A Hilbert-féle tér : pályamunka

A H i l b e r t — f é l e t é r .

Pályamunka a szegedi m.kiK Horthy Miklós Tudomány- egyetem láathematikai és Természettudományi Kara ál- tal az 1943/44 tanévben hidetett: „Szabadon választ- ható tanulmány a valós, vagy kompié*-változós függ-

vények elméletéből" o. pályatételre.

Jelige: Hilbert

T a r t a l o m j e g y z é k ,

Bevezetés l.old.

A két kvantumelmélet. . . ... 3.

I.iész.A Hilbart-féle végtelen-dimenziós vektor-

tér 17.

1*. A tér lineáris 19.

2§. A tér metrikus ... 22.

3§. A tér vágtelea-dimenziós... 27,

45. A tér kompakt... 38.

5§. A tér ezrper ibilis. 5 7 .

6§. Az alaptétel, 59.

IIÍkász.A négyzetsaan-intagr ílhstó függvények

tere 6 4 . 1 ... A tér line ária 67.

2:: . A tár metrikus. 69.

3i>. A tér v^:*-rtelen—dimenziéa... 7 2 .

45. a tér k ompal-tt... 7 9 .

55. A tár ír ⁵ bilis 31.

6§._ Az alnoT ?tel... g^í

III. ...ész.A Mesz-Piecher "étel... 3 5 . IV.->.ész.Az .böztrakt ;iilbert-féle tér ...loo.

Végszó. Forrásmnnkák. Jelölések... ..114.

A Planck, Einstein, -Bohr és Sommerfeld nevé- hez fűződő klasszikus kvantumelmélet és az u.n, na- iv (modellmássige) atomelmélet eredményei nem min- denben egyeztek meg a tapasztalattal ás sokszor oly matematikai nehézségekre vezettek (pl. a legegysze- rűbb atommeohanikai többtestprobléma esetében is, a hélium szinképének az elemzésénél), melyek teljes megoldására gondolni sem lehetett. Az 1925. évben Heisenberg és de Broglie forradalmi feltevése gyö- keresen megváltóztatta a fizikai vil'gnézetet. A két feltevésből rövidesen látszólag két különböző elmélet fejlődött ki: a Born-Heisenberg-Jordan-Di- rac-fále mátrixmechanika és a Schrödinger-féle hul- lámmechanika, melyek teljesen matematikai vizekre terelték a kvantumelméletet. Ez annál is inkább be- következhetett, mert az által nos függvényterek el- mélete^ D.Hilbert, O.Toeplitz, B.Hellinger, F.ííiesz és E..ehmidt munkássága nyom n ebben az időben már eléggé ismert volt. A két kvantumelméletnek az volt az érdekess 'ge, hogy ámbár lényegesen ellentétes

cas évek elején Neumann °ános kimutatta a két elmé- let azonosságát és igyekezett egy olyan kvantumel- méletnek me..vetni az alapját, mely mint epeoiális esetet a fentemiitett kettőt magában foglalja. A mátrixmeohanika alapja a végtelendimenziós hilbert- féle vektortér, a hiúLl ímmechanika alapja pedig a négyzetesen-integrálható függvények tere voltj Neu- mann általánosította ezt a két teret és az ezáltal keletkezett absztrakt nilbert-teret választotta az y kvantumelmélet matematikai alapjának.

Ebben a bevezető r'szben röviden ismereteit a Iíeisenberg-Born-^ordán-Dirac-féle és a Schrödinger- féle hullámmeohanika alapelveit és módszereit, hogy bemutatva az operátor-kalkulus lényegét az összefüg- gést a ililbert-tér és a kvantumelméletek között be- mutassam. \

- 3 -

1§. A két kvantumelmélet.

Mind-kát elmélet a következő klasszikus prob- lémából indul kii Legyen adva egy rendszer, mely- nek állapotát k koordinátája (t^tq.gt»*«»^) határoz-

za meg. A rendszer energiáját az u.n. Lagrange-féle függvény adja meg, mely csak a koordináktáktól és azok időszerinti differenciálhányadosaitól függ:

(1) E = X»(<li» • • •»Ofct&L» ••

Bevezetjük a konjugált impulzusokat

(2) p^± - — r " ^{( i = 1}»^{2 k}>

melyeknek a segítségével a Lagrange-féle függvény- ből a qjffc eliminálhatók. így keletkezik a Hamilton- féle függvény

(3) E * LÍ^t^, ...,q^k,q^lt ...,4^k) = H(q¹. -<l^k»Pj• .P^k) mely mind a két elméletben alapvető fontosságú sze- repet Játszik.

A mátriumeohaaika alapproblémája az, hogy meg- határozzon ká* 2k darab Q¹,...,Q^k,P-^L,...,P^k mátrixot melyek eleget tesznek a Heisenberg-féle felcserélési relációknak:

S n V ^ V ⁰

/ ^A\ (m,n = l,...,k)

fO , ha

^m / _h , .l g^ir.i) na m=n ^m „

és melyekre W = H(Q1,...,Qj^á-j t •.. »'Pk) mátrix dia- gonális. Á W diagon llis elemei (w^,...,?^) adják ekkor a különböző lehetséges energiaértékeket. A Q-jf.jQjj. mátrixok elemei ( q a d j á k az átmene-

valószinüasget az m-ik állapotból (a w.^y energi- ájú á lapot) az n-ik állapotba. Aszerint, amint a w^m^ wⁿ, a rendszer kisugároz, ill. elnyel energiát.

Az igy bevezett W * H(Q,P) függvény aníiyiban lényegesen eltér a Klasezikis Hamilton-féle függvény- től, hogy rnig az utóbbiban a q.j_P^k szorzat minden e- setben kor ututiv, ddig most sz , érvényes min- dig és általánosa '.gban el sem érhető.

hg^yes spéci'lis kfcxx problémák esetében al- kalmazhatunk derékszögű koordinátákat, ilykor a Ha—

milton-függvény:

•M

(5) H(q^k,p^k) - ^ ^ - ( P ^ ^ x ^ l i ) + V(q^k),

ahol most k = 3i, m^ az i-ik részecske tömege,

q3i-l^{, q}3i ^{a p}3i-2^{, p}3i-l'^p3i ^{a z i m}P^{u l z}n s ko- ordinátája • A V(q^k) potenciális' energia, mely csak a

- 5 -

q^k-któl függ. őhelyette aitve tehát^-4megfelelő mát- rixokat a részecskék kölcsönhatásából nem származ- hatik zavar, mert a Heisenberg-féle relációk szerint

a Q^-k egymásközt felcserélhetők.

"Ünthogy az egyes mátrixok sajátértékei fizi- kailag mérhető reális számok, ezért a mátrixmech — nikában Hermite-féle mátrixokat alkalmazunk, melyek- ben, ha A » " (a^), kkor amn»a.^ (a* az a konjugál- ja).

A hulláramechanikában ezzel szemben a követke- zőképpen indulunk kii Helyettesitsükk jd: p. helyébe a Hamilton-féle függvényben jyj- — -t és az igy ke- letkezett differenciáloperátort alkalmazzuk egy a rendszer állapotterében (igy nevezzük a q,^ korainá- ták által meghatározott teret, szemben a fázistér- rel, melyet az impulzus-koordináták határoznak meg) értelmezett Y^fc) fügjvényre. Igy jutunk az u.n.

Schrödinger-féle hullámegyenlethez:

mely derékszögű koordináták esetében a fentiek alap- ján

h fi)

Minthogy % •£?T'9cr" °P^erátor ^{n e m} cserélhető fel a

•pfli— n n o r ^ + rirrol ál n n n a o a o + V i a n a a á o t* V*

faktorokkal való számolásnál bizonyos határozatlan- ság áll be. Ezt Sehrödinger az által küszöbölte ki, hogy a differenciálegyenlet helyett ilyenkor az ad-

jungáltját vette.

A hullámmechani ai alapegyenlet azonos egy sa- játérték problémával, melyben meg kell határozni a

A sajátértékhez tartozó ^ ( q ^ ) sajátfüggvényt ugy, hogy az az állapottér határán eltűnjék, belül regu- láris és e yértslmüen meghatározott legyen. Az egyes sajátértékek (alkothatnak azok diszkrét, vagy foly- tonos spektrumot) adják a me felelő energianivőt és a hozzájuk tartozó komplex f függvények a rendszer

' p

állapotéra jellemzőek: i^íq^.)! adja innak a való- színűségét, hogy a rendszer az állapott'r (q^,...q^) koordinátájú pontjában van. Minthogy a rendszer biz- tosan van valamilyen állapotban

ahol az integráció az e. /ész állapottérre kiterjesz- tendő. Innen következik, hogy a ichrödinger-féle

(8)

függvénynek négyzetesen integrálhatónak kell lennie.

Nem beszéltünk még arról az esetről, hogy a rendszer állapottere nem stacionárius. Ebben az ec- setben a f nemcsak a koordinátáktól, hanem az idő- től is függ: = A|>(qk,t). Ebben az esetben a Schrö- dinger-fáls egyenlet

O ) <**•-*> « melynek a megoldása

- £Hiit

(10) -p(q^k,t) m e q^k,0).

/

Azt látjuk teh t, hogy -.z időtől függő Y csupán egy egységnyi abszolutértékü faktorban tér el az eredti- től..

Minth gy a differenciálegyenletünk sajátérté- kei teljes orthogonális rendszert alkotnak minden más y jfq^) ezekkel kifejezhet':

( U ) - qk)

alakban, ahol a ^sajátértékhez tartozó saját- függvény. Ha y függ az időtől, akkor az együtt-

hatók ia függnek tőle:

(12) =

1

összehasonlítva a két 3őrödinger e yenletet kapjuk, hogy

(13) =

tehát az együtthatók összehasonlításából adódik, hogy

- - W * >

<!5) _ « i , j

*4.\ h nw

n^A ' n *

vagy más alakban

2«i "I a. \

(16) ,ⁿ( t ) = e" n" ⁰ .aⁿ(t^o) =

" f ¹ JJÍt-to)

e .a n

következésképpen

(17) (q

• - BBBSBBHBBBSBBBB

- 9 -

^ (+ ^ \

(17) ^ ⁰ . aⁿ^ⁿ( q^k) .

Sz az 1 tal^nos áchrádinger egyenlet megoldása.

^ raátrixm ¿ohanik» alapprobl'Imájának a megol- dását Born 's Jordán kát lépésben ráfestik el. Elő-

ször meghatározták a Q^,.. ... jF^fcmátrixokat, melyek eleget tesznek a eisenberg-íéle felcserélé-

st relációknak, . .z ezekből alkotott S « S(tL#F^k) mátrix természetesen ég nem ezüks -gszsrint diago- nális. Á tényleges megoldást azután

(13) f^k - \ =

alakban kapták meg, áiol az egyenlőre ismeretlen 3 mátrixokat (melyekről feltesszük, hogy Van inverzük és 3 G « 3J ^x ® 1) ugy határozták mag, hogy az igy keletkezett mátrixok által meghatározott H már diagonális legye^.

Bzzel a kérdést lényegében visszavezettük az Ő ^ Ü S - H métride y let megold-'.sár i, h 1 az , . 't- rix elemei a« is eretlsnek. Legyen 8 m (a, ), H =

(h^{i k}) is H « M és ha M k ) .

Ir^uk mátrixé yenletünket n következő alakba (19) 3H « HS.

Héezletesen kiirva

( 2 0 ) ^ ^öik^{, w}k* kj vagyis

(21) ^^Ei ki - •>ik* kj - ^a 3 = W^ .3 w r i r

vezessük be a következő jelölést: x. m s^{t 1} ás X = w akkor a kérdést visszavezettük a következő sajátér- tékprobléma megoldására

(Az x¹=x^C)=...=0 triviális megoldástól eltekintünk),

^imutatható, hogy a megoldás egyértelmü. ¿z különö- sen azért nagy jelentőségű, mert ezáltal S és H is- meretéből nemcsok a sajátértékprobláma mindegyik meg-

old ísát tudjuk ;e ¿határozni, hanem forditva abból z 3-t és ¿^-t is a¿határozhatjuk. így a fenti egyen- letrendszer megoldásának a érdese a mátrixmechani- ka alapproblémája.

Hasonlitsük össze a két kvantumelmélet alap- problémáját. .. mátrixmechanikában az

(22) (i*l,2, .. •)

(I) - ^ i k ³ ^ - ^{V x} i (i=l,2,...)

f.. •

egyenletrendszer, ahullámmechanikában pedig a

- 11

(II) H. y ( q^k) = A. f ( q^k)

differenciálegyenlet megoldását keressük. Vizsgál- juk meg azt a kérdést, hogy a két probléma között tudunk-e valamilyen kapcsolatot feltalálni: A II.

esetben keressük azokat a ¿f(q^) függvényeket és ) értékeket (triviális megoldás kizárva), melyek az egyenletet kielégitik. A I. esetben pedig azt az

xl^{, x}2 ' " * ^aoroza'^fcof» melyet felfoghatunk ugy is, mint a k (=1,2,...) indexek egy x^k függvényét. Ebben a felfogásban y a folytonos q^k változóknak, x^. pe- dig a nemfolytonos k indexek függvénye. 2 mind a két esetben ugyanazt a szerepet játsza. Az I.-t ugy tekinthetjük, mint egy transformációt, melynek kö-

vetkeztében xk^ ^ hi kxk, Il.-nél pedig <?(qk) ~ ^ H . < p ( qk) Azáltal, hogy a k indexeket (melyeknek természete-

sen semmi közük sincsan a q-k k indexéhez) változók- nak fogtuk fel és ezáltal párhuzamba hoztuk a qk vál- tozókkal, mindenegyes pozitiv eglszszámhoz hozzáren- deltük a k-dimenziós állapottér (jelöljük 4Ö-val) egy pontját. A ^ megfelelője az & -ban _[...^..dq^.da,

(vagy rövid ebben £ ...dv, ahol dv az dq^l..dq^k| térfogateleme). A h^{i k} mátrixelemet egy kétváltozós h(q^k,q£) függvénnyel, az u.n. magfüggvénnyel kell helyettesítenünk, ahol az egyes változók egymástól függetlenül befutják az i/l( minden pontját.

Ebben az esetben az

Il.-nél pedig

c m ) y í ^ f c r ^ v ^ ^ v - * * 9

Ez e -y elsőfajú inte r 'le -yenlet.

A két kv mtumalnielet azonossága akkor lenne teljesen megoldotta :k tekinthető, ha a II.-"ben sze- replő H,(mely értelmezésénél fogra egy differeaotl- operátor)4gy inte r'loperátorral lenne azonos. Álta- lában egy ilyen ^:t lakitág lehetetlen, .mert még a legegyszerűbb differenciáloperátor (az identikus o- peritor 1) sem azonos egyik integráloperátorral sem.

•¿zt a következeképpen mutatjuk meg (az egyszerűség kedvé Irt legyen z ' 1 lapottér e gydimenziéfi}*

begyen

•fo^

(23) S .'). Cf{q>). V - -o®

helyettesítsünk cyKq) helyébe ^(«ig+qí-t, vezes- sük be q"«q»-qc_t inte ;réci >s v'ltozónak és tskint- ' az egész?t q»0 helyen, akkor azt kapjuk ^(t^)*

q^Q 's r" nelyébe ismét q-t és q*-t irva l'tjuk, hogyha h(q,q') megfelelő mag-

- 13 -

függvény, akkor h(0,q'-q) ia az, tehát h(q,q») lé- nyegéhen csak q'-q-tól függ. (23) tehát a követke- ző alakba irható

(24) <p(q) = fh(q'-q).<p(q»Mq'

— o^

ahol h(q,q*) = h(q»-q). Helyettesítsünk mégegyszer helyébe f⁷(q^o+q)-t és tekintsük az igy nyert kifejezést helyen, akkor

+ ^

(25) cf{0) 5 (h(q). ^(q)3q.

- tm=

q?(q) helyébe <^(-q )-t téve azt kapjuk, hogy h(q.)-val együtt h(—q) is megoldás, következésképpen h-, (q) =

is az. Ezzel az kaptuk, hogy h(q) egy páros függv ny.

Ezeket a feltétele et kielégiteni azonban le- hetetlen. Ugyanis legyen q ^Q-ra <^(q)p>0 és y 0 ) = 0 , akkor máris ellentmondásra jutottunk, mert (25)-ből következik, hogy <p?(q) q ^0-ra is 0.

Válasszuk azonban <^(q)-t egynek, akkor azt kap- juk hogy ( h(q)dq »1. ^¿erészt azonban az előbbiből az következnék, hogy \ h(q)dq = 0.

Birao ugy segitett a dolgon, hogy feltette egy olyan függvény létezését, mely kielégíti a következő fel- tételeket

n -f-o⁰

(26) J(q)«0, ha q ^ O , <Aq)= /(-q), ^(q)dq = 1.

Sbben az esetben (25) is teljesül:

-fi*3 n +0p -r^p" T v-0 mi» 1

W f t K t H * » <p{0)^(q)dq (C)/dq «

(27) + ^ ^-

f(Q).l + fO.dq = ¿p(0).

i

Ennek a Dirac-féle függvénynek a segítségével a dif- ferenci iloper'.torokat átalakíthatjuk int e gr ál operá- tor okká:

= ^ ( / ( q - á ' ) . i J ' M ' = őq dq -¿>o J

( 2 3 ) » ^ c f ( q - q ' ) . ^ ( q » ) . d q '

— q

— ) J^q-q').^ (q').dq',

— <x= ¹

(29) qⁿ.<^(q) = (> cf(q-c') .qⁿ. ) .dq' -Q-

dⁿ

Vagyis a - — g - ill. qⁿ,..^# operátoroknak a /^(q-q'),

- 15 -

«(q-q').qⁿ magu integráloperátor fel meg.

Ez a Birac-féle függvény többváltozóra egészen hasonlóan értei ezhető és eegitségével pl. a k-cti- menziőa állapottérben a operátor a következőkép- pen fejezhető ki:

Hogy a két elmélet közti analógiát még jobban kidomboritsuk gondoljuk még meg a következőt: Az-ál- tal, hogy I. és III. alatti egyenleteket azonosított tuk voltaképpen azt tettük, ho -y az I.-ben szerpplő ipXj»... számsorozathoz (mely által'ban végtelen számsorozat) hozzárendeltük a <^(qv) fü vényt. A számsorozatot azonban felfoghatjuk, mint egy ektor komponenseit. Ezeknek a vektoroknak az összessége alkotja a Hilbert-féle vektorteret. tagcxxxi (Nevez- zük ezt ideglenesen Z térnek).

így kétféle terünk van a diszkrét Z tér és a folytonos íüi llapott'r.

láttuk, ho y a Schrödinger egyenletben szerep- lő a^-ről feltettük, hogy négyzetesen integrálható}

továbbá a mátrixelméletből ismeretes, hogy az I. a- latti egyenlet akkor és csakis akkor megoldható, ha

I² korlátos. Tehát azt kaptuk, hogy i? *

^ l x^kl² ill. ^I^(q^k)l²dv

korlátosak, úgyhogy norm'lhatók, Mondhatjuk tehát, hogy két függvényösszességhez jutottunk, melyeket a további kb n -val ill. E^f.-fel fogunk jelölni.

E két függvényösszesség közti kapcsolatot, s ezáltal e yben a mátrix- és a hullámmechanika köz- ti kapcsolatot a ítiesz-^ischer tétel teremti meg, mely kimondja, hogy a QP éa E^f izomorf.

Minthogy & és E^f izomorf, a rájuk épitett kvantumelméletek matematikai szempntból egyenlőér- téküek, következésképpen mindenben azonos eredmény- re kell vezetniök.

A dolgozat kereteiben az operátorkalkulussal már nem foglalkozhatunk, csupán a üilbert-térrel ismerkedünk meg, mely közvetve, mint már az eddigi- ekből kitűnik kátxxstxa a kvantumelméletek alapját képezi.

- 17 -

I. íiész.

A íiilbert-féle végtelendimenziós vektortér.

A Hilbert-féle vektorteret a végtelenspk kom- ponensü,negyzet8en összegezhető vektorok alkotják.

A továbbiakban következetesen fogjuk a követ- kező jelöléseket alkalmazni: a Hübert-féle vektor- teret Gf -val, elemeit gót betűkkel, ele einek köm-

ponenseit, melyek végtelen számsorozatok £es3b betűk- kel.

mig a tetszés szerinti komplex számokat, melyek tehát nem elemi terhek,görög betűkkel jelöljük.

Ezekután a teret azok az vektorok al- 1C³ p

kotják, melynek komponensei a < od feltételt kielégitik. '

Ebben az első részben azzal a kérdéssel fog- lalkozunk, hogy kimutatjuk a Hilbert-féle vektortér- ről, h gy eleget tesz a következő axiómáknak:

A. A tér lineáris.

B. A tér metrikus.

C. A tér végtelen-dimenziós.

D. A tér kompakt.

E. A tér szeparábilis.

Ezzel kapcsolatban 'azokra az értelmezésekre és tételekre szoritkozunk, melyek a tér felépítéséhez

- 19 -

szükségesek.

Az A.B.C. axi mák a tér szerkezetére, mig a

"D. és B. axióm Ik a tér topológiájára vo matkoznak.

Szokás néha ezeknek az axiómáknak teljességével és függetlenségével is foglalkozni, ettől azonban el- t, kintünk, mert t rjyláaunktól meglehetősen messzi- re /ezetne. Csupán arra a megjegyzésre szorítkozunk, hogy ezek az ixiómákhBX, amint várjuk is, valóban függetlenek egymástól és teljesek.

1§. A tér lineáris.

Az A. axióma szerint a tér lineáris. Ez azt jelenti, hogy értelmezve van benne az összeadás és a skalárissal való szorzás: pontosabban az összea- dás és a skalárissal való szorzás nem vezet ki a tér- ből.

Le yen /^(x1,...,xn,...) és ^(y1,...,yn,...) a ^t két eleme, összegüknek azt a vektort nevez- zük, melynek komponensei . .. ,x^rl+y^Jl,.. .). Ki- mutatjuk, hogy az igy értelmezett sszeadásnem ve- zet ki a térből, vagyis az összegvektor is beletar-

ÖO p tozik a térbe, ami azt jelent, hogy Ixyy^, I <cr oo ,

Ismeretes, hogy

Ix.+y.l = lx.i + ly^U Akkor i

k

i x^{i + y i}l² i Ix.l² + ly.l² + 2.)xⁱfJyⁱl.

Másrészt,mivel

Ix-J² + ly.l² - 2.ixⁱl.lyⁱl = 0 következik, hogy

2. Ix^ 1² + 2.lyⁱi² = i^i+STi i².

Oc ⁰ O^ ^? Tehát az abszolút konvergens \c és iy, r

űö 'p ¹

sorok majorizálják a ^^t,lxⁱ+yⁱl sort, vagyis ^ ^ ¿ T . Ezzel állításunkat kimutattuk.

Egy vektornak skalárissal való szorzása nyil- válvalóan lehetséges, mert ha egy abszolút l onver- gens sort. tagonként egy véges számmal szorzunk, az a konver ;enoi n sr v'ltőztat. A skalárissal való szorzás ugyanis éppen agy történik, mint a véges dimenziós t'rben; a vektork komponenseit rendre szo- rozzuk a illető skalárissal.

Mináenfek előtt összefoglaljuk a skalárissal való szorzás és az összeadás fontosabb szabályait:

I - 21 -

+ ^ = ^ + ^ • ^{a z} összeadás kommutatív t.

m fz+iy+fr) ^{a z} összeadás asszociatív t,

= ^a skalárissal való szor- zás áisztriMtivtörv.

^ (f) s o c ( ^ ) ajé skalárissal való szor- zás asszociatív törv.

Nevezetes a 0 és 1 skalárisok szerepes + 0 « + 0. as 1 • ff se . Ugyanis mint az elemekben 0 . ^ = 0 és 1. f * fí .

- ^ = (-1). f^

£ - ^ SS (-1) , ^

1.Értelmezés. A ^ tér ^ , ^ ele- mei lineárisan függetlenek, ha köztük egy

+ «á ••• 0

V • * , rel Ició, komplex számok) csak <r^J=s..^#=:o

esetben áll fenn.

2.Értelmezés. A &ttér egy f a l t e r é t lineáris- nak nevezzük, ha az fv,..*»?** |k=2,3,...) elemek- kel együtt azok bármilyen t t . 4 > * l i - neáris kombinációját is tartalmazza.

3.Értelmezés. Legyen egy halmaz, melynek e-

lemei ^ ^y. ,^{f f} fa,. Nyilvánvaló, hogy az a halmaz, mely ezen elemek £», + .•.+ ^ l i n e á r i s kombinációit tartalmazza, tartalmazza az A -t is. Ezt a halmazt az A -hoz tartozó lineáris-összességnek nevezzük*

jelekben:

2.5 A tér metrikus.

A B. axiójjja szerint a tér metrikus. Sz azt je- lenti, hogy minden elempárjához van rendelve egy kom- plex szárat (£>•*)-)» ^a skaláris szorzat, melynek a se- gítségével á vektorok hosszúságát ás a távolságot értelmezni tudjuk.

é.-^rtel azés. A tér két elemének skaláris, vagy belsőszorzatát a következőképpen értelmezzük

Kimutatjuk az értelmezés helyességét, vagyis , hogy 93 sorok konvergenciájából a

sor konver enciája is következik.

^indenek előtt nyilvánvaló, hogy

Ixíy.l = l^l.ly.l ^ |(l^{X i}l² + |^{y i}l²).

- 23 -

Minthogy

M fMj i J E l x f r l² ¿ ¿ X lx.JJy.1

«

A végesből ismert Cauchy-féle egyenlőtlenség alapján

l ^ x ^ l ² í ( J ^ i x. n . í^ i y. l²) . Határesetre rátérve gyökvonással kapjuk, hogy

< r? o P 5 T ?

I JZEjx?y.l . Amivel az értelmezésünk helyességét bebizonyítottuk.

Érdemes itt magjegyezni, hogy ennek a tételnek a megfordítása, a Landau-féle tétel is igaz: ha ^ ¡ x . \

2S\ rt»⁰ 'p í

és -¿^lxíy.^1 sorok konvergensek, akkor a -g^ijj*

sor is az(A bizonyítás pl. Sz.Hagy: Egyenlőtlenségek előadásában).

Most is érvényben vannak a véges-dimenziós tér- ből jól ismert relációk:

y ) - + disztributiv t.

tf ) ^m assziclativ t.

- (yt-íf)* hermitikus azim.

( ^ r , ^ ) = 0 és csak <g>= 0 esetben « 0.

5.értelmezés. Egy vektor önmagával való ska- láris szorzatából vont pozitiv négyzetgyököt a vek- tor normájának, vagy hosszának nevezzük* jelekben

llfll =

A norma bevezetésével előbbi alapvető e.jen- 1 tlenséünkből nyerjük a ^ - b m is érvényes neveze- tes egyenlőtlenséget:

1.Tétel. A 0f térben is érvényes a Cauchy- Schwarz-féle egyenlőtlenség

1 ( ^ , ^ ) 1 = II .

Egyenlőség csak akkor áll, ha f és y arányosak, vagyis, ha párhuzamosak.

6.Értelmezés. Két elem távolságát H f - «r I ^ei értelmezzük.

*-ét elem távolságának az értelmezésével mér- téket vezettünk be a iülbert-féle vektortérbe és ez- zel annak metrikus voltát^ kimutattuk.

7.Értelmezés. Ha két vektor skaláris szorzata eltűnik, akkor azt mondjuk, ho y két vektor orthogo- nális. Ez a tulajdonság kommutativ, vagyis ha -£"or-

thogon'lis ^ - r , akkor ^ is orthogon lis -re.

2.Tétel. Csak a null-vektor orthogonális önma- gára és igy, ha 11^11= 0, akkor ^ = 0.

- 25 -

Nyilvánvalóan érvényben van most is, hogy Uoc.^il = 1*1.11^11 .

3.Tétel. A éttérben ia érvényben van a három- s zögegyenlőtlenség.

Ezt a következőképpen láthatjuk be:

v

Ennsk a felhasználásával

^ o O³ o O* Í>

^ , ' l xf / / « ^{i + y i}l² - ^ I x , !² X J S V ² ^ » f r i ^ V í Más alakban

l l ^ l l²« ( y ^ ) + Köve tke zé sképpen

ü ^ l l² i ll^li² + !U,II² + = (iyMI^II)²' vagyis

l^yll £ I £11+1^11, ami éppen a keresett egyenlőtlenség.

Egyenlőség osak akkor áll fenn, ha g- és ará- nyosak, vagyis, ha párhuzamosak,

4. Tét el. Pytha gorás tétele: legyenek páronként orthogonilis vektorok és

f ⁼ ^ ^{+ +} • • • ⁺ ' akkor

II^H² = H^l²+ ... + H^j?.

A tétel majdnem evidens, ugyanis képezzük ^ normá- ját, akkor, minthogy

II £Í1² « (j ^ + ^ + f^k)A p + )

lf< ^{L L}

a vektorok orthogonalitása miatt

lleü², ha i = k ha i / k Amiből pedig közvetlenül következik a tétel.

f Ne«2, (ff.*) - | ^Q

- 27 -

3§. A tér végtelen-dimenziós.

A Pythagorás-tételnek érdekes következménye, hogy

5.Tétel, n orthogonális vektor mindig lineá- risan független egymástól.

l'együk fel az ellenkezőjét, azaz, hogy léte- zik köztük egy

<ifv+ ••• + 0

reláció, ahol az tetszés szerinti komplex szá- mok. Minthogy a feltétel szerint ezek a vektorok pá- ronként orthogonálisak, a Pythagoras-tétel alapján

l^fJl² + ... + = 0,

tehát nyilvánvaló, hogy ez a reláció akkor és csak akkor áll, ha mindegyik 0. Amivel tételünket bebizonyítottuk.

S.Ertelmezés. Egy ^ altérben lévő line risan független elemek számosságát az illető altér dimen- zió-számának nevezzük.

Az előbbi tételünkben szereplő n minden hatá- ron tul nőhet, tehát a tér végtelen-dimenziós, mert végtelensok lineárisan független elem van benne.

9.Értelmezés. Legyen

Ha az ^ orthogonális az p -re, akkor a ^ - t az ^ vektor p irányú komponensének nevezzük.

A A skaláris egyértelműen meghatározott a kö- vetkezőképpen

ifi9*i) = (f<rf) - = 0 honnan

Á II fül² '

A keresett irányú kompo^nes tehj^át ^#Ha Mp« I

speciálisan ^ egységvektor^ tehát Hftí «1, akkor i? * * z ^ & ⁺ y *

*

ahol p és ^ orthogon lisok.

lo.Értelmezés. Az p , ^ ,... vektorok ortho- normílt rendszert alkotnak, ha

(f, , ) » feltételt kielégítik.

- 29 -

11. ártalrazés. íía az ^ , ^ , l i n e á - risan független vektorok lineáris kombinációi a tér egy literét alkotják, akkor a fenti vekto- rok összességét az illető altér bázisának nevezzük.

6.Tétel. Legyenek ff ,....» f^ orthonormált vektorok, akkor felmutatjuk, hogy egy tetszés-sze- rinti ^ vaktort komponenseire tudunk ugy bontani, hogy lesz egy "L komponense, mely az egész ^ - r e

(vagyis minden benne lébő vektorra) orthogonális.

Legyen a kresett felbontás

Az ¿y -vei skalárisán szorozva rendre megkapjuk a

®i* (^•»p') együtthatókat. Hogy ez a szétbontás he- lyes, ahhoz caa : azt kell belátnunk, ho y y a ¿C minden vektorára orthogonilis. Szorozzunk skalári- sán y- -vei, akkor

^ ) = (f/>f ) ⁺ (ffr * fO miatt

Qu.e.d

( ^ t^J * 0 (i=l,...,n)

7.Tétel. A Schmidt-féle orthogftnalizálási el- -járás:

A 5. tétel egészen általános, mert a benne szereplő felbontás akkor is létezik, ha a bázis nem orthonormált, ugyanis a ^őhmidt-féle orthogonalizá- lási eljárással lineárisan független vektorok min- dig orthonormaliz'Ihatok.

Ez az orthonoímalizálási eljárás kát lépés- ben történik: Először az u.n. achmidt-féle ortho- gonalizálási eljárással orthogonalizáljuk, majd pe- dig normáljuk a rendszeirt. A rendszer orthogonali- zálása a következő szukcessziv módon történik

y = * - y r< t ,, / s,

r iifvtr ^r

MeSjegyezzük, hogy ez az eljárás különösen azért ne- vezetes, mert, még ha lenne is néhány lineárisan füg- gő az eredeti rendszerben az rendszer ele- mei akkor is lineárisan függetlenek lesznek, mert az orthogonalizálási eljárás alatt a függőek automati- kusan kiesnek.

Ha az igy keletkezett ( fí ) rendszer még nem normált, akkor

által normáljuk.

3.Tétel. Legyen az ( f,) rendszer a ^ altér egy orthonormílt bázisa, akkor érvényes a Parseval- Bessel-féle egyenlőtlenség

2 < i „2

S H f i , ? ) * ' =

Egy tetszés-szerinti vektor ebben az esetben

*

a következő alakban irhatő

Pythagoras-1 étele alapján

Minthogy 11^ II = 0,

£ II

\[\

Egyenlőség nyilvánvalóan csak akkor van, ha p * o, vagyis ^ •

12. Értelmezés. Akkor mondjuk a vektorok egy orthogonális rendszeréről, hogy teljes, ha csak a null-vektor merőleges a rendszer minden elemére.

Az értelmezésből közvetlenül következik a kö- vetkező két tétel:

9.Tétel. Ha az ( f, ) orthonormált rendszer tel- jes, akkor a díf tér minden elemére áll, hogy

f " á W « »vagyis li^il² « ^ l (^{f /},^e) l².

/ 1

TT F A

ugyanis a 6. tétel alapján az - p,- vek- tor orthogonális az (fv)-rej az értelmezés miatt a- zonban ez a vektor null-vektor, amivel az állitásun- kat igazoltuk.

10.Tétel. Feltéve ismét, hogy az {f/} rendszer orthonormált és teljes, a tér minden ele^párjára áll, hogy

J j H < Z . f ) -

Alkalmazzuk a 9. tételt g + X n vektorra és vezessük be a következő egyszerűsítést

Ennek a felhasználásával

= + A yi #

- 33 -

2 0°.

A 9. tétel alapján

Minthogy

és H^l? = I²

kapjuk, hogy

* fe 7 ^{) +}A* f « -ép 0 x|yi+A*x^±y | ) - é t ^ y ^ ^ citosoportositva és

V *

u = (^t,j) -

jelölést bevezetve kapjuk, hogy U + *U* ^{SE 0 ,}

ahol természetesen A egy tetszés szerinti komplex szám. A fenti összefüggésnek minden X -ra állnia kell. Ha > valós, akkor

x. y*x" i' ⁽

I

^

U + U* = 0,

ha tiszta imaginárius

u - u* = 0.

A két egyenletből adódik, hogy u = 0, amivel állítá- sunkat igazoltuk.

rdekea megjegyezni, hogy ez a két utóbbi té- tel tekinthető a teljesség értelmezésének is, mert definíciónk és e két tétel egymással ekvivalens és egymásnak kölcsönös következményei, általában a 9.

tétellel szokták a rendszer teljességét bevezetni, ezen a helyen azonban talán helyesebb ezt az utat választani.

A tétel alapján könnyen beláthatjuk, hogy az e^x = (1,0, ... , 0, .

e2 ⁵¹ í⁰»¹»

. •»

.

eⁿ = (0,0, ... , 1. .

vektorok teljes rendszert alkotnak. Ugyanis legyen

<C egy-tetszés szerinti vektor, melynek a komponen- sei x^. Az (e^) vektorok rendszerében a megfelelő komponensek »¿»(o^tf) és

ll^ll2 - ^ i ' l ^ i2 = álr/Ke.^)!2.

- 35 -

Ez minden re teljesül, tehát az e^-k rendszere va- lóban teljes.

Ebben a §-ban most végül azzal a kérdéssel foglalkozunk, h o g y miként lehet a liilber t-t érben eldönteni megadott vektorokról, hogy azok lineári- san függetlenek-e, vagy nem.

Véges-dimenzióban az eljárásunk a következő volt: A bázis segitségével

alakban előállitottuk a megadott m vektort (tegyük fel, hogy tér n—dimenziós). A lineáris függőség fel- tétele, hogy

legyen. Minthogy az rendszer lineárisan függet- len

A lineáris függőség feltétele, hogy ez az n egyenlet- ből álló m ismeretlenes egyenletrendszer megoldható legyen. Ebből közvetlenül adódik, hogy ha m >n, ak- kor mindig van triviálison kivüli megoldás, vagyis

, . . *,

az n-dimenziós térben a-nél több elemből álló vektor-

rendszer mindig lineárisan függő. Ha az rendszer n elemből áll és det(o^^k) nem tűnik el, akkor az ^ - k

egyértelműen meghatározzák az ^,-ket, melyek a tér- nek egy uj bázisát alkotják. A két rendszer között, ha a determináns nem nulla, a kapcsolatot a c^{i k} együtt- hatókkal rendelkező lineáris transformáciő közvetiti.

A Milbert-térben a lineáris függetlenségnek ezzel a módszerrel való eldöntése a végtelen-dimen- zió miatt nagy nehézségekbe ütközik. A függetlenség eldöntésére még a mult század közepén Gram határo- zott meg egy szellemes és könnyen kezelhető eljárást, mely a ^ilbert-féle vektortérbe közvetlenül átvihe- tő. Nevezetessége ennek a/ ffttVTXS kritériumnak, hogy bizonyos tekintetben a Schmidt-féle orthogonalizálá- si eljárás előfutárja volt.

11. T étel. Az p , p ,..., ^ £ & vektorokból alkotott

(frtfz) ••• <É?»f%) (fínff) • • *

Gram-féle determináns mindig « 0. G > 0 - r a a megadott vektorok lineárisan függetlenek és G « 0-ra pedig függőek.

- 3 7 -

Szorozzuk a G determinánst

«11 «12 ' " «lm

A = «21 «22 ^#< " *2m _{4- o}

«ml «m2 " * «mn

determinánssal, melynek az elemei valós számok.

Végezzük el egyúttal a következő helyettesitést

p (1=1,...,m) Akkor nyilvánvaló, hogy

/(^y) ... (fyj GA

I íy,j^t) i y y ) ... (yjj | Ugyanis

+ ^ ¿ M • ... + - 23l'yi*i ^xi s2 i ^xj + ... =

1 4

Szorozzuk a fenti egyenletet mégegyszer A-val, akkor

GA<

<yú

W ... W

yy rr

t ' ?

Azt látjuk teh't, hogy az Gram-determinánsa csak A -tel különbözik az Gramgeterminánsátél.

Ha az —k lineárisan függőek, akkor meg le—

het pl. az ^ n » ^12'* * **^ln ^ H ^ ^ ó k a t ugy válasz- tani, hogy A^O és mégis #⁴ m Q legyen. Ebben az eset- ben Gr = 0 .

Ha az -k lineárisan függetlenek, akkor ilyen megválasztás nera lehetséges. Ebben az esetben azfr-ket orthonormalizálhatjuk és akkor GA²=1. Vagyis G > 0 . Qu.e.d.

4§. A tér kompakt,

Az eddigiekből a t gondolhatnék, hogy a H ü b e r t - f'le vektortér az n-dimenziés Hermite-féle tér közvet-

- 39 -

len általánosításának tekinthető. Hogy ez nem igy van az csak most fog kitűnni, amikor a konvergencia, folytonosság és általában a h tárérték fogalmát a- karjuk a végtelen-dimenziós térbe átvinni. Látni

•fogjuk, ho y a konvergenciát lényegesen másképpen kell megfogalmaznunk, mint a véges esetben.

n-dimenziós térben akkor mondtuk egy vektor- ról, hogy egy másik vektorhoz konvergál, ha a meg- felelő komponensek konvergáltak. &zt nyilvánvalóan nem által nosithatjuk közvetlenül. A véges-dimenziás.

esetben a koordin'ták (vagy komponensek) konvergen- ciája azt jelentette, hogy a két vektor közti távol- ság O-hoz tart. A távolságot a norma segitségével a éterben is értelmeztük, tehát egészen kézenfekvő, Hogy a norma se -itségével ve'zessük be a konvergencia fogalmát. Ez az eljárás annál is helyesebbnek látszik, mert a normaképzés segitségével a Hubert-féle vek- torteret leképeztük a komplex számaikra, melyen ezek a fogalmak már jól definiáltak. Látni fogjuk azonban, Hogy az- elemekből ismeretes konvergenciával kapcso- latos ismeretek nem ültethetők át a végtelen-dimen- ziós térbe, mert pl. i norma segitségével értelme- zett konvergencia esetében nem érvényes a Bolsano- Weterstrass-féle tétel.

13«Értelmez5a. Akkor mondjuk az p^{f f}

vektorok sorozatáról, hp;y erősen konvergál egy f - hez, jelekben: p z X ^ , ha I I f I! Oj va.yis, ha

íx. ki l?—> 0.

12.Tétel. Ha p z ^ ^ é a jítf , ákor ^ + ^ +

Ugyanis a háromszögeg/enl'tlenség alapjan r.

Ugyanez minden véges összegre igaz.

13.igÉÉ^gg&U ^{H a} f ^ f Ifr^^ *akkor

/ Ugyani

Ö f.; p^xz ^ + , « y + ^M, i akkor

^ihelyt n?K(í), ahol Oj tf»*<€ és ; következésképpen

- ( ^ ) l < £ II ^ IÍ + / llf II + r ² — e 0 « vagyis valóban

) » (f ).

- 41 -

14.Tétel. Hogy az fé ' ***** vektorok soro- zata konvergens legyen, annak a izükséges és elég- séges feltétele az, hogy minden f? O-hoz legyen egy N (í) küszöbszám, melyre, mihelyt az n? N(«-) és az m>N(t), az . (Cauchy-féle konvergencia kritérium).

A feltétel szükséges. Ugyanis, ha ? , ak- kor a definició értelmeben megadható egy N(t) szám, melyre n , m ? N ( 0 esetében fl^-^-IUe és W ^ - ^ W ^ í j tehát II ^Jl = ij'-fJÍ + I I ^ H .

A feltétel elégséges. A bizonyitást háromlé- pésben végezzük el:

1. kimutatjuk, hogy & minden koordinátájának van határértéke.

2. Sz a határérték benne van a fá?térben.

3. valóban er'éen konvergál az igy megha- tározott határértékhez.

1.

Mihelyet n,m^ N(* ) az egyenlőtlenség két oldala tehát bármelyik i-re l x |n )- x (m )I / . Az x |n ) szám- sorozat tehát eleget tesz a Cauchy-féle konvergencia- kritériumnak; következésképpen az — x . , .

2. Megmutatjuk, hogy az x. számok egy W tér- beli vektor koordinátái. Láttuk, hogy van olyan ^ 0 , melyre mihelyt n,m?N(ti), akkor I x ^ - x ^ f2 ^ . Tehát tetszésszerinti véges p-re hasonló összefüggés áll fenn: i2< £*> . Xxkxt Rögzítsük az m-t és tartassuk n-t a végtelenbe, akkor kapjuk, hogy tetszesszerinti p-re, mihelyt m>N(r),

i 11

Tartassuk most p-t a végtelenbe, akkor

\x,-x$^mh²<

1 ¹

Legyen xⁱ=(xⁱ-x|^m))+x^^ffi) és jelöljük a megfelelő vek- torokat £ + <^-mel. Minthogy gv^íf, következésképpen a kettő összege is bennevan a Hilbert- fále vektortérben.

3. Hasonlóképpen mint az imént megmutathatjuk, hogy

c*>

'i i

1\x±-ximh2<f*, Más,alakban

- 43 -

Éa ezzel megmutattuk, hogy

Az erős konvergencióbók közvetlenül következik a koordináták és a normák konvergenciája. Megmutat- juk, most, hogy ennek a megforditottja is igazi

lé.Tétel. Legyen adott egy . . . . „ ) vektorsorozat, mely ele&et tesz a következő két fel-

tételnek

1. rögzített k-ra, ha n->-oo, akkor az x^/1^- x^j 2. n-> oo-re a . Feltéve ter- mészetesen, hogy y f9f,

akkor yyX y .

Azt kell tehát megmutatnunk, hogy o=

lim 0.

«

Ebből képezzük a következő kifejezést

^ JX ív. ^ JX IX 4u-h1 JB. IX

n = CD-re az első tag hulla, mert csak véges összeg.

A második tagot tekintsük, mint két m'sik vek- tor különbségének a normáját és alkalmazzuk rá a há- romszög-egyenlőtlenséget s

J lU* tM

Tehát

lim J x - 4 n ) l 2 - U - F J : i mkl * ) K ( M ' b l » > t ' 2

Minthogy a ^ÉÉh Ix, I < CD , mihelyt 91 elég nagy

¡2 > < ^

^ ix^ki <^f . „ ^

A feltétel szerint ^ l x £ n ' ^ ^ i » tehát lim ^ ' i x ^ l ²

« - O«³

Ebből közvetlenül adődik, hogy

lim ^ l ^ - x ^ ^{1 1}^² < (2r)², követke zé sképpen

lim J ^ l x - x ^ l ² £ (2?)². A-f» I

Ezzel azt kaptuk, hogy II ^ II 0, vagyis

Érdemes megjegyezni, hogy a normák konvergen- ciáját ezek alapján helyettesíteni lehet a -á?lx£ⁿ)|² sor egyenletes konver unciájával.

Most egy ellenpéldával megmutatjuk, hogy a Boleano-Weierstrass-tétel nem érvényes.

Legyen vektorsorozatunk a koordináta egység- vektorok sorozata, mely végetelen és korlátos. Meg-

- 45 -

mutatjuk, hogy az ^ = e nem konvergens, mert ebben az esetben II f,-<6,1 ^ t —nak teljesülni feltllene. Ilyen

1 azonban nincsen, mert a sorozat bármely kát ele- mét vesszük is figyelembe I/-„ - = f~2.

16.letel. Az -fi vektorokbál alkotott ip c^f>^t sort vektorsornak nevezzük, legyen (*?) egy orthonor- máit vektorrendszer. Jebizonyitjuk, hogy a

vektorsor konvergenciájának a szükséges és elégséges

^ P

feltétele az, hogy a sor konvergens legyen.

Jelöljük az n-ik részletösszeget £ -nel. Ha

ez erősen konver ens, akkor egadhaté egy hogy mihelyt az n,m?N(f), II ts* Ö N * , vagyis II ^

w p ^x

azaz H ^,'c. <£yll ^í"²-. Viszont a rendszer orthonor- mált voltából következik, hogy U c, f, II² m J ^ l c , I² tehát j^j I c^± I c²". A Cauchy-kritérium/á alapján te- hát e a T s o r konvergens, mivel a feltétel szükséges-

égét kimutattuk.

A feltétel elégségességének a blzonyitását for- dított számolással ugyanígy elvégezhetjük.

Láttuk, hogy ha erőekonvergencia-fogalommal dolgozunk, akkor a & térben nem érvényes a Bolsa- no Weierstrass tétel. Gyengitve a konvergencia fogal- mát fent lehet ezt a fontos tételt is tartani. A gyen- gítés bban fog állani, hogy feladjuk a normák kon- vergenciáját .

14.Értelmezés. Azt mondjuk, hogy az ^ vektor- sorozat gyengén konver ál az ^ - h e z - jelekben

1, ha az ^ - k normái korlátosak,

2. ha minden egyes koordinátának van határ- é rtéke.

Az értelmezés helyességét bizonyítandó azt kell kimutatnunk, hogy az igy meghatározott kompo- nensekkel rendelkező vektor eleme 9^-nak, vagyis, hogy a J^'lx^l² sor konvergens,

A feltétel szerint ^ \xSⁿH²< Gt még inkább

MV / \ p / K

igaz, hogy < G, Tartassuk n-t a végtelen- be, akkor J2 Ix^l" = G, tetszés szerinti m-re. m-t végtelenbe tartatva a sor konvergens marad, amivel állításunkat kimutattuk.

17,Tltel. A gyenge konvergencia szükséges és elégséges felt'tele, hogy az ( ) sorozatnak min- den p - r a le gyen h>t ár rfceke.

^ A feltétel szükséges, A szokásos ptitk jelölés- sel

r

különbség null hoz tart n — o o - r e .

- 47 -

Osszuk ezt az összeget háromrészre

nw &> . .

kx?

A második tag helyett a Cauchy-Sahwarz-féle egyenlőt- lenség alap j'n

A gyenge konvergencia miatt

< ^ t 4 » h ² C Gr.

Hasonló ólból természetesen

^ ' « x . l ^ G .

Ha az z> 0-t ugy határozzuk meg, hogy

legyen (ilyen megválasztás lehetséges,- mert ak-

kor ' I O k < f .

Minthogy f hasonlóképpen

I ,

£

m-t fixálva tartassuk n-t a végtelenbe, akkor á !

Vagyis

i ( j » f ü ~ * 5 £ *

mihelyt n > N ( x ) . Amivel a feltétel szükségességet kimutattuk.

Ez a tétel lényegében a skaláris szorzat foly- tonosaigát mondja ki ^:s ugy is szokták emlegetni, mint a skaláris szorzat folytonosaági tételét.

A feltétel elégséges. Azt mutatjuk, most ki, hogyha az if-tpji - ) sorozat minden y -ra kon- vergens (n-e»-oo), akkor az ^ vektorok normája kor- látos és «^gyengén konvergál az p -hez.

Mindenek előtt megmutatjuk, hogy az egy li^-^il = r² halmazon összességében korlátos.

Tegyük fel az ellenkeződét. Azaz, hogy

nem összességében kori tos. Akkor megadható lenne

- 4 3 -

egy pont és egy kozzátartozé ^ f « / « * ^ ) halmaz ugy, hogy abban mindenütt Majd egy ^ pont és egy hozzátartozo ugy- hogy í > lo' , siu... Válasszuk az S. i^terSS^ry;

centrumának az pontot; ezen középpontok soroza- tának a határértéke legyen mm . Kimutatjuk, hogy ez mindegyik kalmazban benne van. Legyen ugyanis az *r^f pont az S m f e o ^ a határpontja, akkor

Ha p > N ( 0 , akkor i * , ^ l < a > A Gauchy-kritérium sze- rint % * vagyis • Másrészt

8

ahol Ifc-fcft'JL» H - > ^{t í < f} * követ ke zé sképpen, ha C e- lég ' I n n e n ^vetkezik, hogy

4 V

tehát « mindegyik intervallumban benne van. Ez pedig azt jelenti, hogy tⁿif) a feltevéssel ellentétben nem korlátos.

Azt kaptuk tehát, hogy fjjr) az tti»*) halma- zon korlátos. Ez minden o.-re áll, tehát spciálisan

0 és r = l-re is. Ebben az esetben I y I m 1.

¿z «• ^ / » f J² pontok beletartoznak egy ilyen halmazba, tehát

fn⁽7-> • <-rr£ír.rü - W a-

Ezzel pedig azt mutattuk ki, hogy az összes- ségükben korlátosak.

Hátra van még a n n a k a kimutatása, hogy az U ) tetszés-szerinti y -ra konvergens. Legyen pl. y * ^{e k}»

(e^k, <p) = a^, ha n-^oo. V

Másrészt, minthogy il^ÜGG, a gyenge konvergen- cia ér te lm e z ' s ^{e •} 1 a.p j n ^p ,

Weil és Lelsart szerint ez a tulajdonság a gyenge konvergeneia definiálója. Tárgyalásunkban Júlia nyomán ter.m "szetsaebbenk látszott ez az ut.

A két értelmezés azonosságát Riesz mutatta ki.

Megjegyezzük még, hogy a gyenge konvergencia értelmezésében szereplő Ij^lU G feltétel nem kerül- hető el. Ennől folyik a következő tétel:

18,Tétel. Ha egy vektor komponensei eleget tesz- nek az Xjj. (k=l, ,...) feltételnek, kkor a normájuk lehet véges, vagy végtelen.

A feltevés szerint » x^. Legyen

4 n ) « ^ ( l + ^ k ^ n ) ) ahbl

lim r (k,n) » 0.

/h = 0"

- 110 -

Következésképpen

-oh

Legyen (1+t(k,n))²=1+ ^ . Nyilvánvaló, hogy lim 0.

Legyen továbbá Ix^ 1²=y^k ós ó » y ^ J Akkor 1 8 »

i

2 H „2 hv , 8 < - 8 ^11 -

Azt kell kimutatnunk, hogy ennek a ^ -nak n = oo--re akármilyen határértéke lehet. Az $ - k helyes megvá- laszt sával elérhető, hogy az -k konvergenciájá- nak a megváltŐztatása nélkül a fenti j* sor 0-hoz, vagy végtelenhez tartson.

Az első esetben legyen

J* - 1 • és lim Cf(tC) = + oo .

^ = . n/k-ra n-k egész, tehát

ha £ elég kicsi és n elég nagy, akkor 0 és <r

Akkor

(ahol ^ azt jelenti, hogy az jÉxsxxxxi^ilsaat összeg- zésben a k=n tag kimarad), Legyen

r

f ^' f"^] = '

a ^ ( n ) értékei feküdjenek a pozitiv tengely tetszés- szerinti (a,b) szuk-szán mindenütt sürün. = oo , Osszuk a k változásának az intervallumát faááom rész- re

(|,9f) (3f ,oo )

s^7összeg tetszés szerinti ki- I

t ? < I

1 ^ 1 < 1 + 2 * (k^n) t $ ¹ < 2 ..

/* n . ^< n-1 2

d . f ) Megmutatjuk, hogy a csiny

* <r

§

^ < k <

2f <C k

- 53 -

Akkor

/ •OO cy?

Minthogy a pozitív tagokbői Álló ^ y^k konvergens, oo-re ¿ - > 0 . _

OF A) .

Tehát n = oo-re az y = -f^k^é összeg yⁿ « -re redukálódik, melyről feltettük, hogy az (a,b) in- tervallumon mindenütt sürün fekszik.

19.Tétel. A gyönge konvergenciára érvényes a Bols ano»Weie rstras s tétel. Pontosabban: A M bármely korlátos végtelen alteréből kiválasztható egy gyeh- gén konvergens részsorozat.

Tekintsünk egy teszés-szerinti korlátos soro-

zatot: .Akkor az számok szintén mindannnyiar.

korlátosak. A Riesz-féle diagonális eljárás (Riesz, Systèmes d'équations linéares. 1913. 57. old) segít- ségével xz fr, sorozatból kiválasztható egy ^ rész- sorozat, melyre határérték létezik. Akkor léteznek speciálisan a ) határértékek is.

Minthogy az ^részsorozat eleme/a korlátos vektrok közál valók ^cs fenti határértékük lét zik, megfe- lelnek a tételnek.

2o.Tétel. Ha j^fl és akkor , ^ ) ->(j,p).

Ugyanis

Már láttuk, hogjt

HjffJ - W ' ^ ⁰

ha n -5-oo . Másrészt

Ez a kife jezés null'hoz tart, mert • Tehát

- 0

ha n oo . v

15.értelmezés. Jelentse az ff halmaz vekto- rait. 4di ^ vektort az £ halmaz határvektorának ne- vezzük, ha minden * -hoz an olyan y , hogy M<« .

16. "rtelmezss. A határpontok összességét az

"••' 111 —1 - -"' "Tn- L ' """ j

illető halmaz deriváltjának nevezzük ( £ ) .

17.Értelmezés. Egy halmazt akkor nevezünk zárt- nak, ha a deriváltját is tartalmazza.

Alkalmazzuk ezt a definíciót egy lineáris ösz- szessegre: Akkor mondjuk egy ü h«í x±x összességről, zárt lineáris összesség,

1. ha minden és y elemével azok bármilyen lineáris kombináció^is benne van az összes-

- 5 5 -

s égbe K/;

2. ha egy összességbe tartozó ^ konvergens sorozat limese is bennevan az összességben.

Tekintsük az fy vektorok véges, vagy végtelen sorozatát. Jelöljük azt a lineáris összességet £-vel, mely az -k minden lineáris kombinációját tartal- mazza és t'-vei ennek a deriváltját. Kimutatjuk, hogy ekkor az t + í « ^összesség zárt 'a lineáris.

A lineáritást a következőképpen láthatjuk be:

akkor ¿»W^í ^ a határa egy ^ ^ v e k t o - rok sorozatának, tehát az t t y é Z határa az ^ e ^ - n e k .

Azt kell most még kimutatnunk, hogy ha akkor ^ + y ¿i^.

Ha ^ és y & akkor evidens

Ha és yít't akkor tj határa az ^ t í vek- toroknak, tehát az ^^é£hatr-.ra

Ha , ye. £ ',akkor ezek rendre az ^ , ^ vek- tprok határai, tehát ^ ^ e S f határa az

Az összesség zártsága nyilvánvaló, tehát állí- tásunkat igazoltuk.

18.Értelmezés. A Hilbert-féle vektortérben is értelmezzük a függvény fogalmát. Egy f(^) függvényét, mely vagy eleme a -nak, vagy egy komplex szám, akkor nevezünk egy helyen ( ) folytonosnak, ha min- den ^^ O-hoz van egy olyan o^-O, hogy valahányszor az I , mindannyiszor lif (^)-f I < e illetve

Az f(^) függvényt a tér egy részhalmazán kor- látosnak netezzük, ha !l*(t)8 » 0 ill. * 0, ahol C egy előre megadott ^llandő.

A függvényeket teljesen hasonlóan értelmezzük többváltozóra is.

Foglalkozunk most még egészen röviden egy spe- ciális függvényosztállyalí

19.Értelmezés. Akkor mondjuk, hogy az f

függvény agy $£ -beli f vektor lineáris függvénye, ha kielégíti a következő tulajdonságokat

1. = *f(<k).

2. f(<t+y) = + *(*)•

3. , akkor f(^), ill. fj^).

21.!: Minden ^ - b e l i skaláris line 'ris függvényhez van olyan ^ hogy

p(^) =

Az = 0 egyenlet megoldásai meghatározzák a f

zárt lineáris Összességet. Ha F(^) nem identi- kusán nulla, akkor a nem tölti ki teljesen a Hil- bert-féle vektorteret és létezik olyan 0 vektor, mely orthogonális a í^-re. Egy ^ ^ ^«-beli vektort mindig felbonthatunk 6. alapján £ = + alakban, ahol ^ ¿ f . Akkor az "