A statisztikai döntéselméleti gondolkodás fejlődése napjainkig

(1)

A STATISZTIKAI DONTÉSELMÉLETI GONDOLKODÁS FEJLÓDESE NAPJAlNKlG*

PRÉKOPA ANDRÁS

A dolgozatban rövid áttekintést adunk a statisztikai döntéselméleti elvekről. Rá- mutatunk. hogy a statisztikai döntéselmélet tágabban is értelmezhető, minta statisztika, közelebbről a matematikai statisztika része. Az elvek statisztikai—valószínűség- elméleti jellegű tartalma szempontjából egy kategóriát alkothatunk az alábbi tudo- mányok döntési elveinek összességéből: a statisztikai döntésfüggvények elmélete, játékelmélet, sztochasztikus irányításelmélet. dinamikus programozás, sztochasztikus programozás. információelmélet, klasszikus valószínűségszámítás. Hangsúlyozzuk e A dolgozatban természetesen sem történeti. sem tartalmi szempontból teljességre

nem törekszünk.

A statisztikai döntéselmélet jellege

Abraham Wald ,,Statistical Decision Functions" (Statisztikai döntésfüggvények) című könyvének (26) előszavából kitűnik. hogy Wald igen kis- mértékben akarta korlátozni döntéselméletének hatókörét. Könyvének elsősorban matematikai statisz—

tikai jellege mégis kidomborodik, amennyiben döntési módszerei valószínűsége!—

oszlások meghatározásával kapcsolatosak. és megengedi az adatszerzésre irányuló kísérletezés lehetőségét mint döntési szabadságfokot. Eszerint nem kielégítő meny- nyíségű információ birtokában további kísérleteket végezhetünk adatszerzés céljá—

ból, ami javítja a döntés minőségét.

Ugyanilyen értelemben fogalmazzák meg a statisztikai döntéselmélet feladatát H. Raiffa és R. Schlaifer .,Applied Statistical Decision Theory" (Alkalmazott statisz—

tikai döntéselmélet) című könyvükben.

A statisztika és a matematikai statisztika sokkal fiatalabb tudományok, mint a valószínűségszámítás. Az utóbbi első publikációinak Pascal és Fermat 1654—ben írt leveleit tekintjük. E levelek az akkoriban divatos szerencsejátékokkal kapcsolatos valószínűségek meghatározásával foglalkoznak. A statisztika tudománya kb. 100 év- vel később keletkezett (27), ám ekkor még csupán a modern államok politikai rend—

szerének leírása a tárgya. A matematikai statisztika elsősorban Galton és Pearson munkássága révén alakult ki a XIX. század második felében. ha eltekintünk Laplace, Gauss és mások korábbi. a mérési hibákkal kapcsolatos vizsgálataitól. Eszerint te—

' A magyar statisztikai felsőoktatás bevezetésének 200. évfordulója alkalmából 1977. október 26-án tar- tott tudományos tanácskozás Matematikai statisztikai — Statisztikai informatikai szekciójának ülésén megvi- tatott előadás.

(2)

894 PREKOPA ANDRÁS

hát matematikai értelemben vett statisztikai döntési elvről, ilyen jellegű matema-

tikai feladatról, nem beszélhetünk a múlt század második felénél koróbbi időhöz

kapcsolódóan.

Mégis, R. Luce és H. Raiffa ..Games and Decisions: Introduction and Critical Survey" (Játékok és döntések: bevezetés és kritikai áttekintés) című könyvükben (14) megemlékeznek az ún. Bernoulli—elvről. Daniel Bernoulli a ..pétervári probléma"

megoldására javasolt egy módszert, amely a döntés hatását egy függvénnyel méri.

, ez pedig a játékot befolyásoló véletlen következtében véletlen értékű, és olyan dön- tés meghozatalát javasolta, melyre a várható érték maximális (más feladatban eset—

leg minimális) értéket vesz fel. Bernoulli megfontolását Laplace is elfogadta és rep—

rodukálta .,Théorie des Probabilités" (A valószínűségek elmélete) című művében.

A Bernoulli-elv nem kapcsolatos információszerzésre irányuló kísérletezéssel, hiszen a pétervári problémában pénzdobásról van szó. ahol a pénz mindkét olda-

lára 1/2—1/2 valószínűséggel esik. Akárhogyan bonyolítsunk is egy feladatot ennek az elemi kísérletnek a felhasználásával. a kísérlettel kapcsolatos valószínűségek elv—

ben ismertek lesznek. legfeljebb bonyolult matematikai megfontolással kell élnünk, hogy ezeket meghatározzuk. Mégis, a Bernoulli-elv a statisztikai döntéselmélet egyik sarkalatos elve, mely lépten nyomon előfordul a döntési feladatok megfogalmazásá- ban. A Bernoulli—elv — és más hasonló, korábbi keletű gondolat — felhasználása nem mond ellent annak, hogy az információszerzés lehetőségét a statisztikai dön- téselmélet lényeges alkotóelemének tekintsük. Mégis úgy gondoljuk. hogy célszerű a statisztikai döntéselméletet még ettől a korlátozástól is megszabadítani és a sztochasztikus rendszerek döntési elvei egységes tudományának tekinteni a követ-

kező praktikus megfontolások alapján.

1. A sztochasztikus rendszerekkel foglalkozó tudományok (beleértve a matema—

tikai statisztikát is) a rendszerre ható véletlen tényező számításba vételekor hasonló jellegű megfontolásokat alkalmaznak. A különböző tudományokban kialakított dön- tési elvek tőbb-kevesebb változtatással a többiekben is alkalmasak feladatok meg- fogalmazására.

2. Nagyobb mértékű kommunikáció szükséges a sztochasztikus rendszerekkel foglalkozó tudományok között, ugyanis a feladatok megoldására kialakított matematikai módszerek igen gyakran átvihetők a rokontudományok feladatainak megol—

dására, ám a kommunikáció hiányában ez gyakran vagy elmarad, vagy csak nagy

késéssel történik meg.

A .,statisztikai döntéselmélet" e dolgozatban már ebben az általános értelem- ben szerepel. Felsoroljuk a legfontosabb döntési elveket, figyelembe véve kialaku- lásuk kronologikus sorrendjét. Ezek együtt tulajdonképpen a legfontosabb érvet.

nyújtják a fent említett egységes szemléletmód kialakítása mellett.

A felsorolt döntési elvek a sztochasztikus rendszertudományok modelljeinek al—

kotóelemei. E rendszertudományok a következők: statisztikai döntéselmélet (a ha—

gyományos értelemben). valószínűségelmélet. sztochasztikus irányításelmélet, dinamikus programozás. sztochasztikus programozás. játékelmélet.

A hagyományos valószínűségelméleti magatartás

A valószínűségelmélet első feladatmegoldásai is tulajdonképpen operatív célok megvalósítása érdekében születtek. Pascal és Fermat osztozkodási feladatában ar- ról van szó. hogy ha egy játékot a játékosok nem fejezhetnek be, akkor a pénzt nye—

rési valószínűségeik arányában kell szétosztani, és a nyerési valószínűségeket azért kell meghatároznunk. hogy ezt a célt megvalósíthassuk. Laplace már idézett mű-

(3)

STATISZTIKAI DUNTÉSELMÉLET 895

vében (13) hosszasan foglalkozik a valószínűségszámítás alkalmazásával. Ezek kö—

zött röviden foglalkozik a szerencsejátékokkal és bővebben a természet- és társa- dalomtudományi alkalmazásokkal. Ami ezeket a alkalmazásokat illeti, a valószí- nűségek meghatározása után már könnyen elvégezhetők, ugyanis a várható értéket

kell csak meghatároznunk. és az alkalmazási feladatban a választ vagy közvetlenül

a valószínűségek vagy a várható érték ismerete alapján megadhatjuk. Ha ez a meg—

fogalmazás ebben a formában nem is fordul elő Laplace e könyvében. a tárgyalás egészéből ez világlik ki. és ugyanez vonatkozik a klasszikus valószinűségszámítás többi kiemelkedő alakjára is.

A klasszikus statisztikai döntések (például az elemi próbák, a konfidencia—in- tervallum konstrukciók) lényegében hasonló magatartást tükröznek, bár a hipoté- zisek felállítása, elvetési, elfogadási elve már tartalmilag többet nyújtanak. mint a vonatkozó valószinűségeloszlások meghatározása. Ha az utóbbinál többről is van szó, mégis elfogadhatjuk azt a nézetet, hogy ezekben az esetekben nehezebb do- log volt az egyes statisztikák valószínűségeloszlását meghatározni, mint a döntési elveket kidolgozni.

A valószínűségelméleti döntési magatartás ma is elevenen él, Sok elmélet született ennek jegyében. A sztochasztikus folyamatoknak számos speciális prob—

lémákkal foglalkozó részterülete ennek jegyében született. A sorbanállás—elmélet—

ben, a felújításelméletben. a gátelméletben csak újabban fogalmaznak meg opti- malizálási feladatokat. miután az alapvető elméletben igen sok ismeret felhalmo—

zódott, és talán kissé elégedetlenek lehetünk e késés miatt.

A sztochasztikus programozásban is van olyan irányzat, amely a ,,határozd meg a véletlen lineáris programozási feladattal kapcsolatos valószínűségeket" elvet tartja szem előtt. Tintner ezt a passzív megközelítésnek nevezi (22). Bizonyára érdekes és fontos feladata a valószinűségelméletnek az eloszlások meghatározása. és sok eset- ben döntési elvként is elfogadható, mert e feladat megoldása után már egyszerűen járhatunk el. Nevezzük el tehát ezt valószínűségi döntési elvnek. E megfogalmazás—

ban azt is kifejezésre juttatjuk, hogy a valószínűségek mérlegelése lényegében ele- gendő a feladat megoldásához.

A Bernoulli—elv

Mint már korábban említettük. Daniel Bernoulli a pétervári problémára nyújtott megoldásában felhasznált egy optimalizálási elvet, amelynek tipusát Luce és Raiffa

(14) róla nevezték el. —

Az optimalizálási elv típusának bemutatására az újabb keletű. ún. újságárus feladatot említjük. Egy újságárus 60 fillérért veszi és 80 fillérért adja el az újság da- rabját. A kereslet véletlenszerű, legyen mondjuk egyenletes eloszlású 40 és 80 kö- zött. Ezt egyszerűség kedvéért folytonos eloszlásnak vesszük. Kérdés, hány újságot vásároljon az újságos. hogy minimális legyen veszteségének várható értéke. Ha x ez az ismeretlen mennyiség és f(z) jelöli az előbbi sűrűségfüggvényt, akkor x-re vo- natkozóan minimalizálnunk kell a veszteség fillérekben kifejezett nagyságát:

60 f(x—z) f (z) dz Jr 20 ? (z—x) f (z) dz

Ugyanezt a veszteséget a 1 változó

( 60 ():—1), ha 1 § x.

g(x, z) : 20 (z—x). ha z ) x,

(4)

896 PRÉKOPAX ANDRÁS

függvénye segítségével az

? g(x. z) f(z) dz

integrállal is kífejezhetjük. A megoldás f(z) behelyettesítésével, majd x szerinti dif—

ferenciálásával egyszerűen adódik: xoph : 50 darab. Könnyű belátni, hogy az új- ságárus teljes hasznának a maximalizálása ugyanerre az eredményre vezet.

A bayesízmus

A Bayes-féle problémakör a következő feladattípusból nőtt ki: ha egy egyszerű alternatívát (mint kísérletet) n—l—m—szer függetlenül elvégzünk. és az a lehetőség n-

szer, a b lehetőség m—szer következett be, akkor annak a valószínűsége, hogy a

esélye a c és d határok közé essék:

d

] xn (1—x)m dx

C

1

gxn (1 —-x)m dx

Bayes vizsgálatait Laplace folytatta, és részletesen kifejtette a ma ismert Bayes—

tételt. Ennek matematikai korrektségét ma már senki nem vitatja.

Más kérdés azonban az. hogy a szubjektív valószínűség hívei, a valószínűséget oly módon interpretálva, hogy az ,,nem tudásunk mérőszáma", a valószinűségel—

oszlások ismeretlen paramétereinek ilyen formán egy (igen gyakran egyenletes) va-

lószínűségeloszlást tulajdonítanak. amelyet a priori eloszlásnak neveznek. majd a

kísérleti eredmények és a Bayes-formula birtokában következtetnek az ismeretlen

paraméter elhelyezkedésére. A fenti példában is lényegében ez történt. A binomiális eloszlás ismeretlen paraméterét egyenletes eloszlásúnak tekintettük a (0. 1) inter-

vallumban. Nem tudásunkat ilyen formán egy valószínűségi jellegű tudással pó-

tolva, fontos információ birtokába juthatunk.

Angol nyelvterületen sok híve van a fenti értelemben vett Bayes-módszernek. és erre további megfontolásokat alapoznak. például kombinálják a Bernoulli—elvvel, amennyiben a nyert feltételes eloszlással képezik (egy büntető függvény várható ér-

tékét.

Néhány szerző nem bayesista a fenti értelemben, de az a priori eloszlást súly- függvény gyanánt alkalmazza elsősorban az eredmény nagyobb információgaz-

dagsága miatt (21).

Maximális valószínűség, maximális valószerűség

A mérési eredmények értékelése kapcsán több szerző —- közöttük Laplace és

Gauss — foglalkozott eloszlások paramétereinek meghatározásával. A módszert R.

A. Fisher fogalmazta meg általánosabban, és terjesztette el használatát.

Laplace és Gauss bayesisták voltak (6). A bayesisták számára az eredményként

kapott paraméterérték egy a lehetséges paraméterértékek közül. tehát az ezzel kép- zett sűrűségfüggvény valószínűséget határoz meg. Ha azonban a paraméternek van egy fix igazi értéke. és ezt nem sikerül pontosan megtalálnunk. akkor a közelítőnek tekintett paraméterrel képzett sűrűségfüggvény nem határoz meg igazi valószínűsé-

get. Az ezzel számított értékeknek valószerűség elnevezést adhatunk (nem mindenki

(5)

STATISZTIKAI DÓNTÉSELM ÉLET

897

ragaszkodik ehhez a megkülönböztetéshez. ugyanis absztrakt matematikai szem- pontból ezt is tekinthetjük valószínűségnek).

A valószínűség maximalizálása ismert valószínűségeloszlásokkal kapcsolatos

döntési elvként is elfogadható, és valóban gyakran alkalmazzák. különösen olyan

esetekben, amikor azt kívánjuk, hogy valamely feltétel teljesüljön. Erre bőséges pél-

daanyagot találhatunk M. Aoki könyvében (1). Mi most egy egyszerű példa emlí-

tésére szorítkozunk. '

Egy tó vízszintjét a és b határok között akarjuk tartani, mondjuk két egymást követő diszkrét időszakon keresztül. A tóba véletlenszerűen jön a víz kisebb folyó—

kon. mondjuk mindig az időszak elején. A vízszintet a víz egy csatornán keresztül történő levezetésével szabályozzuk. Az egy időszakban leereszthető maximális víz- mennyiséget jelölje K. Jelölje 50 az induló vízszintet. és legyen ez állandó. Jelöljék 51. 52 az egyes időszakokban érkező vízmennyiségeket a színtmagasság egységében kifejezve, és ezek legyenek valószínűségi változók. Ha 21 és 12 jelölik az egyes idő- szakokban leeresztendő vízmennyiségeket az említett egységben kifejezve. és a két időszak között nincs beavatkozási lehetőség, akkor feladatunk a következő:

. ., . aáfo—l'glázláb

mammalizalando P

05 50 —i— 51 -1'- 52—11—22 § b

feltéve. hogy 0 § 21, 12 § K

A feladat bővebb kifejtését illetően lásd (19).

Legkisebb négyzetek, legkisebb abszolút eltérések

Régi keletű probléma a mérési eredményekben rejlő információ tömörítése egy vagy a mérésszámhoz képest kevés számértékbe. Síkbeli pontrendszerre valamilyen értelemben legjobban illeszkedő egyenes meghatározásával Galilei foglalkozott először 1632—ben.

Tudománytörténeti szempontból igen érdekes a horvát származású Boskovity munkássága. XlV. Benedek pápa megbízásából Mairerrel együtt geodéziai mérése—

ket végzett a pápai állam térképének korrekciója céljából. Öt, mérési hibával terhelt pontra illeszkedő ellipszist kellett meghatározni. Ha az öt adat pontos, az ellipszis egyértelműen meghatározható. Minthogy azonban az adatok mérési hibával ter- heltek voltak. az ellipszis meghatározására valamilyen optimalizálási elvet kellett választani. Boskovity az eltérések abszolút értékeinek összegét minimalizálta.

Később 1760-ban Boskovity visszatér egy rokonfeladat vizsgálatára. Egy Y : : ax—l—b egyenest feltett egy síkbeli pontrendszerre. Megkívánta. hogy az egyenes haladjon át az x, y számtani átlagokkal meghatározott koordinátájú ponton. to- vábbá az egyenestől (y irányban) vett abszolút eltérések összege minimális legyen.

E feladatot a matematikai programozás első feladatának tekinthetjük (sőt, ha min—

den síkbeli pontnak valószínűséget is tulajdonítunk, mégpedig ugyanazt a valószí—

hűséget. akkor egy Bernoulli-elvre alapozott sztochasztikus programozási problémó- val állunk szemben).*Boskovity az említett feladatra geometriai jellegű megoldást adott (12).

A legkisebb négyzetek (abszolút vagy más eltérések) módszere a mai napig is fontos elv a sztochasztikus rendszerek optimalizálásában. Valamennyi sztochasztikus rendszertudomány előszeretettel alkalmazza. A négyzetek szerepét a matematikai

programozási technika fejlődése következtében más mérőszámok — mint például az

abszolút eltérések —— képesek átvenni gyakorlati szempontból elég nagy méretek esetén is.

8 Statisztikai Szemle

(6)

898 PRÉKOPA ANDRÁS

Valószínűségi korlátok

Véletlen mennyiségekkel kapcsolatos relációk teljesülésének valószínűségére vonatkozó korlátokból ismeretlen mennyiségek vagy halmazok meghatározása a sto-' tisztikai próbák elméletében fordult elő először. Egy statisztikai próba tesztfüggvé-

nyén az' x minta amaip(x) függvényét értjük, mely adott hipotézis esetén minden x—re megadja a hipotézis elvetésének a valószínűségét. A helytálló hipotézis elvetését elsőfajú hibának nevezik. W(x) tehát az elsőfajú hiba valószínűsége. Ennek adott 1:

paraméter esetén x szerint vett átlaga már csak 1) függvénye. Ezt a próba erőfügg-

vényének nevezzük. Jelölje ezt P(P (v). Az utóbbi függvény v sz erint alkalmas súlyok;

kal vett súlyozott átlaga az ún. rizikó függvény. Feladatunk ez utóbbi minimalizálása olyan feltétel mellett, hogy PfP (v) minden v-re legyen egy (a gyakorlatban kis való—

színűségnél kisebb vagy azzal egyenlő. —

A Neyman—Pearson—tétel kissé elvontabb megfogalmazásában (lásd például (11)) a minták X terében egy a—algebrán értelmezett,; mérték és mérhető f. gitt—gg—

vények esetén keresünk olyan (p(X) függvényt, mely maximalizálja az ,,

! w(x)g(X)d.u(X)

X

integrált az

£w(x)f(x)du(x)§a

feltétel mellett. Ekkor a

mo : ; f(x) dMX)

hipotézist ellenőrizzük, ahol az ellenhipotézis a következő

P'(A) :; 90!) dMX)

A Neyman—Pearson-tétel szerint legerősebb a nagyságú próba létezik, és ez explicite megadható.

A valószínűségi feltétel melletti optimalizálás előfordul többek között még a konfidencia—halmaz és a tolerancia-halmaz konstrukciójával kapcsolatban is.

A sztochasztikus programozásban először A. Charnes alkalmazott valószínűségi feltételt (5). Az ilyen feltétel melletti optimatizálás hamar népszerűvé vált, minthogy mind a közgazdaságtanban. mind a műszaki tervezésben. de egyéb feladatokban is szükséges célkitűzés a megbízhatósági szint előírása. Az újabb konvexitási és nem lineáris programozási eredmények lehetővé teszik igen sok feladat numerikus

megoldását viszonylag nagy méretekben. mint például:

P(g1(x.5)€0,...,gr(x1£)30) gp

xED

min f(x),

ahol:

gi (x. y), . . . . g r(x, §) konkáv függvények.

— valószínűségi vektorváltozó.

D — konvex halmaz,

f(x) — konvex vagy kvázikonvex függvény.

(7)

STATISZTIKAI DÓNTESELMÉLET

899

A § valószínűségi vektorváltozó eloszlására vonatkozó pontos követelményeket nem részletezzük. A fenti típusú feladatra példát találhatunk egyik korábbi dolgo-

zatban (17).

Játékelme'let

A Wald által megalkotott statisztikai döntéselméletet egyes szerzők a játékel—

mélet részének tekintik. Mi most elvonatkoztatunk ettől a kapcsolattól. és a játékel—

mélet legfontosabb döntési elvével, az ún. minimax-elvvel foglalkozunk.

Á játékelmélet úttörője E. Borel francia matematikus. Az elmélet jelenlegi arcu—

lata elsősorban Neumann ]ános tanulmánya (15) és O. Morgensternnel közösen írt könyve (16) révén alakult ki. .

A minimax-elv mint sztochasztikus rendszerekre vonatkozó döntési elv eloszlás—

mentes olyan értelemben, hogy nem tételezi fel a rendszerrel kapcsolatos valószí—

nűségeloszlós ismeretét. Tulajdonképpen vonatkoztatható olyan rendszerre is. ame—

lyet egyszerűen csak bizonytalan és nem feltétlenül valószínűségi törvényszerűségek, tehát sztochasztikus körülmények között vizsgálunk. Ezzel kapcsolatos elemi, de ér- dekes példa a következő.

A téli időre tüzelőt akarunk vásárolni. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el, hogy 2000, 2500 vagy 3000 forintot költhetünk e célra. Ezek a mi stratégiáink. A mó- sik játékos, a természet választhat háromfajta telet, enyhe, közepes vagy hideg telet.

Az ún. kifizetési matrix a tüzelőt vásárló személy veszteségeit tartalmazza az egyes stratégiapárok esetén. Megengedjük. hogy a tüzelőt pótolja. de ezt kétszeres áron kell megvennie. Az is ráfizetés, ha több tüzelőt vásárolt. mint kellett volna. Tegyük fel. hogy enyhe tél esetén 2000, közepes tél esetén 2500, hideg tél esetén 3000 forint óra tüzelőre van szükség. Ekkor a kifizetési matrix a következő:

Forint , l

A 2000 2500 3000

Tél

Enyhe 0 500 lOOO

Közepes 1000 0 500

Hideg 2000 1000 * o

A táblában levő számok a vásárló veszteségeit jelentik. Egy A : a,-J kifizetési matrixszal biró játéknak akkor van tiszta értéke, ha fennáll az alábbi reláció

max min oil. : min max aii

i ; i i

Ehhez szükséges és elegendő, hogy létezzék olyan p, a indexpár, amelyre

aid § apa § ab]

minden i, ] esetén.

Az első egyenlőségben szereplő számot a játék tiszta értékének, a másodikban szereplő p, a szómpórt, illetve aM matrixelemet nyeregpontnak nevezzük. Fenti mat- rixunk esetében nincs nyeregpont. Az optimális magatartást egy x, y ún. kevert stra—

tégiapár határozza meg. Neumann tétele szerint

max min x'Ay : min max x'Ay.

x y y x

8'

(8)

900 * PRÉKOPA ANDRÁS

ahol x és y egy-egy diszkrét valószínűségeloszlás tagjaiból mint komponensekből

alkotott vektorok. —

Az optimális stratégiapár a fenti egyenlőség alapján meghatározható. A tüze—

lővósárlás példája esetén ezek komponensei a következők:

ll .

Xi -——— X2 0 X3 :

oil—-win)

_1_

3

Y1 : Yz : 0 * Y3 : %

A példa megmutatja a játékelmélet alkalmazásának bizonyos korlátjait is. Ha ugyanis a tél hőmérsékletére vonatkozólag vannak statisztikai adataink, akkor ez a

megoldás nem biztos. hogy jó, hiszen a tél eszerint viselkedik. nem pedig az álta-

lunk meghatározott y optimális valószínűségek szerint. Ha tehát a megoldás kevert

stratégiát szolgáltat, a játékelmélet alkalmazása kétséges lehet.

A sztochasztikus rendszerek vonatkozásában gyakori. hogy ismeretlenek a rendszert befolyásoló véletlen tényezők valószinűségeloszlásai. llyen esetekben játékel—

méleti modellhez szoktak folyamodni. Ha ekkor nem sikerül nyeregpont létezését bi- zonyítani. a kevert stratégiák révén adódik valószínűségeloszlás. ám ennek felhasz-

nálása nem mindig ajánlható. A ..játék a természettel szemben" a fentiek szerint nagyon is kérdéses modellkonstrukció, legalábbis akkor, ha a minimax-elvhez ra-

gaszkodunk. (

Dinamikus folyamatirányítás

Napjainkban a sztochasztikus folyamatok dinamikus irányítása központi tudo—

mányos probléma. Wald szekvenciális analízise (25) volt az első nagy teljesítmény ebben a vonatkozásban. Ennek lényege, hogy adott statisztikai sokaságra vonat-x kozó hipotézis ellenőrzését szekvenciálisan hajtjuk végre, mindenegyes lépésben három lehetőségünk van: elfogadjuk a hipotézist. elvetjük a hipotézist, illetve úgy döntünk. hogy a mintavételt tovább folytatjuk. A szekvenciális analízis megalkotása nagy mértékben hozzájárult a statisztikai döntésfüggvények elméletének Wald-féle megfogalmazásához. ez pedig a sztochasztikus irányítóselmélet kialakulásához. Ez utóbbi és a dinamikus programozás elnevezésüknél fogva azt a benyomást keltik.

hogy a dinamikus folyamatirányítás legáltalánosabb és legalapvetőbb manapság használatos módszerei. Fontosságukat nem is vitatjuk, bár rámutatunk majd ezek-

nek az elméleteknek. módszereknek a korlátaira.

A legtöbb idevágó feladat olyan természetű, hogy a rendszert befolyásoló sztochasztikus tényezőket, az egymás utáni időszakokhoz tartozó valószínűségi vál—

tozókat sztochasztikusan függetleneknek tételezzük fel. Sajnos ugyanez vonatkozik a dinamikus programozásra is. Az utóbbi ezen túlmenően viszonylag kevés változó-

val dolgozik, ezért alkalmazási köre tovább korlátozódik.

A determinisztikus és a sztochasztikus irányításelmélet. továbbá a dinamikus programozás számos feladatának numerikus megoldása az idő- és a térváltozó diszkretizálása révén történik. Ezáltal matematikai (általában nem lineáris) progra—

mozási feladatokhoz jutunk. Felvetődik a kérdés: ha a numerikús megoldás ily mó-

don történik. nem helyesebb-e a modellt már eleve így megfogalmazni, hiszen (:

modellkonstrukció amúgyis önkényes, a valóságot mindenképpen csak közelíti. E felfogás mellett határozottan kiállunk és helyesnek tartjuk ezt a fajta eljárást egé-

szen addig, amíg a szóban forgó folyamat elvi.o természeti és társadalmi folyama-

tok lényegét tükröző vonatkozásait nem szorítja háttérbe.

(9)

STATISZTIKAI DÓNTESELMÉLET _ 901

A sok döntési változót és sok feltételt tartalmazó feladatok gyakorlati megol—

dása az operációkutatás és a számítástechnika igénybevételével történik. E techni- kák mai fejlettsége lehetővé teszi, hogy megoldjunk olyan feladatokat is. melyekben a rendszert befolyásoló sztochasztikus folyamat sztochasztikusan összefüggő valószí—

nűségi változókból áll. Példák említhetők arra vonatkozólag. hogy milyen kevés fel-

tétel mellett. tehát milyen általános folyamat esetén is dolgozhatunk (18). (19), bár még nem tartunk ott, hogy a statisztikai szempontokat és a számítási szempontokat teljesen korrektül össze tudnánk egyeztetni. (Hangsúlyozni kell, hogy a szto—

chasztikus irányításelmélet és a dinamikus programozás ,,engedményei" a statisz—

tikai jellegű feltételek enyhítése irányában sokkal komolyabbak.)

Úgy látszik tehát, hogy az tud majd jó statisztikai döntéselméleti és sztochasz—

tikus rendszerirányítási modelleket konstruálni, illetőleg megoldani, aki nagyméretű optimalizálási feladatok gépi numerikus megoldására képes. A statisztikai és a szó—

mítástechnikai elvek és módszerek ilyen keveredése, szimbiózisa minden bizonnyal rendkívül érdekes eredményeket fog hozni ajövőben.

A sztochasztikus rendszerek dinamikus irányításával kapcsolatban összeállítot—

tunk néhány elvet, melyek figyelembevételét mindenképpen célszerűnek tartjuk, ha ideális modellkonstrukcióra gyakran nincs is lehetőségünk. Ezek az elvek a követ—

kezők:

-— döntésünk ne egyszeri. hanem szekvenciális döntéssorozat legyen: lehetőleg minden alkalommal. amikor legalább egy valószínűségi változó realizálódik. vizsgáljuk felül irányítási politikánkat. és hozzunk újabb döntést;

-— döntéseinkben vegyük figyelembe a rendszer és a rendszert befolyásoló egyéb ténye- zők múltbeli viselkedését (ez többek között a feltételes eloszlások alkalmazására hívja fel a figyelmet);

—— minden döntés alkalmával vegyük figyelembe a jövőben realizálódó valószínűségi változók valószínűségeloszlását;

—- valószínűségi változóinkkal kapcsolatos döntéseinket ne a külön-külön vett (perem-) eloszlásokra, hanem az együttes eloszlásra alapozzuk.

Befejezésül egy általános sémát adunk a sztochasztikus és dinamikus folyamat- irányításra vonatkozólag. Ennek valamivel részletesebb kifejtését a (20) tartalmazza.

Most csak arra törekszünk, hogy a korábban megfogalmazott elveket valamelyest formalizáljuk.

Jelöljék xi, . . . , xN egy rendszer állapotváltozóit. ezek tartozzanak az 1, . . ., N egész számokkal jelölt periódusokhoz. Az állapotváltozók egy 5 térből vegyék ér—

tékeiket. Jelöljék 51. . . .. ÉN az egyes periódusokban a rendszert befolyásoló való- színűségi változókat, amelyek értékeiket mondjuk egy 5 térből nyerik. A döntési fo- lyamatot kétféleképpen foghatjuk fel. Vagy úgy, hogy az i-edik periódusban előbb megfigyeljük (: Éivalászínűségi változót, és ezután döntünk xifelől, vagy fordítva, előbb döntünk x; felől, majd megfigyeljük a 5,- értékét. Most az utóbbi felfogást követjük.

Az x,- felőli döntés meghozatalakor a döntést az x;. . . . , x,- _j. a múltban megvaló- sult állapotértékekre. a realizálódott Éj, . ... 5,- _1 értékekre és a

Piszőí,..., gN/51,..., §.)

feltételes valószínűségeloszlásra támaszkodva hozhatjuk meg. Ez utóbbi 5, . . ., ÉN feltételes valószínűségeloszlását jelenti a 51, . . . , fi feltétel mellett. llyen formán te- hát

Xisfi(xl""'xi_1'Elh", É'._1, P,) í:29...;N

x1 : f1(P1)'

(10)

902 PRÉKOPA ANDRÁS

ahol Pl a 51, . . . , £N valószínűségi változók (abszolút) együttes eloszlását jelenti. Az fi. . . . , fN függvények a tulajdonképpeni ismeretlenek. Feladatunkat a következő-

képpen fogalmazzuk meg: maximalizálandó f(fi, . . . . fN), feltéve, hogy fi § Fi, . . . , M e FN, ahol f az fi. . . . , fN függvényeken értelmezett funkcionál. f értelmezési tarto—

mónyo az Fing . . . xFN halmaz. esetleg egyetlen olyan F halmaz, melyből az fi, . . . , fN függvény N-est választhatjuk. Az F1, . . . . FN halmazok, illetve az F halmaz a rend-

szerre vonatkozó korlátokat rögzítik.

Ilyen általános feladat numerikus megoldására természetesen nem gondolha-

tunk, mégis talán megfelelő szemléletmódot nyújt egyes gyakorlati feladatok mate-

matikai modelljének a megfogalmazósóhoz.

lRODALOM

(1) Aokr', M.: Optimization of stochastic systems. Academia Press. New York -— London. 1967.

(2) Bell, F. T.: The development of mathematics. McGraw—Hill. New York -— London. 1945.

(3) Bel/man, P.: Dynamic programmíng. Princeton University Press. Princeton. 1957.

(4) Blackwell, D. -- Gírschick, M. A.: Theory of games and statistical decisions. Wiley. New York. 1954.

(5) Charnes, A, — Cooper, W. W. -— Symond, G. H.: Cost horizons and certainty eauivalents: an ap- pilrgoch to stochastic programming of heating oil production. Management Science. 1958. évi 4. sz. 236—263.

a .

15 (6l)dEdwards, A W. F.: The history of likelihood. International Statistical Review. 1974. évi 1. sz.

9— . o .

(7) Fínettí, de B.: Bayesianism: its unifying role of both the foundations and applications of statistics.

International Statistical Review. 1974. évi 2. sz. 117—130. old.

(8) Finetti, de B.: Theory of probability. Wiley. New York. 1974.

5 (9) líisher, R. A.: On an absolute criterion for fitting freauency curves. Mess. Math. 1912. évi 41. sz.

1 5—160. a d.

(10) Fisher, R. A.: Collected papers. University of Adelaide. 1971.

(11) Fraser, D. A. S.: Nonparametric methods in statistics. Wiley. New York. 1957.

(12) Harter, H, L.: The method of least sauares and some alternatives. International Statistical Review, 1974. évi 2. sz. 147—174. old.

? (13) Laplace: Théorie des probabilite's. Oeuvres complétes de Laplace. Tome Septiéme. Gauthier-Villam.

aris. 1886.

(14) Luce, R. P. — Raiifa, H.: Games and decisions: Introduction and critical survey. Wiley. New York.

1964.

2 (15) INeumann. von I.: Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Mathematische Annalen. 1928. évi 100. sz.

95—320. a d,

(16) Neumann, von ]. — Morgenstern, O.: Theory of games and economic behaviour. Princeton Univer- sity Press. 1947.

(17) Pre'kopo, A.: Contributions to the theory of stochastic programming. Mathematical Programming.

1973. évi 4. sz. 202—221. old.

(18) Prékopa, A. -— Szántai, T.: On multi-stage stochastic programming (with application to optimal control of water supply). Colloauio Mathematica Societatis Janos Bolyai 12. Progress in Operations Research.

Eger (Hungary). 1974. North Holland Publishing Company. Amsterdam. 1976. 733—755. old.

(19) Prékopa A. — Szántai T.: On optimal regulation of a storage level. (Kézirat)

(20) Prékopa. A.: Dynamic type stochastic programming models. Proceedings of the lV. Mathematical Programming Conference (Mótrafüred, Hungary. 1974). (Kézirat)

(21) Raiffa, H. - $chlaifer, R.: Applied statistical decision theory. Massachusetts Institute of Techno- logy, Cambridge. Mass. 1961.

(22) Tintner, G,: Stochastic linear programming with applications to agricultural economies. Second Symposium on Linear Programming. National Bureau of Standards. Washington. 1955.

(23) Todhunter, J.: A history of the mathematical theory of probability from the time of Pascal to that of Laplace. Chelsea Publishing Company. New York. 1949.

(24) Vincze István: Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó. Budapest. 1968.

(25) Wald. A.: Seauential analysis. Wiley. New York. 1947.

(26) Wald, A.: Statistical decision functions. Wiley. New York. 1950.

(27) Yule, G. U. — Kendall, M. G.: An introduction to the theory of statistics. London. 1911.

PE3lOME

Hacronman CTaTbSI conepmur marepuan nonnana, oőcymneuuoro Ha cocrosamemcn 26 okmőps 1977 roAa Hay-mom aacenauuu Cexuuu no Matemamuecncoia cramcmxe M cra—

mcrmecxoű uHcpopMaTmce a cansu c p,:yxcomeTI-leü ronosmnuoü Beenenuewmtuero.

crarucmuecxoro oőpazoeauwn B BeHrpuu. v

Aarop nponaeogu'r Kparkuü oősop npunuunoa cra'mcmuecxoü Teopuu pemenwn. no—

Kaamaaer, Irra cramcruuecxyio 'reopmo pemeuuü MO)KHO nurepnpempoaarb wupe, nem

"acre CTBTHCTHKH, matemamuemoű cramcmlm. C TOHKH sperma npnuuunoa xapak-repa 'reo—

pm seponrHocm, momno oőpasoaa'rb OAHY xe'reropmo Ha ocuoae coaonynuocm npununnoa npmm—m pemenmí cornacno Teopnu cra'rucmuecxux cpynkuuü peweuui'i, reopuu urp,

(11)

STATISZTIKAI DÖ NTÉSELMÉLET 903

Teopun CTOXGCTHHeCKOI'O ynpaaner-mn, AHHHMHHeCKOMY nporpaMMMpoaaumo, croxacmuec- KOMY nporpaManoaar-rmo, Teopun unmopmaunu H KHüCCHHeCKHM pacueTaM BepOHTHOCTH.

ABTOp nonuepkuaaer HeOÖXOAHMOCTb KOMMYHHKÖUME MSDKAY HaYl-IHBIMH AHCMHI'IHMHGMH.

SUMMARY

The study was delivered as a lecture at the Mathematical Statistics—Statistical Informa- tics Section of the scientific seminar organized on the occasion of the bicentenary of the

introduction of statistical higher education in Hungary held on 26 October 1977.

The author outlines the principles of the statistical decision theory. He points out that the theory of statistical decisions can also have a broader meaning than just being a part of statistics. of mathematical statistics. The contents of the principles having a statistics — probability theory character, a common category can be formed of the decision principles of the theory of statistical decision functions, of the theory of games. of the theory of stochastic cybernetics. of the dynamic and stochastic programming. of the information theory, and of the classical calculus of probabilities. The author emphasizes the necessity of the communication between these sciences.