...=  xxxY Mit akarunk megtudni? Kísérlettervezés

Mit akarunk megtudni?

8 0 6 0 4 0 2 0

Kísérlettervezés

2

típusú teljes faktoros kísérleti tervek

x₁ x₂ x₃

1.

2.

4.

3.

a) b)

2 6

1 5

4 8

3 7

x₁ x₂ x₃

a változók egyenkénti változtatása mátrix-terv

30. példa

Vizsgáljuk a baracklekvár-főzés technológiai paramétereinek hatását a baracklekvár minőségére

z₁ cukor mennyisége 0.2 és 0.3 kg/kg, z₂ forralási idő 25 és 30 min

A kísérleti terv:

0 , 0 0 0 , 0 5 0 , 1 0 0 , 1 5 0 , 2 0 0 , 2 5 0 , 3 0 0 , 3 5

z ₁

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5

 



z ₂ 

j j j

j z

z x z



 

0

-1 +1

0

x₂

1 2

3 4

k j

x x

i

ki

ji  



ortogonalitás

Transzformáció (kódolás):

5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5

 

 

z₂

x₁

y

30 35 40 45 50 55 60 65 70

-1. 1.

x₂

y

30 35 40 45 50 55 60 65 70

-1. 1.

   

 _{j j}

j y y

h

12 44

2 56 72 16

2 44 68

1    

 

 h

16 42

2 58 68 16

2 44 72

2    

 

 h

p px x

x

Y =  ₀  _{1 1}   _{2 2} ... 

N x y x

x y

b ⁱ

ji i

i

ji i

ji i j







 ₂

x_j y_-

y₊

-1 ⁰ +1

b_j

b_j

kölcsönhatás!

40 70

2 30 72 68

2 44 16

12 12

12     

 





 y _ y _ h

4 20 80 4

140 60

4

44 72

68 16

12   

 

 



  b

- 1 . 1 .

x1

1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0

y

2 1 12 2

2 1

1

= 0 x x x x

Y       

20 8

6 ˆ 50

2 1 2

1 x x x

x

Y    

8 0 6 0 4 0 2 0

Ha újra elvégeznénk az egész kísérletsorozatot, ugyanazokat az y értékeket kapnánk?





 Y y

Ha az újra elvégzett kísérletsorozatot kiértékelnénk, ugyanazokat a b becsült paraméter-értékeket kapnánk?

A becsült paraméterek szignifikanciájának vizsgálata A becsült paraméterek szignifikanciájának vizsgálata

y ingadozik Y körül

Az együttható (b_j) ingadozását jellemző s_b szórás y szórásából (s_y) számítható.

Ismételt mérések végzése

a) k-szor ismétlünk a terv minden pontjában,

b) a terv centrumában végzünk ismételt méréseket, k_c-szer ismétlünk.

A terv centrumában végzett ismételt mérések a hatások

szignifikanciájának vizsgálatán kívül a linearitás vizsgálatát is lehetővé teszik.

 

Különböznek-e a b becsült paraméterek szignifikánsan zérustól?

bj

j j

s t b  

 N

s x

s s ^y

i

ji y b_j

2 2

2

2  



0

0 : _j 

H 

Nullhipotézis:





P j bj

Ha a nullhipotézis helytálló, a hányados t-eloszlású, vagyis

A nullhipotézist akkor utasítjuk el, ha b s t^{ 2}

bj

j 

A terv centrumában (ahol minden faktor szintje 0) is végeztek méréseket

2

sy

Honnan vegyük -et?

33 . 3 50

3

1 0 1 0

1 



 m

y m

y

 

333 .

2 0

3

1

0 2 1 0

1 2

10 







 m

m y

y y

s

0833 .

4 0 333 .

2 0

2 2

2    



s x

s s ^y

i

ji y

b_j  0.289

bj

s





P j bj ha b_j=0

szignifikáns, ha b s t ² bj

j 

3 .

2 4

05 .

0 

t s_b t_{ 2}  0.2894.3  1.243

A lineáris modell adekvát voltának vizsgálata (görbeség-ellenőrzés)

 

E 

 

 

E  

H₀:

 

 

E  

H₁:

(centrum-pont)

t d

s_d

0  d  y⁰  b₀ s s

k N

d y

c

2 2 1 1

  

 



1





 N l k_c



33 . 0 50

33 .

50  

 d

s_d² 0 333 1 4

1

3 01943

  

 

.   . s_d  0 441.

t₀ 0 33

0 441 0 748

 . 

. .

 

2 / 05 . 0

0  t 

t

2 1

3 4 4

1    







 N l k_c



Elfogadjuk a nullhipotézist

(nem kell másodfokú tag a modellbe).

 



 



 



 



  



 



  



 



  

 2.5

5 . 27 05

. 0

25 . 20 0

5 . 2

5 . 8 27

05 . 0

25 . 6 0

ˆ 50 C t C t

Y

 



 















 

 C

125 .

0

5 . 27 20

6 5 . 2 125

. 0

5 . 27 25

. 0 20 5

. 27 8

05 . 0 25 . 0 6 5 . 50 2

t C t

t C

t C       

 



  1168 4520 43.2 160

125 .

0 20 125

. 0

25 . 0 20 8

05 . 0

A becsült függvény:

20 8

6 ˆ 50

2 1 2

1 x x x

x

Y    

k-szor ismétlünk a terv minden pontjában A kísérletek száma: N = k·2^p

Ellenőrizhető a ² konstans feltétel

Nem vizsgálható, hogy a lineáris modell adekvát-e k_c-szer ismétlünk a terv centrumában

A kísérletek száma: N = 2^p + kc << k·2^p Nem ellenőrizhető a ² konstans feltétel

Vizsgálható, hogy a lineáris modell adekvát-e.

k-szor a terv minden pontjában, k_c-szer a terv centrumában A kísérletek száma: N = k·2^p+k_c

Ellenőrizhető a ² konstans feltétel

Vizsgálható, hogy a lineáris modell adekvát-e

Szigorúbb statisztikai próbák, a szabadsági fok nagyobb

 

A variancia ( 

) becslési lehetőségei

A variancia ( 

) becslési lehetőségei

Mi történik, ha csak a kísérleti terv egy pontját ismételjük?

ortogonalitás?

k j

x x

i

ki

ji  



A 2^p terv alapján becsült modell-paraméterek száma (l) legfeljebb 2^p Modell-redukció: a nem szignifikáns tagokat (b_j-ket) kihagyjuk

a modellből, így

l  2p

Ha a terv minden pontját k-szor hajtjuk végre, a terv sorainak száma k p

N  2

A tervpontokban mért y értékek szóródása az illesztett modell körül:

   

l N

Y y

s

N

i

i i

y regr









1

2 2

ˆ

l N 

 

31. példa

Vizsgáljuk egy kémiai reaktorban a kitermelést (%) négy faktor függvényében, ha a

z₁ hőmérséklet 40 és 60 ^oC, z₂ reakcióidő 10 és 20 min,

z₃ kiindulási komponens koncentrációja 45 és 65 %, z₄ nyomás 2 és 6 bar

Faktorok z1 z2 z3 z4

középpont z⁰_j 50 15 55 4 variációs intervallumz_j 10 5 10 2 fölső szint z^m_j^ax(+) 60 20 65 6 alsó szint z^m_jⁱⁿ(–) 40 10 45 2

Természetes egységekben

A transzformált faktorok

y

i z1 z2 z3 z4 x0 x1 x2 x3 x4 %

1 40 10 45 2 + – – – – 60.4

2 60 10 45 2 + + – – – 75.9

3 40 20 45 2 + – + – – 79.8

4 60 20 45 2 + + + – – 86.0

5 40 10 65 2 + – – + – 64.9

6 60 10 65 2 + + – + – 80.9

7 40 20 65 2 + – + + – 86.4

8 60 20 65 2 + + + + – 91.6

9 40 10 45 6 + – – – + 59.6

10 60 10 45 6 + + – – + 77.0

11 40 20 45 6 + – + – + 83.1

12 60 20 45 6 + + + – + 85.0

13 40 10 65 6 + – – + + 65.0

14 60 10 65 6 + + – + + 79.3

15 40 20 65 6 + – + + + 88.7

hõmérséklet

kitermelés, %

65 70 75 80 85 90

-1. 1.

reakcióidõ

-1. 1.

koncentráció

-1. 1.

nyomás

-1. 1.

4 3 2 1 1234 4

3 2 234 4

3 1 134 4

2 1 124 3

2 1

123x x x +b x x x +b x x x +b x x x +b x x x x

+b



 _{0 1 1 2 2 3 3 4 4} ˆ b +b x +b x +b x +b x Y

4 3 34 4

2 24 3

2 23 4

1 14 3

1 13 2

1

12x x +b x x +b x x  b x x +b x x  b x x 

+b

i x₀ x₁ x₂ x₃ x₄ x₁x₂ x₁x₃ x₁x₄ x₂x₃ x₂x₄ x₃x₄ x₁x₂x₃ x₁x₂x₄ x₁x₃x₄ x₂x₃x₄ x₁x₂x₃x₄ y

1 + – – – – + + + + + + – – – – + 60.4

2 + + – – – – – – + + + + + + – – 75.9

3 + – + – – – + + – – + + + – + – 79.8

4 + + + – – + – – – – + – – + + + 86.0

5 + – – + – + – + – + – + – + + – 64.9

6 + + – + – – + – – + – – + – + + 80.9

7 + – + + – – – – + – – – + + – + 86.4

8 + + + + – + + + + – – + – – – – 91.6

9 + – – – + + + – + – – – + + + – 59.6

10 + + – – + – – + + – – + – – + + 77.0

11 + – + – + – + – – + – + – + – + 83.1

12 + + + – + + – + – + – – + – – – 85.0

13 + – – + + + – – – – + + + – – + 65.0

14 + + – + + – + + – – + – – + – – 79.3

15 + – + + + – – – + + + – – – + – 88.7

16 + + + + + + + + + + + + + + + + 91.1

Z1

20 15

10 45 55 65 200000 400000 600000

90 80 70

Z2

90 80 70

Z3

90 80 70

Z4

Z1

Center 60 Corner

Point Type 40 Corner 50

Z2

Center 20 Corner

Point Type 10 Corner 15

Z3

Center 65 Corner

Point Type 45 Corner 55

Interaction Plot (data means) for Y, %

b₀ = 78.42; b₁ = 4.93; b₂ = 8.04; b₃ = 2.57; b₄ =0.18; b₁₂ = –2.97;

b₁₃ = –0.19; b₁₄ = –0.43; b₂₃ = 0.42; b₂₄ = –0.33; b₃₄ = –0.14;

b₁₂₃ = 0.13; b₁₂₄ = –0.46; b₁₃₄ = –0.13; b₂₃₄ = 0.08; b₁₂₃₄ = 0.32

együtthatók

-4 -2 0 2 4 6 8 10

b ₁ b ₂

b ₃ b ₁₂

Term

Standardized Effect

BCD ACD ABC CD D AC ABCD BD BC AD ABD C AB A B

35 30

25 20

15 10

5 0

4.30

F actor

Z4 Name

A Z1

B Z2

C Z3

D

Pareto Chart of the Standardized Effects

(response is Y, , Alpha = .05)

97 2 53

2 04

8 93

4 42 ˆ 78

2 1 3

2

1+ . x . x - . x x

x . + .

Y  

Standardized Effect

Percent

40 30

20 10

0 -10

99

95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

F actor

Z4 N ame

A Z1

B Z2

C Z3

D

Effect Type Not Significant Significant

AB

C

B A

Normal Probability Plot of the Standardized Effects

(response is Y, , Alpha = .05)

2

típusú részfaktortervek

2

2

i x

x

x

x

x

i x

x

x

x

1 + – – + 1 + – – + 2 + + – – 2 + + – – 3 + – + – 3 + – + – 4 + + + + 4 + + + +

x₃

1 5

3 7

2 6

4 8

x ₁ x₂ x₃

1

2 3

4

Y  b +b x +b x +b x _{0 1 1 2 2 3 3}

Az illeszthető modell

12 3

3    

b mivel x =x x_{3 1 2}

1=x x x_{1 2 3} Mindkét oldalt szorozva x₃-mal

x

=x x x

=x

x_{1 1}² _{2 3 2 3} x

=x x_{2 1 3}

23 1

1    

b

13 2

2    

b

x =x x x_{4 1 2 3} 1=x₁x₂x₃x₄

4 3 2 1=x x x x

x x

=x

x_{2 1 3 4}

4 2 1 3=x x x x

x x

=x

x_{4 1 2 3}

x

=x x

x_{1 2 3 4} x

=x x

x_{1 3 2 4}

3 2 4

1x x x

x  A keveredési rendszer:

A főhatások háromfaktoros interakciókkal keverednek, a kétfaktoros interakciók pedig egymással.

4 4 3

3 2

2 1

1

ˆ b0+b x +b x +b x b x

Y  

x

=x x

x_{1 2 3 4} stb.

1

24^

1

25^ x₅=x₁x₂x₃x₄ 1=x₁x₂x₃x₄x₅

5 4 3 2

1=x x x x

x x1x2=x3x4x5

2

25^

3 2 1

5=x x x

2 x

1 4=x x pl. x

5 5 4

4 3

3 2

2 1

1

ˆ b0+b x +b x +b x b x b x

Y   

3

25^

kísérletek száma? paraméterek száma?

kísérletek száma? paraméterek száma?

3

26^ 2^73 2^74

variable - +

1 water supply town reservoir well

2 raw material on site other

3 temperature low high

4 recycle yes no

5 caustic soda fast slow

6 filter cloth new old

7 holdup time low high

32. példa

G. E. P. Box, W. G. Hunter, J. S. Hunter: Statistics for Experimenters, J. Wiley, 1978; p. 424-429

12 13 23 123 filtration time (min)

test 1 2 3 4 5 6 7 y

1 - - - + + + - 68.4

2 + - - - - + + 77.7

3 - + - - + - + 66.4

4 + + - + - - - 81.0

5 - - + + - - + 78.6

6 + - + - + - - 41.2

7 - + + - - + - 68.7

8 + + + + + + + 38.7

Az első terv:

l

= -10.9  1+24+35+67 l

= -2.8  2+14+36+57 l

= -16.6  3+15+26+47 l

= 3.2  4+12+37+56 l

= -22.8  5+13+27+46 l

= -3.4  6+17+23+45 l

= 0.5  7+16+25+34

Az első terv eredményeinek feldolgozása:

Filtr1.mtw

-12 -13 -23 123 filtration time (min)

test 1 2 3 4 5 6 7 y

1 + + + - - - + 66.7

2 - + + + + - - 65.0

3 + - + + - + - 86.4

4 - - + - + + + 61.9

5 + + - - + + - 47.8

6 - + - + - + + 59.0

7 + - - + + - + 42.6

8 - - - - - - - 67.6

Második (fold-over) terv:

l1= -6.7  1 l₂= -3.9  2 l3= -0.4  3 l4= 2.8  4 l₅= -19.2  5 l₆= 0.1  6 l7= -4.4  7

l12= 0.5  12+37+56 l₁₃= -3.6  13+27+46 l14= 1.1  14+36+57 l15= -16.2  15+26+47 l₁₆= 4.9  16+25+34 l = -3.4  17+23+45

A 16 kísérlet eredményeinek feldolgozása:

Meddig lehet a kísérletek számát csökkenteni?

Legalább a főhatásokat becsülnünk kell, p faktorra minimálisan p+1 pontból

pl. 7 faktorra legalább 8 beállítás (2^7-4).

Ha a faktorok száma 8 és 15 között van, a minimális beállítások száma 16

A kísérletek menete

Randomizálás

Például a kísérleteket nem lehet egyszerre (azonos pillanatban) elvégezni, és nem zárható ki, hogy az idő előrehaladásával a külső körülményekben, az anyagban változások lesznek.

Ha a tervgenerálás algoritmusa a végrehajtás sorrendje, akkor a terv első feléhez, a faktor egyik szintje, második feléhez pedig a másik szintje tartozik. Ekkor a szóban forgó faktor főhatásába belekeveredik az időbeli különbség (az idő hatása).

Az is előfordul, hogy a kísérletekhez felhasználandó nyersanyag egy tételéből nincs annyi, hogy az egész kísérletsorozatra futná, vagy nem végezhetjük az egész sorozatot egy napon ill. egy

készüléken. Ha ilyenkor randomizálunk, a tétel (nap, vagy

készülék) nem keveredik a faktor hatásába, de a randomizálás miatt a szórás megnő, és elfedheti a lényeges faktorok hatását.

Jobb, ha a kísérletsorozatot ilyen esetekben blokkokra osztjuk:

egy blokkban azonos körülményeket biztosítunk (azonos nyersanyagtétel, azonos nap, vagy készülék).

i x

x

x

x

x

x

x

1 + + + + +

2 + – + + –

3 + + – + –

4 + – – + +

5 + + + – –

6 + – + – +

7 + + – – +

8 + – – – –

BLOKK

Blokkokra osztás

A variációs intervallum megválasztása

A faktorok értelmezési tartományán belül

• ehhez az intervallumhoz képest kell a faktor beállítási bizonytalanságának elhanyagolhatónak lennie

• ha túl kicsire választjuk, a faktor hatástalannak mutatkozik

• ha túl nagyra, a görbe felület leírására a sík nem adekvát

Ha nagy a szórás, nem észleljük a hatást!

A kísérletek célja egy speciális anyag optimális előállítási körülményeinek meghatározása volt. A célfüggvény a

kihozatal %, melynek maximális értékét kell elérni.

Faktorok :

z₁ reakció idő, min;

z₂ hőmérséklet, °C;

z₃ fordulatszám, 1/min;

z₄ katalizátor koncentráció, %;

z₅ felesleg, %;

z nyomás, bar;

33. példa: 2

részfaktorterv+fold-over, centrumponttal

33. példa: 2

részfaktorterv+fold-over,

centrumponttal

3 2 1

7

x x x

x 

2 1

4

x x

x 

x

 x

x

x

 x

x

Az 1. blokk: 2^7-4 részfaktorterv, 3 ismétlés a centrumpontban:

A 2. blokk: fold-over (3 centrumponttal)

55 Fractional Factorial Fit: y, % versus time; Temp; ...

Estimated Effects and Coefficients for y, (coded units)

Term Effect Coef SE Coef T P

Constant 49,2781 0,2423 203,40 0,000

Block 0,0455 0,2066 0,22 0,835

time 15,0738 7,5369 0,2423 31,11 0,000

Temp 23,2163 11,6081 0,2423 47,91 0,000

ford.szá -0,2262 -0,1131 0,2423 -0,47 0,660

kat.konc -0,6638 -0,3319 0,2423 -1,37 0,229

felesleg 4,5937 2,2969 0,2423 9,48 0,000

Nyomás -0,8887 -0,4444 0,2423 -1,83 0,126

sz.konc -0,6437 -0,3219 0,2423 -1,33 0,241

time*Temp -0,5662 -0,2831 0,2423 -1,17 0,295

time*ford.szá -0,3838 -0,1919 0,2423 -0,79 0,464

time*kat.konc -0,0813 -0,0406 0,2423 -0,17 0,873

time*felesleg 0,1612 0,0806 0,2423 0,33 0,753

time*Nyomás 0,7337 0,3669 0,2423 1,51 0,190

time*sz.konc -0,0362 -0,0181 0,2423 -0,07

szignifikáns

A centrumbeli mérések átlagának eltérése a „Constant” -tól nem szignifikáns, tehát a lineáris modell adekvát.

A blokk nem szignifikáns

A felesleget (x₅ ill. z₅) nem lehet tovább növelni, így azt a fölső szintjén rögzítették ( ).



 49,28 7,54 ₁ 11,61 ₂ 2,30 ₅

ˆ + x + x + x

Y

Az illesztett lineáris függvény:

A célfüggvény maximumát (optimum) az x₁ és x₂ független változók terében keressük tovább.

5  1 x

 

30 , 2 28 ,

49   

2 1 11,61 54

, 7 58 ,

51 + x + x

Box és Wilson módszere az optimum megközelítésére

x₁









 L

M  





N

 R  



p p

x x x f

x x f

x f f

grad 



 



 



   

 2 

2 1

1

xj



ahol a j-edik koordinátatengely irányába mutató egységvektor.

ˆ . ,

ˆ , ˆ ,

2 2

1 1

p p

x b b Y

x b Y

x

Y   











 

p px b x

+b x

+b x

+b b

Yˆ  _{0 1 1 2 2 3 3}   

A gradiens-függvény:

p

p x

b x

b x

b Y

grad ˆ  1 1  2 2  

A gradiens irányában úgy haladhatunk, ha az x₁ tengely mentén b₁, az x₂ tengely mentén b₂ nagyságú stb. lépést teszünk. Az x_j koordinátában az egységnyi lépés a z_j

eredeti fizikai skálán z_j .

- 1 0 1 2 3

x ₁

- 1 0 1 2 3

x 2

b

b

 

x +b x

+b b

Yˆ  _{0 1 1 2 2} A tervpontokra

illesztett modell:

 tervpontok

 lépésterv

A gradiens:

34. példa: a 33. példa folytatása;

lépésterv a gradiens mentén 34. példa: a 33. példa folytatása;

lépésterv a gradiens mentén

2 1 11,61 54

, 7 58 ,

ˆ 51 + x + x

Y  A tervpontokra illesztett egyenlet:

540 , 54 1

, 7

61 , 11

1

2  

b b

x₁

-1 0 1 2 3 4

x₂

-1 0 1 2 3 4 5 6

6 5 7 0 7 5 8 0 8 5 9 0 9 5 1 0 0

t i m e , m i n 1 2 8

1 3 0 1 3 2 1 3 4 1 3 6 1 3 8 1 4 0 1 4 2 1 4 4 1 4 6 1 4 8 1 5 0

Temp, °C

t e r v p o n t o k l é p é s t e r v 9 3 , 4 2

9 7 , 1 6

9 4 , 0 2

8 3 , 8 0

5 1 , 5 8

sorszám x₁ x₂ time, min Temp, °C y, %

tervcentrum 0 0 75,0 132,5

0,5 0,77 77,5 134,4

1,0 1,54 80,0 136,4

23 1,5 2,31 82,5 138,3 83,80

2,0 3,08 85,0 140,2

24 2,5 3,85 87,5 142,1 94,02

3,0 4,62 90,0 144,1

26 3,5 5,39 92,5 146,0 97,16

4,0 6,16 95,0 147,9

27 4,5 6,93 97,5 149,8 93,42

58 , ˆ 51 Y

35. példa: a 34. példa folytatása;

2

terv az optimum közelében 35. példa: a 34. példa folytatása;

2

terv az optimum közelében

sorszám time,

min Temp.,

°C x₁ x₂ y, %

1 80 140 - - 82,20

2 100 140 + - 92,69

3 80 150 - + 92,24

4 100 150 + + 89,98

5 90 145 0 0 93,89

6 90 145 0 0 95,56

7 90 145 0 0 94,84

Fractional Factorial Fit: y, % versus time; Temp

Estimated Effects and Coefficients for y, (coded units) Term Effect Coef SE Coef T P Constant 89,278 0,4188 213,17 0,000 time 4,115 2,058 0,4188 4,91 0,039 Temp 3,665 1,832 0,4188 4,38 0,048 time*Temp -6,375 -3,187 0,4188 -7,61 0,017 Ct Pt 5,486 0,6398 8,57 0,013

Szignifikáns a centrumbeli mérések átlagának eltérése a „Constant” -tól, tehát a lineáris modell nem megfelelő.

Másodfokú modell illesztésére alkalmas terv szükséges!

Másodfokú kísérleti tervek

A centrum-ponti kísérletekből csak azt látjuk, hogy valamelyik faktorra nem jó a lineáris függvény.

A másodfokú modell paraméterei nem becsülhetők a 2^p és 2^p-r tervek eredményeiből.

A 2^p kétszintes tervek kiegészíthetők háromszintesekké: 3^p. Minőségi faktorok kettőnél több szinten csak

varianciaanalízissel vizsgálhatók, mert szintjeik nem értelmezhetők intervallum-skálán.

i x₁ x₂

1 0 0

2 + 0

3 – 0

4 0 +

5 + +

6 – +

7 0 –

8 + –

9 – –

3

terv:

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

x₁

9 8

x₂

3 2

5 6

7 1 4

Két faktorra a 3² kísérleti terv

x x

N x x x

ji ji ji ji j

i N

'    



2 2 2 2

1

1

3

másodfokú terv:

3

másodfokú terv:

A 3^p tervben az elvégzendő kísérletek száma a faktorok p számával rohamosan, a becsülhető együtthatók l száma pedig kevésbé nő:

Kompozíciós tervek

magja egy 2p típusú teljes faktoros kísérleti terv (p5 esetén részfaktorterv),

2p csillagpont a centrumtól  távolságra és k_c centrumbeli kísérlet.

N=2p+2p+k_c

Az  értékének megválasztása szerint a terv lehet ortogonális vagy forgatható. Ortogonális terv és k_c=1 esetére:

Kompozíciós terv három faktorra Kompozíciós terv három faktorra





2³ kétszintes terv

 centrumpont

*













*

*

*

*

*

*



Box-Behnken terv 3 faktorra Box-Behnken terv 3 faktorra

a terv centruma

36. példa: a 2

terv módosítása kompozíciós tervvé 36. példa: a 2

terv módosítása kompozíciós tervvé

blokk time Temp. y

1 1 80 140 82,20

2 1 100 140 92,69

3 1 80 150 92,24

4 1 100 150 89,98

5 1 90 145 93,89

6 1 90 145 95,56

7 2 75,858 145 88,62

8 2 104,142 145 92,18

9 2 90 137,929 85,80

10 2 90 152,071 91,12

11 2 90 145 94,87

12 2 90 145 95,36

2² terv

Csillagpontok és centrumpont

Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=,98422; Adj:,96529 (kompozit) 2 factors, 2 Blocks, 12 Runs; MS Residual=,5666198 DV: y

Effect Std.Err. t(5) p

Mean/Interc. 94,92000 0,376371 252,1981 0,000000 blokk(1) 0,23160 0,434596 0,5329 0,616928 (1)time (L) 3,31617 0,532271 6,2302 0,001559 time (Q) -4,59628 0,595102 -7,7235 0,000581 (2)Temp.(L) 3,71342 0,532271 6,9766 0,000931 Temp.(Q) -6,53632 0,595102 -10,9835 0,000109 1L by 2L -6,37500 0,752742 -8,4690 0,000377

A blokk nem szignifikáns