Mathematika- [!Matematika] és történettanítás a középiskolában

A KÖZÉPISKOLÁBAN.

Célom: Schneller István egyetemi tanár gyakorló középiskolai javaslata1 szempontjából megvilágítani a mathematika- és történet- tanítás kapcsolódásának következő, szorosan összefüggő kérdéseit:

Kívánatos és lehetséges-e a mathematika és a történelem közép- iskolai tanítását kapcsolatba hozni s mennyiben egyeztethető össze a Schneller-fóle koncentrációs elv a mathematika didaktikájának reform- szellemű követelményeivel ?

*

Schneller középiskoláját az életnek, a fejlődésnek szolgálatába állítja. Felépítésében, berendezésében, a fejlődő élet uralkodó értékei, a haladó kor eszméi az útmutatók. Tanszervezetének külső alakját, életének formáját a demokrácia eszméjéből származtatja, belső szer- vező elvvé a szociális eszmét avatja. A demokrácia eszméjében rejlő egyéniség elve a középiskola tagolását kívánja,² de ugyancsak a demo-

krácia eszméjéből sarjadzik a műveltség közösségének kettős ágú elve is: az etikai értékek közössége és a tagozatok tantárgyi közössége.

1 A kolozsvári Országos Tanárképző intézet gyakorló középiskolá- jának tanszervezetére ós tantervére vonatkozó javaslat. Kolozsvár, 1918.

Közismert dolog, hogy Schneller javaslata csak jelen címében és kiadásá- ban új; lényegében véve negyven éves kutató munkájának eredménye ez.

2 Seh. egyfelől a vezető nemzetek tanügyi törekvéseinek, másfelől az egységes középiskolára irányuló hazai mozgalmainknak objektív kriti- kája alapján is igazolta e tétel igazságát (Jav. 7—23. 1.). Az utóbbihoz, mellőzve Mikola Sándornak az individuális iskoláért síkraszálló igen érté- kes, de újabb keletű dolgozatát (OKTK. 45 :8), szabad legyen Kuncz Eleknek 1904-ben kelt (M. P&d.) következő nyilatkozatát idéznem: «Ha nem akarunk elzárkózni az élet elől, akkor be kell látnunk, hogy az egy- séges középiskola nemcsak nem szükséglete, de valóságos veszedelme lenne közművelődésünknek. A jövő középiskolája az egyes pályák szerint diffe- renoiálódó vagyis a «sokféle középiskolai.

MATHEMATIKA- ÉS TÖRTÉNETTANÍTÁS A KÖZÉPISKOLÁBAN. 3 6 3

Az egyéniség és közösség elvében rejlő ez ellentétet az organizálásra hivatott szociális eszme győzi le azzal,0 hogy az egyest, mint sajátos szervet, beállítja a szerves egészbe, annak egyetemes fejlődésébe s az egyént személyiséggé ethizálja. Az emberiség kulturális fejlődésének

eme végső, szubjektív egyéni céljához, t. i. a személyiséghez, a végső

•objektív intézményes célon, t. i. a humánum országán át vezet az út.

így a középiskola tartalma, anyaga,-lelke: a humánum a maga léte és fejlődése szerint Mivel pedig az emberi kulturkincset a maga léte és fejlődése szerint az egyetemes történet adja elő, ez lesz a közép- iskola központi tantárgya s a többi tárgyaknak az egyetemes törté- nethez kell kapcsolódniok.

A koncentráció 1 tehát, Sch. szigorúan kapcsolódó fejtegetései- - ben, a személyiség pedagógikájának természetes folyománya, sőt szükségszerű követelménye. Helyes értékelése s a továbbiak szem- ,

pontjából külön is hangsúlyozzuk, hogy Sch. valóban reális mozgató elvet: szerves kapcsolódást, belső, tartalmi érintkezést, nem véletlen, formális, külső találkozást keres.²

Egyszerű a kapcsolat megteremtése a kulturkincset fejlődósében feltáró történet és mindama tudományok között, amelyeket az ú. n.

szellemi tudományok sorába szokás számítani (Jav. 57—71. 1.); sike- rül azoknál is, amelyek a természetnek az emberi szellemre s viszont a szellemnek a természetre gyakorolt hatását ismertetik (Jav. 71—-81.

és 82—98. 1.), de — a Javaslatnak kétségkívül legérzékenyebb pont- jában, — maga a szerző is kénytelen elismerni, hogy a mathematika,

közvetlen kapcsolódás útján, nem illeszthető be a történetnek kon-,

•centráló keretébe. «Igen természetes ez, — mondja Sch. (Jav. 81. 1.) — mivel a történet a tér és az idő formáiba belehelyezkedik ugyan, de a fejlődő nem a tér ós az idő, hanem az, ami a térben, az időben van. A tér és az idő magában véve éppen ezen fejlődő konkrétummal

1 Sch. elve is a ,didaktikai koncentráció' labilis fogalmakat takaró műneve alá került. (Y. ö. Gockler Lajos: A koncentráció mint didaktikai elv, M. P. 21 : 257.) Egészen más természetű elv ez, mint Herbartnál az öntudategység kívánalma, vagy a Herbart-Zilleri felfogás, ahol az érzületi

•anyag kerül a centrumba. Jelentésében tágabb körű, tartalmában szaba- tosabb. A Zilleri gondolatot Schneller is felhasználja, de csak a — nevelő- oktatás középpontjába helyezett — történet kezelése szempontjából. L.

Jav. 51. 1.

2 Sch. éppen emiatt ejti el a földrajzot, mint központi tantárgyat, mert a természettudományi tárgyak s a föld felületét átalakító szellemi tudományok a föld felületen találkoznak ugyan, de a föld csak találkozási tér, anélkül, hogy a két egészen másnemű ható ténykedést maga produ- kálná. Jav. 49. 1.

2 4 *

szemben az absztrakció. A térrel, az idővel, mint ilyen absztraktum- mal, annak geometriai formáival, illetőleg egymásutániságában rejlő számbeli viszonyaival foglalkozik a mathezis. Törtónetfelettiség s ezzel végességfelettiség rejlik ezért is a mathezisben. Snb specie seternitatis nézi a formákat és viszonyokat. Ebben rejlik tételei feliétlenségének alapja s a mathematikai genieknek a történet által nem motivált felbukkanása.»

Sch. indokolása, lényege szerint, Kant ismeretelméleti állás- pontja: 1 a mathematikát a tiszta szemlélet elemeiből az ész törvényei szerint felépített tudománynak, a végső formákban, a tér és idő apriori elemeiben a történés tartalmától függetlennek tartja. Természetes, hogy ez a felfogás a mathematikának a tudományok rendszerében egészen különálló helyet jelöl ki s az iskola életébe vive, a mathematika ta-.

nítását is izoláltságra kárhoztatja. Kant hatását érezték Niemayertől meg Bonitztól és Petritől meg Laubertől kezdve, a harmonikus képzés- szószólói, illetőleg az iskolai tárgyak egységének hangsúlyozói is, mikor éppen a mathematikából és a mathematikához nem tudtak találni átvezető kapcsolatokat. Kant gondolatainak rendszeres kiépí- tése után, különösen a mult század közepétől kezdve még erősebben körülbástyázták a ,tiszta mathematika' birodalmát s lassan-lassan el- szakadoztak azok a gyenge szálak is, amelyek — különösen Herbart óta — a mathematika tanítását az alkalmazásokkal s ezek révén a többi tárgyakkal, meg a gyakorlati élettel valamennyire összekap- csolták. Az izoláló munka ma is felyik, nemcsak Kant felfogása alapján, hanem Dedekindnek, Hilbertnek stb. stb. Natorphóz,² ille- tőleg Cohenhez közelálló felfogása szerint is. 'Dedekind3 szerint az arithmetika a logikának egy része: a számok az emberi szellem sza- bad teremtményei, a számfogalom tiszta gondolati törvények folyo- mánya s független a tér szemléletétől is, az idő képzetétől is. Hil-

1 Tartozunk az igazságnak annak a ténynek megállapításával, hogy egyetemi előadásaiban Sch. sem fogadja el Kant apriori elemeit, hanem azokat a tudat küszöbe alatt bejutott, tapasztalatból leszürődött oly schó- máknak fogja fel, amelyek a tudat küszöbét átlépve tűnnek fel apriori jellegűeknek.

2 P. Natorp: Die logischen Grundingen d. exakten Wissenschaften.

Leipzig, 1910. Tudjuk, hogy Natorp még Kantnál is tovább ment: Míg Kant az apriori birodalmában a tiszta szemléletet, a valóság birodalmában az empirikus szemléletet használja a gondolkodás építőkövei gyanánt, Natorp a mathematikában semmiféle szemléletet el nem fogad.

' • 3 R. Dedekind : Was sind und was sollen die Zahlen ? Braunschweig, 1893. VII.

m a t h e m a t i k a - e s t ö b t é n e t t a n í t á s a k ö z é p i s k o l á b a n . 3 6 5

Kert¹ szerint :• logika és arithmetika közös alapon közösen fejlődtek -s csak fejlődésük bizonyos stádiumában váltak külön. Yannak, akik az arithmetikát függetlenítik az idő szemléletétől (Krause), mások á geometriát a tér szemléletétől.² Közöttük egész skálája van még &

Kanttól kisebb-nagyobb mértékben eltérő felfogásoknak: Russel, Frege, Korselt, Schoenfliess stb. stb., ott van Yoss ³ is, aki csak az arith- metikát ismeri el apriori jellegű «szabad* mathematikának, a geo- metriát már a tapasztalatot feltételező alkalmazott mathematikához .számítja.

Nem szabad azonban megfeledkeznünk a másik hatalmas táborról sem. Nem, különösen akkor, amikor a mathematika iskolai elhelyezése céljából megyünk vissza az ismeretelméleti alapok mélyéig s amikor tudjuk, hogy a kutatás eredménye, a ma már világszerte folyamatban lévő mathematika-tanítási reformmozgalmak szempont- jából is elvi jelentőségű. Tudjuk, hogy ezek a mozgalmak F. Klein vezetése alatt a nGegen die Isolierung der Mathematik* jelszavával4

a mult század 90-es éveiben indultak meg s tudjuk, hogy eredeti -forrásaik éppen a korunkat jellemző új eszmeáramlatok és filozófiai

meggyőződések.. Ezek a szellemi folyamatok Kant felfogását sem hagyták érintetlenül. A , tiszta' gondolkodásnak és az érzéki szemlé- lésnek, az apriori és az empirikus elemeknek szerepe és jelentősége a mathematikai megismerés szempontjából, ma is nagy elkeseredéssel folytatott vitatkozásoknak tárgyai⁵ s a vélemények harca dogmatikus igazságra aligha vezethet, de annyival inkább kötelességünk mérlegre tenni az ellentábor súlyos eredményeit is. így nem mellőzhetjük F. Klein- nek ⁶ és csoportjának felfogását, akik Kant tiszta szemléletét az' em- pirikus szemléletből elvont determinációval, absztrakcióval vagy ideali- zálással helyettesítik. Nem Simonnak ⁷ és gárdájának megállapításait, akiknél az euklidesi geometria «a szemlélet és logika kémiai vegyü- lete*. Ott vannak Wellstein 8 és követői, akik nem fogadják el a tiszta

szemléletet, kifejtik az empirikus szemléletnek, valamint a tapasz- falatnak a mathematikai fogalomképzésben való szerepét, megállapít-

1 D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Leipzig, 1912 : 263. •

2 V. ö. A. Wernioke]:- Mathem. u. Phil. Prop. Lpzg, 1912 :24—26.

3 A. Voss : Über das Wesen der-Matti. Leipzig, 1908.

4 L. A; Wernicke: Math. und Phil. Propad. Leipzig, 1912 : 24.1. jegyz.

5 U. o. 23. 1.

0 F. Klein: Grenzfragen der Mathematik und Philosophie. Leip- zig, 1906.

7 M. Simon; Über Mathematik. Erweiterung der Einleitung in die Dia. Gi'essen, 1908:29.

8 Weber-Wellstein : Encycl. d. elem. Math. 2:144, eto.

ják, hogy a mathematika végső fogalmai tapasztalatokon nyugvó*

ideák s a geometriai axiómák is empirikus eredetűek. Ott van Wer- nicke,¹ aki közelebbről is kifejtette a mathematika ismeretelmélete alapjaira vonatkozó Kant-féle felfogás hiányait és • fogyatékosságait stb. stb. Messze vezetne tárgyunktól, ha a Kantétól eltérő felfogások, mindegyikének eredményéről számot akarnánk adni,² elegendő lesz, ha még Höfler jellemző eredményeit említjük, annyival inkább, mivel ő az első, aki megállapításait a középiskolai mathematika és annak tanítása szempontjából is részletezi. A Höfler-féle ³ ismerettan ú. n.

negatív tételei szerint: tiszta szemlélet és apriori képzetek nincsenek;

a Kant-féle természettudományokat⁴ megillető mathematikai szer- kesztő módszer csak speciális esete a jóval általánosabb tárgyelméleti módszernek; számnak (időnek) és térnek nincs külön helye a többi- ismerettárgyak között s a mathematika sem áll külön a tuáományok rendszerében. «Ha ennek az elfogulatlan ismerettannak a tételeit a középiskolai mathematikára alkalmazzuk, — mondja Höfler (i. m.

4-54. 1.) ,— eltűnik az a mérhetetlennek látszó ellentet, mely eddig- a mathematika és tei-mészetludományi tárgyak tanítását elválasz- totta.» Höfler fejtegetései, bizonyos sajátosságok pontosabb körvona- lozásától⁵ eltekintve, ugyanoda vezetnek tehát, ahová Armstrong híressé vált meghatározása mutat: a mathematika részben primitív^

részben idealizált természettudomány.⁶

Ha az apriori fogalom elemzésénél egyáltalán szabad genezisről beszélni, a Klóin—Wellstein—Höfler-féle felfogás jogosságát, a mathe- matika fejlődési folyamatának tanulságaival is támogathatjuk. Törté- nelmileg igazolt tény ugyanis, hogy ama tárgyszámlálási formák,.

1 L. i. m. Die Kantische Lösung und ihre Mángel. 32—41. 1.

2 V. ö. Fr. Meyer: Kant und das Neue in der Math. Leipzig, 1905_

3 A. Höfler: Didaktik des math. Unt. Leipzig, 1910 :446.

4 A Kant közismert definíciója szerint vett természettudományok közé nem számit pl. a kémia, L. Höfler i. m. 451. 1. Schneller is ^irat- kozik erre a meghatározásra más vonatkozásban. L. Jav. 79. 1. jegyz.

5 «Die Induktion innerhalb der Mathematik in allén Ehren, aber- nie ist die wirklíche Mathematik eine induktive, eine empirischo Wissen- schaft.® Weder die Wissenschaft der Zahlen, noch die vom Raum, wenn uns dieser auch letztlich durch unsere Raumempfindungen gegeben ist, die alsó Erfahrungen so gut sind, wie die Farben oder die Wármegrade.

Höfler i. m. 461—462.

6 Jogosan mondja Mikola: a mathematikának is megvannak a maga ösztönszerűen szerzett tapasztalati elemei, amelyeket semmiféle filozófia, semmiféle okoskodás vagy lelki belátás nem pótolhat. Beke-Mikola A középiskolai math. tanítás reformja. Budapest,. 1909 :88.

A

m a t h e m a t i k a - é s t ö r t é n e t t a n í t á s a k ö z é p i s k o l á b a n . 3 6 7

durva mérések, naiv szerkesztések összessége, amit az utilisztikus ós eudaemonisztikus szempontok szerint gondolkodó primitiv ember szük- séglete hordott össze, szóval a tudomány ama szakasza, amelyet Cantor ¹ igen találóan (természeti mathematikának* nevezett el, nem (üres* (Kant) formákkal és szemléletnélküli fogalmakkal, hanem való- ságos természeti tárgyakkal dolgozott. Sok sok idő kellett az első ab- sztrakciók elvonásáig, különösen addig, míg a tapasztalatból leszűrődő gondolati formák s azok relációi szabatos, mathematikai alakot kaptak. , Évszázadokig fejlődött a mathematikai. gondolkodás, bővült a tartalom, .míg a szigorúan kapcsolódó absztrakt gondolatláncolatok egy-egy sora, sőt egy-egy szeme elkészült. Folyton épült, bővült, fejlődött a mathe- matika is «so wie ein Báum, der nicht von den feinsten Verastelun- gen der Wurzeln beginnend, lediglich nach oben wachst, sondern der erst wahrend er nach oben hin seine Zweige und Blátter immer mehr ausbreitet, auch nach untén zu seine Wurzeln tiefer und tiefer treibt».^a És ha megfigyeljük: hogyan sarjadzott ki az élet gyakorlati szüksé- geiből, a legkonkrétebb dolgokból a mathematikai tudományok inai absztrakt rendszere, hányszor bukkantak fel téves megállapítások, mily gyakoriak voltak itt is a vitatkozások egy-egy általános igazság felismeréséig,3 a fejlődésnek e jellegzetes folyamában mi is igazolva látjuk Gebhardt szavait:⁴ a történeti fejlődés világa mellett eltűnik minden szakadék, mely a mathematikát a többi tudományoktól, kü- lönösen a természettudományoktól elválasztja.

Ebből a fogyatékos vázlatból is láthatjuk, hogy az újabb keletű ismeretelméleti meggondolások s a tudomány történelmi fejlődésének folyamata a mathematikai megismerések eredetének agyanarra a forrására mutatnak s látjuk azt is, hogy ez a forrás messze fakad attól, amit Kant és követői eddig felkutattak. Könnyű lenne ezek után a középiskolai mathematikát is azok közé a tudományok közé sorozni, amelyek a természetnek szellemünkre tett hatását tudatunkba emelik, megértetik és rendszeresítik. Ezzel viszont a mathematika- és történet- tanítás kapcsolódásának lehetősége is meg lenne oldva.⁵

1 M. Cantor: Math. Beitráge zum Kulturleben der Völker. 1863.

V. ö. Klimpert: Geschichte "der Geometrie. Bremerhaven, 1888: 3, stb.

2 Klein-Hellinger: Elementarmath. vom höheren Standpunkte aus.

1908. — 1 : 38. -

A kúpszeletek tana, a negatív szám fogalma, a szögfüggvények .' kialakulása, az egyenlőszárú háromszög területének egyiptomi kiszámítása, a kör négszögesítése, a képzetes szám fogalma, stb.

4 M. Gebbardt: Die 'Geschichte der Math. im math. Unterrichte d. höh. Schulen Deutschlands. Leipzig, 1912:83.

5 Meg kell itt említenünk, hogy Höfler a mathematikai fizika fogal-

\

De nem szeretnők a kérdés súlypontját eltolni! Az újabb keletű, nagyrészt forrongásban lévő ismeretelméletek egyikének fonalán sem indulunk tovább. Gondoljuk meg ugyanis, hogy csak a középiskolai mathematikáról van szó, mint a nevelésnek és oktatásnak, tehát az általános műveltséggel bíró személyiség kialakításának egyik eszközé- tőI.¹ A (középiskolai mathematika pedig, még reformtörekvéseink értelmében megbővült anyagában is, igen laza kapcsolatban van a mathematikai tudomány nagy birodalmával.2 Másfelől akár a forma- lizmushoz, akár a realizmushoz hajló elmélet választásának tényével, bizonyos szubjektív momentumot vinnénk további tárgyalásainkba s így ellenkezésbe jutnánk Schneller egész javaslatának minden önkény- szerűséget kizáró objektív szellemével is.

Más, az érintett elméletektől egészen független utat választunk tehát: — a középiskola céljának állandó szemmeltartásával — össze- vetjük a mathematika történetének tanulságait a középiskolai mathe- matika- és történettanítás kívánalmaival s az így kapott eredmények alapján keressük a feleletet felvetett kérdéseinkre.

Jól tudjuk, hogy a tudománytörténet iskolai irányító szerepének jogosságát, különösen a természettudományokban és a mathematiká-

ban ma is kétségbe vbnják. Sokan általában sem ismerik el a törté- nelemnek és a pszicliogenezisnek parallelizmusát s- — különösen reformellenes math. tanáraink között — még többen vannak, akik Ziller pedagógiai axiómáját: a műveltségfejlődés fokainak átéletését, a mathematika izolált birodalmán kívül levő igazságként kezelik, sőt —- a mathematika tudományos rendszerére hivatkozva — itt még a genetikus módszer alkalmazhatóságát is kétségbe vonják. Csak egy- két adalékra hivatkozunk ve'lök. szemben: Lamprecht³ a történelem- ben, mint a lelki élet .bővülésének folyamatában, lehető pontossággal felkutatta a lelki élet fejlődésének tipikus főtüneteit a szellemi kul- maival, fikcióival stb. magyarázza ismeretelméleti álláspontját. A Pasd.

Dolg. II. kötetében Schneller is éppen a fizika menetére mutatott á mathematika-történet koncentrációjának megvalósításánál.

1 V. ö. Schnellernek a földrajzra^ptt megjegyzésével. Jav. 72.1. jegyz.

2 Hogy a középiskolai mathematika természete szerint is nagyon sovány ága a nagy folyamnak, amelyben a mathematika tudománya folyik s így sok tekintetben egészen más elbirálás alá esik, mint emez, azt Beke a reformtárgyalások alkalmával is sokszor kiemelte. L. Beke-Mikola : i. m.

175, 176. stb. 1. — M. Simon is rájött arra, hogy a középiskolai mathe- matika logikai-filozófiai oldalánál sokkal fontosabb a szám és tórfogalom pszichológiája. I. m. 29. 1.

•a K. Lamprecht: Einführung in das histor. Denken. Leipzig, 1912;

v. ö. OKTK. 1912/13. — 46 : 355. 1.

MATHEMATIKA- ÉS TÖRTÉNETTANÍTÁS A KÖZÉPISKOLÁBAN. ' 3 6 9

tura minden terén s azt tanítja, hogy az emberiség történetében, mint egészben, a lélek fejlődési törvényei érvényesülnek, hogy a tör- ténelem, — természetesen bizonyos módosulásokkal, — maga a tár- gyiasult pszichogenezis. Kármán¹ is panaszolja, hogy «az emberek sehogy sem tudják vagy nem akarják belátni, hogy a természettudo- mányok is a halandó emberi szellem termékei s hogy azért szintén bizonyos művelődéstörténeti szempontok szerint lehet és kell tanítan őket». A természettudományi fogalmak, tények és elvek ismertetésé- hen, — monája, — amelyeknek segélyével a természetben uralkodó rendet megórteúi törekszünk, tulaj donkép oly tantervre van szükség, mely a fogalmakat abban a sorrendben állítaná össze, amelyben az emberiség azokat megállapította, mert az a fontos, hogy a gyermek a gondolkozásnak ugyanazon a folyamatán menjen át, amely alatt az

illető fogalom megalakult. Kármán már a számtanban is, t. i. a nem- zeti élet számbelileg meghatározott tárgyi köreiben "párhuzamosan halad a történeti felvilágosítással!) s valószínűleg az ő hatása alatt került be az Utasítások algebrai részébe, az a sokatmondó, de eddig kevés figyelemre méltatott észrevétel is, hogy az algebra tanítása nómikép magának a tudománynak fejló'dési menetét követve, az érte- 1 em fejlesztésének is leghelyesebb útján fog haladni.2 A reformbizott-

ság tárgyalásai alkalmával Mikola Sándor sokszor kiemelte, hogy a mathematika tanításában is az emberi lélek fejlődósének legegyszerűbb törvényeire, tehát a tudomány történeti fejlődésének a lépcsőfokaira kell tekintettel lennünk: a gyermek az emberiség fejlődósét élje át

nagy vonásokban ! 3 • .

Schneller pedagógikájában a kultura fejlődése szerint haladó történet a kulturfokozatokon vezet át s tán «egyik diszciplína sem igazolja be inkább a történetet, mint a középiskolának koncentráló tantárgyát, mint éppen a mathematika, amidőn még az is tanításá- nál, tanítása módszerénél az egyes ember fejlődésének fokozatait min- den erőltetés nélkül követheti*. (Jav. 82. 1.) A többi ellenvetéssel szemben annyit említünk még, hogy F. Klein szerint már a régi görög mesterek is, — közöttük Archimedes, — genetikusan tanították

az exakt tudományokat/' '

1 L. Ped. Dolg. 1:243,' 336 stb.

2 L. Gimn. Utas. 242. 1.; Reálisk. Utas. 174. 1.

3 Beke-Mikola i. m. 87—88. 1. — Ilyen gondolatmenettel indokolja Ranschburg is az ú. n. aktiv módszer helyességét. (L. Pszichol. Tanul- mányok. Budapest, 1913 : 154) stb.

4 L. F. Klein : Elementarmath. eto. Leipzig, 1909. — 2 : 385, v. ö.

ímuk: Abhdl. 2. Bd. — Wieleitner: Der math. Unt. in Bayern, 46. 1.

Akik a tudomány történetében, a tudomány életrajzában a mon- dottak után sem ismerik fel a legideálisabb álláspontot, t. i. a tudo- mány s a pedagógia szempontjának együttes érvényesülését, azokkal szemben választott'utunk helyességének igazolására Branford angol mathematikusra hivatkozunk még, aki — egyik legmodernebb mathe- matikai-didaktikai munkg, nagynevű szerzője,'¹ — alkalmazza a neve- lésre a biogenetika sokszorosan igazolt alaptörvényét2 s a gyermek szellemi fejlődését a szellemi törzsfejlődéssel állítja párhuzamba.

• A szellemi törzsfejlődés egyes ágait a művelődéstörténet egyesíti- Ennek egyik fontos, szerves része a mathematika története. Ha az.

egyes és a törzs között itt is áll a párhuzam, akkor a mathematika történetének irányító momentumokat, sőt határozott útbaigazítást kell adnia a középiskolák általános céljához simuló mathematikai nevelés- egészében. -És tényleg: a mathematika történetéből önként adódik az.

iskola hármas fokozatának 'megfelelő "természeti® (primitív ember, gyermekkor, legalsó fok), "archaikus® (középső fok) s a «modern vagy európai® mathematika (felső fok) hármas tagozata s önként adódnak mindazok a tételek, amelyeket a reformmozgalom a tudomány szem- pontjából, a lélektan törvényei. alapján, didaktikai szempontok érvé- nyesítésével leszármaztatott s amelyeket ma már általánosan elismert normáknak kell tartanunk. Branford eredményeinek igazságából joggal következtethetünk alapgondolatának helyességére: a mathematika- történet irányító szerepének jogosságára is. Ebből indulunk tehát ki mi is, de az ő gondolatmenetétől teljesen függetlenül igyekszünk haladni. . «

I

•A tudomány objektív története: belső életének legigazabb tükre- És nincs az a tudomány, mely alkalmasabb volna az objektív törté- neti tárgyalásra, mint' éppen a mathematika, mert nincs más tudo- mány, melynek fejlődését oly feltétlen bizonyossággal és igazsággal

--

1 Benchara Branford: A study of mathematical eduoation. Oxford, 1908. Németre Weinreich ós Schimmack fordították: Betrachtnngen über math. Erziehung c. alatt (Leipzig, 1913); v. ö. még G. Wolff: Der math.

Ühterricht der höheren Knabenschulen Englands. Leipzig, 1915 :115. ete- ss 172—173.

2 Ilyen gondolatmenetet követett nálunk Apáthy : "Az emberi fej- lődés eredménye abban áll — írja — amiben a faj fejlődése egyáltalában,, abban, hogy a mai nemzedék tagja rövid egyedi életén belül is megteheti a szellemi fejlődésnek azt az útját, amit megtenni évezredekbe került az emberiségnek. Mint ahogyan a faj fejlődésének testi folyamata lényegileg megismétlődik minden egyedének kifejlődésében, úgy ismétlődik meg az.

emberiség szellemi fejlődésének folyamata, de gyorsítottan a mai nemze- dék gyermekeinek szellemi fejlődésében.® L. M. Psed. 1911. — 20 : 600. stb-

m a t h e m a t i k a - é s t ö r t é n e t t a n í t á s a k ö z é p i s k o l á b a n . 441

figyelemmel lehetne kísérni, mint éppen a mathematikáét.¹ A. mathe- matika története pedig kétségkívül igazolja, hogy a mathematika fejlődése és a kulturélet fejlődése mindenkor szoros összefüggésben állott egymással. Csak azok előtt meglepő ez a tény — Branford szerint axióma, — akik nem ismerik a tudományok kapcsolatának és kölcsönös hatásának nyilvánvaló igazságát sem. Hiszen minden egyes tudomány csak addig élő tudomány, míg az össztudomány fájának egyik ága; az ágnak élete a fa gyökerétől, törzsétől, a többi ágaktól, tehát a fa szervezetétől függ s viszont épp a szerves egység miatt, az egyes ág is befolyásolja az egész fát minden részében.² A mathe- matika feltétlen igazságokat hirdető élő tudománya sem lehet kivétel ez alól az általános érvényű feltétlen igazság alól. A konkrét meg- állapítások egész sora igazolja állításunk helyességót: Schmeisser,³ Cantor,4 Zeuthen,5 Müller6 stb. stb. a klasszikus kor reális kultur- jelenségeinek és humánus kulturelemeinek sok-sok összefüggésére, Klimpert ⁷ a geometriának és az építészetnek párhuzamos fejlődésére, Lampe 8 a mathematika ós a képzőművészetek történetének érdekes kapcsolataira, Pietzker ⁰ a mathematika fejlődéséhez kapcsolódó álta- lános kulturjelenségek egész sorozatára, Spiess ^{1 0} a korszakok szerint változó filozófiai meggyőződéseknek és a mathematikai kutatás változó irányainak kölcsönös vonatkozásaira, Gebhardt¹¹ a fizikának, a gép- tannak, a hídépítészetnek, hajózásnak, kereskedelemnek, haditudo- mányoknak, a kalendáriumkészítés révén az egyháznak fejlődésével

1

1 V. ö. Klimpert: Gesch. d. Geometrie. Bremerhafen, 1888. Bev.

2 L. Schneller: Jav. 72. 1. jegyz.

3 F. Schmeisser: Lehrbuch d. Arithm. f. Gymn. ISI7. Gebhardt:

i. m. 7—9., 70. 1.

4 M. Cantor: Euklid und sein Jahrhundert. Leipzig, 1869. — Vor- lesungen über Ges<^iichte der Math. 4 k. Leipzig, 1880 etc.

5 H. G, Zeuthen: Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum.

Übersetzt v. Fischer-Benzon. Kopenhagen, 1886. — Geschichte d. Math.

im Altertum. Ü. v. F.-B. Kopenhagen, 1896.

6 0. H. Müller! Studien zur Gesch. d. Math, Leipzig, 1904.

7 Klimpert i. m. 3. 1.

8 E. Lampe : Die Entwickl. der Math. im Zusammenhange mit der Ansbreitung d. Kultur. Akademische Rede. Berlin, 1893.

9 F. Pietzker: Das humán. Element im exakt. Wiss. Nordhausen, 1894. — Centb. f. Math. u. Natw.

1® O. Spiess: Die Math. anf d. Gymn. Basel, 1907.

1 1 M. Gebhardt: Das Geschichtliche im math. Unt. Progr. Witzh.

Gymn. Dresden, 1908; Pád. Arch. 52. — Leipzig, 1910.

adott kölcsönhatásokra¹ stb. stb. mutattak reá.² Különben, — ha a kapcsolatoknak teljes képét akarnók megrajzolni, — minden egyes mathematika-történeti kutatás eredményéről számot kellene adnunk, mert minden mathematika-történeti kutatás végső célja szerint arra a centrális kérdésre igyekszik feleletet adni: amit jelent ma s mit jelentett a különböző korszakokban a mathematika az emberiség kul- túrélete szempontjából?!*³ Hogy erre a kérdésre nem könnyű a felelet, hogy a párhuzamok explicit kimutatása sokszor, igen bonyolult probléma, ez az igazság a tudomány sajátos természetében leli ma- gyarázatát: a mathematikai kulturelemek terjedési sebessége rend- szerint aránytalanul kisebb, mint a mathematikával összefüggő más' kultnrhatalmak elemeié.⁴ De ránk nézve nem ez a lényeges, hanem a mathematika-történet és az általános kulturfejlődés kapcsolódásának az a sokszorosan beigazolt ténye,5 melynek alapján joggal mondja Hankel,⁶ hogy a mathematika története az általános kultúrtörténetnek kölcsönhatásaiban is jelentékeny része; joggal mondja •Lindemann,⁷ hogy a mathematika az emberiség szellemi fejlődésének mindig igen jelentős tényezője volt; joggal mondja Schwalbe,⁸ hogy mathematika nélkül nincs általános műveltség, ha általános műveltség alatt a kultur- élet fejlődósének átértését értjük."

1 Érdekes ezzel a megállapítással összevetni a Schneller-féle javas- latnak az asztronómiára v<pnatkozó fejtegetéseit. Jav. 77. 1.

2 Helmes, Hoffmann, Gebhardt, stb, a különböző korok kulturálla- potának legmegbízhatóbb fokmérőjét is éppen a math. objektív történeté- ben keresik ós találják.

3 C. H. Müller: Abhdlgen zur Gesch. a. Math. Vviss. 18. f. 63. 1.

4 Tudvalevőleg a mathematikának az egész emberiség fejlődésére kiható fontossága csak igen későn, a napoleoni háborúk idején hatolt be a köztudatba; Napoleon híressé lett szavai : L'avancement et la perfection des mathématiques sont intimement liés á la prospérité de l'État.

5 Y. ö. A. Voss: Die Reziehungen der Math. zur Kultur der Gegen- ^ wart és H. E. Timerding: Die Verbreitung math. Wissens und math.

Auffassung; Kultur der Gegen wart 111:1.

6 H. Hankel: Die Entwickl. d. Math. Tübingen, 1885.

7 F. Lindemann: Lehren und Lernen in d. Math. Rektoratsrede.

München, 1904.

8 Gebhardt i. m. Math. und Kulturgeschichte. 69. 1.

9 Dolgozatom általánosabb célja miatt példákra nem terjeszkedhet- tem ki.. Mivel azonban Schneller Javaslata határozottan utal az ó- és újabbkori nemzetek különböző számrendszereinek ismertetésére (82. 1.), megemlítem E. Löffler pompás kis munkáját: Ziffern und Ziffersystem der Kulturvölker in altér und neuer Zeit. Leipzig, 1912. Löffler különösen az irás fejlődésében mutatkozó kapcsolatokkal valóban beigazolja »azt a

m a t h e m a t i k a - é s t ö r t é n e t t a n í t á s a k ö z é p i s k o l á b a n . 3 7 3 0

Ezekben a gondolatokban, ha szem előtt tartjuk iskoláink álta- lános célját, már nyilván kínálkozik főkérdésünk megoldásához, a mathematika és történet legtermészetesebb kapcsolatához, t. i. a ma- thematika-történetéhez vezető út.

A megoldás helyes, de az indokolás még hiányos lenne. Hiányos, mert csak a kapcsolódás lehetőségére mutat reá, nem annak kívána- tosságára is és csak utolsó mozzanatában érinti az elsősorban határozó elemet:' a középiskola általános célját.

A következőkben ezeket a hiányokat igyekszünk pótolni.

Az általános műveltség kiépítéséhez, középiskoláink vezető cél- jához, minden iskolai tényezőnek, lehetőleg a közös célból fakadó

egységes irányelvek szerint kell alkalmazkodnia. F. Klein már a breslaui (1904) értekezleten kiemelte, mint az általa képviselt fel- fogás egyik leglényegesebb feltételét, hogy a középiskolában egyetlen

sajátos, szoros, belső összefüggést, mely a mathematika, történet s az álta- lános kultúrtörténet között fennáll . . . » «A számjelek és számrendszerek fejlődésének felkutatásában filológusok, mathematikusok, hisztorikusok együtt fáradoznak, igazolván, hogy az emberiség összkulturája egyetlen nagy egység . . . » Bev. — Gyönyörű tanulságokat ad az összes kulturnépeket összekapcsoló mathematikai világnyelv (jelbeszéd) fejlődése is (Schnell- bach, 1866; 1. Gebhardt i. m. 89. 1. stb.). — Schneller Ped. Dolgozatai- ban (II. k,) a mértékrendszerek fejlődését is említi; erre vonatkozólag 1.

Tropfke : Gesch. d. Math. Leipzig, 1902. — 1:16—26. 1. — Itt említem meg, hogy Beke Manó is érintett egy bennünket közelről érdeklő kapcso- latot, t. i. a Pauler-féle tanterv mathematikai részének ismertetésében iga- zolja, hogyan változott a tanterv szelleme a tudomány történeti fejlődésével.

L. Beke-Mikola i. m. X. 1. — Végül itt kell számbavennünk Günthernek a logaritmusok tanának fejlődésére vonatkozó következő észrevételét:

«Wohl auf keinem anderen Arbeitsfelde sieht sich der fast durchgángig geltende Erfahrungssatz, dass der geschichtliche Hergang auch den di- daktisch gangbarsten Pfad vorzeichne, so gründlich ad absurdum geführt, wie in der Erfindungsgeschichte der Logarithmen. Den da hat sieh alles ganz anders abgespielt, als etwa eine philosophisoh konstruirende Ge- schichtswissenschaft erwarten liesse.» L. Günther : Gesch. d. Math. Leipzig,

1909. — 1:362. — Nincs itt hely arra, hogy ezt a sokszor emlegetett, egyetlen kivételt az iskola szempontjából közelebbi vizsgálat tárgyává tegyük. Csak felemlítjük, hogy éppen ez a tény egyike a legalkalmasabb bizonyítékoknak arra nézve, hogy a kulturfejlődés folyamatával, a gya- korlati élet követelményeivel (tudvalevőleg a logaritmusokat a trigono- metriai számitások egyszerűsítésének szüksége teremtette meg, jóval a gyökvonás ismerete után) a mathematika fejlődésének mily szoros össze- függése van.

szakot sem szabad izoláltan tanítani 1 s <az iskola általános céljához a mathematika tanításának is kapcsolódnia kell®.2

Több-kevesebb szerencsével sokfélekép megjelölték már a kap- csolódás útját. Nem volna célja annak, hogy a más tárgyak köréből kiindult, a mathematikát figyelmen kívül hagyó kísérletekről is számot adjunk. Tárgyunkat illetőleg sokkal tanulságosabb lesz azoknak a kap- csoló elveknek a megemlítése, mélyek az iskola általános célját valóban első helyre állítják s amelyeket a. középiskolai mathematikatanítás maga váltott ki.3 Csaknem száz évvel ezelőtt (1828) Peters a mathe- matikai és az irodalmi stílus összehasonlítását, a logikai-pszichológiai részletek kidomborítását s azt kívánja, hogy a tökéletesedésre és az igazságra való közös törekvés gondolatában, a mathematika a vallással

1 Klein-Riecke: Neue Beitr. zur Frage des math. Unt. Leipzig, 1904:28.

2 Klein-Schimmack: Der math. Unt. an d. höh. Schulen. Leipzig, 1907. — 1:193.

3 A mi legrégibb tanterveink, bármennyire kívánatosnak tartják is az egykorú tanulmányok, nem tudták a mathematikát izolált helyzetéből kimozdítani. Érdekes, hogy a lioeum révén a Sohneller-féle javaslatban is

•oly nagy szerepet játszó Eötvös-féle tanterv az első, melyben nemcsak a tanítás célja van reformszellemű tanításunkhoz legközelebb álló céltuda- tossággal kifejezve (1. Beke-Mikola i. m. VIII. 1.), hanem a célkitűzésben

ott szerepel a mindennapi életre való alkalmazásnak először Herbart által ajánlott (L. Katz : Psychologie und math. Unterricht, Leipzig, 1913:5) s ma annyira hangoztatott követelménye is. (Az alkalmazásokban demokra- tizálódik a mathematika, mondja Carson.) Mathematikai reformbizottsá- gunk tárgyalásai közben Goldziher Károly érintette a math. tanítás el- szigeteltsége ellen folyton hangzó panaszokat s a gyakorlati élet szem- pontjából készült tanmenettel, a fontos gyakorlati alkalmazásokra való utalással óhajtja azokat megszüntetni (1. Beke-Mikola L m. 16. ós 37. 1.).

Természetes, hogy ebben az-életre és iskolára felette értékes követelmény- ben, az egész nemzetközi reformmozgalom egyik vezető és mozgató rágó- sáról, nem pedig belső, tárgyi koncentrációról van szó. Hasonlóan kívül

esik dolgozatunk gondolatmenetén Kármán koncentrációs elve is. 0 — mint ismeretes — a nemzeti szempontból értékelt kulturkinocsel kívánja a felnövekvő nemzedéket meghatározni s ezért minden tantárggyal szem- ben a nemzeti elemet teszi appercipiáló központi elemmé. így kerültek be

•először tudatosan tanterveinkbe nemzeti művelődésünk mennyiségi elemei.

Ez a nagyjelentőségű gondolat is igen sokat jelent a mathematika izolált helyzetének enyhítésére. A mathematikából kiinduló tárgyi koncentráció után való törekvés, legalább tudtommal, nálunk eddig nem mutatkozott.

A kérdés Németországban jobban elő van készítve, mint a vezető nem- ietek bármelyikénél, azért ismertetjük legelső helyen a német mathema- fikusoknak tárgyunkban kialakult véleményét.

m a t h e m a t i k a - é s t ö r t é n e t t a n í t á s a k ö z é p i s k o l á b a n . 3 7 5

lépjen kapcsolatba.¹ Később a klasszikusokhoz való kapcsolódás gon- dolata Vezet. Itt két irányt lehet megkülönböztetni: a tanárok nagy része, híven a régebbi gimnáziumok közszelleméhez, a reáltartalmú klasszikus munkákban is főleg a nyelvet, formát, szellemet óhajtja ápolni (Tenner 2 stb.); a másik irány a klasszikus tanításba igyekszik

"realisztikus' elvet® bevinni: a nyelvet eszköznek tekinti az ókor kincseinek, közöttük a mathematika klasszikusainak megértéséhez (Nagel3 stb. : Euklides olvastatása, klasszikus feladatok stb.). Ezt a nagyjelentőségű elvet még életteljesebbé tették azok, akik történelmi észrevételek és megjegyzések betoldásával is igyekeztek egyfelől a kapcsolódás körét tágítani, másfelől a kapcsoló szálakat erősíteni (Wittstein⁴ stb.). Ettől kezdve a történelmi elemeknek mind nagyobb- nagyobb szerep jut. Nemcsak szétszórt ,betoldások', hanem önálló mathematika-históriai fejezetek is igyekeznek a különböző kultur- elemek összefüggését kidomborítani s az ú. n. tárgyi egység kívánal- mait megvalósítani (Lübsen 5 stb.), sőtRiehl6 éppen a történeti köz- vetítésben látja a jövő középiskolájának meghatározó elvét is: «Wir

•stehen heute dem Altertume als Historiker gegenüber, — írja — und eben darum ist das humanistische Studium heute realistisch gewor- den, wie aus dem gleiehen Grundé das realistische in dem Masse, als es historisch geworden ist, humanistisch geworden ist. Humanis- mus und Realismus bilden heute keine Gegensátze mehr: sie habén sich wiedergefunden auf dem Boden der altén Kultur, aus dem sie wie alle die anderen wesentlichen Besitztümer unseren geistigen Erbes erwachsen sind.» 0. már az antik ós modern exakttudományok kap- csolatát kulturtörténelmi vonatkozásokkal életteljessé tett históriai úton óhajtja kidomborítani. Hasonló nyomokon jár a régibb és újabb mathematikus-tanárok egész gárdája is. ⁽

Finger⁷ szerint a középiskolai oktatásnak történeti jellegűnek, kell lennie s a mathematikának is történeti vonatkozásokkal kell kap-

1 A. Peters : Über das Studium der Math. Dresden, 1828. — Geb- hardt i. m. 56. 1.

2 G. W. Tenner: Einige Bemerkungen über die Verbindung der Wissenschaften überhaupt, mit besonderer Bücksicht auf die Schulen.

Merseburg, 1829.

3 V. ö. Gebhardt i. m. 57. 1.

4 Th. Wittstein : Lehrb. der Elem.-Math. Hannover, 1855.

5 Gebhardt i. m. 38. 1.

6 A. Riehl: Humanistische Ziele d. math. und natw. Unt. Berlin, 1909:30. Hasonló gondolatmenettel találkozunk Spiessnél, v. ö. Gebhardt i. m. 79. 1.

7 Gebhardt i. m. 57. 1.

csolódnia a többi tárgyakhoz. — Tischer¹ nagy jelentőséget tulaj- donítana annak, ha kultúrtörténeti vonatkozások révén a tanulók előtt kidomboríttatnék, hogy a mathematika az emberiség kulturéletéhez mindenkor szorosan hozzátartozott, mert így nem szűk korlátok kö- zött mozgó szaktanárokat, hanem közös cél szolgálatában álló embe- reket látnának magok eló'tt a növendékek. — Simon ~ azért hang- súlyozza a mathematika tanításában a történeti elemek szerepét, mert a történeti levés folyamata legjobb megértetője a létezőnek és legjobb eszköz arra, hogy a kulturmunkák összefüggését közvetítse s az emberi szellem egységét megértesse. — Treutlein 3 szerint csak akkor teljesíti a középiskola valóbán a feladatát, ha a tanuló figyelmét az ideálra, az általánosra irányítja, kultúrtörténeti kapcsolódások s ebben a ma- thematika történet révén is. — PietzkerA szintén a kultúrtörténet útján óhajtja az exakt és humanisztikus ágakat kapcsolatba hozni, kiembli abban s a mathematika tanításában a mathematika-történet ismertetésének célját és jelentőségét. — Woljf5 szerint a mathematika összekapcsolása a kultur- és világtörténettel megismerteti a tanulót a mathematika mélyebb jelentőségével s még azoknak a lelkesedését is felköltheti, akiket a mathematika addig nem érdekelt. — Wernicke ® szerint a jelen szellemi mozgalmainak megértéséhez feltótlenül ismer- nünk kell a mathematikai tudományok kialakulásának folyamatát is és az iskolának az a főfeladata, hogy a nyelvi ós mathematikai sza- kokat kultúrtörténeti alapon egy egységes valláserkölcsi világnézetben egyesítse,7 stb. stb. De nem részletezzük tovább ezeket a tanulmányo-

1 E. Tischer : Leibniz und die Gymnasiaimath. Leipzig," 1912 : 227.

2 Baumeister Handb. 4. k.: Rechnen und Math. München, 1908.

L. még Geschichte der Math. im Altértum in Verbindung mit antiker Kulturgeschichte. Berlin, 1909.

3 P. Treutlein : Das geschichtliche Element im math. Unt. d. höh.

Lehranstalten. Braunschweig, 1890.

4 F. Pietzker: Das humanistische Elem. im exaktwiss. Unt. Nord- hausen, 1894.

s I. m. 172. 1.

6 A. Wernicke: Die math.-natw. Forschung in ihrer Stellung zum modernen Humanismus. Berlin, 1898. — Kultur u. Schule, Osterwieck, 1896. — Die kulturelle Bedeutung der math.-natw. Forschung. Pád. Arch.

45. H. 12'. — 1903. . .

7 Érdekes párhuzamot mutat Wernicke fejtegetése Apáthynak ezzel a gondolatával: «Mi nem a természetet akarjuk felemelni, hanem az em- beri lelket alázzuk meg a természet előtt, mikor a természet titkainak mélyébe hatol tatunk.. L. M. Paed. 1911. — 20:600. — V. ö. Schneller;

Jav. 63. 1. is.

m a t h e m a t i k a - é s t ö r t é n e t t a n í t á s a k ö z é p i s k o l á b a n . 3 7 7

kat, melyek a legkülönbözőbb szempontokból ugyan : a mathematika- tanítás jelentőségének (Köhler l), humanisztikus céljainak (Meinong, Kunze² stb.), nevelő hatásának (Wiegand,³ Schwab - Lesser ⁴ stb.), a humán és reálszak viszonyának (Hoffmann⁵), a math. ós a többi tárgyak kölcsönös vonatkozásának (Biehl,6 Spiess7 stb.) taglalásából kiindulva, de kivétel nélkül mathematika-történeti, illetőleg kultúr- történeti kapcsolatokkal kívánják a középiskola általános célját szol- gálni. Mellőzzük Spottiswoodenek, illetőleg Gretschelnek,⁸ Willman- nak,9 Riehmnek,'0 Höflernek 11 stb. hasonló kívánalmakkal záruló, sok szellemes mathematika-történeti vonatkozást nyújtó értékes tanul- mányait is. Gsak egyetlen újabb keletű, valóban tipikus véleményre Gebhardt drezdai mathematikus professzornak, a nemzetközi reform- bizottság gyűlésén kifejtett és helyeselt gondolatmenetére legyen sza- bad még röviden rámutatnunk.

Gebhardt 12 panaszolja, hogy a "különböző utak, azonos cél*

elve Németország középiskoláiban sem tud megvalósulni: a .szak- tárgyak', különösen a mathematika, izoláltan haladnak a magok útján.

Először a kölcsönös vonatkozásokat megbeszélő tanári értekezletekre, kiegyenlítő konferenciákra, hospitálásokra gondol, de belátja, hogy részben a tanári karok felfogásának tagoltsága,¹³ részben pozitív egy-

1 Gebhardt i. m. 59. 1.

2 ü. o. 15. 1.

3 U. o. 16. 1.

4 Sohwab-Lesser : • Math. Unterrichtswerk, ete. Wien, 1909.

5 V. ö. Gebhardt i. m. 60. 1.

0 B. Biel: Der math. Unt. in seiner Beziehung zu anderen Unter- riohtsgebieten. Bensheim, 1895.

7 O. Spiess: Die Math. auf d. Gymn. Basel, 1907.

8 Spottiswoode-Gretschel; Die Math. in ihren Beziehungen zu d.

and. Wissenschaften. Leipzig, 1879.

9 V. ö. Gebhardt i. m. 103. 1.

1 0 U. o. 64. 1.

1 1 A. Höfler: Humanist. Aufgaben d. phys. Unterrichts. Braun- schweig, 1904; v. ö. Gebhardt 104. 1.

1 2 I. m. Die Math. und die anderen Wissenschaften an der Schule, 97 stb. L

1 3 Ilyen szempontból is nagyon fontos Sohnellernél az ethikai kon- centráció elve. Kívánja, hog'y a tanítás hátterét egységes világnézet alkossa s a tananyag is ennek az egységes világnézetnek kifejezője legyen (1.

Wernicke gondolatát!). Ennek a valláserkölcsi közös sajátos szellemnek nemcsak a tantárgyakban, hanem a tanárokban is kifejezést kell nyernie :

«Minden iskolától, minden tanári testülettől a szerves egésznek a szemé-

Magyar Paedagogia. XXVII. S—9. 25

séges irányelv hiánya miatt ezek és hasonló módszerek nem vezet- hetnek eredményre. Gyökeresen, alaposan csak a tárgyi koncentráció segíthet: «das ist die bewusste Durchdringung jedes Unterrichtsfaches mit einer gemeinsamer Wissenschaft, die sich vjiUig und ungesucht in den Dienst eines jeden stellt». Ilyen koncentráló tárgyként jelent- keznék a filozófia-.¹ Ez azonban a legkülönbözőbb vélemények és fel- fogások találkozó tere, a legszubjektivebb tudomány, a tárgyak ön- állóságát is,veszélyezteti, súlypontjukat is eltolhatja, csak a legmaga- sabb fokon jöhetne szóba, sőt sok olyan feladat felmerül már a középiskolai mathematika körében is, amely a középiskola követel- ményeit messze túlszárnyaló magas filozófiai álláspontot kiván. Ezért nem alkalmas «vezércsillag» gyanánt.

"Úgy gondolom, — folytatja Gebhardt, •— egy más tudomány- nak van fenntartva az a szép szerep, hogy a középiskola különböző tárgyainak összekapcsolásához természetes, életteljes köteléket szőjjön s ez a tárgy : a történet.²

Ne feledjük, hogy Gebhardtnak a német máthematikus tanárok közvéleménye által helyeselt e szavai alig néhány éve hangzottak el s. jusson eszünkbe, hogy Schneller negyven év óta hirdeti már a történeti koncentráció gondolatát. '

A Schneller-fóle koncentrációs elv realitásának eddig a mathe- matika volt a fundamentális akadálya, de ma már — láthattuk f — az elmélet kívánságai s a gyakorlat követelményei ebben is teljes harmóniát mutatnak.

lyisége korrelátumának erejében kívánjuk azt, hogy ethikailag koncentrált legyen. L. Jav. 100. 1.; v. ö. M. Pad. 1899. — 8:435. 1.

1 Ilyenfajta gondolatot, mint említettük, már Peters is említ.

Újabban 1. Höflernél: Philosophische Elemente in allén Unterrichtsfáchern, eto. Unterrbl. f. Math. u. Natív. 11 : 97.

2 I. m. 104. 1. «Es ist eine von vielen massgehenden und führenden Mathematikern auf Universitat und höheren Schule anerkannte Forderung, dass um eine weit innigere Verknüpfung der verschiedenen Unterrichtsfácher heute mehr, wie not tut und dass die Geschichte, insbesondere die Kultur- geschichte trefílich geeignet is), eine Brücke mit tragfáhigen Jochen herüber nnd hinüber zu schlagen, eine Brücke, die beim Überschreiten Arbeitsfreudigkeit und Wanderlust steigert, die nach allén Seiten hin einen schönen, erhebenden Blick in das grosse Land der Wissenschaft gewáhrt und die uns von höherem Standpunkte aus erkennen lásst, dass Berge und Táler, fruchtbare Auen und einförmige Steppen, in ihren bunten Wechsel doch organiseh zusammengehören nicht durch schrofife Grenz- linien' von einander getrennt sind und alle nur gedeihen können unter den lebenspendenden Strahlen derselben Sonne . . . »

m a t h e m a t i k a - é s t ö r t é n e t t a n í t á s a k ö z é p i s k o l á b a n . 3 7 9

A mathematika szigetországából a történelem világához a ma- thematika-történet hídja vezet át,' ezen a hídon kell találkoznia a középiskolai mathematika- és történettanításnak is.¹ A kultúrtörténet, az emberiség kulturális fejlődésének menetébe beleszövi a mathe- matikának legkiválóbb művelőit, fejlődését, hatásait, kapcsolatait s viszont néha-néha, alkalmasnak mutatkozó helyeken, a mathematika tanítása is történetivé lesz.

Hangsúlyozzuk azonban, hogy a mathematika-történet elemei- nek bekapcsolása semmikép sem lehet öncél, hanem csak eszköz, híd, mely a centrális tárgyhoz a legtermészetesebben, az iskola általános céljához legközvetlenebbül átvezet. A kapcsolat a sajátos mathematikai gondolkodásnak csak fejlesztője lehet, nem pedig akadálya. Hogy Schneller is így gondolkodik, mutatja Javaslatának s egész pedagó- gikájának minden individualitást méltató szelleme, kifejezetten is iga- zolja először a Magy. Pa3d.-ban s azóta is többször elhangzott nyilat- kozata: «Ellensége vagyok a koncentrációnak akkor, ha nem számolunk az egyes tárgyak sajátos természetével.®2 Schneller tehát lehetőleg kapcsolatba óhajtja hozni a mathematikát is a történelmi korsza- kokkal, a humánum fejlődésével, végeredményében iskolájának álta- lános céljával, de a mathematika jellemét, a mathematikai gondol- kodás sajátosságait érinteni nem engedi. Hogy mennyiben elégíti ki e tekintetben Schneller felfogása a mathematika didaktikájának re- formszellemű követelményeit mutatják Gebhardt idézett szavai is° s azokon kívül talán elegendő lesz még egy klasszikus tanura F. Klemre hivatkoznunk: «Das mathematische Denken ist auf der Sehule nach seiner vollen Selbstándigkeit zu pflegen, inhaltlich aber dabei mit den sonstigen Aufgaben der Schule, d. h. mit den verschiedenen Bestand- teilen der von der einzelnen Schulart anzustrebenden allgemeinen

1 Igen tanulságosan fejtegeti az átmenetet Simon: párhuzamba állítja az alsófoktól kezdve a mathematikai és a történeti gondolkozás fokozatos fejlesztését s a felsőfokon áthidalja az ellentétet azzal, hogy a mathematikussal kiemelteti a szükségszerűségben a történetet, a hiszto- rikussal pedig a történetben a szükségszerűséget. I. m.

2 M. Pad. 1899. — 8:435. V. ö. Jav. 27. 1. «A tanulók szeretettel merüljenek el tantárgyaik sajátos természetében® stb. stb. Simon is óv attól, hogy a math. tört. vonatkozásokat előtérbe állítsuk, 1. Baumeister i. h.; Gebhardt külön is hangsúlyozza : Wünsebenswert ist nur, dass das Gescbiebtliebe einerseits nicht ausgescbaltet bleibt, andererseits aber aucb nicht zur Hauptsache gemacht wird. I. m. 111. 1. — F. Klein mesteri példát adott a történelmi elemek betagolására az 1908/9. tanévi gyönyörű előadásában (Hellinger-Klein: Elementarmath. etc.); egyik bírálójának szavai szerint: «Es (das Buch) zeigt uns, wie wir Gesehichte im Unter- richt treiben können, ohne Unterricbt in der Gescbicbte zu geben.®

25*

Bildung mögliehst in lebendige Beziehung zu setzen. •) ' Klein szavai- nak jelentőségéhez tudnunk kell, hogy ő a gimnáziumokban éppen a mathematika-történeti és filozófiai vonatkozásokra kíván nagyobb súlyt helyezni s ha hozzátesszük, hogy azok, akik legújabban a filozófiai kapcsolódás kérdésével foglalkoztak, a filozófiai részleteket is a mathe- matika-történet keretében óhajtják értékesíteni,² joggal megállapít- hatjuk itt is a legteljesebb harmóniát.

A harmadik nemzetközi mathematikai kongresszus (1904) jóva tovább ment F. Kleinék kívánalmánál: már a mai középiskola min- den ágában a mathematika történetének rendszeres tárgyalását óhaj- totta.³ Közel itt a veszély, hogy fődolog, öncél s az (összefüggő kurzus*

révén külön tantárgy lesz az egészen más természetű, jóval egyeteme- sebb célt szolgáló elvből. A céllal együtt kivesszük a lelket is s marad az élettelen váz, az üres forma: száraz adathalmaz, tartalmatlan ver- balizmus, ami ellen Schneller javaslatának minden sora tiltakozik.'⁶ Tiltakoztak az ilyen beállítás (az adathalmaz és (bepaukoláso) ellen a német középiskolák mathematika tanárai is és egyértelműleg kívá- natosnak mondják ugyan a mathematikatörténet elemeinek mennél szélesebb' körű felhasználását, de az értékelésben mindig a kultur- fejlődéssel adott összefüggés kidomborítása, a betagolásban az emberi szellem fejlődésének lehetőleg egységes átóletése az irányító szempont.5

(Die Erkenntniss, dass der mathematische Unterricht mehr Pühlung mit der Geschichte zu nehmen habe, hat in der letzten Zeit betráchtlich an Boden gewonnen* — mondja Müller6 (1909).

A német egyetemek is mind jobban-jobban méltányolják a mathe- matika történetének nagy jelentőségét ⁷ s Tropfke ⁸ kitűnő mathema-

1 Klein-Riecke i. m. 15. 1.

2 L. A. "Wernicke: Math. u. Phil*. Prop. Leipzig, 1912 :85. «Die Philosophie im Geschichtlichen der Mathematikstunde* c. fejezetét.

3 Jahresbericht d. deutscher Math. Vereinigung. 1904. — 13 : 515.

4 Y. ö. Jav. 71. 1. A műveltség nem adathalmaz tudásában áll. Mi azt kívánjuk, hogy az egyének az emberiság értékes életének utánaéláse alapján taglalódjanak be a fejlődés értékes életébe.

3 L. J. Wirp: Der Math. Unterr. an d. höh. Schulen in Elsass- Lothringen. Leipzig, 1911:51; A. Thaer: Der math. Unt. in d. Hanse- stádte. Leipzig, 1911 :22; H. Wieleitner: Der math. Unt. in Bayern.

1912 : 63; A. Witting: Der math. Unt. in Sachsen. 1912 : 66, stb. A kör- kérdésekre (Imuk Berichte. Leipzig, 1909 : 7), 1. Imuk Abhdl.

6 Die Math. auf den Gymn. und Realschulen. Leipzig, 1909 :2.

7 V. ö. W. Lorey : Das Studium der Math. an den deutschen Uni- versitáten. Leipzig, 1916 : 240. (Gesohiohtliche Interessen der Mathemati- ker in neuerer Zeit.»

8 Geschichte der Elementar-Mathem. Leipzig, 1902:111. Különbem