zz IB/
Xa : alaXa'l'azaXaé'asaxs'l'Za
34
Az egyenletekből — kiemelés és rendezés után ,—- az X _ értékek a ,követ- ' kező, összevont formában írt egyenletek szerint határozhatók meg:
A TELJES TERMELÉS ÉS KIBOCSÁTAS 1247
1 1 1
X ::—::::z X :—::::::7 X : ————z 7
] 1:):a,.1 * * 1—27aí2 "* * 1:27a,.3 * H
A / 7 / alatti képletekben az (1 —— Sal-j) értékek tulajdonképpen a hozzáadott
érték technológiai koefficienseinek tekinthetők, amit így is jelölhetünk:(1 ——Zal-j)r : az;-.
A fent mondottakat számszerű példán is bemutatjuk. Legyenek az A mat—
rix egyes elemei, amelyeket a teljes termelés vektoraval szorzunk, valamint a hozzáadott értékek a következők:
0,1, 0,1, 0,3 X1 O,1X1-f-0,1X2—;—O,3X3 0,2, 0,2, 0,2 X2 : 0,2X1—!-0,2X,—:-0,2X3 0,3, 0,3, 0,4 X3 0,3X1—1—0,3X2—f0,4X3
A hozzáadott értékekből legyenek:
z1 : 80, 22 : 120, 23 : 40.
Ezeknek az adatoknak alapján a [6/ alatti egyenleteket konkrét számok—
kal így állítjuk fel:
X1 : O,1X1-§—0,2X1—i—O,3X14— 80, X2 : 0,1X._,—!—0,2X2-4—0,3X2-1—120, 'Xa : 0,3X8Jr0,2Xa-p0,4X34_ 40.
A fenti egyenletek rendezése után a teljes termelés, vagyis az X értékeket egyszerűen így kapjuk meg:
X1 : 80 : 200,
1 : O,6 1
X2 : 120 : 300, 1 : O,6
1
X3 : 40 : 400.
1 : 0,9
Ha a konkrét szamokkal írt technológiai koefficiensek matrixat a most kiszámított teljes termelési értékek vektoraval megszorozzuk, akkor eredményül az ágazatközi forgalom értékeit kapjuk:
0,1, 0,1, 0,3 200 "20, 30, 120 0,2, 0,2, 0,2 300 : 40, 00, 80 0,3, 0,3, 0,4 400 00, _90, 100
1248 ' DR. Nmm MIHÁLY
Az eddigieket összefoglalva azt mondhatjuk, hogy a teljes termelés, egy—
ben a teljes kibocsátás értékét is úgy kapjuk meg, hogy az értékben kifejezett tenhnológiai koefficienseket termelő ágazatok szerint, vagyis oszlopként össze—
adjuk, az eredményt az egységből kivonjuk, és az így kapott különbség recip—
rok értékével a hozzáadott értékek összegét szorozzuk. Amint már említettük, az (1 —— Eau-) kifejezés a hozzáadott érték koefficiensének tekinthető.
A teljes termelés értékeinek ismeretében az Y értékek, azaz a végső
felhasználás tételei is kiszámíthatók a már említett *
X—AX : Y ,
matrix—egyenlet alapj án.
A teljes termelés, illetve teljes kibocsátás értékeinek az előbbiekben ismer—
tetett számítási módja természetesen az ágazati kapcsolatok mérlegének alap- egyenleteiből következik, ezt a számítási eljárást azonban — tudomásunk "
szerint — eddig nem alkalmazták, hanem a végső felhasználás értékéből kiin—
dulva általában az inverzmatrix segítségével számították ki a teljes termelés értékét.
Az itt bemutatott módszer gyakorlati jelentőségét nem kell különmél—
tatnunk, mert az a tény, hogy a teljes'termelés, illetve a teljes kibocsátás érté—' két az inverzmatrix ismerete nélkül is ki tudjuk számítani, már önmagáért beszél. A gyakorlatban ugyanis az inverzmatrix kiszámítása sok munkát jelent.
Ezenkívül az ismertetett módszer igen egyszerű, és így nem igényel különleges számítógépeket sem, mert még 300 szektor-os mérleg esetén is a számítási fel—
adat lényegében egyenként 300 tételt tartalmazó 300 oszlop összegezéséből és
300 szorzásból áll csupán; '
E módszer másik előnye, hogy a hozzáadott értékek tételei (a bérek és jövedelmek, az értékcsökkenési leírás, az eszközlekötési járulék és a tiszta jövedelem) a mérlegbeszámolók és a költségvetési zárszámadások összegezése útján egyszerűbben és pontosabban meghatározhatók, mint a végső felhasz—
nálás tételei. Különösen érvényes e megállapítás a szocialista gazdasági rend- szerre vonatkozóan, mert ott a mérlegbeszámolókat, illetve zárszámadásokat
minden ágazatban összesítik.
Az Y értékek ismeretében az X értékek a fenti módon már nem határoz—
hatók meg, mert az
XI : anxi'l'auxz'l'aizxa'l'yi IS!
vagy általánosságban az
X, : xaUXIJrY,
/9/
egyenletekben különböző X értékek szerepelnek, továbbá az (1 —Zaij) különb—
ségek nem értelmezhetők úgy, mint az Y értékek technológiai koefficiensei.
Más lesz azonban a helyzet, ha az ágazatközi forgalom tételeit nem a ter—
melés, hanem a kibocsátások teljes értékeivel osztjuk végig. Az így kapott koefficienseket kibocsátási vagy megoszlási koefficienseknek (együtthatóknak) nevezhetjük, és ajj-vel fogjuk jelölni. Az a,. koefficienseket viszonteélszeríi termelési koefficienseknek (együtthatóknak) nevezni. (Számítástechnikaílag
a termelési együtthatókat oszlop-, a kibocsátási együtthatókat pedig sor-
együtthatóknak nevezhetjük.)'A TELJES TERMELÉS ÉS KIBOCSÁTÁS 1249
Háromszektoros példánkban a termelési és a kibocsátási koefficiensek matrixai a következők:
a 1 a a
A : 3531. X,. X,: _ al , a", a" /10aI
XI ! X! ! Xs 21, 32, 83
X X X aal! asv "a:
X1 ' X1 ' X1 a, a, a,
A': , . az: az:: az: W
X! X: X, , , ,
Xal XS! XaB aal, (132, a33
A kétféle koefficiens közötti különbség a [10/ alatti négyzetes matrixokból
világosan látható. A termelési koefficiensek meghatározásánál az egyes ágaza—tok termékeiből felhasznált értékeket, az X.].—eket mindíg a termelési értékek—
hez, az Xj—ekhez viszonyítjuk, ezzel szemben a kibocsátási vagy megoszlási koefficienseket úgy kapjuk, hogy az Xi] értékeket az X értékekkel osztjuk soronként Végig. A kibocsátási koefficiensek gyakorlatilag szintén tapasztalati úton, statisztikai adatgyűjtések által határozhatók meg, ezekre vonatkozóan :azonban nincsenek technológiailag olyan, viszonylag fix arányok, mint a ter—
melési koefficiensekre. Jelentőségük azonban — amint később látni fogjuk ——
mégis nagy, mert Segítségükkel az Y értékekből az X értékek a fent már ismer- tetett, igen egyszerű módon kiszámíthatók.
írjuk fel az A' matrix transzponáltját és ezt szorozzuk meg a teljes kibo—
vcsátás vektorával:
! l ; ; : r "
011, am, 031 XI a11X14'a21X2—l'a31X3
[* _ , l _ , I I
A X _ aie, azz! asz Xs _ 413X1$022Xgia32X3
' I I I 7 '— I
am, (123, 033 Xs a13X1'l'a23X2 44133an
A teljes kibocsátás értékeit, az XI, X2 és X3 értékeket — a /6/ alatti egyen—
letekhez hasonlóan —— a következő módon számíthatjuk ki:
XI. : aílXI'l'aIIZXI'l'aíle—l' Yv Xs : 11;le 'l'aisXa 441;an '*' Ya ! Xi : a:,nXa '*'aánXs 'ta'ÉaXa 4" Ya -
1250
Ezek az egyenletek kiemelés és rendezés után ilyen alakban írhatók
1 _
X :_—1———'Y
. l—Z'a;j 2, '
. 1 ,
Amint látjuk, a kibocsátási vagy megoszlási koefficiensek segítségével az Y értékekből az X értékek, azaz a teljes kibocsátások, illetve a teljes termel—és, _ értékei szintén igen egyszerű módon számíthatók ki.
Konkrét példánkat tovább folytatva, a kibocsátási koefficiensektransz—
ponált matrixa a következő elemekből áll:— , _
0,1 , o,133, 0,15
A*: 0,15, 0,2 , 0',2250,6, (),,267 0,4
Szorozzuk meg e mátrixot a teljes kibocsátás egyelőre ismeretlen értékei—
vel, az X értékekkel:
0,1 , 0,133, 0,15 X, 0,1 X14-0,133X,4-0,15 X, 0,15, 0,2 , 0325 X, : 0,15X,Jro,2) X,Jr0,225X,
0,6 , 0,267, 0,4 Xs 0,6 X1-4—0,267X2—§—0,4 Xa
Legyenek a végső felhasználás ismert értékei az alábbiak:
Y, : 30,
Y2 : 120,
Y, : 90.
A telj es kibocsátás értékei ezekből az adatokból hasonló egyszerű módon határozhatók meg:
1
X, : _— 30 : 200, 1 —-O,85
1
X, : ——————, 120 : 300, 1 — O,6
1
X, : ___:— 90 : 400.
1—0,775
Ha a teljes kibocsátások most kiszámított értékének vektorával meg—
szorozzuk a kibocsátási koefficienseket, akkor eredményül úgyszintén meg—
kapjuk az ágazatközi forgalom értékeit: ,,
_G,l , O,133, 0,15 200 20, 40, 60
0,15, 0,2_ , 0,225 300 : 30, 00, 90
0,6 , 0,267, 0,4 X4OO 120, 80, 160
A. TELJES TERMELÉS ÉS KIBOCSÁTÁS 1251
E táblázatban az ágazatközi forgalom értékei a korábban kiszámított értékekhez viszonyítva, transzponált alakban szerepelnek. A kibocsátási koef—
ficiensek esetében az Y értékekre is számíthatók —- a Z értékekhez hasonlóan ——4 koefficiensek :
(l—Zaü) : Gyi-
A kibocsátási (sor-) koefficiensek jelentőségét emeli az a tény is, hogy a természetes vagy fizikai mértékegységekben kifejezett termelési (oszlop-) koefficiensek függőlegesen egyáltalán nem adhatók össze, mivel mértékegy- ségük különböző (kilogramm, méter, liter stb.). Vízszintes irányban összegez—
hetők ugyan, de összegük a végső felhasználás koefficienseinek — az a ,i—eknek
— figyelembevételével sem adja ki eredményül az illető termék egységét, ha—
nem annál kisebb vagy annál nagyobb értéket ad. A természetes mértékegysé- gekben kifejezett kibocsátási koefficiensek azonban — a végső felhasználás koefficienseivel együtt —- mindig az illető termék egységét adják eredményül, A kibocsátási (sor-) koefficiensek —-— az X értékek ismeretében — a ter—
melési (oszlop—) koefficiensekből a következő képlet szerint számíthatók ki:
, Xj .
ai] :: aij—IZT /lla/
Ha a kibocsátási koefficiensek az ismertek, akkor a termelési koefficiense—
ket így kapjuk:
Xi
lj—X] [llb/
dij—a
A termelési és a kibocsátási koefficiensek között még az alábbi összefüggé—
sek állnak fenn.
]. A mátrixok fődiagonálisában levő termelési, illetve kibocsátási koeffi—
ciensek egymással megegyeznek, azaz:
aii : ali /12/
Ez nyilvánvalóis, mert az———Xi)jés az 251 kifejezésekben az a" : 7', és ennek
következtében Xj :X- —vel.
2. Ha a termelési koefficiensek közül valamelyik a,-,7 elemet megszorozzuk a megfelelő transzponáló elemével, vagyis az aj,- -vel, akkor ez a szorzat azonos lesz a megfelelő kibocsátási koefficiensek, azaz az ab ésaj-elemek szorzatával.
Egyenletben:
díj-aji : aíj-aí—I- /13/
vagy részletesebb jelöléssel:
l252 ( '* :: ' ) nemmoimnw ' , 3; Ha a termelési, illetőleg a kibocsátási koefficiensek matrixának'kiezá?
mítjuk a, determinánsát, akkor ezek a determinánsok egymással megegyeznek.
Képletben: ' '
D : D'. , ;14;
ahol D a termelési, D, pedig a kibocsátáei koefficiensek determinánsát jelöli.
Amennyiben sikerülne olyan számítási'eljárást találni, amellyel a. terme- lési koefficiensekből a kibocsátási koefficiensek közvetlenül, vagyie az X érté—
kek ismerete nélküi is meghatározhatók lennének, akkor az Y értékekből és a
termelési koefficiensekből az X értékeket az ismertetett egyszerű eljárással közvetlenül is ki tudnánk számítani.IRODALOM
" Bocskay Zoltán—Krekó Béla: Bevezetés a lineáris programozásba. Közgazdasági és Jegy
Könyvkiadó. Budapest. 1957. — _ _ _' ,
E'. Bodewig: Matrix calculus. North-Holland Publishing Company, Amsterdam. 1959. " _í , t Eggdy András: Az ágazati kapcsolatok modellje, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, maar
*pes . 1 4. ' '
B. B. Chenery -— F. G. clark: Interinclustty economies; John Wiley s; Sons, New York, 1959.
Cukor György—Román Zoltán: Az ágazati kapcsolatok mérlegének felhasználása az ipar ágazati szerkezetének vizsgálatára és tervezésére. Magyar Tudományos Akadémia Közgazdaság-
tuclományl Intézetének Közleményei. 9. szám. 1960. '
G. Dietrich — H. Stahl: Grundzüge der Matrizenrechnung. VEB Fachbuehverlag, Leipzig, 19659 F. E. Hahn: Elementary matrix algebra. The Mach/[illan Company, New York, Come:
.MacMillan Limited, London, 1958 és 1964. Harmadik lenyomat, 1965. , — * W. D. Evans: Input-output computations; 'rhe structural interdependence of the economy.
Procedings of. an International Conference'on input—output analyse. Varenna —— 27 June -—— 10 July. 1954.
Kenessey Zoztán—Nemény Vilmos—Szakolczai _György; _A ráfordítás—kibocsátás (input—
.output) terádszer vázlatos ismertetése. Statisztikai Szemlel 1957. évi_1—2. sz. 23—48. old. és 3. sz.
186—212. ol . ,
Krekó Béla: Matrixszámítás. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1964.
W. W. Leontief: The sructure of American economy. 3. kiadás. New York. 1953.
Nyitrai Ferencné: Az 1957. évi ágazati kapcsolatok mérlege összeállításának tapasztalatai.
statisztikai Szemle. 1959. évi 2. sz. 179—197K'old,
Rácz Albert — Kupcsik József: Az ágazati kapcsolatok mérlege. Központi Statisztikai Hivatal.
Módszertani füzetek, 1966. 1. sz. x
Szabó László: Az inverzmatrix értelmezéséről. Statisztikai Szemle. 1963. évi 4. sz. 360—393.
old. és 5. sz. 463—475. old. , A —, .
— R. zurmühl: Matrizen und ihre technischen Anwendungen. Springer—Verlag, Berlin (Göt-
tingen) Heidelberg, 1964. ' '. * .
A' magyar népgazdaság ágazati kapcsolatainak mérlege. 1959. és 1961. évről. Központi Ste?
tisztikai Hivatal. Budapest. — A , ,
Peaiome
B memorpacneeom őanance CTOHMOCTB nonnoü nponyxunu mm, coomercreenno, nommro Bum/cm oőbmno onpezienzeTcn Ha Gaae croumocm KOHe'lHOFO norpeönenun npn nomomu oőpauiennoi'i MöTpHUl—J Texuonomuecxux Koeliubuunemon. B Hacrozmeü crarbe, B omntme 01- cxaeannro, cronmocrb nonuoü nponykimu (Bbll'IYCKa) ncuucme'rcn Ha őase noöaenennoi'i leronmocru (value added). An-rop 'npOnseonm pacue'ru enpamxax TpexceKmpHoü cxezvin. Ha oceoee Bbxeenennux HM Koeeenmx ypaenenuü on nonwaer cnenyioumü BerMa npocroiá
cnocoő pacue'ra:
1
X1 :, TÉKZI (ananormnmm oőpaeom B npvmx CEKTOan).
_ ii
I/Imeyi B pacnopmxenun croumocrb nomen nponymmu (Bunycxa) moryr Öbl'l'b ucuncnenu
BEHHHHHH Y, TO ECTb Taroxe l/l CTaTbl/l KOHE'JHOFO norpeőnenuz.
OHHaKO, (seas; TeXHOHOFH'ieCKl/le Koemdlmmeu'rbi " BeIlMliMHbl Y Mb! Vme He Momem TaKHM
IlpOCTblM CHOCOÖOM HOlellldTb Bem/l'lHHbl X. ABTOp VKHSblBaET Ha TO OÖCTOHTeHbCTBO, liTO ecnn npOMSBOJll/ITCSI nemem/le UO3Hm/lí/l MeWOTpaCJIEBOFO OÖOpOTa ne Ha npOMI—BBDHCTBO, a na HOJ'lHYIO
Bennunev BbmyCKOB, Torna nonyueHHme Taki/IM OÖpaBOM KOSdlcbl/IIIHGHTH (km-opere MOPYT
ÖbITI: Haeeanm Koexbciimmenrazwn Bum/Cica mm pacnpenenenufi) nosnonmor ncuncnm'b Benn-
!mnbi X ne BEHH'iMH Y, TO ECTb '
Xi
ai] : au
X,.
A TELJES TERMELÉS ÉS KIBOCSATAS — 1253
Ecnn nam neeem-Hu Koammnuuenrbi amnvcua (a'- —s) " Benmnnm Koneuaoro norpeőne- ami (Y) Mb! momem onpeuenmb Bemmmim X " npu nomomu npuaeneanoro anime npocroro cnocoőa:
1 1 1
X1:————Y, x,:Wy, x,;—————y
1—2a3, 1_2a',j 1—zagj
Memnv Texuonoruuecxumu KOI—)(Mmuuemamu u KOSllNIWHU/leHTaMl/i Bbll'lYCKa umelo'rcn enie cnenyionlne Beaumocsnan:
aiizaíí, nanee dij-aliza;j'a;i, l/I DBD',
me D HBJIHETCH lleTepMMHaTOM Manl/lllbl npoussoncrsennux (Texaonomaecmx) Kosmtpmmea—
ma, a D* neTepmuHaHaTom manuubl Koarptpuuuemos BblllYCKa.
SUMMARY
In the Input—Output Table the value of the gross production and gross output resp, is determined, as a rule, from the value of the final use by means of the inverse of the matrix of the technological co—efficients. In the present article, howe—
ver, the value of the gross production (output) is computed from the value added.
The computations are illustrated by a three- sectors scheme. From the final, eguations, deduced in the paper the following very simple method of computation could be obtained:
X1 : -——————— Z1 (similarly to the other acetors).
1 — ): a 1-1
If the gross production (output) is known, one can compute also the Y values, i. e. the items of the final use.
If the technological coefficients and the Y values are known, the X values cannot be determined by the aid of this simple method. The author points to the fact, if. the items of the inter—sectoral turnover are divided by the gross value of the output and not by the gross value of the production, on basis of the coefficients thus obtained (which can be named output or distribution coefficients) it"'is possible to
compute the X values from the Y values, i. e.
, Xj
ai] : alj—_Xi
Knowing the output coefficients (the dí; —s) and the (Y) values of the final use, the X values can be determined by means of the above outlined simple method in
the following Way:
1 1 1
X:—————Y X:——-———————Y X:————————Y
1 i—zagj 1 * 1—2a;j 2 * l—Za;j **
The following additional relations exist between the technological and output coefficients :
, : a,
aii ii, further ot,-jo aji _alf]"a]i! ___and D :D',
where D is the determinant of the matrix Of the production (technological) coeffici—
ents and D' is the determinant of the matrix of the output coefficients.
