HUNGARIAN ACADEMY OF SCIENCES CENTRAL RESEARCH INSTITUTE FOR PHYSICS G. Domokos, S. Kövesi -Domokos, and P. Surányi AND DELTA RÉGGÉ TRAJECTORIES AND ITS APPLICATION TO THE NUCLEON MASS FORMULA IN BROKEN SL(2,C) тк-де-зрд

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J 9 6 8 MÁJ 2 4

MASS FORMULA IN BROKEN SL(2,C) AND ITS APPLICATION TO THE NUCLEON

AND DELTA RÉGGÉ TRAJECTORIES

G. Domokos, S. Kövesi-Domokos, and P. Surányi

435«

HUNGARIAN ACADEMY OF SCIENCES

CENTRAL RESEARCH INSTITUTE FOR PHYSICS

(2)

(3)

MASS FORMULA IN BROKEN S L /2 ,C / AND ITS APPLICATION TO THE NUCLEON AND DELTA REGGE TRAJECTORIES

G .Domokos, S .K övesi-D om 'okos a n d P .S u r á n y i

C e n t r a l R e s e a r c h I n s t i t u t e f o r P h y s i c s , B u d a p e s t, H u n g ary .

ABSTRACT

C o n se q u e n c e s o f a R e g g e - t r a j e c t o r y g e n e r a t i n g a l g e b r a S L /2 ,C / a r e e x p l o r e d a t n o n v a n i s h i n g e n e r g y . N u cleo n a n d d e l t a t r a j e c t o r i e s s a t i s f y a s e c o n d o r d e r " m a s s - f o r m u la " r e m a r k a b ly w e l l .

(4)

(5)

I n a s e r i e s o f p a p e r s , we i n v e s t i g a t e d t h e c o n c e p t a n d c o n s e q u e n c e s o f a t r a j e c t o r y g e n e r a t i n g a l g e b r a /T G A /, f o r h a d ro n s y s te m s . The m ain, r e s u l t o f t h e i n v e s t i g a t i o n i s t h a t - p s a c o n s e q u e n c e o f s t a n d a r d a n a l y t i c i t y and i n v a r i a n c e p r o p e r t i e s o f t h e s c a t t e r i n g a m p litu d e a n d o f c r o s s e d - c h a n n e l u n i t a r i t y , R egge t r a j e c t o r i e s o c c u r i n f a m i l i e s ; t h e c o r r e s p o n d in g "w ave f u n c t i o n s " o f p s e u d o s t a t e s ^ 1/ a t z e ro momentum t r a n s f e r , t / i . e . v a n i s h i n g m ass o f th e e x c h a n g e d Regge p o l e / /R e g g e " v e r t i c e s " / t r a n s fo rm a c c o r d i n g to a n i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n / I R / o f a t r a j e c t o r y g en e r a t i n g a l g e b r a , l a r g e r th a n t h e L ie a l g e b r a o f th e l i t t l e g ro u p s f o r s p a c e - o r t i m e l i k e momentum t r a n s f e r s . The r o l e o f t h e TGA i s t o make c e r t a i n t h a t a t th e c o n t r a c t i o n p o i n t , t= 0 o f th e a f o r e m e n tio n e d l i t t l e g r o u p s / S 1 / 2 , R / and S U / 2 /, r e s p e c t i v e l y , no u n w a n te d s i n g u l a r i t i e s o c c u r i n an y s c a t t e r i n g a m p l i t u d e . G e n e r a l l y s p e a k in g , t h e TGA d o e s n o t g e n e r a t e e x t r a s y m m e trie s o f th e s c a t t e r i n g a m p litu d e s b u t r a t h e r i t e x p r e s s e s some p r o p e r t i e s o f t h e bound s t a t e s p e c tr u m / " R e g g e - p o l e s " / i n a com p act f o r m . I t was show n i n r e f 7 t h a t t h e m in im a l a l g e b r a s a t i s f y i n g t h e s e r e q u i r e m e n t s i s 4 / S L / 2 , C / .

I n t h i s l e t t e r we e x p l o r e th e c o n s e q u e n c e s o f t h e TGA j u s t men

t i o n e d f o r th e a l g e b r a i c c l a s s i f i c a t i o n o f R egge t r a j e c t o r i e s o f f t h e p o i n t t= 0 .

I t i s i n t u i t i v e l y c l e a r a n d can b e d e m o n s t r a te d by m odel c a l c u l a t i o n s t h a t o f f th e p o i n t t= 0 t h e f a m i ly o f p s e u d o s t a t e s c a n n o t tr a n s f o r m anym ore a c c o r d i n g t o a n IR o f t h e TGA. N e v e r t h e l e s s , s i n c e t h e un sy m m et- r i c te rm s h a v e d e f i n i t e - and s im p l e - t r a n s f o r m a t i o n p r o p e r t i e s u n d e r th e TGA, one c a n make some d e f i n i t e p r e d i c t i o n s a b o u t th e b e h a v i o u r o f i n d i v i d u a l members o f a f a m i l y o f Regge t r a j e c t o r i e s g e n e r a t e d b y th e TGA.

To f i x th e i d e a s , l e t u s c o n s i d e r a B e t h e - S a l p e t e r /Ё Б / m odel o f Regge t r a j e c t o r i e s . We w r i t e t h e h o m o g e n eo u s, p a r t i a l w ave BS e q u a t i o n i n o p e r a t o r fo r m :

H ( w , p W > a C F ( v / ) - K { W , i ) ] | < f > - 0 ,

1—8

/

¹

/

(6)

2

w h e re F i s t h e i n v e r s e o f t h e d i s c o n n e c t e d p a r t o f t h e t w o - p a r t i c l e G r e e n ’ s f u n c t i o n , К s t a n d s f o r t h e BS k e r n e l . T h e t o t a l m ass a n d s p i n

o f t h e h o u n d s t a t e a r e W = t . a n d j , r e s p e c t i v e l y . At W = 0 /b e c a u s e o f t h e TGA/, t h e d e p e n d e n c e o f H on j e n t e r s o n l y th r o u g h t h e S L / 2 , 0 / i n v a r i a n t , .W e h a v e n a m e ly f o r a b o u n d s t a t e s o l u t i o n th e r e l a t i o n t

^ a (S'- v c , w h ere (S' d e t e r m in e s t h e p o s i t i o n o f t h e "L o r e n tz p o l e " a n d i s t h e " o r d e r " o f t h e b o u n d s t a t e i n t h e S L /2 ,C / f a m i l y i n q u e s t i o n . E x p e n d in g now e q . / 1 / a r o u n d t h e p o i n t W = 0 , we w r i t e :

( H 0 + ( H ^ + H<r « Д ) w + . . . ) (

¹

4 > > + ) = 0 /

²

/

c o r r e s p o n d in g t o a n e x p a n s io n Of t h e R egge t r a j e c t o r i e s j

OC ( 'w/ ) s (S' — -f. **U/ *+ Jr ...**

On c o l l e c t i n g t h e p o w ers o f W a n d m u l t i p l y i n g / 2 / w i t h t h e b r a - v e c t o r

< l p | we a r r i v e a t t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s o f t h e d e r i v a t i v e s :

0(^c - ^ H ^ j

«л. * HivW> - 2 < ^{h w} hjBf Hi^> ~ 2 «»

x i ± i Hw> + < ^{h w} t p Щ>1 V («ь f | > Hu -> - /3/

I n t h e s e f o r m u l a e , HQ3 H (W=0, b e i n g t h e p o s i t i o n o f a L o r e n t z - p o l e ) , t h e s u b s c r i p t s mean p a r t i a l d e r i v a t i v e s a n d P«p i s t h e p r o j e c t i o n

o p e r a t o r o n to t h e h o u n d s t a t e a t W=0. E x p e c t a t i o n v a l u e s , l i k e , mean 4* I H ^ | t a k e n a t W=0 a n d J e G T ^ - ä C . T h e bo u nd s t a t e l a t W=0 i s c h a r a c t e r i s e d b y t h e e i g e n v a l u e s o f t h e C a s i m i r o p e r a t o r s o f S L / 2 ,C / a t W=0j c o n v e n t i o n a l l y , we c h o s e t h e n u m b e rs О м Л t o l a b e l t h e b o u n d s t a t e . The n um bers (S' a n d j a r e c o n n e c te d w ith t h e C a s im ir

o p e r a t o r s o f S L / 2 ,C / i n i t s r e a l fo rm a s f o l l o w s :

i ( s - o f = í i ( í i + 0 ^ ’

k s + iT 2 = d 2 ( d 2 + i) ^ ,

j x = I ( c r + j 0 >) , j 2 = \ ( S - d 0 ) ,

w h e re S a n d T s t a n d f o r t h e " c o m p a c t" a n d " n o n -c o m p a c t" e le m e n ts o f S L / 2 , C / , r e s p e c t i v e l y .

(7)

- 3 -

We now o b s e r v e t h a t Hw i s a n i r r e d u c i b l e t e n s o r o p e r a t o r u n d e r B L / 2 ,C / , s i m i l a r l y £ 1 ,0 ^ (§> ^ 1 , 0 t e t c , w h ile Ho ^ 0 , o \ , Нг ~ | о , о | , i . e . t h e y a r e i n v a r i a n t s . U s in g t h i s f a c t a n d t h e W ig n e r-E c k a rt th e o r e m f o r S L / 2 , 0 / , we c a n e x t r a c t t h e e n t i r e d e p e n d e n c e on VC o f t h e m a t r i x e le m e n ts i n t o C le b s c h -G o r d a n c o e f f i c i e n t s o f t h e TGA.

8/

I n s e r t i n g t h e v a l u e s o f t h e l a t t e r ' ' , we g e t t h e f o l l o w i n g p h e n o m e n o lo g ic a l e x p r e s s i o n s f o r R eg ge t r a j e c t o r i e s t h a t b e l o n g t o one S L /2 ,C / " f a m i ly "

/ i . e . b u i l d up a n IR o f t h e TGA/ a t W=Oj

+ A ⁺

+ [B,+ B ^a C®-)C's-ictO + А2(«s-- '/z )]w 2+ О** (W *) /V

/F e r m i t r a j e c t o r i e s w ith

J

^{j Q|} ^{= 1 / 2 /}

o

(

k

.(.

w

}» (Г -Ü t [ 6 > , + О **г-)(0--а<.оЗ'л** ^

tOCwU /5/

/B o s e t r a j e c t o r i e s , w ith j = i n t e g e r / .

Thus i n t h e C h e w - F r a u ts c h i a p p r o x im a ti o n / t h e po w er s e r i e s o f 0 ( ( W ) / b r o k e n o f f a t t h e q u a d r a t i c t e r m / , a - g e n e r a l l y I n f i n i t e - f a m i l y o f f e r m io n Regge t r a j e c t o r i e s i s d e s c r i b e d b y f o u r in d e p e n d e n t p a r a m e t e r s . w h e re a s t h r e e p a r a m e t e r s a r e s u f f i c i e n t f o r t h e d e s c r i p t i o n o f a b o s o n f a m i l y .

/T h e p a r a m e te r s A ,B ^ ,B2* e t c . a r e e s s e n t i a l l y i n v a r i a n t c o m b in a tio n s o f t h e r e d u c e d m a t r i x e le m e n ts o f o p e r a t o r s a p p e a r i n g i n / 3 / / «

The d e t a i l s o f t h e t h e o r y o f a b r o k e n TGA h a v e b e e n d e s c r i b e d e l s e wh e r e ' ' 7’ h e r e we r e p o r t t h e r e s u l t s o f t h e a n a l y s i s o f t h e b e s t - know n'R egge t r a j e c t o r i e s - t h e 1 = 1 /2 a n d 1 = 3 /2 n o n s t r a n g e b a r y o n t r a j e c t o r i e s - b a s e d on t h i s t h e o r y .

a / 1 = 1 /2 . We assu m ed t h a t t h e know n R ^ t r a j e c t o r y i s t h e p a r e n t o f an S L (2 ,C ) f a m i l y . F u r t h e r , t h e p o s i t i o n s a n d s p i n - p a r i t y a s s iq u m e n ts o f t h e P -j^ (l4 6 6 ) a n d S - ^ ( l5 5 0) r e s o n a n c e s s u g g e s t t h a t t h e may l i e on t h e

?< = 2 member o f t h e sam e f a m i l y . On m a k in g t h i s h y p o t h e s i s , we d e te r m in e d t h e p a r a m e te r s <3^, A , B^ a n d fro m t h e s t a t e s j u s t m e n tio n e d a n d fro m t h e d a t a o f Р ^ С Э З В ) an d F ^ ,-(l6 8 8 ) ( p r e s u m a b ly t h e p a r e n t o f P - ^ ( l 4 6 6 ) ^ The r e s u l t i n g v a l u e s o f t h e p a r a m e te r s a r e :

< T = - 0,37

A = 0,0 5 4' G e V 1

B1 = 1 .0 4 GeV“ 2 , B2 = 0 .0 8 GeV“ 2 I

(8)

4^-

a n d t h e t r a j e c t o r i e s a c c o r d i n g t o e q . ( 4 ) a r e p l o t t e d i n F ig « 1« We o b s e r v e t h a t t h e r e s u l t i n g v a l u e o f <y i s i n good a g re e m e n t w i t h t h e z e r o i n t e r c e p t o f t h e n u c l e o n t r a j e c t o r y a s o b t a i n e d e . g . fro m t h e r e c e n t f i t o f N o i r o t e t a l ^ / t o b a c k w a r d N s c a t t e r i n g . F u r t h e r , t h e Ю = 1 t r a j e c t o r y /w h ic h we h av e c a l c u l a t e d / a p p e a r s t o c o i n c i d e p r e c i s e l y w ith t h e N y t r a j e c t o r y known p h e n o m e n o l o g i c a l l y . The r e s o n a n t s t a t e s p l o t t e d

o T ny ^11/

i n F i g . 1 . a r e t a k e n fro m R o s e n f e l d ’a t a b l e s ' a n d o f L o v e la c e ' «

P l o t t e d a r e a l s o t h e s t a t e s ( ? ) w h ic h w e re c l a s s i f i e d a s " r e s o n a n c e i n t e r p r e t a t i o n i n d o u b t" i n r e f 11/ . S p i n - p a r i t y a s s ig n m e n ts o f some h i g h e r

1 2^/

r e s o n a n c e s w ere t a k e n fro m B a r g e r ' , The a g re e m e n t b e tw e e n t h e o b s e r v e d r e s o n a n c e s a n d t h e i r mass v a l u e s r e s u l t i n g fro m e q . ( 4 ) i s i n g e n e r a l q u i t e g o o d 1^ / .

b / 1 = 3 /2 . A s i m i l a r p r o c e d u r e was a p p l i e d t o t h e o b s e r v e d

Д - r e s o n a n c e s , A c c e p tin g - t h e ex ch a n g e - d e g e n e r a t e - f i t o f r e f - ^ f o r , t h e t r a j e c t o r y was f o r c e d t h r o u g h D ^ ( l 9 5 4 ) j t h e r e s u l t i n g v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r s b e i n g !

( Г = 0 . 1 5 , A » 0 , B1=0 .8 9 GeV“ 2 , B2= 0 .0 7 GeV“ 2 .

The c o r r e s p o n d i n g c u r v e s a r e p l o t t e d i n F i g . 2 . The a g r e e m e n t b e tw e e n t h e p r e d i c t e d an d o b s e r v e d mass v a l u e s o f t h e 1 = 3 /2 r e s o n a n c e s i n in d e e d e n c o u r a g in g .

To c o n c l u d e , i t seem s t h a t h a d r o n i c R egge t r a j e c t o r i e s c a n b e c l a s s i f i e d s u c c e s f u l l y a c c o r d i n g t o r e p r e s e n t a t i o n s o f a b r o k e n S L (2 ,C ) TGA, I t i s im p o r t a n t t o p o i n t o u t t h a t a m ass f o r m u la o f t h e t y p e / 4 / , / 5 / i s a n e c e s s a r y c o n s e q u e n c e o f s u c h a c l a s s i f i c a t i o n a n d i t s h o u l d b e c h e c k e d a g a i n s t t h e e x p e r i m e n t a l d a t a w h e n e v e r one a t t e m p t s t o p u t some R egge t r a j e c t o r i e s i n t o f a m i l i e s o f t h e TGA.

T he f i r s t nam ed a u t h o r / G . D . / w is h e s t o t h a n k P r o f e s s o r L .V a n Hove f o r t h e h o s p i t a l i t y h e e n jo y e d d u r in g a v i s i t t o CERN, w h ere h e b e n e f i t t e d fro m d i s c u s s i o n s w i t h D .A m a ti, C .B . C h iu , M. T o l l e r a n d o t h e r m em bers o f t h e T h e o r e t i c a l D i v i s i o n .

(9)

F o o t n o t es a n d r e f e r e n c e s

1 . / G .Domokos a n d P . B u r á n y i, N u c .P h y s . ^ 4 , / 1 9 6 4 / 529 2 . / G .Domokos, P h y s .R e v . 1 ^ , / 1 9 6 7 / 1307

3 . / G .Domokos, P h y s . L e t t . 24B / 1 9 6 7 / 293

4 « / G .Domokos a n d G .L .T i n d l e , P h y s .R e v . 1 6 5 . 19o6 / I 9 6 0 / 5 . / G .Domokos a n d G .L .T i n d l e , C om m .M ath.Phys, 2* / 1 9 6 7 / 16o

6 . / P . B u r á n y i, P r o c . H e id e l b e r g C o n f e r e n c e / 1 9 6 7 / / t o b e p u b l i s h e d / 7 . / G .Domokos a n d P . B u r á n y i, P r o c . T o p i c a l C o n fe re n c e on H ig h E n e rg y

C o l l i s i o n s o f H a d ro n s , CERN / I 9 6 0 / / t o b e p u b l i s h e d /

8 . / G .Domokos a n d P .S u r á n y i , p r e p r i n t s KFKI 1 /1 9 6 8 , 3 /1 9 6 8 a n d t o b e p u b l i s h e d

9 » / Y .N o ir o t, M .R im p au lt a n d T . S a i l l a r d , B o rd eau x p r e p r i n t / 1 9 6 7 / PTB-28 1 0 . / A .H .R o s e n f e l d , N .B a r a s h - S c h m id t, A . B a r b a r o - G a l t i e r i , L . R . P r i c e ,

P .S ö d in g , C .G .W ohl, M.Roos a n d W . J . W i l l i s , UCRL 8 0 3 0 - P t . 1 / R e v . / , J a n u a r y 1 9 6 8 . S l i g h t c h a n g e s i n t h e m ass v a l u e s o f some r e s o n a n c e s i n t h i s e d i t i o n w ith r e s p e c t t o o l d e r ones l e a v e t h e p a r a m e te r s o f t h e f i t ^ p r a c t i c a l l y u n a f f e c t e d .

1 1 . / C .L o v e la c e , P r o c . H e id e l b e r g C o n f e r e n c e / 1 9 6 7 / / t o b e p u b l i s h e d / . 1 2 . / V .B a r g e r , P r o c . T o p i c a l C o n f e r e n c e on H ig h E n e rg y C o l l i s i o n s o f

H a d ro n s , CERN / i 9 6 0 / , t o b e p u b l i s h e d

1 3 » / The f i t s u s e d i n t h i s l e t t e r a r e som ew hat u n c e r t a i n due t o a m b i g u i t i e s i n d e t e r m in i n g t h e p o s i t i o n o f a r e s o n a n c e i n t h e p r e s e n c e o f o t h e r open c h a n n e ls / s e e t h e d i s c u s s i o n o f t h i s p o i n t g iv e n i n ^ 0// / a n d e x p e r i m e n t a l e r r o r s . H ere - a s r e l i a b l e e r r o r - e s t i m a t e s a r e n o t a v a i l a b l e - we s im p l y a c c e p t e d t h e d a t a a t t h e i r f a c e - v a l u e . We t e n t a t i v e l y i g n o r e d some t r o u b l e s w i t h S U /3 / a s s ig n m e n ts . I f Р - ц /1 4 6 6 / i s a member o f a 1Ü / a s s u g g e s t e d b y L o v e la c e , CERN r e p . / 1 9 6 5 / Т Н 6 2 8/, t h e n i t c a n n o t b e t o g e t h e r w ith В ц / 1 5 4 8 / i n t o one f a m i l y w h ic h i s a lm o s t c e r t a i n l y a n o c t e t . H ow ever, i f P ^ ^ /1 4 6 6 / a n d Zo a r e i n 1Ü, t h e n i t i s som ew hat d i f f i c u l t t o g e t r i d o f a n u n o b s e r v e d s t a b l e * • A ls o , t h e mass v a l u e s and s p i n - p a r i t y a s s ig n m e n ts seem t o s u g g e s t t h a t P j j / 1 4 6 6 / a n d 3 - ^ / 1 5 4 8 / may b e lytacDowell p a r t n e r s , i n w h ic h c a s e a l s o P -^ w o u ld b e a n o c t e t .

(10)

F ig u r e c a p t i o n s

P i g , 1 . R eggé t r a j e c t o r i e s w i t h t h e o b s e r v e d 1 = 1 /2 n u c le o n r e s o n a n c e s 0 R e s o n a n c e s o f p o s i t i v e s i g n a t u r e . a r e m a rk e d by t r i a n g l e s , t h e s e

o f n e g a t i v e s i g n a t u r e b y c i r c l e s . W e l l - e s t a b l i s h e d r e s o n a n c e s a r e draw n w i t h f u l l t r i a n g l e s a n d c i r c l e s . P o in ts c l a s s i f i e d as

" r e s o n a n c e i n t e r p r e t a t i o n i n d o u b t" i n 1 "*- a r e d i s t i n g u i s h e d b y a q u e s tio n m a r k .

P i g . 2 . R egge t r a j e c t o r i e s w i t h th e o b s e r v e d 1 = 3 /2 r e s o n a n c e s . The n o t a t i o n i s thB sam e as i n P i g . 1 .

1

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F i g . 1 .

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(13)

F i g . 2 .

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P r i n t e d i n t h e C e n t r a l R e s e a r c h I n s t i t u t e f o r P h y s i c s , B u d a p e s t K ia d ja a KFKI K ö n y v tá r - és K ia d ó i O s z tá ly

o . v . : D r. F a r k a s I s t v á n n á S z a k m a i l e k t o r » F r e n k e l A n d o r N y e lv i l e k t o r : S zeg ő K á r o ly

P é ld á n y sz á m : 180 M unkaszám: 3574 B u d a p e s t, 1968 á p r i l i s l o

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