A H i l b e r t — f é l e t é r .
Pályamunka a szegedi m.kiK Horthy Miklós Tudomány- egyetem láathematikai és Természettudományi Kara ál- tal az 1943/44 tanévben hidetett: „Szabadon választ- ható tanulmány a valós, vagy kompié*-változós függ-
vények elméletéből" o. pályatételre.
Jelige: Hilbert
T a r t a l o m j e g y z é k ,
Bevezetés l.old.
A két kvantumelmélet. . . ... 3.
I.iész.A Hilbart-féle végtelen-dimenziós vektor-
tér 17.
1*. A tér lineáris 19.
2§. A tér metrikus ... 22.
3§. A tér vágtelea-dimenziós... 27,
45. A tér kompakt... 38.
5§. A tér ezrper ibilis. 5 7 .
6§. Az alaptétel, 59.
IIÍkász.A négyzetsaan-intagr ílhstó függvények
tere 6 4 . 1 ... A tér line ária 67.
2:: . A tár metrikus. 69.
3i>. A tér v:*-rtelen—dimenziéa... 7 2 .
45. a tér k ompal-tt... 7 9 .
55. A tár ír 5 bilis 31.
6§._ Az alnoT ?tel... g^í
III. ...ész.A Mesz-Piecher "étel... 3 5 . IV.->.ész.Az .böztrakt ;iilbert-féle tér ...loo.
Végszó. Forrásmnnkák. Jelölések... ..114.
A Planck, Einstein, -Bohr és Sommerfeld nevé- hez fűződő klasszikus kvantumelmélet és az u.n, na- iv (modellmássige) atomelmélet eredményei nem min- denben egyeztek meg a tapasztalattal ás sokszor oly matematikai nehézségekre vezettek (pl. a legegysze- rűbb atommeohanikai többtestprobléma esetében is, a hélium szinképének az elemzésénél), melyek teljes megoldására gondolni sem lehetett. Az 1925. évben Heisenberg és de Broglie forradalmi feltevése gyö- keresen megváltóztatta a fizikai vil'gnézetet. A két feltevésből rövidesen látszólag két különböző elmélet fejlődött ki: a Born-Heisenberg-Jordan-Di- rac-fále mátrixmechanika és a Schrödinger-féle hul- lámmechanika, melyek teljesen matematikai vizekre terelték a kvantumelméletet. Ez annál is inkább be- következhetett, mert az által nos függvényterek el- mélete^ D.Hilbert, O.Toeplitz, B.Hellinger, F.ííiesz és E..ehmidt munkássága nyom n ebben az időben már eléggé ismert volt. A két kvantumelméletnek az volt az érdekess 'ge, hogy ámbár lényegesen ellentétes
cas évek elején Neumann °ános kimutatta a két elmé- let azonosságát és igyekezett egy olyan kvantumel- méletnek me..vetni az alapját, mely mint epeoiális esetet a fentemiitett kettőt magában foglalja. A mátrixmeohanika alapja a végtelendimenziós hilbert- féle vektortér, a hiúLl ímmechanika alapja pedig a négyzetesen-integrálható függvények tere voltj Neu- mann általánosította ezt a két teret és az ezáltal keletkezett absztrakt nilbert-teret választotta az y kvantumelmélet matematikai alapjának.
Ebben a bevezető r'szben röviden ismereteit a Iíeisenberg-Born-^ordán-Dirac-féle és a Schrödinger- féle hullámmeohanika alapelveit és módszereit, hogy bemutatva az operátor-kalkulus lényegét az összefüg- gést a ililbert-tér és a kvantumelméletek között be- mutassam. \
- 3 -
1§. A két kvantumelmélet.
Mind-kát elmélet a következő klasszikus prob- lémából indul kii Legyen adva egy rendszer, mely- nek állapotát k koordinátája (t^tq.gt»*«»^) határoz-
za meg. A rendszer energiáját az u.n. Lagrange-féle függvény adja meg, mely csak a koordináktáktól és azok időszerinti differenciálhányadosaitól függ:
(1) E = X»(<li» • • •»Ofct&L» ••
Bevezetjük a konjugált impulzusokat
(2) p± - — r " ( i = 1»2 k>
melyeknek a segítségével a Lagrange-féle függvény- ből a qjffc eliminálhatók. így keletkezik a Hamilton- féle függvény
(3) E * LÍ^t^, ...,qk,qlt ...,4k) = H(q1. -<lk»Pj• .Pk) mely mind a két elméletben alapvető fontosságú sze- repet Játszik.
A mátriumeohaaika alapproblémája az, hogy meg- határozzon ká* 2k darab Q1,...,Qk,P-L,...,Pk mátrixot melyek eleget tesznek a Heisenberg-féle felcserélési relációknak:
S n V ^ V 0
/ A\ (m,n = l,...,k)
fO , ha
^m / _h , .l g^ir.i) na m=n m „
és melyekre W = H(Q1,...,Qj^á-j t •.. »'Pk) mátrix dia- gonális. Á W diagon llis elemei (w^,...,?^) adják ekkor a különböző lehetséges energiaértékeket. A Q-jf.jQjj. mátrixok elemei ( q a d j á k az átmene-
valószinüasget az m-ik állapotból (a w.y energi- ájú á lapot) az n-ik állapotba. Aszerint, amint a wm^ wn, a rendszer kisugároz, ill. elnyel energiát.
Az igy bevezett W * H(Q,P) függvény aníiyiban lényegesen eltér a Klasezikis Hamilton-féle függvény- től, hogy rnig az utóbbiban a q.j_Pk szorzat minden e- setben kor ututiv, ddig most sz , érvényes min- dig és általánosa '.gban el sem érhető.
hg^yes spéci'lis kfcxx problémák esetében al- kalmazhatunk derékszögű koordinátákat, ilykor a Ha—
milton-függvény:
•M
(5) H(qk,pk) - ^ ^ - ( P ^ ^ x ^ l i ) + V(qk),
ahol most k = 3i, m^ az i-ik részecske tömege,
q3i-l, q3i a p3i-2, p3i-l'p3i a z i mPu l zn s ko- ordinátája • A V(qk) potenciális' energia, mely csak a
- 5 -
qk-któl függ. őhelyette aitve tehát-4megfelelő mát- rixokat a részecskék kölcsönhatásából nem származ- hatik zavar, mert a Heisenberg-féle relációk szerint
a Q^-k egymásközt felcserélhetők.
"Ünthogy az egyes mátrixok sajátértékei fizi- kailag mérhető reális számok, ezért a mátrixmech — nikában Hermite-féle mátrixokat alkalmazunk, melyek- ben, ha A » " (a^), kkor amn»a.^ (a* az a konjugál- ja).
A hulláramechanikában ezzel szemben a követke- zőképpen indulunk kii Helyettesitsükk jd: p. helyébe a Hamilton-féle függvényben jyj- — -t és az igy ke- letkezett differenciáloperátort alkalmazzuk egy a rendszer állapotterében (igy nevezzük a q,^ korainá- ták által meghatározott teret, szemben a fázistér- rel, melyet az impulzus-koordináták határoznak meg) értelmezett Y^fc) fügjvényre. Igy jutunk az u.n.
Schrödinger-féle hullámegyenlethez:
mely derékszögű koordináták esetében a fentiek alap- ján
h fi)
Minthogy % •£?T'9cr" °Perátor n e m cserélhető fel a
•pfli— n n o r ^ + rirrol ál n n n a o a o + V i a n a a á o t* V*
faktorokkal való számolásnál bizonyos határozatlan- ság áll be. Ezt Sehrödinger az által küszöbölte ki, hogy a differenciálegyenlet helyett ilyenkor az ad-
jungáltját vette.
A hullámmechani ai alapegyenlet azonos egy sa- játérték problémával, melyben meg kell határozni a
A sajátértékhez tartozó ^ ( q ^ ) sajátfüggvényt ugy, hogy az az állapottér határán eltűnjék, belül regu- láris és e yértslmüen meghatározott legyen. Az egyes sajátértékek (alkothatnak azok diszkrét, vagy foly- tonos spektrumot) adják a me felelő energianivőt és a hozzájuk tartozó komplex f függvények a rendszer
' p
állapotéra jellemzőek: i^íq^.)! adja innak a való- színűségét, hogy a rendszer az állapott'r (q^,...q^) koordinátájú pontjában van. Minthogy a rendszer biz- tosan van valamilyen állapotban
ahol az integráció az e. /ész állapottérre kiterjesz- tendő. Innen következik, hogy a ichrödinger-féle
(8)
függvénynek négyzetesen integrálhatónak kell lennie.
Nem beszéltünk még arról az esetről, hogy a rendszer állapottere nem stacionárius. Ebben az ec- setben a f nemcsak a koordinátáktól, hanem az idő- től is függ: = A|>(qk,t). Ebben az esetben a Schrö- dinger-fáls egyenlet
O ) <**•-*> « melynek a megoldása
- £Hiit
(10) -p(qk,t) m e qk,0).
/
Azt látjuk teh t, hogy -.z időtől függő Y csupán egy egységnyi abszolutértékü faktorban tér el az eredti- től..
Minth gy a differenciálegyenletünk sajátérté- kei teljes orthogonális rendszert alkotnak minden más y jfq^) ezekkel kifejezhet':
( U ) - qk)
alakban, ahol a ^sajátértékhez tartozó saját- függvény. Ha y függ az időtől, akkor az együtt-
hatók ia függnek tőle:
(12) =
1
összehasonlítva a két 3őrödinger e yenletet kapjuk, hogy
(13) =
tehát az együtthatók összehasonlításából adódik, hogy
- - W * >
<!5) _ « i , j
*4.\ h nw
nA ' n *
vagy más alakban
2«i "I a. \
(16) ,n( t ) = e" n" 0 .an(to) =
" f 1 JJÍt-to)
e .a n
következésképpen
(17) (q
k• - BBBSBBHBBBSBBBB
- 9 -
^ (+ ^ \
(17) ^ 0 . an^n( qk) .
Sz az 1 tal^nos áchrádinger egyenlet megoldása.
^ raátrixm ¿ohanik» alapprobl'Imájának a megol- dását Born 's Jordán kát lépésben ráfestik el. Elő-
ször meghatározták a Q^,.. ... jFfcmátrixokat, melyek eleget tesznek a eisenberg-íéle felcserélé-
st relációknak, . .z ezekből alkotott S « S(tL#Fk) mátrix természetesen ég nem ezüks -gszsrint diago- nális. Á tényleges megoldást azután
(13) fk - \ =
alakban kapták meg, áiol az egyenlőre ismeretlen 3 mátrixokat (melyekről feltesszük, hogy Van inverzük és 3 G « 3J x ® 1) ugy határozták mag, hogy az igy keletkezett mátrixok által meghatározott H már diagonális legye^.
Bzzel a kérdést lényegében visszavezettük az Ő ^ Ü S - H métride y let megold-'.sár i, h 1 az , . 't- rix elemei a« is eretlsnek. Legyen 8 m (a, ), H =
(hi k) is H « M és ha M k ) .
Ir^uk mátrixé yenletünket n következő alakba (19) 3H « HS.
Héezletesen kiirva
( 2 0 ) ^ öik, wk* kj vagyis
(21) ^^Ei ki - •>ik* kj - a 3 = W^ .3 w r i r
vezessük be a következő jelölést: x. m st 1 ás X = w akkor a kérdést visszavezettük a következő sajátér- tékprobléma megoldására
(Az x1=xC)=...=0 triviális megoldástól eltekintünk),
^imutatható, hogy a megoldás egyértelmü. ¿z különö- sen azért nagy jelentőségű, mert ezáltal S és H is- meretéből nemcsok a sajátértékprobláma mindegyik meg-
old ísát tudjuk ;e ¿határozni, hanem forditva abból z 3-t és ¿^-t is a¿határozhatjuk. így a fenti egyen- letrendszer megoldásának a érdese a mátrixmechani- ka alapproblémája.
Hasonlitsük össze a két kvantumelmélet alap- problémáját. .. mátrixmechanikában az
(22) (i*l,2, .. •)
(I) - ^ i k 3 ^ - V x i (i=l,2,...)
f.. •
egyenletrendszer, ahullámmechanikában pedig a
- 11
(II) H. y ( qk) = A. f ( qk)
differenciálegyenlet megoldását keressük. Vizsgál- juk meg azt a kérdést, hogy a két probléma között tudunk-e valamilyen kapcsolatot feltalálni: A II.
esetben keressük azokat a ¿f(q^) függvényeket és ) értékeket (triviális megoldás kizárva), melyek az egyenletet kielégitik. A I. esetben pedig azt az
xl, x2 ' " * aoroza'fcof» melyet felfoghatunk ugy is, mint a k (=1,2,...) indexek egy xk függvényét. Ebben a felfogásban y a folytonos qk változóknak, x^. pe- dig a nemfolytonos k indexek függvénye. 2 mind a két esetben ugyanazt a szerepet játsza. Az I.-t ugy tekinthetjük, mint egy transformációt, melynek kö-
vetkeztében xk^ ^ hi kxk, Il.-nél pedig <?(qk) ~ ^ H . < p ( qk) Azáltal, hogy a k indexeket (melyeknek természete-
sen semmi közük sincsan a q-k k indexéhez) változók- nak fogtuk fel és ezáltal párhuzamba hoztuk a qk vál- tozókkal, mindenegyes pozitiv eglszszámhoz hozzáren- deltük a k-dimenziós állapottér (jelöljük 4Ö-val) egy pontját. A ^ megfelelője az & -ban _[...^..dq^.da,
(vagy rövid ebben £ ...dv, ahol dv az dq^l..dqk| térfogateleme). A hi k mátrixelemet egy kétváltozós h(qk,q£) függvénnyel, az u.n. magfüggvénnyel kell helyettesítenünk, ahol az egyes változók egymástól függetlenül befutják az i/l( minden pontját.
Ebben az esetben az
Il.-nél pedig
c m ) y í ^ f c r ^ v ^ ^ v - * * 9
Ez e -y elsőfajú inte r 'le -yenlet.
A két kv mtumalnielet azonossága akkor lenne teljesen megoldotta :k tekinthető, ha a II.-"ben sze- replő H,(mely értelmezésénél fogra egy differeaotl- operátor)4gy inte r'loperátorral lenne azonos. Álta- lában egy ilyen :t lakitág lehetetlen, .mert még a legegyszerűbb differenciáloperátor (az identikus o- peritor 1) sem azonos egyik integráloperátorral sem.
•¿zt a következeképpen mutatjuk meg (az egyszerűség kedvé Irt legyen z ' 1 lapottér e gydimenziéfi}*
begyen
•fo^
(23) S .'). Cf{q>). V - -o®
helyettesítsünk cyKq) helyébe ^(«ig+qí-t, vezes- sük be q"«q»-qc_t inte ;réci >s v'ltozónak és tskint- ' az egész?t q»0 helyen, akkor azt kapjuk ^(t^)*
qQ 's r" nelyébe ismét q-t és q*-t irva l'tjuk, hogyha h(q,q') megfelelő mag-
- 13 -
függvény, akkor h(0,q'-q) ia az, tehát h(q,q») lé- nyegéhen csak q'-q-tól függ. (23) tehát a követke- ző alakba irható
(24) <p(q) = fh(q'-q).<p(q»Mq'
— o^
ahol h(q,q*) = h(q»-q). Helyettesítsünk mégegyszer helyébe f7(qo+q)-t és tekintsük az igy nyert kifejezést helyen, akkor
+ ^
(25) cf{0) 5 (h(q). ^(q)3q.
- tm=
q?(q) helyébe <^(-q )-t téve azt kapjuk, hogy h(q.)-val együtt h(—q) is megoldás, következésképpen h-, (q) =
is az. Ezzel az kaptuk, hogy h(q) egy páros függv ny.
Ezeket a feltétele et kielégiteni azonban le- hetetlen. Ugyanis legyen q ^Q-ra <^(q)p>0 és y 0 ) = 0 , akkor máris ellentmondásra jutottunk, mert (25)-ből következik, hogy <p?(q) q ^0-ra is 0.
Válasszuk azonban <^(q)-t egynek, akkor azt kap- juk hogy ( h(q)dq »1. ^¿erészt azonban az előbbiből az következnék, hogy \ h(q)dq = 0.
Birao ugy segitett a dolgon, hogy feltette egy olyan függvény létezését, mely kielégíti a következő fel- tételeket
n -f-o0
(26) J(q)«0, ha q ^ O , <Aq)= /(-q), ^(q)dq = 1.
Sbben az esetben (25) is teljesül:
-fi*3 n +0p -r^p" T v-0 mi» 1
W f t K t H * » <p{0)^(q)dq (C)/dq «
(27) + ^ -
f(Q).l + fO.dq = ¿p(0).
i
Ennek a Dirac-féle függvénynek a segítségével a dif- ferenci iloper'.torokat átalakíthatjuk int e gr ál operá- tor okká:
= ^ ( / ( q - á ' ) . i J ' M ' = őq dq -¿>o J
( 2 3 ) » ^ c f ( q - q ' ) . ^ ( q » ) . d q '
— q
— ) J^q-q').^ (q').dq',
— <x= 1
(29) qn.<^(q) = (> cf(q-c') .qn. ) .dq' -Q-
dn
Vagyis a - — g - ill. qn,..# operátoroknak a /^(q-q'),
- 15 -
«(q-q').qn magu integráloperátor fel meg.
Ez a Birac-féle függvény többváltozóra egészen hasonlóan értei ezhető és eegitségével pl. a k-cti- menziőa állapottérben a operátor a következőkép- pen fejezhető ki:
Hogy a két elmélet közti analógiát még jobban kidomboritsuk gondoljuk még meg a következőt: Az-ál- tal, hogy I. és III. alatti egyenleteket azonosított tuk voltaképpen azt tettük, ho -y az I.-ben szerpplő ipXj»... számsorozathoz (mely által'ban végtelen számsorozat) hozzárendeltük a <^(qv) fü vényt. A számsorozatot azonban felfoghatjuk, mint egy ektor komponenseit. Ezeknek a vektoroknak az összessége alkotja a Hilbert-féle vektorteret. tagcxxxi (Nevez- zük ezt ideglenesen Z térnek).
így kétféle terünk van a diszkrét Z tér és a folytonos íüi llapott'r.
láttuk, ho y a Schrödinger egyenletben szerep- lő a^-ről feltettük, hogy négyzetesen integrálható}
továbbá a mátrixelméletből ismeretes, hogy az I. a- latti egyenlet akkor és csakis akkor megoldható, ha
I2 korlátos. Tehát azt kaptuk, hogy i? *
^ l xkl2 ill. ^I^(qk)l2dv
korlátosak, úgyhogy norm'lhatók, Mondhatjuk tehát, hogy két függvényösszességhez jutottunk, melyeket a további kb n -val ill. Ef.-fel fogunk jelölni.
E két függvényösszesség közti kapcsolatot, s ezáltal e yben a mátrix- és a hullámmechanika köz- ti kapcsolatot a ítiesz-^ischer tétel teremti meg, mely kimondja, hogy a QP éa Ef izomorf.
Minthogy & és Ef izomorf, a rájuk épitett kvantumelméletek matematikai szempntból egyenlőér- téküek, következésképpen mindenben azonos eredmény- re kell vezetniök.
A dolgozat kereteiben az operátorkalkulussal már nem foglalkozhatunk, csupán a üilbert-térrel ismerkedünk meg, mely közvetve, mint már az eddigi- ekből kitűnik kátxxstxa a kvantumelméletek alapját képezi.
- 17 -
I. íiész.
A íiilbert-féle végtelendimenziós vektortér.
A Hilbert-féle vektorteret a végtelenspk kom- ponensü,negyzet8en összegezhető vektorok alkotják.
A továbbiakban következetesen fogjuk a követ- kező jelöléseket alkalmazni: a Hübert-féle vektor- teret Gf -val, elemeit gót betűkkel, ele einek köm-
ponenseit, melyek végtelen számsorozatok £es3b betűk- kel.
mig a tetszés szerinti komplex számokat, melyek tehát nem elemi terhek,görög betűkkel jelöljük.
Ezekután a teret azok az vektorok al- 1C3 p
kotják, melynek komponensei a < od feltételt kielégitik. '
Ebben az első részben azzal a kérdéssel fog- lalkozunk, hogy kimutatjuk a Hilbert-féle vektortér- ről, h gy eleget tesz a következő axiómáknak:
A. A tér lineáris.
B. A tér metrikus.
C. A tér végtelen-dimenziós.
D. A tér kompakt.
E. A tér szeparábilis.
Ezzel kapcsolatban 'azokra az értelmezésekre és tételekre szoritkozunk, melyek a tér felépítéséhez
- 19 -
szükségesek.
Az A.B.C. axi mák a tér szerkezetére, mig a
"D. és B. axióm Ik a tér topológiájára vo matkoznak.
Szokás néha ezeknek az axiómáknak teljességével és függetlenségével is foglalkozni, ettől azonban el- t, kintünk, mert t rjyláaunktól meglehetősen messzi- re /ezetne. Csupán arra a megjegyzésre szorítkozunk, hogy ezek az ixiómákhBX, amint várjuk is, valóban függetlenek egymástól és teljesek.
1§. A tér lineáris.
Az A. axióma szerint a tér lineáris. Ez azt jelenti, hogy értelmezve van benne az összeadás és a skalárissal való szorzás: pontosabban az összea- dás és a skalárissal való szorzás nem vezet ki a tér- ből.
Le yen /^(x1,...,xn,...) és ^(y1,...,yn,...) a ^t két eleme, összegüknek azt a vektort nevez- zük, melynek komponensei . .. ,xrl+yJl,.. .). Ki- mutatjuk, hogy az igy értelmezett sszeadásnem ve- zet ki a térből, vagyis az összegvektor is beletar-
ÖO p tozik a térbe, ami azt jelent, hogy Ixyy^, I <cr oo ,
Ismeretes, hogy
Ix.+y.l = lx.i + ly^U Akkor i
k
i xi + y il2 i Ix.l2 + ly.l2 + 2.)xifJyil.
Másrészt,mivel
Ix-J2 + ly.l2 - 2.ixil.lyil = 0 következik, hogy
2. Ix^ 12 + 2.lyii2 = i^i+STi i2.
Oc 0 O^ ? Tehát az abszolút konvergens \c és iy, r
űö 'p 1
sorok majorizálják a ^t,lxi+yil sort, vagyis ^ ^ ¿ T . Ezzel állításunkat kimutattuk.
Egy vektornak skalárissal való szorzása nyil- válvalóan lehetséges, mert ha egy abszolút l onver- gens sort. tagonként egy véges számmal szorzunk, az a konver ;enoi n sr v'ltőztat. A skalárissal való szorzás ugyanis éppen agy történik, mint a véges dimenziós t'rben; a vektork komponenseit rendre szo- rozzuk a illető skalárissal.
Mináenfek előtt összefoglaljuk a skalárissal való szorzás és az összeadás fontosabb szabályait:
I - 21 -
+ ^ = ^ + ^ • a z összeadás kommutatív t.
m fz+iy+fr) a z összeadás asszociatív t,
= a skalárissal való szor- zás áisztriMtivtörv.
^ (f) s o c ( ^ ) ajé skalárissal való szor- zás asszociatív törv.
Nevezetes a 0 és 1 skalárisok szerepes + 0 « + 0. as 1 • ff se . Ugyanis mint az elemekben 0 . ^ = 0 és 1. f * fí .
- ^ = (-1). f^
£ - ^ SS (-1) , ^
1.Értelmezés. A ^ tér ^ , ^ ele- mei lineárisan függetlenek, ha köztük egy
+ «á ••• 0
V • * , rel Ició, komplex számok) csak <rJ=s..#=:o
esetben áll fenn.
2.Értelmezés. A &ttér egy f a l t e r é t lineáris- nak nevezzük, ha az fv,..*»?** |k=2,3,...) elemek- kel együtt azok bármilyen t t . 4 > * l i - neáris kombinációját is tartalmazza.
3.Értelmezés. Legyen egy halmaz, melynek e-
lemei ^ y. ,f f fa,. Nyilvánvaló, hogy az a halmaz, mely ezen elemek £», + .•.+ ^ l i n e á r i s kombinációit tartalmazza, tartalmazza az A -t is. Ezt a halmazt az A -hoz tartozó lineáris-összességnek nevezzük*
jelekben:
2.5 A tér metrikus.
A B. axiójjja szerint a tér metrikus. Sz azt je- lenti, hogy minden elempárjához van rendelve egy kom- plex szárat (£>•*)-)» a skaláris szorzat, melynek a se- gítségével á vektorok hosszúságát ás a távolságot értelmezni tudjuk.
é.-^rtel azés. A tér két elemének skaláris, vagy belsőszorzatát a következőképpen értelmezzük
Kimutatjuk az értelmezés helyességét, vagyis , hogy 93 sorok konvergenciájából a
sor konver enciája is következik.
^indenek előtt nyilvánvaló, hogy
Ixíy.l = l^l.ly.l ^ |(lX il2 + |y il2).
- 23 -
Minthogy
M fMj i J E l x f r l2 ¿ ¿ X lx.JJy.1
«
A végesből ismert Cauchy-féle egyenlőtlenség alapján
l ^ x ^ l 2 í ( J ^ i x. n . í^ i y. l2) . Határesetre rátérve gyökvonással kapjuk, hogy
< r? o P 5 T ?
I JZEjx?y.l . Amivel az értelmezésünk helyességét bebizonyítottuk.
Érdemes itt magjegyezni, hogy ennek a tételnek a megfordítása, a Landau-féle tétel is igaz: ha ^ ¡ x . \
2S\ rt»0 'p í
és -¿^lxíy.^1 sorok konvergensek, akkor a -g^ijj*
sor is az(A bizonyítás pl. Sz.Hagy: Egyenlőtlenségek előadásában).
Most is érvényben vannak a véges-dimenziós tér- ből jól ismert relációk:
y ) - + disztributiv t.
tf ) m assziclativ t.
- (yt-íf)* hermitikus azim.
( ^ r , ^ ) = 0 és csak <g>= 0 esetben « 0.
5.értelmezés. Egy vektor önmagával való ska- láris szorzatából vont pozitiv négyzetgyököt a vek- tor normájának, vagy hosszának nevezzük* jelekben
llfll =
A norma bevezetésével előbbi alapvető e.jen- 1 tlenséünkből nyerjük a ^ - b m is érvényes neveze- tes egyenlőtlenséget:
1.Tétel. A 0f térben is érvényes a Cauchy- Schwarz-féle egyenlőtlenség
1 ( ^ , ^ ) 1 = II .
Egyenlőség csak akkor áll, ha f és y arányosak, vagyis, ha párhuzamosak.
6.Értelmezés. Két elem távolságát H f - «r I ^ei értelmezzük.
*-ét elem távolságának az értelmezésével mér- téket vezettünk be a iülbert-féle vektortérbe és ez- zel annak metrikus voltát^ kimutattuk.
7.Értelmezés. Ha két vektor skaláris szorzata eltűnik, akkor azt mondjuk, ho y két vektor orthogo- nális. Ez a tulajdonság kommutativ, vagyis ha -£"or-
thogon'lis ^ - r , akkor ^ is orthogon lis -re.
2.Tétel. Csak a null-vektor orthogonális önma- gára és igy, ha 11^11= 0, akkor ^ = 0.
- 25 -
Nyilvánvalóan érvényben van most is, hogy Uoc.^il = 1*1.11^11 .
3.Tétel. A éttérben ia érvényben van a három- s zögegyenlőtlenség.
Ezt a következőképpen láthatjuk be:
v
Ennsk a felhasználásával
^ o O3 o O* Í>
^ , ' l xf / / « i + y il2 - ^ I x , !2 X J S V 2 ^ » f r i ^ V í Más alakban
l l ^ l l2« ( y ^ ) + Köve tke zé sképpen
ü ^ l l2 i ll^li2 + !U,II2 + = (iyMI^II)2' vagyis
l^yll £ I £11+1^11, ami éppen a keresett egyenlőtlenség.
Egyenlőség osak akkor áll fenn, ha g- és ará- nyosak, vagyis, ha párhuzamosak,
4. Tét el. Pytha gorás tétele: legyenek páronként orthogonilis vektorok és
f = ^ + + • • • + ' akkor
II^H2 = H^l2+ ... + H^j?.
A tétel majdnem evidens, ugyanis képezzük ^ normá- ját, akkor, minthogy
II £Í12 « (j ^ + ^ + fk)A p + )
lf< L L
a vektorok orthogonalitása miatt
lleü2, ha i = k ha i / k Amiből pedig közvetlenül következik a tétel.
f Ne«2, (ff.*) - | Q
- 27 -
3§. A tér végtelen-dimenziós.
A Pythagorás-tételnek érdekes következménye, hogy
5.Tétel, n orthogonális vektor mindig lineá- risan független egymástól.
l'együk fel az ellenkezőjét, azaz, hogy léte- zik köztük egy
<ifv+ ••• + 0
reláció, ahol az tetszés szerinti komplex szá- mok. Minthogy a feltétel szerint ezek a vektorok pá- ronként orthogonálisak, a Pythagoras-tétel alapján
lfJl2 + ... + = 0,
tehát nyilvánvaló, hogy ez a reláció akkor és csak akkor áll, ha mindegyik 0. Amivel tételünket bebizonyítottuk.
S.Ertelmezés. Egy ^ altérben lévő line risan független elemek számosságát az illető altér dimen- zió-számának nevezzük.
Az előbbi tételünkben szereplő n minden hatá- ron tul nőhet, tehát a tér végtelen-dimenziós, mert végtelensok lineárisan független elem van benne.
9.Értelmezés. Legyen
Ha az ^ orthogonális az p -re, akkor a ^ - t az ^ vektor p irányú komponensének nevezzük.
A A skaláris egyértelműen meghatározott a kö- vetkezőképpen
ifi9*i) = (f<rf) - = 0 honnan
Á II fül2 '
A keresett irányú kompo^nes tehj^át #Ha Mp« I
speciálisan ^ egységvektor^ tehát Hftí «1, akkor i? * * z ^ & + y *
*
ahol p és ^ orthogon lisok.
lo.Értelmezés. Az p , ^ ,... vektorok ortho- normílt rendszert alkotnak, ha
(f, , ) » feltételt kielégítik.
- 29 -
11. ártalrazés. íía az ^ , ^ , l i n e á - risan független vektorok lineáris kombinációi a tér egy literét alkotják, akkor a fenti vekto- rok összességét az illető altér bázisának nevezzük.
6.Tétel. Legyenek ff ,....» f^ orthonormált vektorok, akkor felmutatjuk, hogy egy tetszés-sze- rinti ^ vaktort komponenseire tudunk ugy bontani, hogy lesz egy "L komponense, mely az egész ^ - r e
(vagyis minden benne lébő vektorra) orthogonális.
Legyen a kresett felbontás
Az ¿y -vei skalárisán szorozva rendre megkapjuk a
®i* (^•»p') együtthatókat. Hogy ez a szétbontás he- lyes, ahhoz caa : azt kell belátnunk, ho y y a ¿C minden vektorára orthogonilis. Szorozzunk skalári- sán y- -vei, akkor
^ ) = (f/>f ) + (ffr * fO miatt
Qu.e.d
( ^ t^J * 0 (i=l,...,n)
7.Tétel. A Schmidt-féle orthogftnalizálási el- -járás:
A 5. tétel egészen általános, mert a benne szereplő felbontás akkor is létezik, ha a bázis nem orthonormált, ugyanis a ^őhmidt-féle orthogonalizá- lási eljárással lineárisan független vektorok min- dig orthonormaliz'Ihatok.
Ez az orthonoímalizálási eljárás kát lépés- ben történik: Először az u.n. achmidt-féle ortho- gonalizálási eljárással orthogonalizáljuk, majd pe- dig normáljuk a rendszeirt. A rendszer orthogonali- zálása a következő szukcessziv módon történik
y = * - y r< t ,, / s,
r iifvtr r
MeSjegyezzük, hogy ez az eljárás különösen azért ne- vezetes, mert, még ha lenne is néhány lineárisan füg- gő az eredeti rendszerben az rendszer ele- mei akkor is lineárisan függetlenek lesznek, mert az orthogonalizálási eljárás alatt a függőek automati- kusan kiesnek.
Ha az igy keletkezett ( fí ) rendszer még nem normált, akkor
által normáljuk.
3.Tétel. Legyen az ( f,) rendszer a ^ altér egy orthonormílt bázisa, akkor érvényes a Parseval- Bessel-féle egyenlőtlenség
2 < i „2
S H f i , ? ) * ' =
Egy tetszés-szerinti vektor ebben az esetben
*
a következő alakban irhatő
Pythagoras-1 étele alapján
Minthogy 11^ II = 0,
£ II
t\[\
Egyenlőség nyilvánvalóan csak akkor van, ha p * o, vagyis ^ •
12. Értelmezés. Akkor mondjuk a vektorok egy orthogonális rendszeréről, hogy teljes, ha csak a null-vektor merőleges a rendszer minden elemére.
Az értelmezésből közvetlenül következik a kö- vetkező két tétel:
9.Tétel. Ha az ( f, ) orthonormált rendszer tel- jes, akkor a díf tér minden elemére áll, hogy
f " á W « »vagyis li^il2 « ^ l (f /,e) l2.
/ 1
TT F A
ugyanis a 6. tétel alapján az - p,- vek- tor orthogonális az (fv)-rej az értelmezés miatt a- zonban ez a vektor null-vektor, amivel az állitásun- kat igazoltuk.
10.Tétel. Feltéve ismét, hogy az {f/} rendszer orthonormált és teljes, a tér minden ele^párjára áll, hogy
J j H < Z . f ) -
Alkalmazzuk a 9. tételt g + X n vektorra és vezessük be a következő egyszerűsítést
Ennek a felhasználásával
= + A yi #
- 33 -
2 0°.
A 9. tétel alapján
Minthogy
és H^l? = I2
kapjuk, hogy
* fe 7 ) +A* f « -ép 0 x|yi+A*x±y | ) - é t ^ y ^ ^ citosoportositva és
V *
u = (t,j) -
jelölést bevezetve kapjuk, hogy U + *U* SE 0 ,
ahol természetesen A egy tetszés szerinti komplex szám. A fenti összefüggésnek minden X -ra állnia kell. Ha > valós, akkor
x. y*x" i' (
I
^
U + U* = 0,
ha tiszta imaginárius
u - u* = 0.
A két egyenletből adódik, hogy u = 0, amivel állítá- sunkat igazoltuk.
rdekea megjegyezni, hogy ez a két utóbbi té- tel tekinthető a teljesség értelmezésének is, mert definíciónk és e két tétel egymással ekvivalens és egymásnak kölcsönös következményei, általában a 9.
tétellel szokták a rendszer teljességét bevezetni, ezen a helyen azonban talán helyesebb ezt az utat választani.
A tétel alapján könnyen beláthatjuk, hogy az ex = (1,0, ... , 0, .
e2 51 í0»1»
. •»
t Of.
en = (0,0, ... , 1. .
vektorok teljes rendszert alkotnak. Ugyanis legyen
<C egy-tetszés szerinti vektor, melynek a komponen- sei x^. Az (e^) vektorok rendszerében a megfelelő komponensek »¿»(o^tf) és
ll^ll2 - ^ i ' l ^ i2 = álr/Ke.^)!2.
- 35 -
Ez minden re teljesül, tehát az e^-k rendszere va- lóban teljes.
Ebben a §-ban most végül azzal a kérdéssel foglalkozunk, h o g y miként lehet a liilber t-t érben eldönteni megadott vektorokról, hogy azok lineári- san függetlenek-e, vagy nem.
Véges-dimenzióban az eljárásunk a következő volt: A bázis segitségével
alakban előállitottuk a megadott m vektort (tegyük fel, hogy tér n—dimenziós). A lineáris függőség fel- tétele, hogy
legyen. Minthogy az rendszer lineárisan függet- len
A lineáris függőség feltétele, hogy ez az n egyenlet- ből álló m ismeretlenes egyenletrendszer megoldható legyen. Ebből közvetlenül adódik, hogy ha m >n, ak- kor mindig van triviálison kivüli megoldás, vagyis
, . . *,
m)az n-dimenziós térben a-nél több elemből álló vektor-
rendszer mindig lineárisan függő. Ha az rendszer n elemből áll és det(o^k) nem tűnik el, akkor az ^ - k
egyértelműen meghatározzák az ^,-ket, melyek a tér- nek egy uj bázisát alkotják. A két rendszer között, ha a determináns nem nulla, a kapcsolatot a ci k együtt- hatókkal rendelkező lineáris transformáciő közvetiti.
A Milbert-térben a lineáris függetlenségnek ezzel a módszerrel való eldöntése a végtelen-dimen- zió miatt nagy nehézségekbe ütközik. A függetlenség eldöntésére még a mult század közepén Gram határo- zott meg egy szellemes és könnyen kezelhető eljárást, mely a ^ilbert-féle vektortérbe közvetlenül átvihe- tő. Nevezetessége ennek a/ ffttVTXS kritériumnak, hogy bizonyos tekintetben a Schmidt-féle orthogonalizálá- si eljárás előfutárja volt.
11. T étel. Az p , p ,..., ^ £ & vektorokból alkotott
(frtfz) ••• <É?»f%) (fínff) • • *
Gram-féle determináns mindig « 0. G > 0 - r a a megadott vektorok lineárisan függetlenek és G « 0-ra pedig függőek.
- 3 7 -
Szorozzuk a G determinánst
«11 «12 ' " «lm
A = «21 «22 #< " *2m 4- o
«ml «m2 " * «mn
determinánssal, melynek az elemei valós számok.
Végezzük el egyúttal a következő helyettesitést
p (1=1,...,m) Akkor nyilvánvaló, hogy
/(^y) ... (fyj GA
I íy,jt) i y y ) ... (yjj | Ugyanis
+ ^ ¿ M • ... + - 23l'yi*i xi s2 i xj + ... =
1 4
Szorozzuk a fenti egyenletet mégegyszer A-val, akkor
GA<
<yú
W ... W
yy rr
t ' ?
Azt látjuk teh't, hogy az Gram-determinánsa csak A -tel különbözik az Gramgeterminánsátél.
Ha az —k lineárisan függőek, akkor meg le—
het pl. az ^ n » ^12'* * **^ln ^ H ^ ^ ó k a t ugy válasz- tani, hogy A^O és mégis #4 m Q legyen. Ebben az eset- ben Gr = 0 .
Ha az -k lineárisan függetlenek, akkor ilyen megválasztás nera lehetséges. Ebben az esetben azfr-ket orthonormalizálhatjuk és akkor GA2=1. Vagyis G > 0 . Qu.e.d.
4§. A tér kompakt,
Az eddigiekből a t gondolhatnék, hogy a H ü b e r t - f'le vektortér az n-dimenziés Hermite-féle tér közvet-
- 39 -
len általánosításának tekinthető. Hogy ez nem igy van az csak most fog kitűnni, amikor a konvergencia, folytonosság és általában a h tárérték fogalmát a- karjuk a végtelen-dimenziós térbe átvinni. Látni
•fogjuk, ho y a konvergenciát lényegesen másképpen kell megfogalmaznunk, mint a véges esetben.
n-dimenziós térben akkor mondtuk egy vektor- ról, hogy egy másik vektorhoz konvergál, ha a meg- felelő komponensek konvergáltak. &zt nyilvánvalóan nem által nosithatjuk közvetlenül. A véges-dimenziás.
esetben a koordin'ták (vagy komponensek) konvergen- ciája azt jelentette, hogy a két vektor közti távol- ság O-hoz tart. A távolságot a norma segitségével a éterben is értelmeztük, tehát egészen kézenfekvő, Hogy a norma se -itségével ve'zessük be a konvergencia fogalmát. Ez az eljárás annál is helyesebbnek látszik, mert a normaképzés segitségével a Hubert-féle vek- torteret leképeztük a komplex számaikra, melyen ezek a fogalmak már jól definiáltak. Látni fogjuk azonban, Hogy az- elemekből ismeretes konvergenciával kapcso- latos ismeretek nem ültethetők át a végtelen-dimen- ziós térbe, mert pl. i norma segitségével értelme- zett konvergencia esetében nem érvényes a Bolsano- Weterstrass-féle tétel.
13«Értelmez5a. Akkor mondjuk az pf f
vektorok sorozatáról, hp;y erősen konvergál egy f - hez, jelekben: p z X ^ , ha I I f I! Oj va.yis, ha
íx. ki l?—> 0.
12.Tétel. Ha p z ^ ^ é a jítf , ákor ^ + ^ +
Ugyanis a háromszögeg/enl'tlenség alapjan r.
Ugyanez minden véges összegre igaz.
13.igÉÉ^gg&U H a f ^ f Ifr^^ *akkor
/ Ugyani
Ö f.; p^xz ^ + , « y + ^M, i akkor
^ihelyt n?K(í), ahol Oj tf»*<€ és ; következésképpen
- ( ^ ) l < £ II ^ IÍ + / llf II + r 2 — e 0 « vagyis valóban
) » (f ).
- 41 -
14.Tétel. Hogy az fé ' ***** vektorok soro- zata konvergens legyen, annak a izükséges és elég- séges feltétele az, hogy minden f? O-hoz legyen egy N (í) küszöbszám, melyre, mihelyt az n? N(«-) és az m>N(t), az . (Cauchy-féle konvergencia kritérium).
A feltétel szükséges. Ugyanis, ha ? , ak- kor a definició értelmeben megadható egy N(t) szám, melyre n , m ? N ( 0 esetében fl^-^-IUe és W ^ - ^ W ^ í j tehát II ^Jl = ij'-fJÍ + I I ^ H .
A feltétel elégséges. A bizonyitást háromlé- pésben végezzük el:
1. kimutatjuk, hogy & minden koordinátájának van határértéke.
2. Sz a határérték benne van a fá?térben.
3. valóban er'éen konvergál az igy megha- tározott határértékhez.
1.
Mihelyet n,m^ N(* ) az egyenlőtlenség két oldala tehát bármelyik i-re l x |n )- x (m )I / . Az x |n ) szám- sorozat tehát eleget tesz a Cauchy-féle konvergencia- kritériumnak; következésképpen az — x . , .
2. Megmutatjuk, hogy az x. számok egy W tér- beli vektor koordinátái. Láttuk, hogy van olyan ^ 0 , melyre mihelyt n,m?N(ti), akkor I x ^ - x ^ f2 ^ . Tehát tetszésszerinti véges p-re hasonló összefüggés áll fenn: i2< £*> . Xxkxt Rögzítsük az m-t és tartassuk n-t a végtelenbe, akkor kapjuk, hogy tetszesszerinti p-re, mihelyt m>N(r),
i 11
Tartassuk most p-t a végtelenbe, akkor
\x,-x$mh2<
1 1
Legyen xi=(xi-x|m))+x^ffi) és jelöljük a megfelelő vek- torokat £ + <^-mel. Minthogy gv^íf, következésképpen a kettő összege is bennevan a Hilbert- fále vektortérben.
3. Hasonlóképpen mint az imént megmutathatjuk, hogy
c*>
'i i
1\x±-ximh2<f*, Más,alakban
- 43 -
Éa ezzel megmutattuk, hogy
Az erős konvergencióbók közvetlenül következik a koordináták és a normák konvergenciája. Megmutat- juk, most, hogy ennek a megforditottja is igazi
lé.Tétel. Legyen adott egy . . . . „ ) vektorsorozat, mely ele&et tesz a következő két fel-
tételnek
1. rögzített k-ra, ha n->-oo, akkor az x^/1^- x^j 2. n-> oo-re a . Feltéve ter- mészetesen, hogy y f9f,
akkor yyX y .
Azt kell tehát megmutatnunk, hogy o=
lim 0.
«
Ebből képezzük a következő kifejezést
^ JX ív. ^ JX IX 4u-h1 JB. IX
n = CD-re az első tag hulla, mert csak véges összeg.
A második tagot tekintsük, mint két m'sik vek- tor különbségének a normáját és alkalmazzuk rá a há- romszög-egyenlőtlenséget s
J lU* tM
Tehát
lim J x - 4 n ) l 2 - U - F J : i mkl * ) K ( M ' b l » > t ' 2
Minthogy a ^ÉÉh Ix, I < CD , mihelyt 91 elég nagy
¡2 > < ^
^ ixki <f . „ ^
A feltétel szerint ^ l x £ n ' ^ ^ i » tehát lim ^ ' i x ^ l 2
« - O«3
Ebből közvetlenül adődik, hogy
lim ^ l ^ - x ^ 1 1^2 < (2r)2, követke zé sképpen
lim J ^ l x - x ^ l 2 £ (2?)2. A-f» I
Ezzel azt kaptuk, hogy II ^ II 0, vagyis
Érdemes megjegyezni, hogy a normák konvergen- ciáját ezek alapján helyettesíteni lehet a -á?lx£n)|2 sor egyenletes konver unciájával.
Most egy ellenpéldával megmutatjuk, hogy a Boleano-Weierstrass-tétel nem érvényes.
Legyen vektorsorozatunk a koordináta egység- vektorok sorozata, mely végetelen és korlátos. Meg-
- 45 -
mutatjuk, hogy az ^ = e nem konvergens, mert ebben az esetben II f,-<6,1 ^ t —nak teljesülni feltllene. Ilyen
1 azonban nincsen, mert a sorozat bármely kát ele- mét vesszük is figyelembe I/-„ - = f~2.
16.letel. Az -fi vektorokbál alkotott ip c^f>t sort vektorsornak nevezzük, legyen (*?) egy orthonor- máit vektorrendszer. Jebizonyitjuk, hogy a
vektorsor konvergenciájának a szükséges és elégséges
^ P
feltétele az, hogy a sor konvergens legyen.
Jelöljük az n-ik részletösszeget £ -nel. Ha
ez erősen konver ens, akkor egadhaté egy hogy mihelyt az n,m?N(f), II ts* Ö N * , vagyis II ^
w p x
azaz H ^,'c. <£yll ^í"2-. Viszont a rendszer orthonor- mált voltából következik, hogy U c, f, II2 m J ^ l c , I2 tehát j^j I c± I c2". A Cauchy-kritérium/á alapján te- hát e a T s o r konvergens, mivel a feltétel szükséges-
égét kimutattuk.
A feltétel elégségességének a blzonyitását for- dított számolással ugyanígy elvégezhetjük.
Láttuk, hogy ha erőekonvergencia-fogalommal dolgozunk, akkor a & térben nem érvényes a Bolsa- no Weierstrass tétel. Gyengitve a konvergencia fogal- mát fent lehet ezt a fontos tételt is tartani. A gyen- gítés bban fog állani, hogy feladjuk a normák kon- vergenciáját .
14.Értelmezés. Azt mondjuk, hogy az ^ vektor- sorozat gyengén konver ál az ^ - h e z - jelekben
1, ha az ^ - k normái korlátosak,
2. ha minden egyes koordinátának van határ- é rtéke.
Az értelmezés helyességét bizonyítandó azt kell kimutatnunk, hogy az igy meghatározott kompo- nensekkel rendelkező vektor eleme 9^-nak, vagyis, hogy a J^'lx^l2 sor konvergens,
A feltétel szerint ^ \xSnH2< Gt még inkább
MV / \ p / K
igaz, hogy < G, Tartassuk n-t a végtelen- be, akkor J2 Ix^l" = G, tetszés szerinti m-re. m-t végtelenbe tartatva a sor konvergens marad, amivel állításunkat kimutattuk.
17,Tltel. A gyenge konvergencia szükséges és elégséges felt'tele, hogy az ( ) sorozatnak min- den p - r a le gyen h>t ár rfceke.
^ A feltétel szükséges, A szokásos ptitk jelölés- sel
r
különbség null hoz tart n — o o - r e .
- 47 -
Osszuk ezt az összeget háromrészre
nw &> . .
kx?
A második tag helyett a Cauchy-Sahwarz-féle egyenlőt- lenség alap j'n
A gyenge konvergencia miatt
< ^ t 4 » h 2 C Gr.
Hasonló ólból természetesen
^ ' « x . l ^ G .
Ha az z> 0-t ugy határozzuk meg, hogy
legyen (ilyen megválasztás lehetséges,- mert ak-
kor ' I O k < f .
Minthogy f hasonlóképpen
I ,
£
m-t fixálva tartassuk n-t a végtelenbe, akkor á !
Vagyis
i ( j » f ü ~ * 5 £ *
mihelyt n > N ( x ) . Amivel a feltétel szükségességet kimutattuk.
Ez a tétel lényegében a skaláris szorzat foly- tonosaigát mondja ki :s ugy is szokták emlegetni, mint a skaláris szorzat folytonosaági tételét.
A feltétel elégséges. Azt mutatjuk, most ki, hogyha az if-tpji - ) sorozat minden y -ra kon- vergens (n-e»-oo), akkor az ^ vektorok normája kor- látos és «^gyengén konvergál az p -hez.
Mindenek előtt megmutatjuk, hogy az egy li^-^il = r2 halmazon összességében korlátos.
Tegyük fel az ellenkeződét. Azaz, hogy
nem összességében kori tos. Akkor megadható lenne
- 4 3 -
egy pont és egy kozzátartozé ^ f « / « * ^ ) halmaz ugy, hogy abban mindenütt Majd egy ^ pont és egy hozzátartozo ugy- hogy í > lo' , siu... Válasszuk az S. i^terSS^ry;
centrumának az pontot; ezen középpontok soroza- tának a határértéke legyen mm . Kimutatjuk, hogy ez mindegyik kalmazban benne van. Legyen ugyanis az *rf pont az S m f e o ^ a határpontja, akkor
Ha p > N ( 0 , akkor i * , ^ l < a > A Gauchy-kritérium sze- rint % * vagyis • Másrészt
8
< a;,-;^ +ahol Ifc-fcft'JL» H - > t í < f * követ ke zé sképpen, ha C e- lég ' I n n e n ^vetkezik, hogy
4 V
tehát « mindegyik intervallumban benne van. Ez pedig azt jelenti, hogy tnif) a feltevéssel ellentétben nem korlátos.
Azt kaptuk tehát, hogy fjjr) az tti»*) halma- zon korlátos. Ez minden o.-re áll, tehát spciálisan
0 és r = l-re is. Ebben az esetben I y I m 1.
¿z «• ^ / » f J2 pontok beletartoznak egy ilyen halmazba, tehát
fn(7-> • <-rr£ír.rü - W a-
Ezzel pedig azt mutattuk ki, hogy az összes- ségükben korlátosak.
Hátra van még a n n a k a kimutatása, hogy az U ) tetszés-szerinti y -ra konvergens. Legyen pl. y * e k»
(ek, <p) = a^, ha n-^oo. V
Másrészt, minthogy il^ÜGG, a gyenge konvergen- cia ér te lm e z ' s e • 1 a.p j n p ,
Weil és Lelsart szerint ez a tulajdonság a gyenge konvergeneia definiálója. Tárgyalásunkban Júlia nyomán ter.m "szetsaebbenk látszott ez az ut.
A két értelmezés azonosságát Riesz mutatta ki.
Megjegyezzük még, hogy a gyenge konvergencia értelmezésében szereplő Ij^lU G feltétel nem kerül- hető el. Ennől folyik a következő tétel:
18,Tétel. Ha egy vektor komponensei eleget tesz- nek az Xjj. (k=l, ,...) feltételnek, kkor a normájuk lehet véges, vagy végtelen.
A feltevés szerint » x^. Legyen
4 n ) « ^ ( l + ^ k ^ n ) ) ahbl
lim r (k,n) » 0.
/h = 0"
- 110 -
Következésképpen
-oh
Legyen (1+t(k,n))2=1+ ^ . Nyilvánvaló, hogy lim 0.
Legyen továbbá Ix^ 12=yk ós ó » y ^ J Akkor 1 8 »
i
2 H „2 hv , 8 < - 8 ^11 -
Azt kell kimutatnunk, hogy ennek a ^ -nak n = oo--re akármilyen határértéke lehet. Az $ - k helyes megvá- laszt sával elérhető, hogy az -k konvergenciájá- nak a megváltŐztatása nélkül a fenti j* sor 0-hoz, vagy végtelenhez tartson.
Az első esetben legyen
J* - 1 • és lim Cf(tC) = + oo .
^ = . n/k-ra n-k egész, tehát
ha £ elég kicsi és n elég nagy, akkor 0 és <r
Akkor
(ahol ^ azt jelenti, hogy az jÉxsxxxxi^ilsaat összeg- zésben a k=n tag kimarad), Legyen
r
f ' f"] = '
a ^ ( n ) értékei feküdjenek a pozitiv tengely tetszés- szerinti (a,b) szuk-szán mindenütt sürün. = oo , Osszuk a k változásának az intervallumát faááom rész- re
(|,9f) (3f ,oo )
s^7összeg tetszés szerinti ki- I
t ? < I
1 ^ 1 < 1 + 2 * (k^n) t $ 1 < 2 ..
/* n . < n-1 2
d . f ) Megmutatjuk, hogy a csiny
* <r
§
^ < k <
2f <C k
- 53 -
Akkor
/ •OO cy?
Minthogy a pozitív tagokbői Álló ^ yk konvergens, oo-re ¿ - > 0 . _
OF A) .
Tehát n = oo-re az y = -f^k^é összeg yn « -re redukálódik, melyről feltettük, hogy az (a,b) in- tervallumon mindenütt sürün fekszik.
19.Tétel. A gyönge konvergenciára érvényes a Bols ano»Weie rstras s tétel. Pontosabban: A M bármely korlátos végtelen alteréből kiválasztható egy gyeh- gén konvergens részsorozat.
Tekintsünk egy teszés-szerinti korlátos soro-
zatot: .Akkor az számok szintén mindannnyiar.
korlátosak. A Riesz-féle diagonális eljárás (Riesz, Systèmes d'équations linéares. 1913. 57. old) segít- ségével xz fr, sorozatból kiválasztható egy ^ rész- sorozat, melyre határérték létezik. Akkor léteznek speciálisan a ) határértékek is.
Minthogy az ^részsorozat eleme/a korlátos vektrok közál valók cs fenti határértékük lét zik, megfe- lelnek a tételnek.
2o.Tétel. Ha j^fl és akkor , ^ ) ->(j,p).
Ugyanis
Már láttuk, hogjt
HjffJ - W ' ^ 0
ha n -5-oo . Másrészt
Ez a kife jezés null'hoz tart, mert • Tehát
- 0
ha n oo . v
15.értelmezés. Jelentse az ff halmaz vekto- rait. 4di ^ vektort az £ halmaz határvektorának ne- vezzük, ha minden * -hoz an olyan y , hogy M<« .
16. "rtelmezss. A határpontok összességét az
"••' 111 —1 - -"' "Tn- L ' """ j
illető halmaz deriváltjának nevezzük ( £ ) .
17.Értelmezés. Egy halmazt akkor nevezünk zárt- nak, ha a deriváltját is tartalmazza.
Alkalmazzuk ezt a definíciót egy lineáris ösz- szessegre: Akkor mondjuk egy ü h«í x±x összességről, zárt lineáris összesség,
1. ha minden és y elemével azok bármilyen lineáris kombináció^is benne van az összes-
- 5 5 -
s égbe K/;
2. ha egy összességbe tartozó ^ konvergens sorozat limese is bennevan az összességben.
Tekintsük az fy vektorok véges, vagy végtelen sorozatát. Jelöljük azt a lineáris összességet £-vel, mely az -k minden lineáris kombinációját tartal- mazza és t'-vei ennek a deriváltját. Kimutatjuk, hogy ekkor az t + í « ^összesség zárt 'a lineáris.
A lineáritást a következőképpen láthatjuk be:
akkor ¿»W^í ^ a határa egy ^ ^ v e k t o - rok sorozatának, tehát az t t y é Z határa az ^ e ^ - n e k .
Azt kell most még kimutatnunk, hogy ha akkor ^ + y ¿i^.
Ha ^ és y & akkor evidens
Ha és yít't akkor tj határa az ^ t í vek- toroknak, tehát az ^^é£hatr-.ra
Ha , ye. £ ',akkor ezek rendre az ^ , ^ vek- tprok határai, tehát ^ ^ e S f határa az
Az összesség zártsága nyilvánvaló, tehát állí- tásunkat igazoltuk.
18.Értelmezés. A Hilbert-féle vektortérben is értelmezzük a függvény fogalmát. Egy f(^) függvényét, mely vagy eleme a -nak, vagy egy komplex szám, akkor nevezünk egy helyen ( ) folytonosnak, ha min- den ^^ O-hoz van egy olyan o^-O, hogy valahányszor az I , mindannyiszor lif (^)-f I < e illetve
Az f(^) függvényt a tér egy részhalmazán kor- látosnak netezzük, ha !l*(t)8 » 0 ill. * 0, ahol C egy előre megadott ^llandő.
A függvényeket teljesen hasonlóan értelmezzük többváltozóra is.
Foglalkozunk most még egészen röviden egy spe- ciális függvényosztállyalí
19.Értelmezés. Akkor mondjuk, hogy az f
függvény agy $£ -beli f vektor lineáris függvénye, ha kielégíti a következő tulajdonságokat
1. = *f(<k).
2. f(<t+y) = + *(*)•
3. , akkor f(^), ill. fj^).
21.!: Minden ^ - b e l i skaláris line 'ris függvényhez van olyan ^ hogy
p(^) =
Az = 0 egyenlet megoldásai meghatározzák a f
zárt lineáris Összességet. Ha F(^) nem identi- kusán nulla, akkor a nem tölti ki teljesen a Hil- bert-féle vektorteret és létezik olyan 0 vektor, mely orthogonális a í^-re. Egy ^ ^ ^«-beli vektort mindig felbonthatunk 6. alapján £ = + alakban, ahol ^ ¿ f . Akkor az "