Kidolgozott feladatok1. példaEgy

Kidolgozott feladatok

1. példa

Egy  12 35. várható értékű és ² 10^4 varianciájú normális eloszlásból 9 elemű mintát veszünk. Számítsuk ki, milyen szimmetrikus intervallumban lesz 95 %-os valószínűséggel a minta átlagértéke!

Megoldás

   

P x x x P x x x

P u u u

a f

a f

a f

    

 

 



 

   

0 95. 9 9 9









 u_a  u_f u_f u_{0 975.} 196.

343 . 12 3 10 96 . 1 35 . 12 9 96 .

1    ² 



  ^

xa ; ^xf 12 35 196 10.  .  ^2 3 12 357 . 2. példa

Számítsuk ki, hogy az előző példa szerinti minta korrigált tapasztalati szórásnégyzete milyen alsó és felső határ közé esik 95 %-os szimmetrikus valószínűséggel!

Megoldás

  ^{   }  

P s s s P s n s n

a f P

a f

a f

2 2 2 2

2

2 2

2

2 2 2

0 95 1 1

    

  



 

   

.  

   



² ²_f



0.975²_f ₀²_.025

 

8 17.535

F ;



² _a²



0.025_a² ₀²_.975

 

8 2.180 F

s_a²

4

218 10 5

8 2 725 10

 

 



. 

. ; ^{2 4} 2.192 10 ⁴

8 10 535 .

17  



 

f  s

3. példa

Egy normális eloszlásból vett 9 elemű minta elemeinek átlagértéke x18 5. , szórásnégyzete s² 2 35 10.  ^4. Milyen szimmetrikus intervallumban van 95 %-os valószínűséggel a sokaság  várható értéke (ún. konfidencia-intervalluma)?

Megoldás

 

P t t t P t

s n t

        

 



     

2 2 1 2 2 ;  0 05. ;    n 1 8

 

t_{0 025.} 8 2 306. s 2 306 

9 0 012

. .



18.50.012 18.50.012



0.95P



18.48818.512



P

4. példa

Egyazon normális eloszlású sokaságból két mintát veszünk. Az első 6 elemű, a második 10 elemű. Milyen szimmetrikus intervallumban lesz a két szórásnégyzet hányadosa 90 %-os valószínűséggel?

1

Megoldás

 

P F F F P F s

s F

a   f    a   f

 



0 90 ¹

2

2

. 2 ; ₁5;₂ 9

 

F_f F_{0 05.} 5 9, 3 48. ^{Fa  F0 95}

 

^{ F}0 05

 

^{ }

5 9 1

9 5 1

4 77 0 210

.

.

, , . .

P s

0 210 s¹ 3 48

2

22

.   .



 



5. példa

Két független, normális eloszlásból vett mintánk van, az egyik 11 elemű, korrigált tapasztalati szórásnégyzete 0.76; a másik 14 elemű, szórásnégyzete 0.38. Megvizsgálandó

 = 0.05 szignifikanciaszinten, hogy a varianciák egyenlők-e, vagy pedig az első minta nagyobb varianciájú normális eloszlásból származik-e.

Megoldás

H₀:₁² ₂²; H₁:₁² ₂²; F₀ 0 76 0 38 2 00

 . 

. . ; ^F0 05_.



10 13,



2 67. ; Elfogadjuk a nullhipotézist



^F0 ^F_krit



.

6. példa

Két független, normális eloszlásból vett mintánk van, az egyik 9 elemű, szórásnégyzete 14.4; a másik 6 elemű, szórásnégyzete 20.5. Megvizsgálandó 0.1-es szignifikanciaszinten, hogy a varianciák egyenlők-e vagy nem.

Megoldás

H₀:₁² ₂²; H₁:₁² ₂²; F₀ 20 5

14 4 1424

 . 

. . ; ^F0 05_.

 

5 8, 3 69. ; Elfogadjuk a nullhipotézist



^F0 ^F_krit



.

7. példa

Normális eloszlású sokaságból vett 17 elemű minta szórásnégyzete 0.24. Megvizsgálandó

 = 0.05 szignifikanciaszinten, hogy a variancia értéke legfeljebb 0.18.

Megoldás

H₀:² 0 18. ; H₁:² 0 18. ;  



02 2

2

0 24 16

0 18 21 33

  

s . 

. . ;

 

  

02

2

2 2

0 24 16 2

0 18 0 18

 

 

.

. . ; ha H₁ igaz, ² ₀² 0 18 1

.   jobbra eltolódik, tehát egyoldali fölső határa van a nullhipotézis elfogadási tartományának: ₀²_.05

 

16 26.296.

Elfogadjuk a nullhipotézist



2 0².05

 

^{16 26.296}



0   

 .

2

8. példa

Egy automata gépen készülő alkatrészek jellemző méretére a következő adatokat mérték (zárójelben az előfordulások száma):

3.0 (2); 3.5 (6); 3.8 (9); 4.4 (7); 4.5 (1)

Az előírás szerint a gyártás bizonytalanságára jellemző variancia a ² 0 1. értéket nem haladhatja meg. Megvizsgálandó 0.05-os szignifikanciaszinten, hogy ez a követelmény teljesül-e.

Megoldás

s² 0 1975. ;  25 1 24  ; ^H0:2 0 1. H₁:² 0 1.

 



0

2 2

2

01975 24

0 1 47 4

  

s . 

. . ;  

  

0 2

2

2

2 2

01975 24

0 1 0 1

 

  .

. . ;

ha ^H1 igaz, 

2 

0 2

0 1 1

.   jobbra eltolódik, tehát egyoldali fölső határa van a nullhipotézis elfogadási tartományának: ₀²_.05

 

24 36.415.

Elutasítjuk a nullhipotézist



krit²



2

0 

  .

9. példa

Ismert varianciájú ( ² = 1600) normális eloszlású sokaságból vett 64 elemű minta elemeinek középértéke 136.5. Megvizsgálandó 0.01-os szignifikanciaszinten az a feltételezés, hogy a sokaság várható értéke 130.

Megoldás

H₀:130; H₁: 130; u₀ 136 5 130 1600 8 1 3

 

. 

. ; u_{0 995.} 2 58. ; Elfogadjuk a nullhipotézist



^ukrit^u0 ^ukrit



.

10. példa

Két független minta (x és y) adatai a következők (zárójelben az előfordulások száma):

x: 3.4 (2); 3.5 (3); 3.7 (4); 3.9 (1) y: 3.2 (2); 3.4 (2); 3.6 (8);

Vizsgáljuk meg 0.025-es szignifikanciaszinten, hogy a két minta mögött álló sokaság várható értéke egyenlő-e vagy nem. (Először F-próbát kell végezni a varianciák egyenlőségére!)

Megoldás

Két mintás t próba!

H₀:_x _y; ^H1:x y; s_x² 0 0267. ; s²y ^0.0233; x3 6. ; ^{y 3 5.} ; 163

.

0

sx ; sy ^0.153

3



9,11



2.90 143

. 0233 1 . 0

0267 . 0

05 . 0

0   F 

F ;

 

^1.482

12 1 10 0248 1 . 0

5 . 3 6 . 3

1 1

0 2 



 



 

 



 



 y

x n

n s

y t x

 

20 2.423

2 025 .

0 

t . Elfogadjuk a nullhipotézist



^tkrit ^{ t}0 ^tkrit



.

4