dissertationzurerlangungdesgradeseinesdoktorsdernaturwissenschaftenvorgelegtvonstephanschruffausessendekan:prof.dr.h.dettegutachter:prof.dr.h.flenner,prof.dr.u.storchtagderm¨undlichenpr¨ufung:24.januar2007 ExaktheitvonFaserfunktoren ruhr-universit¨atbochu

Volltext

(1)

ruhr-universit¨

at bochum

fakult¨

at f¨

ur mathematik

Exaktheit von Faserfunktoren

dissertation

zur erlangung des grades eines

doktors der naturwissenschaften

vorgelegt von

stephan schruff

aus essen

dekan: prof. dr. h. dette

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EXAKTHEIT VON FASERFUNKTOREN

STEPHAN SCHRUFF

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 3

0. Notationen und Grundlagen 5

Teil I. Exaktheit von Faserfunktoren 9

1. Faserfunktoren 9

2. Projektive Abbildungen und Hilbertpolynome 15

3. Hilbertpolynome und Exaktheit 21

4. Besprechung der Ergebnisse, Gegenbeispiele 33

Teil II. Anwendungen 37

(4)
(5)

Einleitung

In ihrer k¨urzlich erschienenen Arbeit [7] geben Hung-Jen Chiang-Hsieh und Joseph Lipman ein Kriterium daf¨ur an, dass eine Familie von reduzierten Sche-mata oder reduzierten komplexen R¨aumen ¨aquinormalisierbar ist, d. h. daf¨ur, dass zu einem flachen Morphismus X −→ S mit geometrisch reduzierten Fa-sern ein Morphismus Y −→ X existiert, so dass Y wieder flach ¨uber S und in jeder Faser die Abbildung Y (s) −→ X(s) die Normalisierung ist.

In der Tat gibt es daf¨ur ein einfaches Kriterium: Nehmen wir zus¨atzlich an, dass es sich um eine projektive Familie handelt, so ist – unter zus¨atzlichen technischen Bedingungen an S und X – die Familie genau dann ¨ aquinorma-lisierbar, wenn f¨ur alle Punkte s ∈ S das Hilbertpolynom der Normalisierung der Strukturgarbe der Faser ¨uber s das gleiche ist. Im Falle von Familien komplexer Kurven wurde dieses Resultat bereits von Bernard Teissier ([24]) gezeigt.

Ziel der vorliegenden Dissertation ist, das Ergebnis in einen weiter gefassten Zusammenhang zu stellen. Insbesondere wird klar, dass ein Kriterium stets die angegebene Form haben sollte.1

Das angegebene Kriterium erinnert sofort an ein bekanntes Flachheitskri-terium: Ist S reduziert, f : X −→ S ein projektiver Morphismus und F ein koh¨arenterOX-Modul, so istF genau dann flach ¨uber S, wenn f¨ur alle Punkte

s ∈ S das Hilbertpolynom vonF ⊗ k(s) das gleiche ist.

Ziel der vorliegenden Arbeit ist, dieses Resultat zu verallgemeinern und so ein Exaktheitskriterium f¨ur geeignete Funktoren zu erhalten.

Im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir Funktoren von koh¨arenten Garben und geben ein Exaktheitskriterium f¨ur diese Funktoren an, das dem oben zitierten Kriterium entspricht.

Sei dazu f : X −→ S ein Morphismus von Noetherschen Schemata oder komplexen R¨aumen. Wir betrachten Funktoren von der Kategorie der koh¨ a-rentenOS-Moduln in die der koh¨arentenOX-Moduln. Einen solchen Funktor

nennen wir f -Faserfunktor, wenn er – vereinfacht gesprochen – mit der linea-ren Struktur und der Garbenstruktur vertr¨aglich sowie halbexakt ist (1.1). Die Vertr¨aglichkeiten k¨onnen wir dabei als

”technische“ Bedingungen auffassen, die lediglich die Eigenschaften der beteiligten Kategorien widerspiegeln. Dem-gegen¨uber stellt die Halbexaktheit eine

”inhaltliche“ Forderung dar, die wir

1

(6)

als

”Absch¨atzung nach einer Seite“ interpretieren. Gelingt die”Absch¨atzung nach der anderen Seite“, so bedeutet dies Exaktheit.

Wir definieren im ersten Kapitel zun¨achst die ben¨otigten Begriffe und geben dann ein wichtiges lokales Kriterium f¨ur Rechtsexaktheit und Exaktheit eines Faserfunktors F an (Satz 1.15). Diese beiden Eigenschaften h¨angen nur von der nat¨urlichen Abbildung F(OS) −→ F(O(s)) und von F(OS) ab. Hier geht

wesentlich ein, dass wir Halbexaktheit vorausgesetzt haben, denn dadurch nimmt F gewissermaßen seinen

”gr¨oßten“ Wert inO(s) und seinen”kleinsten“ inOS an.

Im zweiten Kapitel fassen wir die ben¨otigten Definitionen und Eigenschaf-ten von projektiven Morphismen und Hilbertpolynomen zusammen und geben das bekannte Flachheitskriterium (Lemma 2.12) an, das ebenfalls ein Modell unseres sp¨ateren Exaktheitskriteriums darstellt.

Schließlich f¨uhren wir im dritten Kapitel f¨ur einen Faserfunktor F die Funk-tion

dF : S 3 s 7→ Hilbertpolynom von F(O(s))

ein und nennen F gut in einem Punkt s ∈ S, wenn die Eigenschaften (A)s dF hat in s den gleichen Wertwie generisch bei s“;

(B)s F ist exakt ¨uber s

¨

aquivalent sind. Wenn gewisse Zusatzbedingungen erf¨ullt sind, sind Faserfunk-toren gut (S¨atze 3.15, 3.17, 3.18, 3.21). Ist der Funktor F auch konstruierbar (3.1), so k¨onnen wir die Forderung (A)sdurch die leichter nachpr¨ufbare und

nur von den Fasern abh¨angende Eigenschaft

(A0)s die Abbildung dF ist stetig (also lokal konstant) in s

ersetzen. Wir erhalten, dass kohomologische Funktoren konstruierbar und gut sind (S¨atze 3.3, 3.18). Geeignete Limiten solcher Funktoren sind ebenfalls noch gut (Satz 3.21), im allgemeinen aber nicht mehr konstruierbar (Beispiel 7.10).

Der zweite Teil dieser Arbeit stellt einige Beispiele vor. Zun¨achst erhalten wir, dass Ext-Funktoren, das Tensorprodukt und h¨ohere direkte Bildgarben konstruierbar und gut sind. Als Beispiel f¨ur einen Limes guter Faserfunkto-ren untersuchen wir Kohomologie mit Tr¨agern und geben als Anwendung ein Kriterium f¨ur die simultane (S2)-ifizierbarkeit einer Familie von Moduln an

(Theorem 8.9).

(7)

0. Notationen und Grundlagen

0.1. Alle betrachteten Ringe sind kommutativ und mit Eins. Moduln sind stets beidseitig und mit der Eins des Ringes vertr¨aglich. Die untersuchten Funktoren von Moduln sind kovariant.

0.2. Seien A ein Noetherscher Ring, I ein Ideal in A und M ein endlicher A-Modul. Wir schreiben depth(I, M ) f¨ur die I-Tiefe von M , also die L¨ange jeder maximalen M -regul¨aren Folge in I. Ist A lokal mit maximalem Ideal m, so schreiben wir f¨ur depth(m, M ) kurz depthAM oder depth M .

Ist (X,OX) ein lokal geringter Raum mit Noetherschen Halmringen,I eine

koh¨arente Idealgarbe in OX, Z = V (I) und F ein koh¨arenter OX-Modul, so

setzen wir

depthZ,xF = depth(Ix,Fx) f¨ur x ∈ Z und depthZF = inf

x∈ZdepthZ,xF.

Diese Definition h¨angt in der Tat nur von Z und nicht von I ab (vgl. [20], Thm. 16.1). Weiter schreiben wir kurz depthxF = depthOX,xFx.

Ist X ein Noethersches Schema, so erhalten wir aus depth(I, M ) = inf

p∈V (I)depth(p, M )

([6], chap. 2, cor. 1.22) mit den obigen Bezeichnungen sofort: depthZF = inf

x∈ZdepthxF.

0.3. Zur Definition der Eigenschaften (von Ringen und Schemata) ¨ aquidi-mensional, bi¨aquidimensional und Kettenring bzw. Kettenschema verweisen wir auf [13] 0IV, §14 und §16.1; ebenso benutzen wir die Definitionen eines

ausgezeichneten Ringes und Schemas aus [13] IV, 7.8.2 und 7.8.5.

Ein projektives Schema ¨uber einem K¨orper ist stets ausgezeichnet ([13] IV, 7.8.3); wenn es ¨aquidimensional ist, ist es auch bi¨aquidimensional ([13] IV, 5.2.1).

0.4. Alle betrachteten komplexen R¨aume seien parakompakt. Eine offene Teilmenge U eines komplexen Raumes heißt Steinsch, wenn f¨ur jeden koh¨ aren-tenOU-Modul F die Kohomologiemoduln Hr(U,F) f¨ur r > 0 verschwinden.

Ein Steinsches Kompaktum ist eine Teilmenge eines komplexen Raumes S, die kompakt und semianalytisch ist und zu der eine Umgebungsbasis aus offenen Steinschen Unterr¨aumen von S existiert. Zu jedem Punkt von S gibt es eine Umgebungsbasis aus Steinschen Kompakta ([6], chap. 5, §1(f)).

Ist K ein Steinsches Kompaktum in S, so ist der Ring Γ(K,OS) Noethersch

und ausgezeichnet ([9], Thm. (I, 9); [2], §1), und f¨ur jeden koh¨arenten OS

(8)

Jedem Punkt s von K entspricht eindeutig ein maximales Ideal des Ringes Γ(K,OS), das wir mit m(s) bezeichnen, und jedes maximale Ideal stammt

von einem Punkt ([19], Lemma 2). F¨ur einen koh¨arenten OS-Modul M sind

die Komplettierungen von Γ(K,M) bez¨uglich m(s) und von Msbez¨uglich ms

kanonisch isomorph ([6], chap. 5, lemme 4.1).

Ein komplexer Raum heißt ¨aquidimensional, wenn alle seine irreduziblen Komponenten die gleiche Dimension haben; diese Dimension ist dann auch die Dimension der Halmringe. Weil Dimensionen mit Komplettierungen ver-tr¨aglich sind und ausgezeichnete Ringe insbesondere Kettenringe sind, ist f¨ur einen ¨aquidimensionalen komplexen Raum S und ein Steinsches Kompaktum K in S der Ring Γ(K,OS) bi¨aquidimensional.

0.5. Alle betrachteten Schemata und komplexen R¨aume seien separiert. Auf einem komplexen Raum unterscheiden wir die gew¨ohnliche Topologie von der Zariski-Topologie, in der die abgeschlossenen Mengen gerade die ana-lytischen Mengen sind. Begrifflich unterscheiden wir dies, indem wir z. B. von ”abgeschlossenen“ bzw.”Zariski-abgeschlossenen“ Teilmengen sprechen. F¨ur Schemata verwenden wir die beiden Begriffe synonym.

Eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge Y eines komplexen Raumes oder Schemas S ist das Nullstellengebilde V (I) einer koh¨arenten Idealgarbe I ⊆ OS. Der geringte Raum (Y,OX/I), den wir oft kurz mit V (I) bezeichnen,

tr¨agt wieder die Struktur eines komplexen Raumes bzw. eines Schemas. Einen solchen Raum nennen wir einen Zariski-abgeschlossenen Unterraum von S.

Ein Zariski-abgeschlossener Unterraum eines komplexen Raumes oder eines Noetherschen Schemas heißt lokal irreduzibel, wenn er zusammenh¨angend ist und alle Halmringe Integrit¨atsringe sind. Im Falle von Schemata bedeutet dies gerade, dass der Unterraum integer ist.

0.6. Sei (S,OS) ein lokal geringter Raum und s ∈ S ein Punkt. Wir schreiben

ms f¨ur das maximale Ideal und k(s) f¨ur den Restek¨orper des HalmringsOS,s.

Ist S ein Noethersches Schema und s ∈ S ein Punkt, so schreiben wir Ssf¨ur

das Noethersche lokale Schema SpecOS,s und Ss,n f¨ur das Artinsche Schema

Spec(OS,s/mn+1s ). Den reduzierten Punkt Ss,0 bezeichnen wir auch kurz mit

S(s), seine Strukturgarbe mitO(s).

Entsprechend bezeichnen wir f¨ur einen komplexen Raum S und einen Punkt s ∈ S den einpunktigen komplexen Raum mit Halmring OS,s/mn+1s mit Ss,n

und setzen S(s) = Ss,0undO(s) = OS(s).

0.7. Ist f : X −→ S ein Morphismus von Noetherschen Schemata oder kom-plexen R¨aumen und s ∈ S, so setzen wir Xs,n = X ×S Ss,n und X(s) =

X ×SS(s) und interpretieren X(s) als die Faser von f in s.

F¨ur einen koh¨arentenOX-ModulF und s ∈ S setzen wir schließlich F(s) =

(9)

Wir verwenden oft die folgende Bezeichnungskonvention: Ist f : X −→ S wie oben, so sindF, G Moduln ¨uber OX undM, N Moduln ¨uber OS. Ebenso

(10)
(11)

Teil I. Exaktheit von Faserfunktoren 1. Faserfunktoren

1.1. Seien (X,OX) und (S,OS) lokal geringte R¨aume mit koh¨arenten

Struk-turgarben und Noetherschen Halmringen, und sei f : (X,OX) −→ (S,OS) ein

Morphismus lokal geringter R¨aume.

Ein f -Faserfunktor ist eine Familie von halbexakten Funktoren FU : CohU −→ Cohf−1(U ), U offen in S

mit der Eigenschaft, dass f¨ur je zwei koh¨arente OU-ModulnM, N die

Abbil-dung

(1.1.1) HomU(M, N) −→ Homf−1(U )(FU(M), FU(N))

Γ(U,OS|U)-linear ist – insbesondere ist FU also additiv –, und so, dass es f¨ur

offenes U0 ⊆ U vertr¨agliche, inM funktorielle Isomorphien (1.1.2) (FU(M)) |f−1(U0)∼= FU0(M|U0) gibt.

Ist insbesondere f : A −→ B ein lokaler Homomorphismus Noetherscher lokaler Ringe, so betrachten wir die einpunktigen lokal geringten R¨aume X bzw. S mit Strukturgarbe B bzw. A und den von f induzierten Morphismus

˜

f : X −→ S. Einen ˜f -Faserfunktor bezeichnen wir kurz als f -Faserfunktor. Im folgenden werden wir oft statt FU nur kurz F schreiben. Ebenso werden

wir nur FS angeben, wenn die anderen FU aus dem Zusammenhang klar sind.

1.2. Eine nat¨urliche Transformation F −→ F0 von f -Faserfunktoren ist eine Familie von nat¨urlichen Transformationen tU : FU −→ F0U, U offen in S, die

mit den Isomorphien (1.1.2) vertr¨aglich sind. In der Regel lassen wir den Index fort und schreiben kurz t : F −→ F0.

1.3. Unsere Darstellung ist angelehnt an die Arbeit von Flenner ([8], §6) und geht zur¨uck auf Grothendieck ([13] III, §7). Andr´e ([1] II, d´ef. 48) bezeichnet ¨

ahnliche Funktoren zu Homomorphismen von Ringen (statt lokal geringten R¨aumen) als

”foncteurs doux“.

Die Forderung, die Abbildung in (1.1.1) sei Γ(U,OU)-linear, ist

gleichbe-deutend mit der folgenden Eigenschaft: IstM ein koh¨arenter OU-Modul und

s ein globaler Schnitt vonOU, so definiert s eine Homothetie hs:M −→ M,

und F(hs) soll gerade die Multiplikation mit f#(s) auf F(M) sein (vgl. [13]

III, 7.1.2).

Wegen der Vertr¨aglichkeit mit Inklusionen U0 ⊆ U ist auch die folgende Forderung zur vorstehenden ¨aquivalent: Die Abbildung

(12)

ist f¨ur alle U ,M, N eine OU-lineare Abbildung.

1.4. Ist U ⊆ S offen und sindM und N zwei koh¨arente OU-Moduln, so haben

wirOU-lineare Abbildungen

N −→ HomU(M, M ⊗OUN), n 7→ (m 7→ m ⊗ n) und HomU(M, M ⊗OU N) −→ Homf−1(U )(F(M), F(M ⊗OUN)), deren Komposition wir mit Φ bezeichnen. Die Abbildung

ϕ : F(M) ⊗OU N −→ F(M ⊗ N), ξ ⊗ n 7→ Φ(n)(ξ) istOf−1(U )-linear in ξ undOU-linear in n und funktoriell inM und N.

F¨ur eine koh¨arente GarbeR von OU-Algebren ist die Abbildung

F(M) ⊗OUR −→ F(M ⊗ R) sogar linear ¨uberOf−1(U )⊗R (vgl. [13] III, 7.2.3).

1.5. Sei I ⊂ OS eine koh¨arente Idealgarbe. Die Garbe O0 =OS/I ist wieder

ein koh¨arenter OS-Modul, und ihr Tr¨ager ist eine abgeschlossene Teilmenge

S0 von S ([13] 0I, 5.2.2). Auch der OX-Modul OX ⊗OS O

0 ist koh¨arent, und

sein Tr¨ager liegt in X0:= f−1(S0).

Die lokal geringten R¨aume S0 = (S0,O0) und X0= (X0,OX⊗OSO

0) haben

wieder koh¨arente Strukturgarben und Noethersche Halmringe. Wir schreiben f0 f¨ur die von f induzierte Abbildung X0−→ S0.

Sei U0⊆ S0 eine in S0 offene Teilmenge und U ⊆ S offen mit U0= U ∩ S0.

Ein koh¨arenterOU0-ModulM tr¨agt die Struktur eines koh¨arenten OU-Moduls. WeilM von I annulliert wird, wird FU(M) von IOX annulliert, und somit ist

FU(M) bereits ein Modul ¨uber OX⊗OS O

0.

Wir setzen (F|S0)U0(M) = FU(M). Diese Definition h¨angt nicht von der Wahl von U ab und ist funktoriell in M. Offensichtlich liefert das System {(F|S0)U0 : U0⊆ S0 offen} einen (f0)-Faserfunktor, den wir kurz mit F|S0 be-zeichnen.

1.6. Sei x ∈ X ein Punkt und s = f (x). Wir setzen A =OS,s und B =OX,x

und schreiben fxf¨ur den induzierten lokalen Homomorphismus A −→ B.

Zu einem endlichen A-Modul M gibt es eine offene Umgebung U von s in S und einen koh¨arenten OU-Modul M, so dass M isomorph zum Halm von

M in s ist ([13] 0I, 5.3.9). Ist U0 eine weitere offene Umgebung von s undM0

ein koh¨arenter OU0-Modul mitM0s∼= M , so sindM und M0 auf einer offenen Umgebung von s isomorph ([13] 0I, 5.2.7).

Die Zuordnung

Fx(M ) := FU(M)x

(13)

exakten Sequenz vonOU-Moduln; somit ist Fxauch halbexakt und daher ein

(fx)-Faserfunktor.

Eine nat¨urliche Transformation t : F −→ F0 induziert f¨ur jeden Punkt x ∈ X eine nat¨urliche Transformation Fx−→ F0x, die wir mit tx bezeichnen.

1.7. Wir sagen, der f -Faserfunktor F habe eine Exaktheitseigenschaft in x ∈ X (bzw. ¨uber s ∈ S), wenn Fx (bzw. Fx f¨ur jedes x ∈ f−1(s)) diese

Eigenschaft hat. Schließlich sagen wir, F habe eine Exaktheitseigenschaft ¨uber einer offenen Teilmenge U von S, wenn F die Eigenschaft ¨uber jedem s ∈ U hat.

Ist U ⊆ S offen, so ist FU0 genau dann f¨ur jedes offene U0⊆ U exakt (bzw. rechts-/linksexakt), wenn F ¨uber U exakt (bzw. rechts-/linksexakt) ist. 1.8. Sei Λ eine wachsend filtrierte geordnete Menge, d. h. zu je zwei Elemen-ten λ1, λ2 ∈ Λ existiert ein λ ∈ Λ mit λ ≥ λ1 und λ ≥ λ2. Ein induktives

System von f -Faserfunktoren ist eine Familie (Fλ)λ∈Λ von f -Faserfunktoren

zusammen mit einer Familie (tλ0λ: Fλ−→ Fλ0)

λ≤λ0 von nat¨urlichen Transfor-mationen, die den ¨ublichen Bedingungen

tλλ= id f¨ur alle λ sowie tλ00λ0◦ tλ0λ= tλ00λ f¨ur λ ≤ λ0≤ λ00 gen¨ugen.

1.9. Sei U eine offene Teilmenge von S undM ein koh¨arenter OU-Modul. Das

System (Fλ(M), tλ0λ(M)) ist ein induktives System von koh¨arenten Of−1(U ) -Moduln. Wir sagen, das System (Fλ) sei schwach station¨ar f¨ur M, wenn zu

jedem s ∈ S eine Umgebung U (s) in U und ein λ(s) ∈ Λ existieren, so dass die Abbildungen tλ0λ(s) U (s): Fλ(s)  U (s) M|U (s) −→ (Fλ0)U (s) M|U (s)  f¨ur λ0 ≥ λ(s) Isomorphismen sind. Wir setzen FU (s) = Fλ(s)



U (s) M|U (s).

Sind s, s0 zwei Punkte in U , so sind die GarbenFU (s) undFU (s0) kanonisch isomorph ¨uber U (s) ∩ U (s0), denn dort stimmen sie ja beide mit der Gar-be (Fλ)U (s)∩U (s0) M|U (s)∩U (s0) (mit λ ≥ λ(s), λ(s0)) ¨uberein. Also verkleben sich dieFU (s)zu einem koh¨arentenOf−1(U )-Modul, f¨ur den wir FU(M) schrei-ben (vgl. [11], A, §0.9).

1.10. Wir nennen das System (Fλ, tλ0λ) schwach station¨ar, wenn es f¨ur jedes U f¨ur jeden koh¨arentenOU-Modul schwach station¨ar ist.

Ist ϕ : M −→ N eine OU-lineare Abbildung und s ∈ S, so gibt es eine

Umgebung U (s) von s in U und ein λ(s) ∈ Λ, so dass (FU(M)) |U (s)∼= Fλ(s)



U (s) MU (s) , (FU(N)) |U (s)∼= Fλ(s)



(14)

und wir setzen ˜ϕU (s)= Fλ(s)



U (s) ϕ|U (s). Durchl¨auft s die Punkte von U ,

so sind die ˜ϕU (s) vertr¨aglich, und verkleben sich zu einer Abbildung FU(ϕ) :

FU(M) −→ FU(N).

Offenbar ist FU ein Funktor von CohU in Cohf−1(U ). Die FU sind im Sinne von (1.1.2) vertr¨aglich und definieren wieder einen f -Faserfunktor.

1.11. Im Rest dieses Abschnittes wollen wir einfache Kriterien daf¨ur aufstel-len, dass ein f -Faserfunktor rechtsexakt bzw. exakt in einem Punkt x ∈ X ist.

Dazu betrachten wir zun¨achst die folgende Situation: Sei f : (A, m) −→ (B, n) ein lokaler Homomorphismus lokaler Noetherscher Ringe. Wir bezeich-nen den Restek¨orper A/m mit k und schreiben ε f¨ur die Abbildung A −→ k. Mit N∧ sei im folgenden die m-adische (bzw. mB-adische) Komplettierung gemeint, soweit nichts anderes angegeben ist.

Sei F ein f -Faserfunktor. Zu einem endlichen A-Modul M und zu n ∈ N gibt es nach 1.4 B-lineare Abbildungen

F(M ) ⊗ (B/mn+1B) −→ F(M/mn+1M ), die im inversen Limes eine B-lineare Abbildung

F(M )∧−→ lim

← F(M/m n+1M )

definieren. Wir wollen zun¨achst einige Eigenschaften dieser Abbildung ange-ben.

Lemma 1.12. (vgl. [8], Folgerung 6.3) Sei I ⊂ A ein Ideal und J = IB, und sei M ein endlicher A-Modul. Dann gilt:

(1)L F(InM ) ist ein endlicher Modul ¨uber dem Ring (L Jn).

(2) Die kanonische Abbildung

(F(M ))∧−→ lim

← F(M/I n+1M )

ist injektiv. (Dabei komplettieren wir links bez¨uglich der J -adischen

Topolo-gie.) 2

Lemma 1.13. (vgl. [1] II, prop. 54) Es gelte F(k) = 0. Dann verschwindet F(M ) f¨ur jeden endlichen A-Modul M .

Beweis. Schritt 1. – Wir zeigen die Aussage zun¨achst f¨ur A-Moduln endlicher L¨ange durch Induktion nach der L¨ange. Der Induktionsanfang F(k) = 0 gilt nach Voraussetzung.

(15)

L¨ange als M haben. Die Sequenz

F(M0) −→ F(M ) −→ F(M00)

ist auch exakt. Nach Induktionsvoraussetzung verschwinden die beiden ¨ auße-ren Terme, also auch der in der Mitte.

Schritt 2. – Sei jetzt M ein beliebiger endlicher A-Modul. Die Quotienten M/mn+1M haben alle endliche L¨ange, und somit ist

lim

← F(M/m

n+1M ) = 0.

Nach Lemma 1.12 verschwindet dann auch (F(M ))∧. Weil A −→ B ein lokaler Homomorphismus ist, ist die Komplettierung B∧ treu flacher B-Modul, und somit verschwindet auch F(M ) selbst ([20], Thm. 8.14, Thm. 7.2). 2 Lemma 1.14. Ist die Abbildung F(ε) : F(A) −→ F(k) surjektiv, so ist f¨ur jeden endlichen A-Modul M die kanonische Abbildung

(F(M ))∧−→ lim

← F(M/m n+1M )

auch surjektiv.

Beweis. Schritt 1. – F¨ur jeden endlich erzeugten A-Modul M ist die Abbil-dung F(M ) −→ F(M/mM ) surjektiv.

Sei Ar−→ M eine surjektive A-lineare Abbildung, die einen Isomorphismus kr−→ M/mM von k-Vektorr¨aumen induziert. Im kommutativen Diagramm

F(A)⊕r - F(M ) F(k)⊕r F(ε)⊕r ? β - F(M/mM ). α ?

sind die Abbildungen F(ε)⊕r nach Voraussetzung und β surjektiv, also auch α.

Schritt 2. – F¨ur jeden endlichen A-Modul M und jeden A-Modul N endli-cher L¨ange ist die Abbildung F(M ) ⊗ N −→ F(M ⊗ N ) surjektiv. Insbesondere sind die Abbildungen ¯pn : F(M )/mn+1F(M ) −→ F(M/mn+1M ) surjektiv.

Wir zeigen diese Behauptung durch Induktion nach der L¨ange von N . Der Induktionsanfang N = k gilt wegen Schritt 1.

(16)

in der N0 und N00eine kleinere L¨ange als N haben. Wir erhalten ein kommu-tatives Diagramm mit exakten Zeilen

ker(j1) - F(M ) ⊗ N0 j1 - F(M ) ⊗ N - F(M ) ⊗ N00 - 0 ker(j2) ? - F(M ⊗ N0) α ? 0 j2 - F(M ⊗ N ) α ? p2 - F(M ⊗ N00) α00 ? - coker(p2). β ? Nach Induktionsvoraussetzung sind α0 und α00surjektiv, und trivialerweise ist β injektiv. Wegen des F¨unferlemmas ist dann auch α surjektiv.

Schritt 3. – Aus dem Beweis von [13] III, Satz 7.2.7 erhalten wir sofort: F ist rechtsexakt auf der Kategorie der A-Moduln endlicher L¨ange. Schritt 4. – Sei Kn der Kern der Abbildung

¯

pn: F(M )/mn+1F(M ) −→ F(M/mn+1M )

aus Schritt 2. Mit der exakten Sequenz

0 −→ mn+1M/mn+2M −→ M/mn+2M −→ M/mn+1M −→ 0 erhalten wir ein kommutatives Diagramm

0 mn+1F(M )/mn+2F(M ) ? F(mn+1M/mn+2M ) 0 - Kn+1 - F(M )/mn+2F(M ) ? p¯ n+1 - F(M/mn+2M ) ? - 0 0 - Kn α0 ? - F(M )/mn+1F(M ) α ? p¯ n - F(M/mn+1M ) α00 ? - 0 coker α0 ? 0,?

dessen Zeilen und Spalten exakt sind. In der Komposition

β : F(M ) ⊗ mn+1/mn+2→ F(M ⊗mn+1/mn+2) → F(mn+1M/mn+2M ) → ker α00 ist jede der Abbildungen surjektiv, also gilt dies auch f¨ur β selbst. Andererseits faktorisiert β als

(17)

und somit ist auch γ surjektiv. In der Kern-Kokern-Sequenz zu den beiden exakten Zeilen des obenstehenden Diagramms

mn+1F(M )/mn+2F(M )−→ ker(αγ 00) −→ coker(α0) −→ 0

verschwindet also coker(α0). Somit ist die Abbildung Kn+1−→ Kn surjektiv,

und das inverse System (Kn) erf¨ullt die Mittag-Leffler-Bedingung ([13] 0III,

13.1.2). Insgesamt erhalten wir ein inverses System exakter Sequenzen 0 −→ Kn−→ F(M )/mn+1F(M )

¯ pn

−→ F(M/mn+1M ) −→ 0.

Nach [13] 0III, Satz 13.2.2 ist die Abbildung

lim ← (¯pn) : F(M ) ∧= lim ← F(M )/m n+1F(M ) −→ lim ← F(M/m n+1M ) surjektiv. 2

Satz 1.15. Sei wieder f : X −→ S wie in 1.1, seien F ein f -Faserfunktor, x ∈ X ein Punkt und s = f (x).

(1) ¨Aquivalent sind:

(a) F¨ur jeden endlichenOS,s-Modul M ist die Abbildung Fx(OS,s)⊗M −→

Fx(M ) ein Isomorphismus.

(b) Es gibt einen endlichen OX,x-Modul F , so dass Fx isomorph zum

Funktor M 7→ F ⊗OS,sM ist. (c) F ist rechtsexakt in x.

(d) Die Abbildung Fx(OS,s) −→ Fx(k(s)) ist surjektiv.

(2) Gelten die ¨aquivalenten Bedingungen aus (1), so ist F genau dann exakt in x, wenn F(OS)x flach ¨uber OS,s ist.

Beweis. Die Implikationen (a) =⇒(b) =⇒(c) =⇒(d) in (1) sind offensichtlich; (d) =⇒(a) ergibt sich aus [13] III, 7.5.2, weil ja wegen der Lemmata 1.12 und 1.14 die Abbildung

Fx(M )∧−→ lim

← Fx(M/msM )

f¨ur jeden endlichenOS,s-Modul M ein Isomorphismus ist.

In (2) ist die Flachheit von F(OS)x hinreichend daf¨ur, dass F exakt ist;

wegen [20], Thm. 7.7, ist sie auch notwendig. 2

2. Projektive Abbildungen und Hilbertpolynome

(18)

R¨aume entnehmen wir [6] chap. 4, 1(d). Wir erinnern kurz an wichtige Eigen-schaften:

Ein projektiver Morphismus f : Y −→ S ist eigentlich, und es gibt einen bez¨uglich f amplen invertierbarenOY-ModulL ([13] II, 5.5.5(iii); [6] chap. 4,

1(d)).

Projektivit¨at ist mit Basiswechseln vertr¨aglich, und der Pullback einer am-plen Garbe unter einem Basiswechsel ist wieder ampel ([13] II, 4.6.13(iii); [6] chap. 4, 1(c)). – Wir treffen die Vereinbarung:

Wenn wir im folgenden von einem projektiven Morphismus f : Y −→ S sprechen, fixieren wir ein f¨ur alle Mal eine bez¨uglich f ample GarbeL auf Y . Geht f0: Y0 = Y ×SS0−→ S0 durch Basiswechsel aus f hervor, so betrachten

wir auf Y0 die ample Garbe L ⊗OSOS0.

Ist F ein beliebiger koh¨arenter OY-Modul und m ∈ N, so schreiben wir

kurzF(m) f¨ur F ⊗OY L⊗m.

Die Garben Rqf∗F sind koh¨arente OS-Moduln ([13] III, 2.2.1(i); [6] chap. 3,

Thm. 2.1), und es gilt:

Im algebraischen Fall existiert ein m0, so dass f¨ur alle m ≥ m0 gilt:

(1) Rqf

∗(F(m)) verschwindet f¨ur alle q ≥ 1.

(2) Die kanonische Abbildung f∗f∗(F(m)) −→ F(m) ist surjektiv.

Im analytischen Fall existiert zu jedem Kompaktum K ⊆ S ein m0, so dass

f¨ur m ≥ m0 die Aussagen (1), (2) in jedem Punkt von K zutreffen ([13] III,

2.2.1(ii), (iii); [6] chap. 4, Thm. 2.1).

2.2. Sei jetzt S = ({s} ,OS) ein einpunktiges Noethersches Schema bzw. ein

einpunktiger komplexer Raum, d. h. insbesondere ist der Halmring A =OS,s

Artinsch. Sei weiter f : Y −→ S ein projektiver Morphismus. F¨ur einen koh¨arentenOY-ModulF ist der Ausdruck

χA(F) = X i (−1)ilgAR i f∗(F)s= X i (−1)ilgAH i (Y,F) eine endliche Summe ganzer Zahlen. Die Zuordnung

PF: N −→ Z, m 7→ χA(F(m))

ist ein Polynom in m, das Hilbertpolynom vonF. (Der Beweis in [13] III, 2.5.3 f¨ur den Fall von Schemata ¨ubertr¨agt sich sofort auf die analytische Situation.) Weil die h¨oheren Kohomologiemoduln vonF(m) f¨ur großes m verschwinden, gilt PF(m) = lgAH0(Y,F(m)) f¨ur großes m.

(19)

mit aj ∈ Z. Umgekehrt definiert ein Ausdruck dieser Form stets ein Z-wertiges

Polynom auf N. Wir bezeichnen die Menge dieser Polynome mit P.

Wir definieren aufP eine Ordnung, indem wir P  P0setzen, falls P (m) ≤ P0(m) f¨ur großes m gilt. Diese Ordnung ist vertr¨aglich mit der Addition von Polynomen. Offenbar istP bez¨uglich dieser Ordnung totalgeordnet und dis-kret, und ein nichtverschwindendes Polynom vom Grad d ist genau dann  0, wenn sein Leitkoeffizient ad positiv ist.

2.4. Wir wollen nun Hilbertpolynome in etwas allgemeinerem Zusammen-hang definieren. Sei f : X −→ S ein Morphismus von Noetherschen Schemata, seiL ein invertierbarer koh¨arenter OX-Modul, und sei Y ein abgeschlossenes

Unterschema von X, so dass die Restriktion f |Y : Y −→ S projektiv und

L ⊗OXOY bez¨uglich f |Y ampel ist.

Wir bezeichnen die Idealgarbe von Y in X mit I und schreiben Yk f¨ur

V Ik+1 ⊆ X. Die Abbildung f |

Yk ist wieder eigentlich ([13] II, 5.4.10), und L ⊗OX OYk ist ampel bez¨uglich f |Yk ([13] II, 4.6.15). Weil auch Yk von endli-chem Typ ¨uber S ist, ist f |Yk projektiv.

SeiF ein koh¨arenter OX-Modul mit Tr¨ager in Y . Dann gibt es ein k > 0,

so dassF bereits Modul ¨uber Yk ist ([13] I, 9.3.4).

2.5. Wir sagen, ein koh¨arenter OS-Modul M habe endliche L¨ange in einem

Punkt s ∈ S, wenn sein Tr¨ager in {s} liegt. Offenbar ist dann Ms ein OS,s

-Modul endlicher L¨ange, und es gibt ein n ∈ N mit der Eigenschaft, dass Ms

bereits Modul ¨uber dem Artinschen Ring OS,s/mn+1 ist. Wir fassen daher

(mit den Bezeichnungen aus der Einleitung) Ms als koh¨arenten Modul auf

dem Artinschen lokalen Schema Ss,nauf.

Betrachten wir – in der Situation von 2.4 – einen Punkt s ∈ S und einen koh¨arentenOX-ModulF, dessen Tr¨ager ganz in Y ∩ f−1



{s}liegt. Es gibt ein k, so dass F Modul ¨uber OYk ist, und ein m ∈ N, f¨ur das die Abbildung f∗f

∗(F(m)) −→ F(m) surjektiv ist. Nun hat aber f∗(F(m)) endliche L¨ange

in s, und wir k¨onnen zu f∗(F(m)) ein n ∈ N wie oben w¨ahlen. Dann ist

F⊗OSOS,sbereits einO(Yk)s,n-Modul. Wir sagen,F habe endliche L¨ange ¨uber s und definieren das Hilbertpolynom Ps,F vonF in s als das Hilbertpolynom von

F ⊗OSOS,sbez¨uglich der induzierten projektiven Abbildung (Yk)s,n−→ Ss,n.

Diese Definition ist unabh¨angig von der Wahl von k und n.

2.6. Entsprechend verfahren wir f¨ur einen Morphismus f : X −→ S von kom-plexen R¨aumen, einen invertierbarenOX-ModulL und einen abgeschlossenen

komplexen Unterraum Y von X, so dass f |Y projektiv undL ⊗OXOY ampel bez¨uglich f |Y ist.

Wie in 2.4 sei I die Idealgarbe von Y in X und Yk = V Ik+1. Die

(20)

IstF ein koh¨arenter OX-Modul mit Tr¨ager in Y und K ein Kompaktum in

S, so ist die Menge L = Y ∩ f−1(K) kompakt. Wir k¨onnen daher endlich viele Steinsche Kompakta Lj in X angeben, deren Innere (in X) L ¨uberdecken.

Aus [13] I, 9.3.4, angewandt auf Γ(Lj,OX), Γ(Lj,I) und Γ(Lj,F), erhalten

wir dann ein k > 0, so dassF in den Punkten ¨uber K bereits ein Modul ¨uber OYk ist.

Mit [6], chap. 4, Thm. 4.1 und durch Induktion nach k zeigt man, dass L ⊗OXOYk ampel bez¨uglich f |Yk ist; insbesondere ist f |Yk also projektiv. 2.7. Wir sagen wieder, ein koh¨arenterOS-ModulM (bzw. ein koh¨arenter OX

-Modul F mit Tr¨ager in Y ) habe endliche L¨ange in ( bzw. ¨uber) einem Punkt s ∈ S, wenn der Tr¨ager von M (bzw. von F) in {s} (bzw. Y ∩ f−1({s})) enthalten ist.

Wie oben (mit [6], chap. 4, Thm. 2.1) zeigt man, dass ein koh¨arenterOX

-Modul F mit Tr¨ager in Y und von endlicher L¨ange ¨uber s bereits ein Modul ¨

uber dem Raum (Yk)s,n, n gen¨ugend groß, ist, und definiert das

Hilbertpo-lynom Ps,F von F in s als das Hilbertpolynom von F bez¨uglich der

indu-zierten projektiven Abbildung (Yk)s,n −→ Ss,n. Diese Definition ist wieder

unabh¨angig von der Wahl von k und n.

2.8. Seien f : X −→ S und Y wie in 2.4 oder 2.6 und s ∈ S ein Punkt. Das Hilbertpolynom Ps,F zu einem koh¨arentenOX-ModulF mit Tr¨ager in Y und

von endlicher L¨ange ¨uber s ist offenkundig  0, und es verschwindet genau dann, wennF selbst verschwindet.

Weil sich die L¨ange vonOS,s-Moduln endlicher L¨ange additiv unter kurzen

exakten Sequenzen verh¨alt, sind auch die Hilbertpolynome koh¨arenter OX

-Moduln mit Tr¨ager in Y und von endlicher L¨ange ¨uber s additiv unter kurzen exakten Sequenzen; insgesamt erhalten wir:

IstF0−→α F−→β F00eine exakte Sequenz koh¨arenterO

X-Moduln mit Tr¨ager

in Y und von endlicher L¨ange ¨uber s, so ist

(2.8.1) Ps,F= Ps,ker β+ Ps,im β= Ps,im α+ Ps,im β Ps,F0+ Ps,F00 mit Gleichheit genau dann, wenn α ¨uber s injektiv und β dort surjektiv ist. 2.9. Seien weiterhin f : X −→ S und Y wie in 2.4 oder 2.6. – F¨ur jeden Punkt s ∈ S ist die Faser Y (s) auch projektiv ¨uber dem Punkt S(s), und f¨ur einen koh¨arentenOX-ModulF mit Tr¨ager in Y ist die Zuordnung

(2.9.1) dF: S −→P, s 7→ Ps,F⊗OSO(s)

wohldefiniert. Ist S0 ⊆ S ein abgeschlossenes Unterschema bzw. ein

(21)

L0=L⊗

OSOS0undF

0 =F⊗

OSOS0, so ist die induzierte Abbildung Y

0 −→ S0

projektiv mit ampler GarbeL0⊗OX0 OY0, und der Tr¨ager vonF0 liegt in Y0. Wir bezeichnen die induzierte Abbildung X0−→ S0 mit f0.

Sei s0 ein Punkt in S0 und s sein Bild in S. Weil die Abbildung O(s) −→ O(s0) flach ist, gilt nach [13] III, 1.4.15:

Ri(f0) F0(n) ⊗OS0O(s0)∼

= Ri(f0) F0(n) ⊗O(s)O(s0) ∼

= Ri(f∗) (F(n)) ⊗O(s)O(s0).

Da sich die Dimension eines Vektorraumes unter Basiswechsel nicht ¨andert, erhalten wir

dF0(s0) = Ps0,F0O(s0)= Ps,F⊗O(s)= dF(s).

Unser Ziel ist, mit Hilfe der Abbildung dF zu ¨uberpr¨ufen, obF flach ¨uber S ist. Wir sagen,F sei flach ¨uber einem Punkt s ∈ S, wenn F in jedem Punkt der Faser f−1(s) flach ¨uberOS ist.

Dazu bemerken wir zun¨achst:

Lemma 2.10. F¨ur jeden abgeschlossenen Unterraum S0 ⊆ S ist die Menge der Punkte von S0, ¨uber denenF ⊗OSOS0 flach ist, Zariski-offen in S0. Ist S0 reduziert, so ist diese Menge nicht leer.

Beweis. Im analytischen Falle ist dies gerade [6], chap. 5, 4.10, denn f |Ykist ja eigentlich. In der algebraischen Situation erhalten wir die erste Aussage aus [20], Thm. 24.3, weil f |Yk von endlichem Typ und eigentlich ist. Die zweite Aussage gilt, daF ⊗ OS0 dann ¨uber den generischen Punkten der irreduziblen

Komponenten von S0 flach ist. 2

Lemma 2.11. Sei f : Y −→ S ein projektiver Morphismus Noetherscher Schemata oder komplexer R¨aume,F ein koh¨arenter OY-Modul und s ∈ S ein

Punkt. Dann sind ¨aquivalent: (a) F ist flach ¨uber s.

(b) Es gibt eine Umgebung U von s in S, ¨uber der F flach ist.

(c) Es existiert eine Umgebung U von s in S und ein m0 ∈ N, so dass

f¨ur alle m ≥ m0 derOS-Modul f∗(F(m)) flach auf U ist.

(d) Es gibt ein m0∈ N, so dass f¨ur alle m ≥ m0 derOS-Modul f∗(F(m))

flach in s ist.

Beweis. (a) =⇒(b) gilt wegen des vorstehenden Lemmas 2.10; (c) =⇒(d) ist offensichtlich. Die Implikation (b) =⇒(c) ist im algebraischen Fall gerade [13] III, 7.9.14; im analytischen Falle [6] chap. 4, cor. 2.4.

In der algebraischen Situation ist die Implikation (d) =⇒(a) wieder [13] III, 7.9.14, angewandt auf den projektiven Morphismus

(22)

Wir skizzieren den Beweis der Implikation (d) =⇒(a) f¨ur den analytischen Fall. – Wie im Beweis zu [6] chap. 4, Thm. 2.1 k¨onnen wir S verkleinern und annehmen, dass Y = S × PN und f die kanonische Projektion ist.

Wir setzen R = C[T0, . . . TN] und betrachten den lokal geringten Raum

Y0 = S × Proj R und die Projektion f0: Y0−→ S. Die nat¨urliche Abbildung ι : Y −→ Y0 ist treu flach, weil die Komplettierungen der entsprechenden Halmringe isomorph sind.

Der graduierte Modul Γ(F) = Lm≥0f∗(F(m)) ist koh¨arent ¨uber dem

ge-ringten Raum (S,OS⊗CR) ([6] chap. 6, prop. 3.18). Sei jetzt y = (s, p) ein

Punkt in Y , sei p ⊂ R das homogene graduierte Primideal, das dem Punkt ι(p) ∈ Proj R entspricht, und sei Spdas multiplikative System der homogenen

Elemente in R, die nicht in p liegen. Es gilt:

(2.11.1) Fy∼= (Sp−1Γ(F)s)0⊗OY 0 ,ι(y)OY,y,

wobei (. . .)0die nullte Komponente des angegebenen graduierten Objekts

be-deute. (Beide Seiten in (2.11.1) sind exakt inF, und man zeigt die Isomorphie zun¨achst f¨ur F = OY(m) und verwendet f¨ur allgemeines F eine Darstellung

OY(m1) −→OY(m0) −→F −→ 0; vgl. auch [6] S. 257ff.)

Die homogene Lokalisierung (Sp−1Γ(F)s)0 h¨angt nur von den f∗(F(m))s

mit großem m ab. Weil aber Lokalisieren Flachheit erh¨alt undOY,y flach ¨uber

OY0,ι(y) ist, istFy flach. 2

Lemma 2.12. Mit den Bezeichnungen aus 2.9 gilt: (1) Ist F flach ¨uber S, so ist dF lokal konstant.

(2) Ist S reduziert und dF lokal konstant, so ist F flach ¨uber S.

Der Beweis folgt sofort aus Lemma 2.11 und dem folgenden Lemma: Lemma 2.13. ([13] III, 7.6.9; [6], chap. 3, lemme 1.6, [12], ch. 4, §4.2., crit. 2) Ist der koh¨arenteOS-Modul M flach, so ist die Zuordnung

s 7→ dimk(s)Ms/msMs

konstant; wenn S reduziert ist, gilt auch die Umkehrung. 2 2.14. Wir betrachten weiter einen Morphismus f : X −→ S und Y wie in 2.4 oder 2.6 und einen koh¨arentenOX-ModulF mit Tr¨ager in Y . Sei U ⊆ S

offen, und sei S0⊆ U ein reduzierter lokal irreduzibler Zariski-abgeschlossener Unterraum. Wir setzen Y0 = Y ×SS0 und F0=F|U⊗OUOS0. Die induzierte Abbildung f0 : Y0−→ S0 ist wieder projektiv, undF0 hat Tr¨ager in Y0.

Wegen Lemma 2.10 gibt es ein s0 ∈ S0 mit der Eigenschaft, dassF0 ein

¨

(23)

Nach Lemma 2.11 gibt es ein m0, so dass f∗(F0(m))s0 f¨ur m ≥ m0 ein flacher OS0,s

0-Modul ist. Das bedeutet aber gerade rkO S0 ,s0f∗(F 0(m)) s0= lgOS0 ,s0f∗(F 0(m)) s0/ms0f∗(F 0(m)) s0 = dF0(s0)(m) f¨ur m ≥ m0. Nun ist aber der Rang von f∗(F0(m))s alsOS0,s-Modul f¨ur alle s ∈ S0 gleich (im algebraischen Fall ist dies offensichtlich, denn der Rang ist die L¨ange von f∗(F0(m)) im generischen Punkt von S0; im analytischen Fall

s. [6] chap. 8, prop. 1.5(a)). Insbesondere h¨angt die Definition in (2.14.1) nicht von der Wahl von s0ab, und f¨ur in S offenes V ⊂ U ist dF(S0∩ V ) = dF(S0).

Wir interpretieren dF(S0) als den

”generischen Wert“ von dF auf S

0.

Aus Lemma 2.11 erhalten wir mit [18] II, Lemma 8.9:

Lemma 2.15. Mit den vorstehenden Bezeichnungen gilt: F0 ist genau dann flach ¨uber einem Punkt s ∈ S0, wenn dF(s) = dF(S0). 2

3. Hilbertpolynome und Exaktheit

3.1. In diesem Kapitel seien f : X −→ S und Y wie in 2.4 oder 2.6, und F sei ein f -Faserfunktor mit der Eigenschaft, dass f¨ur jedes in S offene U und jeden koh¨arentenOU-Modul M der Tr¨ager von FU(M) in Y liegt. Wir sagen

dann auch, F habe Tr¨ager in Y .

Wir nennen F konstruierbar, wenn zu jedem reduzierten abgeschlossenen Unterschema bzw. komplexen Unterraum S0 eines offenen Unterraums von S ein nichtleeres, in S0 Zariski-offenes U ⊆ S0 existiert, so dass der Funktor F|S0 ¨

uber U exakt ist.

3.2. Beispiel. – IstF ein koh¨arenter OX-Modul, so ist der FunktorF ⊗OS − wegen Lemma 2.10 ein konstruierbarer Faserfunktor.2

Ein weiteres wichtiges Beispiel f¨ur konstruierbare Funktoren sind kohomo-logische Funktoren:

Satz 3.3. (vgl. [8], Satz 7.3) Seien f : X −→ S, Y und F wie in 3.1. Es gebe weitere f -Faserfunktoren Fi, i > 0, mit Tr¨ager in Y , so dass F, F1, . . .

kohomologische Funktoren sind.

In der algebraischen Situation gelte zus¨atzlich eine der Bedingungen: (i) S ist ausgezeichnet und hat endliche Dimension.

(ii) F¨ur großes i verschwinden die Fi. Dann ist F konstruierbar.

2Dabei soll F ⊗

OS − das System der Funktoren nF|f−1(U )OU− : U offen in S

(24)

Der Beweis des angegebenen Satzes in [8] ¨ubertr¨agt sich fast w¨ortlich auf

unsere Situation. 2

3.4. Wir bezeichnen mit dF die Abbildung

dF: {s ∈ S : s abgeschlossener Punkt} −→P, s 7→ Ps,F(O(s)).

IstF ein koh¨arenter OX-Modul und F der FunktorF ⊗OS−, so ist dF gerade die Einschr¨ankung der Abbildung dF aus (2.9.1).

F¨ur ein abgeschlossenes Unterschema bzw. einen abgeschlossenen komple-xen Unterraum S0 ⊆ S gilt offensichtlich d(F|S0)= (dF) |S0.

Seien U , S0, Y0 wie in 2.14. Wir definieren dF(S0) = dFU(OS0)(S

0),

wobei auf der rechten Seite das Hilbertpolynom zum OX0-Modul FU(OS0) ¨

uber S0 aus loc. cit. steht. Ist wieder V ⊂ U offen, so erhalten wir wegen FV(OS0|S0∩V) ∼= FU(OS0)|V: (3.4.1) dF(S0) = dFU(OS0)(S 0) = d FV(OS0|S0 ∩V)(S 0∩ V ) = d F(S0∩ V ).

Sind wir im algebraischen Fall, d. h. X und S sind Noethersche Schema-ta, und ist η ein nicht abgeschlossener Punkt von S, so tr¨agt S0 = {η} die Struktur eines lokal irreduziblen abgeschlossenen Unterschemas von S, und wir definieren dF(η) = dF(S0). Auf diese Weise k¨onnen wir dF auf ganz S

fort-setzen.

Unser Ziel ist, eine Verbindung zwischen den Exaktheitseigenschaften von F und der Abbildung dF herzustellen. Dazu f¨uhren wir die folgenden beiden

Bedingungen ein:

3.5. Der f -Faserfunktor F heißt gut in einem Punkt s ∈ S (oder s ∈ S heißt ein F-guter Punkt ), wenn die beiden Eigenschaften

(A)s F¨ur jede lokal irreduzible Komponente S0von S in s ist dF(s) = dF(S0).

(B)s F ist exakt ¨uber s

entweder beide zutreffen oder beide nicht zutreffen. Wir nennen F gut auf S, wenn F in jedem Punkt von S gut ist.

Wegen (3.4.1) h¨angt die Bedingung (A)s nur vom Keim von S0 in s ab.

Ebenso k¨onnen wir uns bei der ¨Uberpr¨ufung von (B)s auf eine Umgebung

von s beschr¨anken. Wir werden daher im folgenden oft – o. B. d. A. – anneh-men, dass S affin bzw. Steinsch und S0 in S Zariski-abgeschlossen ist. – Man beobachtet sofort:

(25)

Unterraums von S mit s ∈ S0:

dF(S0) = dF(s).

Insbesondere ist die Implikation (B)s =⇒(A)sstets richtig.

Beweis. Mit F ist auch F|S0 exakt ¨uber s. Nach Satz 1.15 ist F(O(s)) ∼= F(OS0) ⊗O(s), und F(OS0) ist flach ¨uber s. Also erhalten wir mit Lemma 2.15:

dF(S0) = dF(OS0)(S0) = dF(OS0)(s) = dF(O(s))(s) = dF(s).

2 Im Rest dieses Kapitels werden wir untersuchen, unter welchen Vorausset-zungen auch die umgekehrte Implikation (A)s=⇒(B)szutrifft.

3.7. Sei s ∈ S ein abgeschlossener Punkt. Weil k(s) der einzige einfacheOS,s

-Modul ist, erhalten wir aus (2.8.1) durch Induktion nach der L¨ange vonMs

aus der Halbexaktheit von F sofort:

F¨ur jeden koh¨arentenOS-ModulM mit endlicher L¨ange in s ist Ps,F(M)

lgO

S,s(Ms) · Ps,F(O(s)). Gilt Gleichheit f¨ur M, dann gilt sie auch f¨ur jeden Untermodul M0 ⊆M und den Quotienten M/M0, und die Sequenz

(3.7.1) 0 −→ F(M0) −→ F(M) −→ F(M/M0) −→ 0

ist exakt. Insbesondere erhalten wir: Genau dann gilt Gleichheit f¨ur alle koh¨ a-rentenOS-Moduln mit endlicher L¨ange in s, wenn F exakt auf der Kategorie

dieser Moduln ist.

Satz 3.8. (vgl. [8], Lemma 7.6) Seien f : X −→ S, Y und F wie in 3.1 und s ∈ S ein abgeschlossener Punkt.

(1) F¨ur jeden 1-dimensionalen lokal Zariski-abgeschlossenen lokal irreduziblen Unterraum S0 von S mit s ∈ S0 gilt:

dF(S0)  dF(s).

(2) Ist OS,s selbst 1-dimensional und reduziert, so gilt Gleichheit in (1) f¨ur

jedes solche S0 genau dann, wenn F exakt ¨uber s ist.

Betrachten wir ein S0 wie in (1). Indem wir ggfs. S verkleinern, d¨urfen wir annehmen, dass S0 Zariski-abgeschlossen in S ist und dass es einen Schnitt t ∈ Γ(S0,OS0) gibt, so dass t in s und nur dort verschwindet. Wir setzen X0 = X ×S S0 und Y0 = Y ×S S0. – In dieser Situation und mit diesen

Bezeichnungen erhalten wir:

Lemma 3.9. (vgl. [8], Lemma 7.5) Sei F ein koh¨arenter OX0-Modul. Dann gilt:

dF(S0) · lgs(OS0/tOS0)  Ps,F/tF,

(26)

Beweis. Wegen der Voraussetzung an t hatF/tF endliche L¨ange ¨uber s, und die rechte Seite ist wohldefiniert. – F¨ur m ≥ 0 seiFm= f∗(F(m)). Nach [8],

Lemma 7.5, ist

rkOS0 ,s(Fm) · lgs(OS0/tOS0) ≤ lgsFm/tFm

mit Gleichheit genau dann, wenn tsNichtnullteiler auf (Fm)sist. F¨ur großes m

ist aber der Rang auf der linken Seite gerade dF(S0)(m) und die L¨ange auf der

rechten Seite Ps,F/tF(m), und somit erhalten wir die geforderte Ungleichung.

Sind die Hilbertpolynome gleich, so verschwinden die Kerne der Homothe-tien (Fm)s

·ts

−→ (Fm)s f¨ur großes m, und man zeigt mit ¨Uberlegungen wie im

Beweis von Lemma 2.11, dass t auch Nichtnullteiler vonF in s ist. 2 3.10. Beweis von Satz 3.8. Schritt 1. – Seien S0und t wie oben. Wir setzen A =OS0,s. Die Garben F(OS0)/tF(OS0) und F(OS0/tOS0) haben dann endliche L¨ange ¨uber s. Aus der exakten Sequenz

F(OS0)

t

−→ F(OS0) −→ F(OS0/tOS0)

erhalten wir Ps,F(OS0)/tF(OS0) Ps,F(OS0/tOS0), und Gleichheit gilt genau dann,

wenn die Inklusion F(OS0)/tF(OS0) −→ F(OS0/tOS0) ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist dann F(OS0) −→ F(OS0/tOS0) surjektiv.

Nach Lemma 3.9 gilt

dF(S0) · lg(A/tsA)  Ps,F(OS0)/tF(OS0)

mit Gleichheit genau dann, wenn t Nichtnullteiler von F(OS0) in s ist; insge-samt erhalten wir also:

(3.10.1) dF(S0) · lg(A/tsA)  Ps,F(OS0/tOS0).

WeilOS0/tOS0 einOS0-Modul von endlicher L¨ange in s ist, gilt wegen 3.7: (3.10.2) Ps,F(OS0/tOS0) lg(A/tsA) · Ps,F(O(s))= lg(A/tsA) · dF(s),

und bei Gleichheit erhalten wir aus der exakten Sequenz (3.7.1), dass die Abbildung F(OS0/tOS0) −→ F(O(s)) surjektiv ist.

Behauptung (1) folgt aus (3.10.1) und (3.10.2).

Schritt 2. – Seien S0, t und A wie oben. Gilt Gleichheit in (1), so sind die Abbildungen F(OS0) −→ F(OS0/tOS0) und F(OS0/tOS0) −→ F(O(s)) beide surjektiv. Mit Satz 1.15(1) erhalten wir, dass F|S0 rechtsexakt ¨uber s ist, also

F(O(s)) ∼= F(OS0) ⊗O S0 O(s). Insbesondere bedeutet die Gleichheit in (1), dass

dF(OS0)(S

0) = d

(27)

und wegen Lemma 2.15 ist F(OS0) flach ¨uber s. Nach 1.15(2) ist F|S0 also exakt ¨uber s.

Schritt 3. – Sei jetzt OS,s selbst reduziert und 1-dimensional, und in (1)

gelte f¨ur jedes S0 Gleichheit. Zu zeigen ist, dass F exakt ¨uber s ist.

Wir schreiben A = OS,s. Die minimalen Primideale in A haben alle die

Dimension 1, und ihr Durchschnitt verschwindet. Wir zeigen die Behauptung durch Induktion nach der Anzahl der minimalen Primideale. Der Induktions-anfang ist gerade Schritt 2.

Sei im Induktionsschritt p ein minimales Primideal in A, und sei I der Durchschnitt der ¨ubrigen minimalen Primideale. Sei S0 die lokal irreduzible

Komponente von S in s mit Halmring A/p in s, und sei S00 ein Zariski-abgeschlossener Unterraum einer Umgebung von s in S mit OS00,s = A/I. Der Ring A/I ist wieder 1-dimensional und reduziert, und seine minimalen Primideale entsprechen denen von A, außer p.

Wir k¨onnen also die Induktionsvoraussetzung auf S00 anwenden und erhal-ten, dass F(O(s)) ∼= F(OS00) ⊗O(s) ist. Nach Schritt 2 ist auch F(O(s)) ∼= F(OS0) ⊗O(s).

Der A-Modul A/(I + p) hat Tr¨ager ms, und wir fassen A/(I + p) als OS

-Modul auf. Wegen I ∩ p = 0 haben wir die kurze exakte Sequenz 0 −→ A−→ A/I ⊕ A/pα −→ A/(I + p) −→ 0β

von A-Moduln, wobei α die Diagonalabbildung und β die Zuordnung (a, a0) 7→ a − a0 ist. Das bedeutet aber gerade, dass die Sequenz von OS-Moduln

0 −→OS −→OS00⊕OS0 −→ A/(I + p) −→ 0

in s exakt ist. Da F halbexakt ist und F|S0 und F|S00 exakt in s sind, erhalten wir eine Sequenz

F(OS) −→ F(OS00) ⊕ F(OS0) −→ F(A/(I + p)) −→ 0, die ¨uber s exakt ist. Tensorieren mitO(s) liefert die exakte Sequenz

F(OS) ⊗O(s) −→ F(O(s)) ⊕ F(O(s)) γ

−→ F(O(s)) −→ 0,

und weil γ – wegen der Additivit¨at von F – wieder die Gestalt (x, x0) 7→ x − x0 hat, wird F(OS) ⊗O(s) surjektiv auf ker γ = F(O(s)) abgebildet.

Nach Satz 1.15(1) ist F also rechtsexakt ¨uber s. F¨ur jedes x in f−1(s) und jedes minimale Primideal η in A ist Fx(A)/ηFx(A) = Fx(A/η) flach ¨uber A/η.

Aus dem unten stehenden Lemma 3.11 folgt dann, dass auch Fx(A) ein flacher

A-Modul ist. Also ist F(OS) flach ¨uber x, und nach Satz 1.15(2) ist F exakt

(28)

Schritt 4. – Ist in (2) der Funktor F exakt, so ist die Aussage ¨uber dFgerade

Satz 3.6. 2

Lemma 3.11. Sei (A, m) ein reduzierter Noetherscher lokaler Ring, (B, n) eine Noethersche lokale A-Algebra mit mB ⊆ n und M ein endlich erzeugter B-Modul. F¨ur jedes minimale Primideal η ⊂ A sei M/ηM ein flacher (A/η)-Modul. Dann ist M ein flacher A-(A/η)-Modul.

Beweis. Schritt 1. – Betrachten wir zun¨achst die Abbildung A −→M

η

A/η =: ˜A,

wobei η die Menge der minimalen Primideale von A durchl¨auft. Weil A redu-ziert ist, ist diese Abbildung injektiv, und ˜A ist ein endlicher A-Modul. Wegen des Lemmas von Artin-Rees (z. B. [20], Thm. 8.5) gibt es ein k > 0 so dass f¨ur alle n > 0 gilt: mn+kA ∩ A = m˜ nmkA ∩ A˜ ⊆ mn und somit \ η(m n+k+ η) ⊆ mn,

wobei wir den Durchschnitt ¨uber alle minimalen Primideale η ⊂ A bilden. Schritt 2. – F¨ur jedes minimale Primideal η ⊂ A und jedes n > 0 ist M/(mn+ η)M ein flacher (A/mn+ η)-Modul ([20], Thm. 22.3).

Sei E ⊂ M so, dass die Bilder der Elemente von E in M/mM eine (A/m)-Vektorraumbasis von M/mM bilden. F¨ur n > 0 ist der Ring A/mn Artinsch.

Wegen [5], II, §3.2, cor. 2 zu prop. 4, wird der (A/mn)-Modul M/mnM von den

Bildern der Elemente von E erzeugt. Ebenso erzeugen – f¨ur n > 0 und jedes minimale Primideal η ⊂ A – die Bilder der Elemente von E den (A/mn+

η)-Modul M/(mn+ η)M ; wegen [20], Thm. 7.10, sind sie sogar linear unabh¨angig ¨

uber A/mn+ η.

Wir wollen nun zeigen, dass f¨ur beliebiges n > 0 die Bilder der Elemente von E in M/mnM auch linear unabh¨angig ¨uber A/mn sind. Sei dazu m =

P

e∈Eaee eine endliche Linearkombination mit Koeffizienten ae∈ A und so,

dass m in mnM liegt. Zu zeigen ist, dass die a

ebereits in mn liegen.

Sei k wie in Schritt 1. Das Bild von m in M/mn+kM liegt bereits in

mn(M/mn+kM ). Es gibt also Elemente a0e ∈ mn, von denen fast alle

(29)

Insbesondere liegt dieser Ausdruck f¨ur jedes minimale Primideal η ⊂ A in (mn+k+ η)M . Weil aber die Elemente von E ¨uber A/mn+k+ η linear

un-abh¨angig sind, ist f¨ur jedes e ∈ E: ae− a0e∈

\

η(m

n+k+ η) ⊆ mn.

Insbesondere liegen auch die aealle in mn. Damit sind die Bilder der Elemente

von E in M/mnM linear unabh¨angig ¨uber A/mn, und folglich ist M/mnM

ein freier (A/mn)-Modul.

Indem wir wieder [20], Thm. 22.3 anwenden, erhalten wir daraus, dass M

ein flacher A-Modul ist. 2

Die erste Aussage in Satz 3.8 l¨asst sich wie folgt verallgemeinern:

Satz 3.12. Seien f : X −→ S, Y und F wie in 3.1, und seien S01 und S20 Zariski-abgeschlossene lokal irreduzible Unterr¨aume einer offenen Teilmenge von S mit S10 ⊆ S0

2. Dann ist dF(S20)  dF(S01).

Beweis. Wir schreiben kurz O1 = OS0

1 und O2 = OS02 und bezeichnen die Idealgarbe von S01 in S20 mit I. Sei s ∈ S10 ein Punkt und A der Halmring (O2)s. Der Halm Is ist ein Primideal in A, das wir mit p bezeichnen. Mit

Noetherscher Induktion d¨urfen wir annehmen, dass A/p die Dimension 1 hat. Indem wir uns auf eine kleine Umgebung von s in S0

2 beschr¨anken, k¨onnen

wir annehmen, dass ein Schnitt t ∈ Γ(S20,O2) existiert, so dass der Tr¨ager von

Ap/tsAp gerade pAp ist.

Nach [20], Thm. 6.4, gibt es eine Filtrierung

0 = M0⊂ M1⊂ . . . ⊂ Mk = (O2/tO2)s

von (O2/tO2)sund Primideale qi⊂ A mit der Eigenschaft, dass Mi/Mi−1∼=

A/qi. Aufgrund der Wahl von t ist jedes der qi entweder p selbst oder nicht

in p enthalten.

In einer Umgebung von s gibt es koh¨arente OS-Moduln Mi, 1 ≤ i < k,

deren Halm in s gerade Miist. Auf einer Umgebung von s sind alle induzierten

Abbildungen

0 =:M0−→M1, Mi−1−→Mi(1 < i < k), Mk−1−→Mk:=O2/tO2

wieder injektiv.

Die kurzen exakten Sequenzen 0 −→O2

t

−→O2−→O2/tO2−→ 0,

(30)

liefern exakte Sequenzen F(O2)

t

−→ F(O2) −→ F(O2/tO2),

F(Mi−1) −→ F(Mi) −→ F(Mi/Mi−1),

und f¨ur großes m sind auf einer Umgebung von s auch die folgenden Sequenzen wieder exakt:

f∗(F(O2)(m)) t

−→ f∗(F(O2)(m)) −→ f∗(F(O2/tO2)(m)),

f∗(F(Mi−1)(m)) −→ f∗(F(Mi)(m)) −→ f∗(F(Mi/Mi−1)(m)).

Betrachten wir nun die Halme in s, und lokalisieren wir an p. Wir schreiben kurz F (m) := (f∗(F(O2)(m))s)p und bemerken lgApF (m)/tsF (m) ≤ lgAp(f∗(F(O2/tO2)(m))s)p, lgAp(f∗(F(Mi)(m))s)p ≤ lgAp(f∗(F(Mi−1)(m))s)p + lgA p(f∗(F(Mi/Mi−1)(m))s)p. Induktion liefert (3.12.1) lgAp(f∗(F(O2/tO2)(m))s)p≤ k X i=1 lgAp(f∗(F(Mi/Mi−1)(m))s)p. Der A-Modul f∗(F(Mi/Mi−1)(m))swird nach Konstruktion von qiannulliert.

Lokalisieren an p l¨asst also alle die Summanden mit qi6= p verschwinden. Die

¨

ubrigen Summanden sind gerade von der Form lgAp(f∗(F(O1)(m))s)p, und ihre Anzahl ist die L¨ange des (Ap)-Moduls Ap/tsAp. Daher besagt (3.12.1)

gerade lgA

p(f∗(F(O2/tO2)(m))s)p≤ lgAp(f∗(F(O1)(m))s)p· lgAp(Ap/tsAp). Aus [8], Lemma 7.5, erhalten wir die Absch¨atzung

rkApF (m) · lgAp(Ap/tsAp) ≤ lgApF (m)/tsF (m), und insgesamt ergibt sich

(31)

Satz 3.13. (1) Ist S0ein lokal irreduzibler Zariski-abgeschlossener Unterraum einer offenen Teilmenge von S, so ist

(3.13.1) dF(S0)  min {dF(s) : s ∈ S0} .

(2) Ist F exakt ¨uber einer offenen Teilmenge U von S, so ist dF stetig auf U .

(3) Ist F konstruierbar, so gilt Gleichheit in (3.13.1), und dF ist halbstetig

nach oben.

Beweis. (1) folgt sofort aus Satz 3.12.

Ist FUexakt, so ist FU nach Satz 1.15 gerade der FunktorM 7→ FU(OU)⊗M,

und FU(OU) ist flach ¨uberOU. Damit folgt Behauptung (2) aus Lemma 2.12.

Beweisen wir noch (3): Weil zu jedem S0 wie in (1) ein s0 ∈ S0 existiert,

¨

uber dem F|S0 exakt ist, ist dF(S0) = dF(s0), und in (3.13.1) gilt Gleichheit. Wir zeigen nun, dass dF in der algebraischen Situation auf S bzw. in der

analytischen Situation auf jedem Steinschen Kompaktum konstruierbar ist. Sei also K = S bzw. K ein Steinsches Kompaktum.

In beiden Situationen ist K ein Noetherscher topologischer Raum bez¨uglich der Zariski-Topologie, und wir m¨ussen nachweisen: ([13] 0III, 9.3.2): Zu jeder

irreduziblen Zariski-abgeschlossenen Teilmenge S0 in S (bzw. in einer offenen Umgebung von K) gibt es eine nichtleere, in S0 offene Teilmenge von S0, auf der dF konstant ist. Weil F aber konstruierbar ist, trifft dies wegen (2) zu.

Sei P ∈P und E = {s ∈ K : dF(s)  P }, und sei S0 eine irreduzible

Kom-ponente von K. Weil es eine Zariski-offene Teilmenge von S0 gibt, auf der dF

sein Minimum annimmt, ist E ∩ S0leer oder Zariski-offen in K. Nach [13] 0III,

9.2.6 ist E offen. Weil P beliebig war, bedeutet das gerade, dass dF auf K

halbstetig nach oben ist. Im analytischen Fall folgt sofort, dass dF auf ganz S

halbstetig ist, denn wir k¨onnen eine Familie Steinscher Kompakta angeben,

deren Innere S ¨uberdecken. 2

3.14. Ist F konstruierbar und s ein abgeschlossener Punkt in S, so gibt es wegen Satz 3.13(3) eine Umgebung U von s, so dass dF sein Maximum auf

U in s annimmt. Ist S0 eine lokal irreduzible Komponente von S in s – wir nehmen o. E. an, dass S0 ein Zariski-abgeschlossener Unterraum von U ist –, so gilt wegen Satz 3.13(1) f¨ur jedes s0∈ S0:

dF(S0)  dF(s0)  dF(s).

Da andererseits dF(S0) = min {dF(s0) : s0∈ S0} gilt, ist die Bedingung (A)s

– f¨ur konstruierbares F – ¨aquivalent zu

(A0)s Die Abbildung dF ist stetig in s, d. h. konstant auf einer Umgebung

(32)

Satz 3.15. Sei S reduziert und s ∈ S ein abgeschlossener Punkt mit der Eigenschaft, dass die Abbildung F(OS)⊗OSO(s) −→ F(O(s)) injektiv ist. Dann ist F gut in s.

Beweis. Wir m¨ussen zeigen: (A)s=⇒(B)s.

Sei dazu S0 eine irreduzible Komponente von S mit s ∈ S0. Nach Voraus-setzung gilt

Ps,F(O(s))= dF(s) = dF(S0) = dF(OS)(S

0)  d

F(OS)(s) = Ps,F(OS)⊗O(s). Andererseits liefert die Inklusion ι : F(OS) ⊗O(s) −→ F(O(s)) die umgekehrte

Ungleichung. Also gilt sogar Gleichheit, und ι ist auch surjektiv.

Nach Satz 1.15 ist damit F rechtsexakt und wegen der Lemmata 2.15 und

3.11 exakt. 2

Lemma 3.16. Sei S ein universell japanisches reduziertes Schema oder ein reduzierter komplexer Raum und sei s ∈ S ein abgeschlossener Punkt. Falls (A)s gilt, ist F rechtsexakt auf der Kategorie der koh¨arentenOS-Moduln, die

endliche L¨ange in s haben.

Beweis. Der Halmring A = OS,s ist ein reduzierter universell japanischer

Noetherscher lokaler Ring. Wir schreiben m f¨ur das maximale Ideal und k f¨ur den Restek¨orper von A.

Ein koh¨arenter OS-Modul mit endlicher L¨ange in s entspricht gerade

ei-nem A-Modul endlicher L¨ange, also einem endlichen Modul ¨uber einem Ring A/mn+1mit großem n. Somit gen¨ugt es, f¨

ur jedes n ∈ N zu zeigen, dass F|Ss,n rechtsexakt, also F(OSs,n) −→ F(O(s)) surjektiv ist (Satz 1.15(1)).

Sei also n beliebig. Nach [8], Lemma 7.8, existiert ein reduziertes Ideal I ⊆ mn+1 der Dimension 1 in A. Indem wir S verkleinern, d¨urfen wir ohne Einschr¨ankung annehmen, dass es eine koh¨arente IdealgarbeI ⊂ OS mitIs∼=

I gibt. Sei ˜S der durchI definierte Zariski-abgeschlossene Unterraum von S. Ist ˜S0 eine lokal irreduzible Komponente von ˜S in s, so gibt es eine lokal irreduzible Komponente S0 von S in s mit ˜S0⊂ S0. Nach Voraussetzung und

wegen Satz 3.12 gilt:

dF(s) = dF(S0)  dF( ˜S0)  dF(s),

also sogar dF( ˜S0) = dF(s). Nach Satz 3.8(2) ist dann die Komposition

F(OS˜) −→ F(OSs,n)

α

−→ F(O(s))

(33)

(i) Es gibt ein n, so dass pn : Fx(OS,s) −→ Fx(OS,s/mn+1s ) surjektiv ist,

oder

(ii) die Abbildung ˆp : Fx(OS,s)∧−→ lim

← Fx(OS,s/m n+1

s ) ist surjektiv. (Die

Komplettierung links sei bez¨uglich msOX,x.)

Dann ist F gut in s.

Beweis. Wir m¨ussen die Implikation (A)s =⇒(B)s zeigen. Sei dazu x ∈

f−1(s).

Wegen Lemma 3.16 ist Fx rechtsexakt auf der Kategorie derOS,s-Moduln

endlicher L¨ange. Gilt Voraussetzung (i), so ist die Komposition Fx(OS,s)

pn

−→ Fx(OS,s/mn+1s ) −→ Fx(k(s))

surjektiv, und nach Satz 1.15 ist Fx rechtsexakt.

Gilt Voraussetzung (ii), so folgt aus [13] III, Prop. 7.5.2, dass Fxrechtsexakt

ist.

Weil f¨ur jedes x ¨uber s der Funktor Fx rechtsexakt ist, ist F rechtsexakt

¨

uber s, und mit den Lemmata 2.15 und 3.11 folgt sofort, dass F auch exakt ¨

uber s ist. 2

Satz 3.18. Sei S ein universell japanisches reduziertes Noethersches Schema oder ein reduzierter komplexer Raum und s ∈ S ein abgeschlossener Punkt. Es gebe einen f -Faserfunktor F1(dessen Tr¨ager nicht in Y zu liegen braucht) und zu jeder exakten Sequenz

(e) : 0 −→M0−→M −→ M00−→ 0

vonOS-Moduln eine in (e) funktorielle Randabbildung ∂ : F(M00) −→ F1(M0),

so dass die Sequenz

F(M0) −→ F(M) −→ F(M00)−→ F∂ 1(M0) −→ F1(M) −→ F1(M00)

exakt ist. Dann ist F gut in s.

Wir zeigen zun¨achst die folgende Hilfsaussage:

Lemma 3.19. Sei A ein Ring, Λ eine wachsend filtrierte geordnete Menge und  Mλ0 αλ −→ Mλ βλ −→ Mλ00 λ∈Λ

ein projektives System von exakten Sequenzen von A-Moduln. Das System (ker αλ) erf¨ulle die Mittag-Leffler-Bedingung ([13] 0III, 13.1.2). Dann ist auch

(34)

Beweis. Wegen im(αλ) = ker(βλ) sind die folgenden Sequenzen exakt:

0 −→ ker(αλ) −→ Mλ0 −→ ker(βλ) −→ 0

0 −→ ker(βλ) −→ Mλ−→ Mλ00.

Der inverse Limes erh¨alt Linksexaktheit und wegen der Voraussetzung an das System ker(αλ) nach [13] 0III, 13.2.2, bei der ersten Sequenz auch Exaktheit.

Insgesamt erhalten wir also die exakten Sequenzen 0 −→ lim

← ker(αλ) −→ lim← M 0

λ−→ lim ker(βλ) −→ 0

0 −→ lim

← ker(βλ) −→ lim← Mλ−→ lim← M 00 λ,

und daraus folgt sofort die Behauptung. 2 3.20. Beweis von Satz 3.18. Sei x ein Punkt in X mit f (x) = s und A = OS,smit maximalem Ideal m. Wir zeigen, dass die Bedingung (ii) in Satz 3.17

erf¨ullt ist.

Nach Lemma 1.12(1) gilt f¨ur großes k und f¨ur alle n ≥ 0: Fx(mk+n+1) = mn+1Fx(mk), F1x(m

k+n+1) = mn+1F1 x(m

k).

Wir w¨ahlen ein solches k und bezeichnen mit Kn das Bild von Fx(mk+n+1) in

Fx(A)/mk+n+1Fx(A). Betrachten wir nun das projektive System der exakten

Sequenzen Fx(A)/mk+n+1Fx(A) αn −→ Fx(A/mk+n+1) −→ F1x(m k+n+1 ). Offenbar ist Kn gerade der Kern von αn.

Wir wollen zeigen, dass die Kn die Mittag-Leffler-Bedingung erf¨ullen: Das

Bild von K`+nin Kn ist aber gerade m`Kn, und weil Kn als Untermodul von

Fx(A)/mk+n+1Fx(A) ein Modul ¨uber dem Ring A/mk+n+1 ist, verschwindet

dieses Bild f¨ur ` ≥ k + n.

Wir k¨onnen also das vorangehende Lemma 3.19 anwenden und erhalten im inversen Limes ¨uber n eine exakte Sequenz

Fx(A)∧−→ lim ← Fx(A/m k+n+1) −→ lim ← F 1 x(mk+n+1).

Mit [20], Theorem 8.10, gilt jedoch lim ← F 1 x(m k+n+1) =\ n mn+1F1x(mk) = 0,

(35)

Satz 3.21. Sei s ∈ S ein abgeschlossener Punkt und (Fλ, tλ0λ) ein in s schwach station¨ares induktives System von f -Faserfunktoren mit Tr¨ager in Y , dessen Limes F auch ein f -Faserfunktor ist. Ist jeder der Funktoren Fλ

gut in s, so ist auch ihr Limes gut in s.

Beweis. Nachzuweisen ist die Implikation (A)s=⇒(B)sf¨ur F. F¨ur jede lokal

irreduzible Komponente S0 von S in s sei also dF(S0) = dF(s). Wir m¨ussen

zeigen, dass F exakt ¨uber s ist.

Wir w¨ahlen λ ∈ Λ so, dass f¨ur λ0 ≥ λ die Abbildungen tλ0λ(O(s)) und f¨ur alle lokal irreduziblen Komponenten S0von S in s die tλ0λ(OS0) Isomorphismen sind.

Insbesondere ist f¨ur solche S0 dann F(OS0) ∼= Fλ(OS0) und F(O(s)) ∼= Fλ(O(s)). Die Aussage (A)sh¨angt nur vom Wert des Funktors in denOS0 und in O(s) ab; weil sie nach Annahme f¨ur F gilt, gilt sie auch f¨ur Fλ. Nach

Vor-aussetzung ist aber Fλ gut, und somit ist nach Satz 1.15 f¨ur jedes x ∈ f−1(s)

die Abbildung

Fx(OS,s) ∼= (Fλ)x(OS,s) −→ (Fλ)x(k(s)) ∼= Fx(k(s))

surjektiv, und Fx(OS,s) = (Fλ)x(OS,s) ist flach ¨uberOS,s. 2

Fassen wir unsere Ergebnisse zusammen, so erhalten wir:

Satz 3.22. Sind f : X −→ S, Y und F wie in 3.1, ist S zus¨atzlich reduziert und F konstruierbar und gut, so sind ¨aquivalent:

(A) Die Abbildung dF aus 3.4 ist stetig (also lokal konstant).

(B) F ist exakt. 2

Wir bemerken, dass die Voraussetzungen an F insbesondere dann erf¨ullt sind, wenn F kohomologisch (im Sinne von Satz 3.3) und – in der algebraischen Situation – S universell japanisch ist.

4. Besprechung der Ergebnisse, Gegenbeispiele

4.1. Die Beweise im vorangehenden Kapitel und die Darstellung vereinfachen sich, wenn wir nur den algebraischen Fall untersuchen. In diesem Fall k¨onnen wir statt eines irreduziblen abgeschlossenen Unterschemas einfach dessen ge-nerischen Punkt betrachten und uns so auf den Vergleich von Punkten be-schr¨anken. Satz 3.12 ist dann bereits in Satz 3.8 enthalten.

(36)

– Der betrachtete Funktor hat Tr¨ager in einer abgeschlossenen Teilmen-ge Y ⊆ X, die endlich ¨uber S ist. Wir k¨onnen dann L = OX w¨ahlen,

und das Hilbertpolynom ist einfach die L¨ange des betreffenden Mo-duls.

– Die Abbildung f : X −→ S ist selbst projektiv.

Besprechen wir die Voraussetzungen aus 3.1. Zun¨achst ist der Tr¨ager von F(M) stets in Y enthalten, also eigentlich ¨uber S. Dies stellt sicher, dass die Fasern gewissermaßen

”endlich“ sind, dass es also m¨oglich und sinnvoll ist, die Faser als Ganzes zu betrachten. Das Hilbertpolynom liefert zus¨atzlich ein ”Maß“, das uns gestattet, Eigenschaften auf der Faser zu messen und insbe-sondere zwischen den Fasern zu vergleichen. Daher sollten unsere Aussagen allgemeiner f¨ur ¨uber S eigentliches Y gelten, wenn ein

”Maß“ f¨ur Garben von Moduln mit Tr¨ager in Y und von endlicher L¨ange ¨uber einem Punkt der Ba-sis (wie in 2.5 und 2.7) existiert, das genau f¨ur den Nullmodul verschwindet, additiv unter exakten Sequenzen ist und einen Vergleich zwischen den Fasern wie in Lemma 3.9 gestattet.

4.3. Vor dem Hintergrund der vorstehenden ¨Uberlegung scheint es unbefrie-digend, dass wir zum Beweis des Flachheitskriteriums in den Lemmata 2.12 und 2.15 Gebrauch von Twists gemacht haben. Skizzieren wir daher einen Beweis, der nur die in 4.2 besprochenen Eigenschaften des Hilbertpolynoms verwendet.

Wir nehmen dazu an, dass wir uns in der Situation des Beweises von Satz 3.8 befinden und in den Beweisschritten 1 und 2 bereits gezeigt haben, dass der untersuchte Funktor F rechtsexakt, also von der GestaltF ⊗ − ist.

IstI eine koh¨arente Idealgarbe in OS/tOS, so folgt wegen der Gleichheit in

(3.10.2) aus 3.7, dass die Abbildung

F ⊗OS I ∼= F(I) −→ F (OS/tOS) ∼=F ⊗OS OS/tOS

injektiv ist. Weil dies f¨ur jede koh¨arente Idealgarbe inOS/tOS gilt, erhalten

wir aus [20], Thm. 7.7, dassF ⊗OS OS/tOS flach ¨uberOS/tOS ist.

Die Argumentation bleibt richtig, wenn wir trmit r > 0 statt t betrachten. F¨ur alle r > 0 ist also F ⊗OS OS/trOS flach ¨uber OS/trOS, und mit [20],

Thm. 22.3, zeigt man sofort, dassF dann flach ¨uber dem betrachteten Punkt s ∈ S ist.

4.4. Die Beweisf¨uhrung und die Darstellung der Ergebnisse vereinfachen sich wesentlich, wenn wir uns darauf beschr¨anken, nur kohomologische Faserfunk-toren zu untersuchen. Wir k¨onnen dann auf Lemma 1.14 verzichten; nur mit Hilfe von Lemma 1.12 gilt stets die wichtige Isomorphie

Fx(M )∧ ∼

−→ lim

(37)

aus dem Beweis von Satz 1.15. Wir werden jedoch sp¨ater auch Faserfunktoren untersuchen, die nicht kohomologisch sind: In 7.10 geben wir ein Beispiel f¨ur einen Funktor an, der gut, aber nicht konstruierbar (also insbesondere auch wegen Satz 3.3 nicht kohomologisch) ist.

4.5. Im Beweis von Lemma 1.14 ben¨otigen wir nicht, dass F endliche A-Moduln auf endliche B-A-Moduln wirft. Dagegen wird etwa Lemma 1.13 ohne diese Voraussetzung falsch, wie man leicht an dem folgenden Beispiel feststellt. Ebenso sehen wir an diesem Beispiel, dass ein Funktor F von ModAin ModB

mit der Eigenschaft, dass f¨ur jedes Primideal p ⊂ A der Modul F(k(p)) endlich ¨

uber B⊗Ak(p) ist, nicht notwendig endliche A-Moduln auf endliche B-Moduln

abbildet.

Sei dazu p eine Primzahl, A = B = ZpZ und f = idA. Der Ring A enth¨alt

zwei Primideale: das Nullideal und (p). Wir betrachten den Funktor F = Q⊗−. Es gilt

F(k(0)) = F(Q) = Q, F(k(p)) = F(Z/pZ) = 0, F(Z/pn+1Z) = 0. Jedoch ist F(A) = Q kein endlicher A-Modul, und die Aussage in Lemma 1.13 trifft auf F nicht zu.

4.6. Sei f : X −→ S ein Morphismus von Noetherschen Schemata oder kom-plexen R¨aumen, und sei t : F0 −→ F eine nat¨urliche Transformation von f -Faserfunktoren. Dann definieren auch die Zuordnungen

K :M 7→ ker t(M) und C : M 7→ coker t(M)

Funktoren von CohS in CohX, die im Sinne von 1.1 Modulstruktur und

Restriktionen respektieren, aber im allgemeinen nicht halbexakt sind. Ist jedoch F0 rechtsexakt, also von der GestaltF ⊗ −, wobei F ein

koh¨aren-ter OX-Modul ist, und ist F linksexakt, so sieht man leicht mit Hilfe des

Schlangenlemmas, dass auch K und C halbexakt, also f -Faserfunktoren sind. Im folgenden seien F0 rechts- und F linksexakt.

IstM −→ M00 eine surjektive Abbildung koh¨arenterOS-Moduln, so

erhal-ten wir ein kommutatives Diagramm mit exakerhal-ten Zeilen F ⊗ M t(M)- F(M) - C(M) - 0 F ⊗ M00 α ? t(M00) - F(M00) β ? - C(M00) γ ? - 0.

Die Abbildung α ist surjektiv. Wegen des F¨unferlemmas ist β genau dann surjektiv, wenn γ es ist. Insbesondere ist C genau dann rechtsexakt, wenn auch F rechtsexakt, also exakt ist.

(38)

der Funktor C linksexakt. In diesem Falle erhalten wir also, dass F genau dann exakt ist, wenn C es ist.

Diese ¨Uberlegungen liefern uns die folgenden Anwendungsm¨oglichkeiten: 1. Sind f : X −→ S, Y und F wie in 3.1 und ist C wie oben, so k¨onnen wir mit den Ergebnissen des vorangehenden Kapitels – angewandt auf F – ¨

uberpr¨ufen, ob der Funktor C rechtsexakt ist.

2. Mit unserer ¨Uberlegung l¨asst sich oft eine nicht projektive Situation in eine projektive ¨uberf¨uhren. Seien f : X −→ S und Y wie in 3.1, sei F ein beliebiger f -Faserfunktor, und seien F0, K und C wie oben und so, dass K

verschwindet und f¨ur jedenOS-Modul M der Tr¨ager von F(M) in Y liegt.

Wie wir oben gesehen haben, ist F genau dann exakt, wenn C es ist, und auf C k¨onnen wir die Ergebnisse des vorangehenden Kapitels anwenden.

Es bleibt zu untersuchen, ob C ein guter Faserfunktor ist. Geben wir hierf¨ur ein einfaches hinreichendes Kriterium an: Ist F kohomologisch, gibt es also ein F1wie in Satz 3.18, so ist f¨ur eine kurze exakte Sequenz 0 −→M0−→M −→

M00−→ 0 auch die Sequenz

(39)

Teil II. Anwendungen 5. Erste Beispiele

5.1. Sei f : X −→ S ein projektiver Morphismus von Noetherschen Schemata oder komplexen R¨aumen. Im algebraischen Fall nehmen wir zus¨atzlich an, dass S ausgezeichnet und endlichdimensional ist.

Sei Z ein weiteres Noethersches Schema oder ein weiterer komplexer Raum und g : Z −→ X ein eigentlicher Morphismus. Ist G ein S-flacher koh¨arenter OZ-Modul, so betrachten wir den Funktor

CohS−→ CohX, M 7→ Rrg∗(G ⊗OSM).

Wir sagen,G sei kohomologisch flach in Dimension r bez¨uglich f, wenn dieser Funktor exakt ist.

Nun ist der Funktor aber halbexakt und wird mit den offensichtlichen Restriktionen zu einem f -Faserfunktor. Betrachten wir die f -Faserfunktoren Rig

∗(G ⊗ −) f¨ur i ≥ r, so k¨onnen wir Satz 3.3 und Satz 3.18 anwenden und

sehen, dass Rrg∗(G ⊗ −) konstruierbar ist und gut, wenn S reduziert ist.

5.2. Sei f wie oben, und sei · · · −→Gr −→ Gr+1 −→ · · · ein Komplex von

koh¨arenten S-flachenOX-Moduln. Auch der Funktor

CohS−→ CohX, M 7→ Hr(G·⊗OS M)

ist halbexakt und ein f -Faserfunktor. Satz 3.3 und Satz 3.18 zeigen, dass er konstruierbar und – bei reduziertem S – gut ist.

5.3. Seien f : X −→ S,L und Y wie in 2.4 oder 2.6, seien F ein koh¨arenter OX-Modul mit Tr¨ager in Y und G ein S-flacher koh¨arenter OX-Modul, und

sei r ≥ 0. Wieder nehmen wir in der algebraischen Situation zus¨atzlich an, dass S ausgezeichnet und endlichdimensional ist. Der Funktor

CohS −→ CohX, M 7→ ExtrX(F, G ⊗OS M)

ist halbexakt und ein f -Faserfunktor und bildet koh¨arente OS-Moduln auf

koh¨arente OX-Moduln mit Tr¨ager in Y ab. Wieder sehen wir mit Satz 3.3

und Satz 3.18, dass er konstruierbar und – f¨ur reduziertes S – gut ist. Insgesamt erhalten wir also mit Satz 3.13 und 3.14:

Satz 5.4. Sei F einer der oben definierten Funktoren, und sei dF : S −→P

die Abbildung aus 3.4. Dann gilt: (1) dF ist halbstetig nach oben.

Abbildung

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