A mechanikai lökések és impulzusok frekvencia-analízise

A M E C H A N I K A I L Ö K É S E K É S I M P U L Z U S O K F R E K V E N C I A A N A L Í Z I S E

GYERGYÁK FERENC (Közlésre é r k e z e t t : 1973. j a n u á r 16.)

Gyakran szükséges a gyakorlati életben az akusztikus mechanikai rendszerek viselkedésének vizsgálata lökésszerű igénybevételnél. Az alkal- mazott vizsgálati módszerekben nagy szerepet kapnak az irnpulzusszűrők, melyek viselkedése erősen befolyásolja a vizsgálat eredményét.

Ebben a cikkben az akusztikus mechanikai rendszer rezgéseihez és a rá ható impulzus frekvenciaanalíziséhez f ű z ü n k gondolatokat, kiemelve a szűrők szerepét és a gyakorlati mérési eredményeket.

Egy mechanikus lökés vagy egy impulzus legegyszerűbben az ampli- túdó időbeli lefutásával adható meg. Mivel ezek a mechanikus rendszerek jó közelítéssel lineárisnak foghatók fel, ezért az egységimpulzusra (ő i m - pulzus) viselkedésük számszerűen kifejezhető:

ahol X (t) a kimenő jel, f (T) a ható impulzus,

h (t — r) a rendszernek egy egységimpulzusra adott kimenőjele és x az idő.

Mint látható a fenti kifejezésből, két, gyakran eléggé komplikált matematikai függvény szorzata szerepel, ennek megoldása hosszadalmas és meglehetősen nehéz. Ha az időfüggvény helyett a frekvenciafüggvényt adjuk meg, úgy Fourier ^transzformáció felhasználásával a frekvencia- spektrum meghatározása egyszerűbben vezet eredményre. Ennek, az idő- függvénnyel történő megadással szemben, a következő előnyei v a n n a k :

1. a kimenőjel kifejezése egyszerű matematikai művelettel megold- ható,

2. a frekvenciaspektrumból, bármely frekvenciánál azonnal látható, hogy a ható impulzus Okoz-e veszélyes rezonanciakiemelést.

-oo

317

Mint t u d j u k , a Fourier-transzformáció kifejezése:

vagyis az f (t) függvény véges.

Ez a feltétel a lökésszerű vagy impulzusszerű igénybevételnél auto- matikusan t e l j esül.

Mielőtt a Fourier-transzformáció gyakorlati felhasználását és a mérési elrendezést ismertetnénk, vizsgáljuk meg egy ideális szűrő kimenőjelét rövid ideig ható impulzusra.

Feltételezésünk szerint az ideális szűrőnek az áteresztősávon belül csillapítása nincs, a sávon kívül végtelen nagy csillapítással bír.

A szűrő sávszélességén belül a fázismenet kifejezése:

ahol tf a szűrő csoportfutási ideje, f0 a középfrekvencia,

A szűrőnek egy <5 impulzusra adott kimenőjelét Fourier-transzfor- máció segítségével k a p h a t j u k meg. Mint t u d j u k , az egységimpulzus vég- telen nagy és végtelen rövid ideig t a r t ó impulzus, és az amplitúdó-idő

függvényének értéke 1.

cps = 2 n (f — f0) tf

Matematikailag: lim

—s

318

Mint azt az 1. ábrából láthatjuk, egy véges impulzus szélessége 2 e, magassága A, tehát

00 p

| f (t) dt = | Adt = 2 Ae

-Óo ^~€

ahol —e és £ között f (t) = A. máshol f (t) = 0. Ebből a ö impulzus meg- kapható :

e

lim | f (t) dt = lim (2 As) =1.

£—>•0 — € £—>•{) A - » - 0 0

A Fourier-transzformáció képletét alkalmazva, a véges impulzus f r e k - venciaspektrumát kapjuk.

9° e

A (f) = [ f (t)-e-í 2^f t dt = 2 A | cos (2 nít) dt = 2 A S m ( 2 ' = 2 AE

-oo

sin (2 nie)

2JXÍ

2 ^nie

Határértékszámítással m e g h a t á r o z h a t j u k a ö impulzus frekvencia- spektrumát :

A ( f ) j = lim Í2Ae ^ ^ ' l - l . e-i> V 2 Jiie J

A—>-00

Látható, hogy ez a f ü g g v é n y frekvenciafüggetlen és értéke 1. Eb- ből az is következik, hogy egy ideális szűrő frekvenciamenete f0 — —— és fő -f"-^— között 1, és e tartományon kívül 0 (ahol zff a szűrő sávszéles- sége). A szűrő komplex frekvenciamenetének kifejezése t e h á t :

H ( f ) = 1 = l - e - i 2*(f-f0)t ; f 0 _ ^ L <f <f o +_ ^ L . A szűrő kimenetén megjelenő frekvenciaspektrum G ( f ) — t , az A (f)- nek és H (f)-nek szorzatából k a p j u k : G (f) = A (f) • H (f) és végül a G (f) függvény inverz transzformációjával a szűrő kimenőjelének időbeli vál- tozásához j u t u n k :

oo * oo co F ( t ) = | G (f) • ei 'Alt f t df = j A (f) • H (f) • e^' 271 ff df = 2 | Re[A(f) • H(f) • e*27r rt] df =

- 0 0 - C O

f + J t f +

0 ~2~ ü+"2T

= C Re [1 • 1 • 2 n (, - fo)t. ej 2n ftj elf— j* cos [ 2tt f (t — tf) + 2n f0 tf ] df.

f₀ i 2~ 1 2~

319

Ideális szűrő amplitúdó és fázis diagramja

Az integrálást elvégezve k a p j u k :

Jí

320

Az ismert t r i g o n o m e t r i k u s összefüggést alkalmazva k a p j u k a végső f o r m u l á t :

o At S i n ~ t' ) ] rn * +\

F (t) = 2 Aí • COS (2 TClfyt) ziAí (t — tf)

Ez a f ü g g v é n y a 3. á b r á n látható, m e l y r ő l leolvasható a c s o p o r t f u t á s i idő tf é s a m a x i m á l i s amplitúdó, m e l y n e k értéke, h a f0 ^ Aí és t = tf,

F m a x ( t ) = 2 Aí

3. ábra

Ez pedig azt jelenti, hogy a szűrő k i m e n ő j e l é n e k maximális a m p l i - t ú d ó j a a r á n y o s a s z ű r ő sávszélességével. Az energiát m e g k a p j u k , ha a szűrő k i m e n ő j e l é n e k négyzetét i n t e g r á l j u k :

oo oo s i n [jiAí ( t — t f ) ]

jiAí (t — tr) ahol

21

E = j F2 (t) d t = 4 AP j

- o o - o o

cos2 (2 ?tf0t) dt,

cos2 (2 ?ií0t) = - - [cos (4 jrf1 0t) + 1]

321

B e h e l y e t t e s í t v e :

oo oo E = 2 AP f ^ M f ( t - t f ) ] j ^c o s d t 2 / | f 2 r

J . ^ f ( t — tf) J

-00 -00 sin [TZAÍ (t — t f ) ] ]2

71 Ai ( t — t f ) at

Az integrálszámítást 0—oo h a t á r o k között is v é g e z h e t j ü k tf = 0 h e - lyettesítés e s e t é n (3. ábra). Az így kapott é r t é k e t 2-vel szorozva, helyes e r e d m é n y h e z j u t u n k .

M a t e m a t i k a i táblázatból (1) az alábbi t í p u s ú integrált a l k a l m a z h a t j u k a megoldáshoz:

oo

j* sin2 (ax) cos (mx) x- d x

ezen integrál é r t é k e 0, h a — > a > 0, Ez a f e l t é t e l E kifejezésénél teljesül, 2

így a következő a l a k r a egyszerűsödik:

00 oo

E — 4 A P I | = ± J ( - £ M « í d t

\ I

Az integrál m e g o l d á s á n á l alkalmazva a oo

sin2 (mx) . , , n

— dx — Imi • -

x2 2

0 f o r m á t , m e g o l d á s k é n t k a p j u k :

4 71

E = TI'AÍ—=2 A f .

7t2 2

Ha a szűrőre n e m egységimpulzust a d u n k , h a n e m egy véges i d ő t a r - t a m ú , de a sávszélesség reciprokához viszonyítva rövid idejű jelet | — j , a k k o r : Fr a a x( t ) = 2 A • TAf • F0 (f)

oo

E = I" F2 (t) d t = 2 A2T2A f F o (f) 00 -00

ahol A • T = A (t) dt az 1. á b r á b ó l leolvasható, és -00

F0 (f) egy f r e k v e n c i a é r t é k - f ü g g v é n y , a m e l y r e a későbbiekben vissza- t é r ü n k .

322

A k a p o t t e r e d m é n y e k o t vizsgálva a z t találjuk, hogy rövid i m p u l z u - sok esetén, a m a x i m á l i s a m p l i t ú d ó és az energit azonos m ó d o n f ü g g a szűrő sávszélességétől. Állandó relatív sávszélességgel t ö r t é n ő m é r é s n é l az energia és az amplitúdó m a x i m á l i s é r t é k e is egyenesen a r á n y o s a f r e k - venciával. M i n t láttuk, a T <AjAí f e l t é t e l esetén, közvetlen összefüggést t a l á l u n k az i m p u l z u s F o u r i e r - s p e k t r u m a és az állandó abszolút sávszé- lességű szűrővel m é r t s p e k t r u m között. Ez n e m áll f e n t a k k o r , h a T é r - t é k e l/Aí n a g y s á g r e n d j é b e esik, vagy m é g attól is nagyobb. Ezekre az összefüggésekre később visszatérünk.

Ezek u t á n vizsgáljuk m e g a tetszőleges impulzus f r e k v e n c i a s p e k t r u - mát. Mint m á r említettük, az i m p u l z u s o k a f r e k v e n c i a s p e k t r u m F o u r i e r - t r a n s z f o r m á c i ó j á v a l kiszámíthatók. A 4. á b r á n különböző i m p u l z u s f o r m á k F o u r i e r - s p e k t r u m á t l á t j u k .

A következőkben csak a négyszögimpulzus s p e k t r u m á n a k f e l h a s z n á - lásával vizsgáljuk a szűrő sávszélességének hatását. T e r m é s z e t e s e n más impulzusformáik ill. s p e k t r u m o k azonos módszerekkel vizsgálhatók.

A Aí sávszélességgel rendelkező ideális szűrőre adott i m p u l z u s visel- kedését az 5. á b r á n l á t h a t j u k .

Az á b r á b ó l leolvasható, hogy Aí < — , a m i azonos a T — feltétellel.

T A\

A szűrő k i m e n ő j e l é b e n csak azok a f r e k v e n c i a k o m p o n e n s e k j e l e n n e k meg, melyek az áteresztési sávon belül h e l y e z k e d n e k el, vagyis az impulzus F o u r i e r - s o r á b ó l m e g h a t á r o z h a t ó f() f r e k v e n c i á j ú , v a g y a n n a k közelében levő összetevőket tartalmaz.

A F o u r i e r - s p e k t r u m o t m a t e m a t i k a i l a g a következő kifejezéssel a d - h a t j u k m e g :

A (f) = A T S Í n ("f T )

n f T

2 1 * 323

5. ábra

Í A ( f ) l

Ezt a kifejezést megszorozzuk az ideális szűrő frekvenciamenetének kifejezésével, és az e r e d m é n y t inverz Fourier-transzformáció segítségével átalakítjuk, így m e g k a p j u k a kimenőjelet az idő függvényében.

Ha értéke az f n — — é s f⁽⁾ 4 - — frekvenciahatárok között van, srfT 2 2

akkor é r t é k e alig változik, konstansnak vehetjük. Az így elkövetett hiba elhanyagolható, amikor az integrált számítjuk.

Tehát k a p j u k :

F (t) ~ 2 AT — ( y T f°T ) f cos [2 ni (t — tf) + 2 7rf0tfl df

^ f0T J

324 ^fr »~ 2

Ezt a közelítést, ahogy ezt a 6. ábra m u t a t j a , csak kis sávszűrőszéles- ségnél e n g e d h e t j ü k meg.

W í ) \

Az e l m o n d o t t a k szerint a f e n t i i n t e g r á l megoldása:

F ( t ) ^{2 A T} s i n f r f o T ) sin [nAí (t tf)] ^ (JJ

íifnT nAí (t — tf)

A k i m e n ő j e l m a x i m u m á t és a szűrő n é g y z e t r e emelt és i n t e g r á l t ki- m e n ő j e l é t hasonló módon h a t á r o z h a t j u k meg, m i n t az egységimpulzusnál:

FmaxCt) 2 A T A í

es

E = 2 A2T-

nínT sin (ní0T)

nífíT ál

A k a p o t t e r e d m é n y e k e t vizsgálva l á t j u k , hogy jó közelítéssel a Fou- rier-spelktrumot k a p t u k . K é z e n f e k v ő ebből a mérés menete, m i v e l a szű- r ő n e k az i m p u l z u s r a adott m a x i m á l i s k i m e n ő j e l é t osztva a kétszeres sávszélességgel (2 Aí), vagy a s z ű r ő n é g y z e t r e emelt és i n t e g r á l t k i m e n ő - jelét osztva a kétszeres sávszélességgel, és négyzetgyököt vonva, közvet- lenül a F o u r i e r - s p e k t r u m o t k a p j u k . A f e n t említett m a t e m a t i k a i műve- letek elvégzésére megfelelő á r a m k ö r ö k állnak a r e n d e l k e z é s ü n k r e . To- v á b b á az is (kiderül, hogyha a szűrősávszélesség l / T (T az i m p u l z u s idő- t a r t a m ) n a g y s á g r e n d j é b e n van, v a g y a n n á l nagyobb, úgy a s z ű r ő a spekt- r u m m e g h a t á r o z á s á r a alkalmatlan, m i n t ezt a 7. á b r á n is l á t h a t j u k .

325

l A C f J l l

I A M I

v ^ n

b)

£ ^T

7. ábra

326

Érdemes elidőzni annál az esetnél, amikor a szűrő sávszélessége az impulzus-időtartam reciprokához viszonyítva nagy. Ezt az esetet a 8. áb- rán láthatjuk, ahol egy impulzust (mely azonos a 3. ábrán látható impul- zussal) adva a rendszer bemenetére, a kimenetén két jel jelenik meg, egyik a szűrő kimenőjele a négyszögimpulzus homlokoldalára, a másik a szűrő kimenőjele a négy szögimpulzus hátoldalára.

t

I

0

8. ábra

Az elméleti fejtegetések után t é r j ü n k rá a mérés gyakorlati kivitele- zésének megtárgyalására. A mérést a 9. ábrán látható elrendezésben vé- gezhetjük.

A berendezés egy mágnesszalagos regisztrálóból, egy elektronikus kap- csolóból, egy mérőerősítővel ellátott frekvenciakövető szűrőből, egy in- tegrátorral ellátott négyzetre emelőből és végül egy zajszintíróból áll (9. ábra). A berendezéssel felvett egységimpulzus frekvenciaspektrumát,

11. ábra

327

328

amit a szűrőn négyzetre emelés és integrálás után kaptunk, a 10a. ábrán láthatjuk. Az elméleti frekvenciaspektrumot a 10b. ábrán találjuk.

A mágnesszalagos regisztrálón levő végtelenített szalagon a vizsgá- landó impulzust tároltuk. Az elektronikus kapcsoló a mágnesszalagos regisztráló kimenőjelét kapcsolta az impulzus időtartama alatt az analizáló készülékre (11. ábra).

Ezenkívül szükség volt azért is az elektronikus kapcsolóra, hogy a mérés során n e érvényesüljön a zavaró zajok hatása, és az integrátor zérusra való visszaállítását is az elektronikus kapcsoló végezte, egy-egy impulzus lefutása után.

A Fourier-spektrum meghatározásához, az előbb leírt módszeren kí- vül, még további lehetőségek is vannak. Egy, a gyakorlatban gyakran

329

alkalmazott eljárás az, hogy az egységimpulzust ismétléssel impulzus- sorozattá alakítjuk, és ezt az impulzussorozatot egy frekvenciaanalizá- torral m é r j ü k . Ily módon egy vonalas spektrumot kapunk, ahol m i n d - egyik v o n a l amplitúdója a Fourier-spektrum egy értéke, a megfelelő frekvenciánál.

Ha Tj az impulzus periódusideje, akkor a Fourier-sor elméletéből adódik, hogy a kapott s p e k t r u m vonalai az 1 Tj alapfrekvencia harmoni- kusai (12. a, b ábra).

Megfigyelhetjük, hogy T> > T esetén a diszkrét frekvenciakomponen- sek nagy száma jelenik meg, l á t h a t j u k azt is, hogy c c esetén a vonal- spektrumból egy impulzus Fourier-spektrumát kapjuk, ami matematikai- lag is bizonyítható.

Az egyes harmonikusok nagyságát effektívérték-számítással kapjuk.

Világos, hogy nagyobb periódusidő esetén az egyes frekvenciakomponen- sek mindig kisebbek lesznek. Határesetként, ha a névleges ismétlődési idő végtelen nagy, a diszkrét frekvenciakoimpomens teljesen eltűnik. Ezért, az impulzusok frekvenciaspektrumait, mint energiasűrűséget ábrázolhat- juk a frekvencia függvényében.

Gyakorlati méréseknél helyesen kell megválasztani az ismétlési idő ér az impulzus időtartam arányát, mikor a fent ismertetett eljárást alkal- mazzuk.

Tökintsük ismét a periodikusan ismétlődő négyszögimpulzus Fourier- spektrumát, azt látjuk, hogy az elméleti spektrumvonalak 1/T, távolság- ban helyezkednek el. Most, az egymás után következő m i n i m u m o k között, egynél több vonalat találunk, mert a Tj/T a r á n y t kettőnél nagyobbra vá- lasztottuk. Ha a m i n i m u m o k között kb. 5 vonal található, úgy m á r kis hibával rendelkező spektrumeloszlást kapunk. Másrészt a Tj/T a r á n y t feleslegesen nagyra sem szabad választani, mert, mint ahogy azt az előbb említettük, a dinamikai t a r t o m á n y ezáltal leszűkül. Azonkívül a nagy Tj/T a r á n y növekvő igényt támaszt a mérő- és analizáló készülékekkel szemben. Ezért, gyakorlati méréseknél a Tj/T a r á n y t 3 és 5 között célszerű felvenni.

A 13. ábrán egy periodikusan ismétlődő impulzus analizálására alkal- mas készülék rajza l á t h a t ó :

330

Az alkalmazott szűrő sávszélessége 3,16 Hz és az impulzus ismétlő- dési f r e k v e n c i á j a 4,2 Hz. A berendezésnél a megfelelő periódusidő eléré- séhez rövid szalaghurkot kellett alkalmazni, ezért egy speciális adap- terrel kell kiegészíteni a mágnesszalagos regisztrálót. Egy periodikusan ismétlődő négyszögimpulzus esetén a fenti specifikációval rendelkező szű- rő spektrumát l á t h a t j u k a 14. ábrán.

F e l r a j z o l h a t j u k a periodikusan ismétlődő impulzus harmonikusainak effektív értékét, de ábrázolhatjuk a Fourier-spektrumot, mint energia- sűrűséget a frekvencia függvényében. Mindkét ábrázolási mód között t a - lálunk összefüggést.

A 15. ábrán egy periodikus impulzussorozat és egy hozzá tartozó egy- ségimpulzus látható. A Fourier-sor koefficiense a következő integrállal fejezhető ki:

C0 = — f f (t) . e - ä2^n fo t dt TI J

Ti

2

ahol f0 az alapfrekvencia és

n f⁰ ezen f r e k v e n c i a harmonikusai.

Az ábrából láthatjuk, hogy az integrál értéke nem változik, ha h a t á r - értékként —T/2 és T/2-t írunk. így:

T 2

C⁰ = ² • I f (t) • e - J ^ M d t 1 r J

T

Alkalmazzuk a Fourier-transzformációt a 15b. ábrán látható impulzusra, az integrál f = nf⁰ f r e k v e n c i á n :

T

OO 2

F (f) = | f ( t ) . e - i ^ » clt = | f (t) • e - i rt cit

-oo _ 2

A két kifejezést összevetve az f = nf⁰-nál a keresett érték:

Qn = ~~ • F (n • f0) = • F (f), ti í i

ahol Cn a szinusz jel csúcsértékét a d j a , de mivel a 13. ábrán látható el- rendezésben a mért é r t é k effektív érték, így az F (f) függvény értékét át kell számolni effektív é r t é k r e :

F (f) = ~ Cm, ahol f = nf0.

n

T e h á t az f = nf0 f r e k v e n c i á n á l az elméleti Fourier-spektrum értéke nagyon egyszerűen számítható, h a a m é r t effektív értéket szorozzuk az ismétlődési idővel (szekundumokban) és osztjuk fl2-vel.

332

Az előzőekben igyekeztünk az impulzusok vizsgálatát különböző szem- pontok szerint tárgyalni, teljességre nem törekedtünk, de t a l á n a cikk ú j gondolatokat ébreszt, és segít e problémakör gyakorlati megoldásában.

Mindenesetre a méréseknél sok gyakorlatra kell szert tenni, hogy azok a kívánt eredményt adják.

I R O D A L O M

i D w i g h t : Tables of Integrals and other Mathematical Data, MaeMillan Company 1966.

2 Broch: Mechanical Vibration and Shock Measurements, Brüel & K j a e r 1969.

30 1 e s e n : Frequency Anslysis of Single Pulses, Brüel & K j a e r Technical Review No. 3. 1969.

/ jG é h e r : Lineáris hálózatok, Műszaki Kiadó, 1968.

ON THE FREQUENCY ANALYSIS OF MECHANICAL SHOCKS AND SINGLE IMPULSES

Gyergyák Ferenc

This article deals with the f r e q u e n c y analysis of mechanic a n d other kinds of impulses as well as with their calculative and m e a s u r i n g methods. With the h e l p of F o u r i e r - t r a n s f o r m a t i o n we have deduced the spectrum and energy of t h e impulse on theoutcome of the filter, and we h a v e examined the behaviour of the different b r a n d - w i d e filters. The article gives you instruction for practical m e a s u r e m e n t s w i t h the results given by mathematical methods.

333