Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás

(1)

SZEMLE

gatója — akit az Értekezlet nevez ki ——

1966 végén Binay Ranjan Sen (Indira), a vezérigazgató—helyettes: Oris V. Wels (Egyesült Államok), a Statisztikai Főosz—

tály (Statistics Division) igazgatója P. V.

Sukhatme, a Főosztály Statisztikai Rész—

lege Módszertani osztályának vezetője S. S. Zarkovich. A FAO mint az ENSZ szakosított intézménye az ENSZ—szel és

733

a többi szakosított intézménnyel, szerve—

zettel, valamint egyéb nemzetközi szer—

vezetekkel állandó kapcsolatot tart fenn, másokkal alkalomszerűen együttműkö—

dik, konzultatív státust biztosít stb.

Hazánk az ENSZ Statisztikai Bizottsá- gával és Statisztikai Hivatalával kiépí—

tett kapcsolatai révén közvetve részt vesz a FAO munkájában.

MAGYAR SZAKIRODALOM

RÉNYI ALFRÉD:

VALósleűsÉGszÁMh-As

Tankönyvkiadó, Budapest, 1966. 510 old.

Rényi Alfréd akadémikus első Való- színűségszámítás című egyetemi tan- könyve 1954—ben jelent meg a Tankönyv—

kiadó kiadásában. A szerző ezt a köny- vét átdolgozta, és a Deutscher Verlag der Wissenschaften berlini könyvkiadó 1962—ben német nyelven megjelentette.

Jelen könyv a német könyv magyarra fordítása a némethez képest viszonylag kisebb változtatásokkal. Minthogy az 1954—es könyvnek a német kiadású könyv lényegesen átdolgozott változata, teljes mértékben indokolt Rényi Alfréd mos—

tani könyvét új könyvnek tekinteni. A könyv egyébként 19'67uben a Dunod pá- rizsi könyvkiadónál francia nyelven is megjelent.

A nagya—laká, 510 oldalas könyv hét fejezetre tagolódik, ezek címei: I. Az ese—

mények algebrája. II. A valószínűség.

III. Diszkrét valószínűségi változók. IV.

Tetszőleges valószínűségi változók. V.

Karakterisztikus függvények. VI. A nagy számok törvényei. VII. A valószínűség—

számítás határeloszlás tételei. Az egyes fejezetekhez színes, szép feladatok csat—

lakoznak, melyek nagymértékben hozzá—

járulnak az elméleti anyag alaposabb el- sajátításához, sőt tudományos igényű el- mélyítéséhez. A feladatok száma össze—

sen 265. A hetedik, tehát utolsó fejezet után a szerző öt oldalon történelmi és irodalmi megjegyzéseket közöl az egyes fejezetek anyagához. Ezt követik a táb- lázatok, sorrend szerint n!, log n!, a binomiális együtthatók, a Poisson—elosz- lás, a nem teljes gammafüggvény, a nor- mális eloszlás sűrűségfüggvényének, majd eloszlásfüggvényének. végül három rendsta-tisztikai függvénynek a tábláza- tai. E függvények közül az első Gnyegyen—

kotól és Köroljuktól származik: két azo—- nos, folytonos eloszlású sokaságból vett, azonos elemszámú minta empirikus el- oszlásfüggvényei abszolút eltérésének el—

oszlásfüggvénye. A második ugyanennek a határesete, ha a minta elemszáma vég-

"telenhez tart, ez az eloszlásfüggvény Kolmogorov nevéhez fűződik. A harma—

dik egy folytonos eloszlású sokaságból vett minta empirikus eloszlásfüggvénye és elméleti eloszlásfüggvénye relatív ab—

szolút eltérésének az eloszlásfüggvénye, mely Rényi Alfrédtól származik. Az iro- dalomjegyzék mintegy háromszáz köny- vet és dolgozatot tartalmaz, végül a könyv név— és tárgymutatóval zárul.

A könyv formailag matematika szakos egyetemi hallgatók tankönyve. A jó tan- könyveknek azonban az a sajátossága, hogy a szorosabb értelemben vett egyetemi anyagon túlmennek, elsősorban azért, hogy lehetőséget adjanak a tanul- mányok kibővítésére és elmélyítésére azok számára, akik a tárgy iránt job-ban érdeklődnek, akár egyetemi hallgatók még, akár már befejezték tanulmányai—

kat. Rényi Alfréd tankönyve is ilyen szellemben íródott, sőt meg kell még jegyeznünk, hogy a könyvet minden matematikus használhatja kézikönyv- ként, tehát jelentősége túlmegy a tan—

könyv keretein. Úgy gondolom azonban, hogy az olvasótábort minden—képpen zömmel matematikusok alkotják és fog- ják alkotni. Ugyanis a könyvben a leg- szigorúbb matematikai tárgyalásmod ér- vényesül, melynek megértése, követése feltételezi a matematikai amalizisnak je—

lenleg csak a tudományegyetemeken tár- gyalt ismereteit, melyek közül elsősor—

ban a valós függvénytani ismeretekre gondolok és azt hiszem, ma még nem sokan lehetnek olyan nem matematiku—

sok, akik például az absztrakt Lebesgue integrál elméletében otthonosak volná- nak. Meg kell mégis jegyeznünk, hogy a könyvből ez az ismeretanyag részben elsa- játítható. Az első hárem fejezet olvasása azonban (a könyv első 159 oldala) nem igényli ezeket a matematikai alapokat, és amennyi matematikai alapismeret—

ezek megértéséhez szükséges, annyit ma már minden egyetemünkön megtanita-

(2)

nak azoknak a hallgatóknak, akik ma—

tematikai oktatásban részesülnek

! Az első három fejezet másfelől csak a diszkrét valószínűségi változók és el—

oszlások esetét tartalmazza. Érdemes

ezen a ponton megemlékezni W. Feller 1950—ben megjelent ,,An introduction to probability theory and its applications"

című könyvéről. Feller könyve, nyugod- tan mondhatjuk, világsikert aratott, még- pedig nemcsak a matematikusok köré—

ben, hanem mindazok körében is, akik a valószínűségszámítás iránt érdeklőd- nek és bizonyos elemi matematikai ismereteket magukénak mondhatnak. A Feher—könyv egy kétkötetes mű első kö—

teteként jelent meg és ez a kötet csak' a diszkrét esetet tárgyalja. Tizenhat év—

vel később jelent meg a második kötet, melyben a szerző a teljes matematikai szigorúság igényével tárgyalja anyagát és így nem tehetett mást, mint hogy mindent előről kezdett, mértékelméleti, absztrakt valós függvénytani alapon. És ez a második kötet már csak a szűkebb értelemben vett matematikusok számára íródott.

Vagyis azt a következtetést vonhatjuk le ebből, hogy egy valószínűségsúrnitási könyv megirásánál a szerző előtt két út áll: vagy úgy tárgyalja anyagát, mint ahogy az matematikailag ma a teljes egzaktság követelményét kielégíti, vagy engedményeket tesz a matematikai szigo—

rúság rovására és könyve ezáltal szélesebb körök érdeklődésére is számot tarthat. Az utóbbi stilus azonban bár sok szempont- ból előnyös, nem előnyös akkor, ha ma- tematikusokat, matematikus hallgatókat

kell tanítani.

Ilyenformán Rényi Alfréd könyvének matematikai stílusát helyeselnünk kell.

A matematikusnak szüksége van erre az egzaktságna. az adott esetben a véletlen tömegjelenségek Kolmogorov által meg—

fogalmazott mértékelméleti szemléletére és ennek a ' saját gondola—tkörén belüli következetes alkalmazására, mert ez felté- tele eredményes alkotó munkájának és csak így tud megfelelni az alkalmazás külön—

böző területeiről érkező olyan igények—

nek, melyeknél matematikai alkotó mun—

ka szükséges. Ettől függetlenül azok, akik nem szándékoznak matematikai kutató munkát végezni, hanem már ismert martematikai módszerek, eredmé—

nyek alkalmazására törekednek saját szakterületükön, nem szükséges, hogy teljes részletességgel megismerjék ezeket

a belső műhelytitkokat.

Rényi Alfréd könyve a valószínűség matematikai elméletének nagy anyagot

felölelő, gazdag és magas színvonalú tár—

háza, mely a klasszikus és bizonyos vá—

logatott újabb eredmények szerencsés öt—

vözetet nyújtja. Az olvasó tehát nem_

csupán a fontos alapismeretek birtokába jut a könyv áttanulmányozásával, hanem ízelítőt kap a tudományág mai proble- matikájából is, kellő felkészültséget sze——

rezve az esetleges tudományos speciali- zálódáshoz, a szakirodalom tanulmányo—

zásához. A könyv az 1954—ben kiadott elődjéhez viszonyítva bizonyos értelem- ben szűkebb ugyan, mert nem tartalmazza a matematikai statisztika elemeit (csak nendstatisztikai tételeket, azokat is csak a határeloszlás—tételek keretein be—

lül) és sztochasztikus folyamatole is csak a Poisson folyamatot, a Markov láncokat és egy-két speciális példát, de más vonatkozásban sokkal messzebbre megy, mint a régi könyv, ezenkívül ma—

tematikai tárgyalásmódja mélyebb, ele- gánsabb és anyaga jobban rendszerezett.

Ezek az erények Rényi könyvének a nemzetközi szakirodalomban most már nagy számú könyv között is előkelő he—

lyet biztosítanak, és a német, illetve francia kiadások méltán aratnak sikert világszerte.

A dícsérő, elismerő mondatok mellé kritikai megjegyzések is kíván—köznek.

Elsősorban azt kell megemlítenünk, hogy a könyv, miközben intenziven a szűkebb értelemben vett matematika felé fordul, megfeledkezik arról, hogy utaljon a való—

szinűségszámitás fogalmainak nagyon is ,,hétköznapi" eredetére, nem nagyon tö- rekszik ezek szemléltető magyarázataira, ízleltetésére, hogy ezek miért alakultak ki, mit jelentenek a gyakorlatban és csak kevés matematikai modell—konstruk—

ciót mutat be véletlen jelenségekre.

Egy másik kevésbé jelentős és egyéni kritikai megjegyzésem a valószínűség- számítás alapjainak tárgyalásmódját il—

leti. Kolmogm'ov 1933—ban Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ergeb—

nisse der Math, Springer) cimű köny- vében a valószínűségszámítás matemati—

kailag egzakt, axiomatikus megalapo- zását adta. Eszerint egy véletlen kisér- let felől matematikailag a következőkép- pen kell gondolkodnunk: egy kísérlet összes lehetséges kimeneteleit foglaljuk össze egy 9 halmazba, melyet esemény—

témek nevezünk. 9 elemeit, a kísérlet kimeneteleit elemi eseményeknek nevez- zük. Az esemény matematikailag az ele—

miyesemények egy halmaza, tehát 9 egy részhalmaza. Ilyenüormán annyi ese—

mény volna, mint ahány részhalmaza 9 -nak van. Ezt a kategóriát azonban kizárólag matematikai okokból leszűkít—

(3)

SZEMLE

jük, nem minden részhalmazt tekintünk eseménynek. A meghagyott részhalma—

zok, vagyis tehát az események fölött értelmezünk egy additív, nem negatív értékű halmazfüggvényt, melyről fel—

tesszük még, hogy az 52 halmazon az 1 értéket veszi fel. Ezt a halmazfüggvényt valószínűségnek vagy valószínűségelosz—

lásnak nevezzük. Mármost a Kolmogo—

tov—elmélet jelentősége kettős. Egyrészt precíz matematikai alapokra fekteti a valószínűségszámítást, másrészt gyakorlati szempontból segíti gondolkodásun—

kat azáltal, hogy tisztázza a véletlen je—

lenségek matematikai modelljét és hoz—

zásegít a gyakorlati éleslátáshoz ennek az egyáltalán nem könnyű tudományág—

nak az alkalmazása során. 1939—ben Glivenko a valószínűségszámításnak új megalapozását közölte. Glivenko elméle- tében az események egy Booleféle al—

gebra elemei. Minthogy Kolmogorovnál az események kategóriája halmazalgebra és a halmazalgebrák a Boolealgebrák speciális esetei, Glivenko elmélete formailag általánosabb. Sőt, a Boole—algeb—

rás tárgyalásmód eleinte megtévesztően egyszerűnek és szemléletesnek látszik.

Az elmélet fokozatos felépítésében mégis olyan matematikai problémák tornyosul—

nak, melyek csak igen bonyolult mate—

matikai apparátussal hidalhatók át. Más—

részt, míg magának az eseménynek a fogalma Glivenkónál még tényleg szemléle—

tes, teljesen szemléletes—ség nélküli a leg—

több további fogalom. Stone 1936-ban be—

bizonyította, hogy minden Boole algebra—- nak megfeleltethető egy halmazalgebra oly módon, hogy a Boole algebra két elemével tetszőleges műveletet végezve, az eredmény a halmazalgebrában a megfelelő műve- letekkel kapott halmaz megfelelője, vagyis szaknyelven, minden Boole al—

gebra izomorf egy halmazalgebrával.

Rényi Alfréd ezen az úton haladva jut el könyvében a Kolmogorov elmélet tár- gyalásához. Előbb Glivenkórt követve be—

vezeti az eseményeket, mint egy Boole algebra elemeit. Ezután a Stone tételt közbei-ktatva megmutatja, hogy az ese—

mények halmazokként is felfoghatók.

Csakhogy felmerül a kérdés, melyek ezek a halmazok? Kövessük minden esetben a Stone tétel bizonyítását, hogy eljussunk egy esetleg mesterkélt halmaz- algebrához, ahelyett, hogy mindjárt eb—

ből indulnánk ki? Végeredményben te- hát fölösleges komplikációt okozunk ma- gunknak, sőt elveszítjük az esemény matematikai fogalmának a szemléletes—- ségét. Glivenko elmélete a mondott—ak miatt nem aratott nagy sikert és csak kevés tankönyv követi a valószínűség-

735

számítás megalapozásának ezt a módját.

A könyv első fejezete éppen a Boole algebrákkal, az események Boole algeb- rai értelmezésével foglalkozik.

A második fejezet a valószínűség fo—

galmával és alapvető összefüggéseivel foglalkozik. A valószínűség axiomáit a relatív gyakoriság tulajdonságaiból ki—

analizálva, a tárgyalás most már meg—

felel a Kolmogorov—féle tárgyalásmód—

nak. A szokásos alaptételeken kívül szerepel itt Jordan Károly általános való—

színűségi tétele, valamint Fréchet és Gumbel egyenlőtlenségei. A valószínűsé—

gek kombinatorikus kiszámítási módjá—

ról szóló paragrafusban a szerző tár—

gyalja a különböző fizikai statisztikákat.

A fejezet hetedik paragrafusa mérték- elméleti ismereteket foglal össze, a bizo—

nyítások itt inkább útmutatás jellegűek mint kirészletezettek. Ezt követik a fel—

tételes valószínűségről, az események függetlenségéről, majd a geometriai való—

színűségről írott paragrafusok. Az utolsó, tizenegyedik paragrafusa ennek a feje—

zetnek a feltételes valószínűségi mezők axiómáit és alaptételeit tartalmazza. A feltételes valószínűségi mezők elmélete általánosabb a közönséges valószínűségi mezők elméleténél. Az előbbiben csak feltételes valószínűségek léteznek, ezek bizonyos, természetes összefüggéseiből alkotunk egy axiómarendszert. Az elmé—

let megalkotásának indítóoka az volt, hogy lehetővé váljék az egész szám- egyenesen, síkon, térben stb. egyenletes eloszlás értelmezése, melynek pél- dául a statisztikus mechanikában van jelentősége. Bizonyos kezdeti publikációk után Rényi Alfréd adott megalapozást ennek az elméletnek 1954-ben. Az elmé- let azonban még sok nyitott kérdés meg- válaszolásával adós ahhoz, hogy az al- kalmazás igényeit kielégítse. A fejezet—

hez 49 ötletes, szép feladat csatlakozik.

Ezek egyik része egyszerű, gyakorló jel—

legű, másik része azonban matematikai invencíót igényel, és a cél egy-egy tétel bizonyítása. Az olvasó munkáját itt és a további fejezetek hasonló példáinál is útmutatás könnyíti meg.

A harmadik fejezet a diszkrét való—

színűségi változókkal foglalkozik. Mint—

hogy az összes valószínűségszámítási alapfogalom általános tárgyalása két—

ségtelenül hosszadalmas és az olvasót türelmetlenné teheti, mert közben nem kap konkrétumot, a szerző úgy gondolta, hogy helyes, ha a diszkrét valószínűségi változók matematikailag egyszerűbb esetét előbb teljesen letárgyalia várható értékkel, szórás—sal, generátorf—üggvény—

(4)

nyel, tehát nnndenestül, hogy ezáltal az olvasóba plántálja a valószinűségszámi—

tási gondolkodásmódot. Ez egy nagyon is elfogadható didaktikai szempont. A valószínűségi változó csak a negyedik paragrafusban jön elő, az első három paragrafus a teljes valószínűségi tétellel, a Bayes tétellel és néhány diszkrét való—- színűségeloszlással foglalkozik, ezek: a binomiális, a polinomiális, a hipergeo—

metrikus, a polihipergeometrikus, a geo—

metriai, a negatív binomiális és a Markov—Pólya—Eggenberger eloszlás. A valószínűségi változó fogalma a szoká- sos, tehát: mérhető függvény az elemi események terében, azonban ismét szem—

ben a szokásos Kolmogorov által adott tárgyalás-sal, a valószínűségi változónak nincs eloszlása, csak eloszlásfüggvénye.

Kevéssé jelentős ugyan a kérdés, de ha a tárgyalásmód amúgyis egzakt, mérték- elméleti, helyesebb lett volna a logikai—

lag szebb és egységesebb eredeti Kol—

mogorov—féle szemléletmódot követni ezen a ponton is. Ebben az esetben a 162, oldal alján álló 1. tétel megfordi—

tásánál, hogy ti. a számegyenesen minden valószínűségeloszlás felfogható mint egy valószínűségi változó eloszlása, trivi—

alitássá válik, mert ha D:.R, (a szám—

egyenes), az események ennek Borel- halmazai és f(x) :x, akkor már készen is vagyunk és nincs szükség az eloszlás- függvény inverzével való okoskodásra.

A fejezetben megtaláljuk még a diszkrét valószínűségi változók függetlenségével kapcsolatos ismereteket, a konvoluciót diszkrét eloszlásokra, diszkrét valószínű- ségi változók várható értékének, szórá- sának, korrelációs együtthatójának fogal- mait és alaptételeit. Részletes tárgyalást kap a Poisson eloszlás és annak alkal—

mazása a radioaktív bomlás tárgyalá—

sára. A homogén Poisson folyamat is—

mertetése következik ezután. A 122. 01—

dalon álló l., 2., 3. feltételeken kívül, a 3. feltétel elé még oda kellene írni, hogy véges intervallumban csak véges sok esemény történi-k, különben W,(t) lehet 0 is és nem oszthatunk vele, valamint a 123. oldalon a Wow—re vonatkozó függvényegyenlet megoldásait is csak ezzel a beltétellel tudjuk azokra korlá—

tozni, melyeknél ") 0. A fejezet tizen—

negyedik paragrafusa a valószínűségek oszlások algebrájával foglalkozik. Ez a módszer a generátorfügg'vény módszeré- hez képest újdonságot nem tartalmaz A generátorfüggvény tárgyalása azonban szep és sokoldalú. Gyakorlati alka-lma—

záaáct a neutron—sokszorozás problémáján illuzztrálja a szerző. A binorniáliselosz-

lás—nak a nomálissal Való kőnelítéeé elég részletes; a Stirling-formula finomított—

változatára támaszkodva a Moivre—a Laplace tételt is bebizonyítja. A fejeze—

tet a nagy számok Bernoulli törvényének a bizonyítása zárja le. A fejezethez 50 szép feladat csatlakozik. Ezek kö—

zött több olyan van, mely újabb hasznos ismeretek közlését céloZza, ez a szempont a könyvben végig érvényesül.

Kiemelhető a Weierstrass—iiéle approxi—

mációs tétel bizonyíthatása a Bernoulli tétel segitségével, a disdtrét változó sze- rinti deriválás (pongyola, de sokak által gyakran használt) módszerének egzaktul tétele; egy kétdimenziós Poisson eloszlás definíciója, és mmos egyéb érdekes feladat.

A IV. úejezet tetszőleges valószínűségi változókkal és ezek jellemzőivel foglalkozik az egy és többdimenziós esetben.

A valószínűségi változó és vektorváltozó értelmezése után bevezeti az eloszlás— és sűrűségfüggvény fogalmát, majd foglal- kezik a valószínűségi változók függet- lenségével. Ezt követik az egyenletes és a normális eloszlás egy és többdimenziós eseteinek, majd az eloszlások konvolú- ciójának az ismertetése. A valószínűségi változók függvényei eloszlásának meg—

határozása után a jellemző adatok kö—

vetlkemek: várható érték, szórás, kvan—

tilisek, korrelációs együttható. A 16. § címe a szórás a többdimenziós esetben.

Helyes lett volna itt megemlíteni, hogy szokás n valószínűségi változó szórását a kovariancia matrix determinánsa négy—

zetgyökével értelmezni, melynek neve általánosított szórás. A 17. § a feltételes valószínűség és várható értek általános, Radan—Ni—kodym tételen alapuló tárgya—

lásával foglalkozik, melynek szisztema—

tikus felépítése először lát napvilágot magyar nyelven. Ezután következnek a korrelációs hányados és a függőség egyéb mértékszámai. Az utóbbiakkal kapcsolatban a szerzőnek magának is több dolgozata jelent meg. Végül bebi—

zonyitja a Kolmogorov—féle alaptételt, mely adott, bizonyos kompatibilitási fel- tételeknek eleget tevő eloszlásfüggvé- nyelchez az eseménybér és az előírt el—

oszlásfüggvényekkel rendelkező valószi—

nűségi változók egzisztenciáját biztosítja..

A. fejezethez 74 feladat csatlakozik. Ezek között több speciális eloszláook ismerhe—

tését célozza. Az olvasó újabb elméleti ismereteimet szemezhet az ekviVaJens waló—

szinűségi változókkal kapcsolatos feladat megoldásával. Alkalmazási szempontból kiemelendők a radioaktivitással, a gáz——

(5)

SZEMLE

dinamikával és a kozmikus sugárzással kapcsolatos feladatok. Érdekes és tanul—

ságos az a négy feladat, mely az integ—

rálgeometria módszereit ízlel—teti az olva—

sóval. Több feladat foglalkozik az egy és többdimenziós normális eloszlással.

Bár a könyvben a matematikai statisztika elemei nem szerepelnek explicite, e feladatokban több statisztikai alaptételt bizonyíttat a szerző. Nagyon tanulságo—

sak a keverő halmazsorozatoklsal, vala—

mint a feltételes várható értek techniká—

jával kapcsolatos feladatok is.

Az ötödik fejezet tárgya az egy és többdimenziós eloszlások karakteriszti—

kus fiiggvényeinek a tárgyalása általá—

ban részletes bizonyításokkal. Ezek kö—

zül a Lévy—fele inverziós formula és a határértéktételek a legfontosabbak. Ebbe a fejezetbe belevetbe a szerző a normá—

lis eloszlás több jellemző tulajdonságá—

nak a tárgyalását is, melyek közül ki- emelendő a Grammar—tétel és a Linnik—

Zinger—tétel, valamint az utóbbi általá—

nosításai. Cramér tétele azt mondja ki, hogy ha két független valószínűségi vál—

tozó összegének az eloszlása normális, akkor a valószínűségi változók külön—

külön is normális eloszlásúak, a másik tétel megfogalmazása bonyolultabb, ezért erre nem térünk ki. A fejezetben meg- találjuk még a korlátlanul osztható el- oszlások klasszikussá vált fogalmát, a Lévy—Hincsin formulát (bizonyítás nél—

kül) és a stabilis eloszlások fontos kate- góriáiának rövid ismertetését. A fejezet—

hez 17 feladat csatlakozik. melyek mind- egyike további hasznos tudnivalót közöl.

Az olvasó a feladatok megoldásánál ta—

lálkozik a majdnem—periodikus függvé—

nyekkel. az entropia fogalmával és több matematikai statisztikai problémával.

Külön fejezet —— a hatodik —— foglalkozik a nagy számok törvényeivel. A Bernoulli-, a Markov-, a Bernstein—tétte—

lek, a Kolmogorov egyenlőtlenség és a nagy számok erős törvényének Kolmo- gonov—féole alakja már az 1954—es könyv—

ben is szerepeltek, úgyszintén a mate—

matikai statisztika alaptetelének neve- zett Glívenko—tétel, valamint az iterált logaritmus tétel (féloldalas alakja). Tel—

jesen újak viszont a keverő. a stabilis, az ekvivalens eseménysomzatokról írt, valamint az ezek után következő részek.

A keverő és a stabilis eseménysorozatok vizsgálatát Kolmogorov kezdeményezte 1950—ben, fontos új tételeket bizonyitott be Rényi Alfréd is. Az ekvivalens ese- ménysorozatok legfontosabb eredményei de Finetti nevéhez fűződnek. De Finetti

737

dolgozatai sajnos hiányoznak a bibliog—

ráfiából. A 13. paragrafus a Kolmogo—

rov-féle 0 vagy 1 törvény, a 14. paragra—

fus pedig a független valószínűségi gál- tozókból alkotott végtelen sorok konver- genciájával kapcsolatos három sor tétel bizonyításával foglalkozik. A fejezet utolsó paragrafusa Rényi feltételes való- színűségi mezőkről int cikkeiből egy, a nagy számok törvényére vonatkozó tételt tárgyal. A fejezethez 24 feladat csatla—

kozik. Az egyik feladat E. Hille egy tételének valószínűsegszámítási bizonyí—

tását célozza, rögtön az utána következő a Laplace transzformáció Post—Widder—

féle inverziós formulájának bizonyítására irányul a nagy számok törvénye alap—

ján. Szerepel még itt az iterált logaritmus tétel teljes alakjának a bizonyítása, a valós számok Cantor-sor alakjában való előállításánál a számjegyek statisz—

tikus vizsgálata és sok egyéb ötletes, érdekes feladat.

A könyv utolsó, hetedik fejezetének tárgya a valószínűségszámítás határel- oszlás—teteled. Az első tetelek itt a cent—

rális határeloszlás-ftétel Ljapwnov— és Limdberg—féle alakjai. Ezután a centrális határeloszlás—bétel egy lokális alakját ——

amikor tehárt a sűrűségfüggvények soro—

zata is konvergens — bizonyítja a szerző. A tétel Gnyegyenlkotól származik.

A harmadik paragrafus a normális el—

oszlás vonzási tertomaányával kapcsolatos Lévy—Feller—Hincsin tételt tantal- mazza. A binomiális eloszlásnak a Poissonhoz való konvergenciáját állító té—

tel általánosítását tartalmazó tétel a kö—

vetkező paragrafus tárgya. Az eddigi tételek mind független valószínűségi vál—

tozók összegeinek határeloszlására von—at—

keztek. Az ötödik paragrafusban olyan esetről van szó, amikor az összeadlandók nem függetlenek. A tétel a véges soka—

ságból vett minta számtani átlaga alkal—

mas normalizáltiáról állítja, hog határ—

értékben normális eloszlású. E tételnek a reprezentatív statisztikában van fon—

tos szerepe. A hatodik paragrafus olyan határeloszlásokkal foglalkozik, ahol az összegnek egy állandó, B esemeny mel—

letti feltételes hartáreloszlását vizsgáljuk.

E tetelek jól megvilágítják a határel—

oszlással bíró független valószínűségi változó sorozatok természetét. A hetedik paragrafus véletlen tagszámú összegek határeloszlásával foglalkozik. E tételek iránti igényt a szekvenciális analízis ve—

tette fel, jól ismert mai jelentőségük a valószínűségszámítás egyéb területein is, pl. a sorbanállási problémáknál. A nyol—

(6)

cadik paragrafus a Markov—láncok el—

méletének alapjait ismertet-i. A Markov—

lánook ergodicitásával kapcsolatban be—

bizonyítja Markov 1906—ból származó klasszikus tételét a ma szokásos alak—

ban, mely az ergodicitás szükséges és elegendő feltételét adja. Külön bizonyí—

tást ad a kétszeresen sztochasztikus át—

menet—valószínűség matrixszal bíró Mar- kov-láncok ergodicitására. Ezután ,a két állapotú Markov—láncokra bebizonyítja a centrális határeloszlás—tételt. Kár, hogy a Markov-láncok egyetlen alkalmazására sem tér ki e helyen. A fejezet követ—

kező programpontja a rendstatiszti'kai határeloszlás-tételek ismertetése, melyek közül egyeseket csak közöl és nem bizo- nyit a szerző. Először saját módszerével bebizonyítja az empirikus kvantilisek aszimptotikus normalitását. Bebizonyítja Gnyegyenko és Koroljuk tételeit, melyek—

ből határátmenettel levezethetők Kolmo—

gorov és Szmirnov korábbi keletű téte—

lei. Ismerteti saját tételét (bizonyítás nélkül) az empirikus és elméleti elosz- lás relatív abszolút eltérésének határel- oszlására, mely a szerzőnek egyik leg- jelentősebb matematikai eredménye. A bolyongási problémákra vonatkozó határ- eloszlás—tételek sorát Pólya György té- tele nyitja meg, mely szerint az n—dí—

menziós térben bolyongó mozgást végző pont véges sok lépéssel 1 valószínűség- gel visszatér a kiinduló helyzetbe, ha n 52 és csak 1-nél kisebb valószínű—

séggel tér vissza, ha ne 3. Ezután a visszatérések számára vonatkozólag bi—

zonyít egy centrális határeloszlás—tételt, majd bebizonyítja a Lévytől származó arcussinus törvényt. A tételt a probléma—

kör további díszkussziója követi. Ezután az ún. operátormódszerrel mutatja be néhány korábban már (a karakteriszti—

kus vagy a generátorfüggvény módszeré—

vel) bizonyitott tétel újabb bizonyítását.

E módszer ereje azonban vitatható, legalábbis hatámloszlás—tételek bizonyítá- sát illetően. A terjedelmes fejezethez 30 feladat csatlakozik. Ezek között szerepel a Markov—láncok elméletének alkalmazá- sait bemutató Ehrenfest-féle modell a hővezetés időbeli lefolyásám. Több statisztikai és speciálisan rendstatisztikai, részben nem határeloszlás—tétel bizonyí- tása is itt kap helyet, melyek közül a Wilcoxon-próba tárgyalását, valamint a

az?-próba alapját szolgáltató határelosz—

lás—tételt emelném ki. A többi feladat is azonban mind fontos ismereteket közöl és szellemes matematikai problémákat tartalmaz.

A szerző a könyv előszavában név említése nélkül vitába száll velem a valószínűségszámítás elnevezésnek való- szinűségelméletté való változtatását ille—

tően. 1962-ben a Műszaki Könyvkiadónál megjelent könyvem címe ugyanis Való—

színűségelmélet. Két érvet említ, amiért szerinte helyesebb a régi elnevezés mel—

lett maradni. Az egyik az, hogy Magyw országon a ,,valószínűségszámítás" elne—- vezés már túlságosan megszokott. Nos, azt hiszem kevésbé lehetett ez nálunk megszokott mint francia, angol vagy orosz nyelvterületen (Rényi is elismeri az előszóban, hogy a francia, angol és az orosz nyelvterületeken letértek a régi elnevezések használatáról), már csak azért is, mert e tudományágnak nagyobb hagyományai vannak e nyelvterületeken, mint nálunk. A német nyelvben is meg—

indult ez a folyamat, ha teljesen még nem is fejeződött be. Elég, ha utalunk az új német folyóirat címére: Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Ver—

wandrte Gebiete, mely folyóirat szer- kesztő bizottságának Rényi Alfréd is tagja. Rényi másik érve a ,,valószínű-' ségszámítás" elnevezés mellett az, hogy ez jobban utal e tudományág gyakorlati alkalmazásaira, mig a ,,valószinűségel- méle " elnevezés elriasztólag hatna a mérnökök, közgazdászok és a természet- tudományok művelői irányában. Nos,,ha nem riasztotta el őket a ,,differenciál és integrálszámítás" helyett a ,,matematí—

kai analízis" elnevezés bevezetése, ez sem fogja őket elriasztani. Elméletekkel nemcsak matematikusok foglalkoznak, hanem mások is és minden bizonnyal jó viszonyban vannak ezzel a szóval. Az én 1962—ben megjelent könyvem — ta- pasztalatból tudom —- nem hatott riasz- tólag és bár Rényi könyve és az én könyvem nem hasonlíthatók egymáshoz célkitűzésben, terjedelemben, tény_ hogy nagyobb súlyt fektettem az alkalmazá- sokra mint Rényi könyve teszi. Én azért szeretem a ,,valószínűségelmélet"

elnevezést, mert ez jobban kifejezi e tudományág maci arculatát. Az elnevezés egész kérdését azonban nem tartom túl- ságosan jelentősnek.

A könyvről összefoglalólag meg kell állapítanunk, hogy magas színvonalú, kiváló könyv. Az alkalmazások és a

gyakorlati szempontok kissé háttérbe szorulnak ugyan, de a könyv olyan ér—

tékeket tud felmutatni, melyek ezt a tényt feledteti'k és a szerzőt csak köszö—

net és elismerés illeti kiváló munkája-;

ért.

Prékopa András