a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

Digitalizálta

a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtár és Információs Központ

1826

r r

ERTEKEZESEK

A. ~IA.THEi\IATll\:AI TUDO~IÁNYOK KÖRÉBÖL.

K1.rnJA A j( AGYAR TuuoM.~~Yos A.KAui!:ma,

A Ill. OSZTÁLY RENDELETÉBÖL

SZEHKESZ'fl

SZABÓ JÓZSEF

OSZ'l'ÁL\''l'ITKÁll.

Hl. KÜTE'f. IX. SZ.Ül. 1879.

KUP- ^É~ UNGrnFELülETH

ÖNÁLLÓ FERDE VETÍTÉSBE-X.

SUPPAN VILMOS

SZ~KBLY-Ul>VA llllBL\:'1 FÖitK.\.f.t~l\.OLAI TAN..\Jl'l' Úf,.

KÉT TÁBLÁVAL.

(A III. osztály ülésén 18 79. okt. 20. bemutatta HuuyHdy J.)

9~,_.. ,... ,..._,....~„,,.)

-e; ,,,,,~!!}~'.;-

BUDAPEST, 1880 .

• Al\ADKMIA RÖNYVKlADÓ-UIVATALA.

,./ (Az akadémia épületében.)

K - ~ HEN ~Et ETEK

ÖNÁLLÓ FERDE VETÍTÉSBEN .

SUPPAN VILMOS

szt:KF.r,Y-UD"Anm:r.n FÖREÁLrSKor.Ar TAlÜRTÚL.

KÉT TÁBLÁVAL.

(A UI. osztály ülésén 18i9. okt. 20.bemutalt.n HnuynclyJ.)

BU : ,DAPEST , 1880 .

A M. TUD. AKADi;:M[A KÖNYVKIADÓ-HIVATALA. (Az Akadémia épliletébeu.)

Budapest, 1880. Az A t h e n a u m r. t:irs. könf''Uyomdája.

BEVEZETÉS .

• Az ábrázo ló geome tr ia fö lada ta az , hogy térbe l i a lak·

za toka t más , rendesen s íkbe l i a lakza tok á l ta l megha tároz- zon ; az á l ta la a lka lmazo t t ve t í tésmódok lényegökben nem egyebek a térbe l i a lakza toknak s íkbe l iekre va ló vona tkoz ta tá- sáná l sugárrendszerek seg í tségéve l . A ve t í tés vagy középpon tos (cen trá l is) vagy párhuzamos , a m in t a sugárrendszerek közép- pon t ja véges vagy vég te len távo lságban van . A párhuzamos ve t í tés meg in t ké tfé le : de rékszög ( í (or thogoná l is) , ha a

et t

sugarak a képs íkra

e le ese ;

ferde (k l inogá l is) , ha a kép - s íkka l ferde szöge t képeznek .

E

l

ve t í tésmódok közü l a legspeciá l isabb , a

e s

az , me ly könnyen á t lá tha tó okokbó l legkorábban

fe l tt

k i s leggyakrabban a lka lmaz ta t ik . A cen trá l is ve t í- tés soká ig csak aes tbe t ika i

^{te i tete l}

ápo l ta to t t a »per- spek t íva« neve a la t t , cle nem öná l lóan , hanem a

^{e s}

ve t í tésre támaszkodva . Még kevesbbé haszná l ták a ferde ve t í- tés t ; a szüksége t , me lye t pó to lha to t t vo lna , inkább axono- me tr ika i ábrázo lások á l ta l e lég í te t ték lr i .

U jabb

^{i e}

a cen trá l is ve t í tés ha ta lmas lendü le te t nyer t az ú jabb , vagy helyze t i geome tr ia mega lap í tása és fe j - lesz tése á l ta l , s ennek köszönhe t i , hogy ma már m in t öná l ló ve t í tésmód az

t e illet

he lyre ju to t t , s a

fe l s t

akadá- lyozó idegen támaszok tó l , neveze tesen a

e s et t st l

megszabadu l t . De a fe rde ve t í tés nem . d icsekedhe t ik i ly e red · ményekke l . Fe l ismer ték ugyan , hogy a hosszada lmas axono- me tr ia i ábrázo lásokhoz sokka l

e s e e

ju tha tunk ferde ve t í tés á l ta l ; igyekez tek l.s az igy ke le tkeze t t »para l le lper- spek t ivá t« az

el

szokásos tr igonome tr ia i ana lys is he lye t t

M. T. AK. }mTEK. A MA'l'H, 'l'UD.K BB L. 187 9. VII. k. 9.^{~ .}

1

~

4

^{SUPPAN VILMOS}

t isz tán geome tr ia i a lapra fek te tn i

^{1) ;}

de a

e s

ve t í tés- tö l függe t lenné, azaz öná l lóvá nem tehe t ték . Ennek az oka abban a körü lményben

e ese ,

hogy a

e s

ve t í tés m in tá jára a ferde ve t í tésben is ké t kép á l ta l ha tároz ták meg a térbe l i a lakoka t , me lyek közü l az egy iknek

e s e s

kedveér t

e s e

ke l le t t lenn i .

Ha s ikerü lne a ké t kép á l ta l i megha tározásmód he lye t t o lya t ta lá ln i , m i lyenne l a.z ú jabb perspek t iva (a cen trá l is ve t í tés) a térmenny iségek vég te lenben

^le

e leme iben b i r ,

akkor az o ly fe lada toka t , me lyek a he lyze t geome tr iá jába tar toznak , a ferde ve t í tésben is ugyanazon vona lcomb iná t iók á l ta l o ldha tnák meg , m in t a cen trá l is ve t í tésben 2) és a fe rde ve t í tés is öná l ló , a

t ie t l

függe t len ve t í tés-móddá

fe l

he tnék .

A vég te lenben

le

e lemeke t ugyan a ferde ve t í tésben nem haszná lha t juk , m in thogy párhuzamos

et t su

me l - le t t képök sz in tén a vég te lenben vannak ; de haszná lha tunk a képs íkon k ívü l egy ha tározo t t , véges térben

le

s íko t , hason ló módon m in t a d is tánc-s íko t a cen trá l is pro jec t ióban . Ezen eszmé t Peschka Gusz táv pend í té meg . A bécs i akadém ia tudós í tása iban meg je len t ér tekezésében

⁸⁾

fe j tege t i , m ikép lehe t a térbe l i pon to t , egyenes t és s íko t »öná l ló ferde ve t í tésben (( ábrázo ln i , s mego ld nehány , amaz

els

foku a lak- za tokra vona tkozó fe lada to t .

Ez ér tekezésemben az t a fe lada to t

^{t te}

k i magam- nak , hogy az öná l ló ferde ve t í tés e lve i t a kúp-és hengerfe lü- le tek ábrázo lására és s íkme tsze te ik megha tározására a lka l- mazzam ; kü lönösen meg akarom mu ta tn i azon

e s e s t se

ke t , me lyekhez a

et t su

irányának

ell

megvá l toz ta tása á l ta l ju tha tunk .

Azonban

iel tt

ezekre á t térhe tnék , röv iden

el

ke l l adnom az öná l ló fe rde ve t í tés e lve i t s össze ke l l á l l í tanom azon a lapfe lada toka t , me lyekre

s e

szükségem lesz .

') Staudigl, die o ~ et is e und schiefe Projektion. Wien1875, 20.htp.

•) Standig!, Über die Identitilt stb. (Sitzungberichte der kais. Akademie. Wien. 64. köt.)

3) Peschka: Freie schiefeProjection.(Sitzungsberichte75. köt. 18 77) ·

KÚP- ÉSHEN E 'EL LETEK ÖNiÍ.LLÓ FERDE VETÍTÉSBEN.

5

1. Az önálló ferde vetítés elvei .

1 . A képs ík ( 7T) m ind ig ado t t he lyze tben van és ra jz la- pú l szo lgá l . B izonyos ado t t , á l landó távo lságban (d is tanc) egy ve le párhuzamos s íko t képze lünk , a d is tánc-s íko t , me ly

tets le

ges ugyan , de egyszer meg tör tén t fö lvé te le u tán vá l toza t lan . A térmenny iségekneK

n

képs ikban

fe

eleme i t , vagy is :n :-ve l va ló me tsze töke t , nyomoknak nevezzük ; a D. d is tánc-s íkka l va ló me tsze teke t d is táncme tsze teknek , - a d is táncme tsze tek képe i t d? 's tánce lemeknek h iv juk .

¹⁾

A nyomok és d is tánce lemek á l ta l a térbe l i á lakza tok a et t su ado t t iránya me l le t t töké- le tesen meg vannak ha tározva .

2 . A

et t su

irányá t az ábrázo lásná l a

et e

módon fog juk megha tározn i . Képze lünk a d is táncs ík va lame ly P pon t jábó l' egy PP

1

J_

n

egyenes t és egy PP '

et t su t

vonva . Az

els

a képs íko t P1 -ben me tsz i , a más ik P '-ben ; P1 a P pon t

e s

képe , P ' a ferde képe , me lye t ezu tán röv iden csak képnek fogunk nevezn i , ez a la t t m ind ig ferde ve t í tés á l ta l nyer t képé t ér tvén . Képze l jük a P

1

-né l derék-

s

P P

1

P ' háromszöge t P

1

P ' befogó ja körü l n-re fek te tve , akkor benne eszköz t nyerünk , me ly lye l a

et t su

irányá t s a d is táncs ík he lyze té t megha tározha t juk . Ez t a háromszöge t ve t í tés-háromszögnek nevezzük s ado t tnak tek in t jük nagyság és· he lyze tre nézve , azaz : az ado t t PP

1

P ' ve t í tés-háromszöge t (1 . ábra) e lmozd í tha t juk ugyan a n -ben , de csak is

els

he lyze- tév . e l párhuzamosan .

3 . A térbe l i pon t ké t ra j ta

t e

egyenes által meg van ha tározva . Ha az egy ik egyenesnek a pon ton

t e et t

sugara t vesszük , akkor mondha t juk , hogy a pon t a képe s egy ra j ta

t e

egyenes á l ta l meg van ha tározva .

4 . Az egyenes t megha tározzuk N '

9

nyoma és D '

9

d is tánc- pon t ja á l ta l (1 . ábra) . Ha D '

9

-né l a PP

1

P '-ve l összevágó és

') Peschka a distáncmetszeteket clistáncelemeknek, s képeiket megkülönböztetési.U irányelemeknek (Fluchtelemente) nevezi. Én ezt az utóbbi elnevezést nem tartom helyesnek, mivel az irány (Flucht) csak a végtelenben fekvö elemekre vonatkozhatik, nem pedig a véges távol!ág- ban levö distáncelemekre.

,, 1

6

^{~O AN VJLMOS}

párhuzamosan

fe

D 'oD

1

D '

9

háromszöge t szerkesz t jük , s ez t D

1

D 'J körü l fö lá l l í t juk , m íg r r - re

e le es,

akkor a fe lá l l í to t t D '

0

pon t az egyenes d is táncme tsze te . Ez , meg a nyom töké le- tesen megha tározzák a térbe l i g egyenes t .

A D

1

pon t nem egyéb a d is táncme tsze t c le rékszögü ké - péné l s igy D i N '

9

az egyenes

^{e s}

képe ,

^,Q1.

Ha az egyenes a képs íkra

e le es,

akkor az N '

9

D '

9

a lap távo lság

^{e e l}

és párhuzamos P

1

P '-ve l ; mert P , P nem egyéb a n-re

^{e le es}

PP

1

egyenes képéné l , párhuzamos ve t í tés me l le t t ped ig

^{e e l}

és párhuzamos vona lrészek k í lpe i

e e l

és párhuzamosak . A párhuzamos ág a la t t i t t egy- irányuságo t is értünk; az irány t akár az N '

₉

nyom tó l , akár a D '

₉

d is táncpon t tó l szám í tha t juk .

Ha az egyenes a képs íkka l párhuzamos , akkor nyoma és d is táncpon t ja a vég te lenben van. Ez ese tben megha tároz- ha tó egy ik pon t ja (3 ) és képe á l ta l , me ly lye l párhuzamos.

Ha az egyenes párhuzamos a

^{et t su l,}

képe egy pon t .

5 . A s íko t megha tározzuk

na

nyoma és

da

d is táncvona la á l ta l (1 . ábra) . M ive l ó

¹¹

: ir-ve l , azér t a

^da

d is táncme tsze t

11

az

^na

nyomma l , s igy képe , a

^{d' a}

c l is táncvona l i // na_va l . Ha d '

a

va lame ly D ' , , pon t jához a ve t í tésháromszöge t ra jzo l- juk s fö lá l l í t juk , akkor D

0

-ban a c1 is táncme tsze t egy ik pon t já t kap juk , me ly na egyenesse l együ t t a térbe l i s íko t meg - ha tározza .

A Di-en

t e

d

1 //

na egyenes a c1 is táncme tsze t derék-

s

képe .

A s ík

^{e le es}

r r - re , ha keresz tü l megy egy :r-re

^e

leges egyenesen . Ha párhuzamos r r -ve l , akkor

~

van ha tá- rozva egy ik pon t ja á l ta l . Ha párhuzamos a

^{et t}

ugána l , akkor d ' a összees ik n a-va l ; a s ík képe egyenessé vá l ik .

6 . Egy az a s ikban

le

h egyenes N ,, nyoma a s ík

11

a nyomában , D '„ d is táncpon t ja a s ík c l ' a d is táncvona lábau van (1 . ábra) .

Ezér t ké t , (nac l ' J ^{és ( n(J d '? ) s ík me tsze té t kap juk , ha}

(2 . ábra) az

^{na n(J}

nyomok N,„ me tszéspon t já t összekö t jük a

d'a

c l '

(J

d is táncvona lak D ' , , . me tszéspon t jáva l . Az N . , . a me t-

szésvona l nyoma , D ' , , . a d is táncpon t ja .

KÚP- ÉS HENGERFELÜLETEl{ ÖNÁLLÓ FERDE VETiTÉSBEN.

7 Ké t s ík párhuzamos egymássa l , ha az (

¹¹ a

n

{J)

távo lság

e e l

és

e tel

a

~

) távo lságga l .

7 . Egymás t

ets

egyenesek ugyanazon s íkban vannak ; ezér t a nyoma ika t

ss e t

N

₉

Nh egyenes párhuzamos a d is táncpon t ja ika t

ss e t

D '

₉

D ' , , egyenesse l . Ugyanez á l l az egymássa l párhuzamos egyenesekre is ; ezekné l azonk ívü l g '

¹¹

h ' -ve l .

Ado t t (P ' ,h ') pon ton á t úgy szerkesz tünk párhuzamos t egy ado t t (LV

₉

D '

₉⁾

egyenesse l (4 . ábra) , hogy

el

D 'h-en á t k

¹¹

g egyenes t ra jzo l juk , s N

₉

Nk

¹¹

D '

₉

D '

^h

egyenes seg í tségé- ve l az Nk nyomá t keressük ; a kerese t t l egyenes k és hegye- nesekke l ugyanazon s íkban van , l ' képe

¹¹

g '- te l , s igy N; nyoma az NkN , , egyenesben , D '

₁

d is táncpon t ja az D '„ D '

₁11

N,, N„

egyenesben feksz ik . N p

¹

A P ' pon t osz tásv iszonya D : P ' va lamenny i ra j ta t e egyenesre nézve á l landó .

^h

8 . Ado t t g egyenes á tdöfésé t ado t t a s íkka l úgy kap- juk , hogy ha (3 . ábra) a

g-n

keresz tü l (

~

d '

^~)

s íko t fek te- tünk , s az a{J s íkok (N D

_m.

' )

_m.

me tsze té t keressük . Ennek me tszéspon t ja a g egyenesse l ad ja a kerese t t á tdöféspon to t .

Az egyenes párhuzamos a s íkka l , ha párhuzamos va la- me ly a s íkban

^le

egyenesse l .

9 . Sok ese tben szükséges , hogy az egyenes t a képs íkra fek tessük ; ez t á l ta lában bárme ly az egyenesen

t e

s íkka l tehe t jük , de legczé lszerübben az egyenes va lame ly

et t s

já t haszná l juk .

Mi

or thogoná l is

et t s l

akar juk az egyenes t a képs íkra fek te tn i , akkor

i e e el tt

az egyenes 9

₁

or tho- goná l is képé t keressük (5 . ábra) . A d is táncpon t D

₀

lefek te- tésé t kap juk , ha a D

₀

D11_9

1

egyenesre reámér jük az ado t t d is tánco t (D1 D ) . A D

0

N lesz az egyenes

lefe te~ se

9

₀^•

Bár- me ly az egyenesen

fe

pon t A

0

lefek te tésé t nyer jük , ha A 'A

011

D 'D

0

egyenes t vonunk ; s v iszon t a B

0lefe tet s l

a B ' képe t a B

0

B '

¹¹

D

0

D ' egyenes seg í tségéve l nyer jük . - A D

0

ND

1

szög az egyenes ha j lásszöge a képs íkhoz .

Mi

ferde

et t s l

akar juk az egyenes t : ;r-re fek te tn i , akkor 9

¹

a forgás tenge ly (6 . ábra) .

Mi e e el tt

a

,

8

^{SIJPPAN VILl\IOS}

Dpon t D

₁

or thogoná l is képé t keressük ,

^{el l}

D iRJ_g ' és D

1

D '

₀

!I g ' egyeneseke t von juk ; ha D '

₀

D

1

-et

^{e e l}

tesz - szük a DD

1

d is táncca l ,akkor D

¹₀

R a d is táncme tsze t

'-t l

va ló távo lsága . Mos t RD

₀

-t

e e l

tesszük RD '

0

- la l ; D

0

lesz a

D pon t lefek te tése , D

₀

N az egyenesé .

Azonban

e s e e

is kapha t juk a D

0

pon to t . - Ugyan is a g ' körü l i lefek te tés a lka lmáva l az egyenes és g ' v iszonyos he lyze te nem vá l toz ik s igy a DD ' távo lság sem , me ly lye l tehát egysze r i í .en

^{D'- l}

á tme tsszük az RD

1

egyenes t . A D ' D

0

nem egyéb az egyenes d is táncme tsze téhez tar tozó

et t su

lefek te téséné l .

10 . Adott (na d 'a ) s íknak képs ík .hoz va ló ha j lása szögének megha tározása vége t t o ly s íko t szerkesz tünk , me ly

e le es a

és

^7l

me tszésvona lára , na_ ra . E s ík magában fog la l egy 7 t - re

e le es

D

₁

D ' egyenes t (7 . ábra) ,s

np

nyoma , meg d 'P d is tánc- vona la

e le ese

n 'a_ re . E s ík az a s íko t egy na_ra

e le

ges e egyenesben me tsz i , me lynek ha j lásszöge

e e l

az

a

s íkéva l ; ezér t az

e

egyenes t :ND

1

or thogoná l is képe körü l lefek te tvén , D

₀

ND

₁

szögben a kerese t t ha j lásszöge t kap juk . Ha D

₀

N„ l_ND

₀

vona t ik , akkor D

0

N„ nem egyéb azon n egyenes lefek te téséné l , me ly a D pon tban az

a

s íkra

e le es.

Ezen egyenes képe N„D ' .

2 . A kör önálló ferde vetitésben .

11 . Adva · van egy . kö1· (nd ') síkjával va l6 le fek te tése á l ta l; ha tározzuk meg a kör fe1 ·de ve t í tés á l ta l nyer t képé t , ha a ve t í tösugá1 · frdnya a PP1P ' ve t í tésháromszög á l ta l ada t ik (8 . ábra) .

A kör ferde képe e l l ips is , me ly a f f in rokonságban van a

kör lefek te téséve l ; a körs ík nyoma az aff in i tás tenge lye . -

E szer in t

^{le e s e e}

úgy kap juk a kör képé t , hogy a

lefek te te t t kör a f f in rokona lakza tá t szerkesz t jük . E czé lra

megha tározzuk az aff in i tás-sugarak irányá t ; az n-re

^{e le es}

s P1P '-en

t e

s ík seg í tségéve l az n-re

^{e le es}

e egyenes

R .P képé t keressük , s megha tározzuk N_P ' távo lság va lód i

hosszuságá t ,N .P ;-e t (10) . Az e egyenes

e le es

n -re , s igya

s íkka l va ló lefek te tése

e_o

is

e le es

n-re· , mos t N P

_{e o}

=N

_{e o}

P

KÚP- ÉS HENGERFELÜLETEK ÖNÁLT,Ó F1'RDE VETÍTÉSBEN.

9 tesszük , úgy P

₀

a P ' kép i . í pon t a s íkka l va ló lefek te tése s igy P P

₀

' az aff in i tás sugarak iránya .

Ha C

₀

középpon ton keresz tü l az A

0

B

0

l_n és D

0

E

011

n

t et

von juk , akkor az

^{els t}

képe

¹¹

e ' -ve l (ná lunk összees ik ve le ) , a másod ik

t 11

n -ne l . A középpon t s az AB pon tok képe i t e ' egyenesen , a DE pon tok képe i t a D ' E ' egyenesen nyer jük a pon tok

lefe tet sei l

P

0

P '- te l párhuza- mosan von t aff in i tássugarak seg í tségéve l . Az A 'B ' , D 'E ' távo l- ságok az e l l ips is kapcso l t

t i.

Az e l l ips is tenge lyek megha tározására a kör azon kap- cso l t

t t

ke ressük ,

~l e

képe is derékszöge t képez . E czé l ra a Cp ' egyenes

fele o t

LK l_C

0

C '

0

egyenes t von juk , me lynek n -ne l va ló

ets et l

egy , a C

0

C '

0

pon tokon keresz tü l

e

kör t ra jzo lunk . Ez az n nyomo t a k íván t

t

GH nyoma iban me tsz i . Az M

0

N , , l_R

0

S

0

azon

t ,

me lyeknek képe i M 'O ' , R 'S ' egymásra

e le

gesek s ezen okbó l e l l ips is tenge lyek .

12 . A körkép megha tározásáná l szükség te len a kört az n nyom körü l '.ll'.-re fek te tn i ; néha

e s e e

jutunk czé lhoz a körnek D 'E ' , '.ll'.-vel párhuzamos

t e

körü l i forgása á l ta l , me ly lye l a kört '.ll'.-vel párhuzamos he lyze tbe hozzuk . Az - a f : f in i tássuga rak megha tározására a B pon t képé t keressük , az á l ta l , hogy az N .P

0

'-en a C középpon t

lefo tet s t l

szá - m í tva a C '

0

B"

0

távo lságo t

e e l

tesszük a kör

ll el,

és a B"

₀

B '

¹¹

P

₀

P ' á l ta l az N .P-en a B ' képe t k ime tszük . Vagy ped ig C ' P '

₀=

C)) 'i té te tvén , P '

₀

P '-ben is az a f : f in i tás - sugarak irányá t kap juk . A sze rkesz tés lényegében ugyanaz marad , csakhogy mos t D 'E ' az aff in i tás tenge lye .

13 . Ha tározzuk meg a körnek a képs íkm ve te t t árnyéká t párh i tzamos fénysngarnka t véve (9 . ábra) . A kör adva van (nd ') s ík ja és lefek te tése á l ta l ; a fénysugarak iránya P 'N

1•

.A kör képé t 11 . szer in t sze rkesz t jük .

Fe lada tunk azonos ezze l : ado t t henger me tsze té t keresn i a képs íkka l . .A kör a henger

e et o l ,

a lko tó i

u~

mosak az adott fénysugárra l ; a henger me tsze te '.ll'.-vel ad ja a

kör árnyéká t . Azonban másképpen nézve a do lgo t , a kör ár-

nyéka nem egyéb a kör fe rde képéné l , me lyre nézve a fény -

sugarak a

et t su .

E szer in t megkap juk az árnyéko t , ha

10

^{SOPPAN VILMOS}

i '- le t

^{et t su u}

véve az ado t t kör ferde képé t szerkesz t- jük . A

et t su

vá l toz ta tása me l le t t a d is tance lemek meg - vá l toznak , a nyome lemek vá l toza t lanu l maradnak .

Az ú j aff in i tássugár megha tározására a P '-en keresz tü l párhuzamos t szerkesz tünk a fénysugárra l , me lynek P ' nyoma a P c l is táncme tsze t ú j képé t ad ja , úgy hogy mos t P

₀

P ' az aff in i tássugarak iránya . Ezze l a 11 . sze r . a kör a f f in a lakza tá t szerkesz t jük , tek in te t te l arra , hogy az n-re

e le es

PQ á t-

ú j képe a P"Q" .

A nyer t H"Q"G" l"P"F" e l l ips is aff in i tásban van a kö r - re l s az erede t i körképpe l . Ezen u tóbb i aff in i tásra nézve a sugarak iránya P 'P" . A ké t e l l ips isnek párhuzamos közös

i t i

vannak , F 'F" és G 'G" , me lyeke t a C 'C" egyenes lefek te tése seg í tségéve l pon tosan meg lehe t ha tározn i . E közös

i t

nem egyebek a fényhenger

^{s ls}

a lko tó iná l ,

^{illet le}

a

^{et t su l}

párhuzamos

^{i t s o}

nyoma iná l .

3 . Kúp- és hengerfeliiletek ábrázo lása .

14 . Egy kúpfe lü le t meg van ha tározva csúcsa és

e et

vona la á l ta l . Legyen a kúpv ' nyoma a

e et o l

(11 . ábra) és S ' a csúcs képe , megha tározva a rajta keresz tü l

^e

CP 'w egyenes á l ta l . A kúpa lko tók nyoma i v -beu vannak , igy az SA a lko tó-é A '-ban ;

^{e l}

megha tározha t juk az a lko tó B ' c l is táncpon t já t . Va lamenny i a lko tó d is táncpon t ja inak geome tr ia i he lyéü l egy a kúp nyomához hason ló és hason ló he lyze tü görbé t kapunk , a csúcs képére m in t hason lóságpon tra nézve . E görbe a kúp d is táncme tsze tének képe , me lye t röv iden d is táncgörbének nevezünk . E görbe egyszersm ind a kúpfe lü le t

i t s i o

tar tozó d is táncvona lak burko ló ja .

A hengerfe lü le tekné l a nyom és c l is táncgörbe összevágók és párhuzamos fekvésüek .

A kúpfe lü le t

^{s ls}

a lko tó i t nyer jük , ha a v ,

w

hason ló görbék közös

i t it

szerkesz t jük , M ' O ' és N ' F ' . Ezek a

et t su l

párhuzamos

i t s

nyoma i .

¹⁾

')Ez teljesen megegyez a centrálprojectió hasonló eredményeivel, úgy annyira, hogy ezt az ábrát centrálprojectiósnak is vehetnök; v. ö·

Fiedler, darstellende Geometrie 1871. 208. old.; Pescbka·Koutny freie Perspective 304. old,

KÚP· BS HENm:RFELÜLETEK ÖNÁLLÓ FERDEVET T;~SI E. .

11 15 . Ábrázo l j imk o ly egyenes kö1 ·kúpo t , me lynek a lap ja egy adott (na cl ' a) s ík !Ja n van (10 . ábra) ,

Mi e e el tt

az a lapkör képé t szerkesz t jük (12 .) . Azu tán egy

ct

s íkra me r !He -

ges egyenes képé t ke resvén , az N ,P egyenes N , P

₀

lefek te tésére va lame ly E•

₀

pon tban geome tr ia i lag

e le es

B '

₀

N,, egye -

nes t von juk , me ly egy a-ra e le es egyenes lefek te tése ' ; képé t kap juk , hogyha az N,, pon to t összekö t jük B '- te l . Ha ezen B 'N„ egyenesse l a C ' középpon ton keresz tü l párhuza- mos t vonunk , akkor a kúp tenge ly képé t kap juk , me lyen meg - ha tározzuk a csúcs S ' képé t .

A

s ls

a lko tók megha tározására a

et t su l

párhuzamos i t s o t szerkesz t jük . A csúcson keresz tü l

e et t su

az a a laps íko t á tdöf i egy pon tban , me lynek képe összees ik S '- te l . Ezér t .S ' -e t a s íkban

fe

pon t képének tek in t iük

_J

s lefek te t

_J

iük D 'E ' körü l ,· az S

0^{lefe tet s l}

S M

0 O)

8

₀

N

₀ i t et

szerkesz t jük a kör lefek te té séhez , s ezeknek képe i t keressük , azá l ta l , hogy a D 'E ' aff in i tás- tenge lybe

es

uv pon t juka t egyszer í íen

ss e ~

.S '- te l . Ezek az

i t s o

me tsze te i az

^ct

s íkka l ; m in thogy azonban az

^{i t}

s íkok párhuzamosak a

et t su l,

ezér t S ' M ' és S ' N ' egyszersm ind nyomok és

^{s ls}

a lko tók is . Az e l l ips is t az M ' , N ' pon tokban ér in t ik : ezeke t ped ig M

₀

N

₀

bó l kap juk a f f in i - tás sugarak segé lyéve l .

16. Ha tá1·oz z i ik meg az egyenes kö1 ·kúp sa já t és ve te t t á l '1 iyéká t párhuzamos fénys i igarnka t véve (10 . ábra) . A fény - sugarak irányá t a D 'v S"v egyenes je lz i , me lye t egyszerüség kedvéér t m ind jár t a kúp csúcsán fek te t tem keresz tü l ; az S ' ' nyoma ad ja a kúp csúcsának árnyéká t a képs íkon . A saját árnyék megha tározására a fénysugárra l párhuzamosan

^{i t}

s íkoka t szerkesz tünk , me ly czé lra a csúcson

^{t e}

fénysugár A ' á tc löfésé t keressük az a lap s ík jáva l (az S

2

cp ,D '"o segéds ík seg í tségéve l) , s

^{A'- l}

A ' R '

₁

A ' Q '

^{i t et}

szerkesz t jük az a lap képéhez . Ezen

^{i t}

szerkesz tésére lef ek te t jük az A pon to t ; A

₀

bó l

i t et

vonunk az a lap lefek te téséhez s a nyer t A

₀

R

₀^,

A

₀

Q

0 i t et

v isszaforga t juk . Az A ' R ' , A ' Q '

i t

nem egyebek a fénysugárra l párhuzamos

i t s o

nak az a laps íkka l va ló me tsze te iné l ; enné lfogva ha táro l ják

a kúpnak az a laps íkra ve te t t árnyéká t . Ez megszakad az a lap-

,,

., 11

12

^{SUPPAN VILMOS}

s ík na nyománá l és á t tör ik a képs íkra ( U ' S" V ') . Az

i t

s íkok R ' S ' és Q ' S ' ér in tésa lko tó i a sa já tárnyék ha tárá t képez ik .

Ugyanezen a módon szerkesz the t jük a kúp megv i lág í tásá t egy pon tbó l k i indu ló fénysugarakra nézve , s megfe j the t jük a tárgya l t fe lada toka t a hengerfe lü le tekre nézve , szem

el tt

tar tva , hogy a henge r fe l i i . le tek o ly kúpfe lü le teknek tek in ten·

)

me lyeknek csúcsok a vég te lenben van . 4 . Kúpok síkmetszetei.

17 . Kúpok s íkok á l ta l o ly gö rbékben me tsze tnek , me lyek perspek t iva i co l l ineá t ióban vannak a kúp a lap jáva l (vagy más s íkme tsze téve l ) . Neveze tesen , ha a kúp a lap ja (vagy va la- me ly s íkme tsze te ) kör vagy e l l ips is , akkor

R

me tsze t e l l ips is , parabo la vagy hyperbo la a szer in t , a m in t a kúp csúcsán ke- resz tü l a

ets

s íkka l párhuzamosan veze te t t s ík a kúpo t nem me tsz i , ér in t i vagy me tsz i . A me tsze t képe cen trumos co l - l ineá t ióban van az a lap képéve l ; a csúcs képe a co l l ineá t ió középpon t ja , a

ets

s a laps ík me tszésvona lának képe a co l l ineá t ió tenge lye . Az e l len tenge lyek ezek : a csúcson keresz- tül az a laps íkka l párhuzamosan veze te t t íknak a

ets

s íkka l va ló me tszésvona lának képe , és a csúcson keresz tü l a

ets s l

párhuzamosan veze te t t s íknak az a laps íkka l va ló me tszésvona lának képe .

¹⁾

Ezen cen trumos co l l ineá t ió a lap ján könnyen szerkesz t- he t jük a me tsze t képé t az ismere tes módokon . Lehe t azonban a do lgo t még

e s e

tenn i az á l ta l , hogy egy ú j ve t í tösu · gara t vá lasz tunk) me ly párhuzamos a

ets s

va lame ly egyeneséve l; ezá l ta l a

ets s et t s

vá l ik s a me tsze t képe a s ík nyomába es ik ,

el l

azu tán könnyen megha tá- rozha t juk az erede t i képe t .

Legyen adva egy ferde kö rkúp (14 . ábra) , me lynek a lap ja az (na d ' a ) s íkban van s me lynek csúcsa a ( D '

₉

N

₉⁾

egyenes á l ta l van megha tározva . Fe lvesszük az (

~

d '

~

) , e l·

l ips is szer in t

ets

s íko t s keressük a me tsze t képé t . U j

etit

sugárú l az a(J s íkok (N , „ D 'm) me tsze té t vá lasz t juk , m ive l

') L. Fiedler i.h. 215. old.

KUP-ÉS HENGERFELÜLETEK ONÁLLO FERDE VETÍTÉSBEN.

13 enné l nem csak a me tsze t , hanem az a lap is egyenesbe fog ve - t í t te tn i . Az a lap képé t kap juk , ha az a lap képéhez N ;"D ' ,„- te l párhuzamosan

^{i t et}

szerkesz tünk (a leforga tás seg í tségé . ve l) ; az · F"G" köz (S trecke) , me lye t az F 'F" , G 'G"

i t

az a laps ík na nyomán leme tszenek , lesz az a lap ú j képe . A csúcs ú j képé t az S ' -en keresz tü l az ú j

et t su l

párhuzamosan von t egyenes S" nyomában kap juk ; s igy S ' 'F ' ' G" a kúp ú j képe , és n

~_

azon köze , me ly e háromszögben fog la l ta t ik , ad ja a me tsze t képé t {f"g") . Az f" g" pon tokbó l v isszave t í tés á l ta l az F ' S ' , G ' S ' a lko tókon az J'g' ^{pon toka t kap juk ;} f ^{g '}

^{elli is t ,}

^{me ly ' .a cen trumos co l l ineá t ió a lap ján a}

homo log F ' G ' - te l a co l l ineá t iós tenge ly ugyanazon 1/J ^{pon t jában}

ta lá lkoz ik . A ve le kapcso l t

t 11

D 'm N;„- mel; megha tá- rozására fe lezzük az f ' ^{g ' -e t a e ' pon tban , me lyhez az S 'c ' co l -}

l ineá t iós sugárra l a homo log C ' pon to t keressük ; ezen keresz- tü l H J '

^/1

NmD '.,,. egyenes t von juk , me ly a kapcso l t

t

homo log egyenese ; hogyha ennek az e l l ips isen

fe

H ' , J ' pon t ja i t összekö t jük az .S ' - te l , úgy a h ' i '

¹¹

N ,„ D '„ , egyenesen a kapcso l t

t

h ' i ' végpon t ja i t kap juk . Ezen pon toka t az ú j

l

is szerkesz the t jük az ábrábó l lá tha tó módon .

Bárme ly B S a lko tón megkap juk az e l l ips ispon to t , hogy ha az a lko tó B" S" ú j képé t ke resvén , az i t t nyer t b" á tdöfés- pon to t v issza ve t í t jük a B ' S '-re ; a b'cp

i t t

a b pon tbe l i

i t s

fJ ^{s íkka l va ló}

^{ets s l}

^{kap juk , vagy a co l l i -}

neá t ió a lap ján : a b ' homo log B ' pon t jában B 'cp

i t t

vonunk , . me lynek cp me tszéspon t já t a co l l ineá t iós tenge ly lye l össze -

kö t jük ab ' pon t ta l .

18 .Még

e s e

az e lv

l l s , i

a kúp nyoma és d is táncgörbé je á l ta l van megadva (14 ) : Legyen (12 . ábra)

v'

a kúp nyoma ,

w'

a d is táncgörbé je és S ' a csúcsa ; (

n(t

d 'rr ) o ly s ík , me ly a kúpo t hyperbo lában me tsz i. A kúp csúcsán á t (3 -va l párhuzamos (ny d ' r ) s íko t veze tünk , me ly a kúpo t az A ' S ' , B ' S ' a lko tókban me tsz i . Ezen ese tben a (3 s ík bárme ly vona la lehe t

etit su ;

a kúp csúcsának ú j képe az n y -ban lesz , pé ld . S S"

et t su t

véve S"-ben . Az

S - l

v -hoz szerkesz te t t F ' S" , G ' S ' '

^{i t}

az ú j kép

s ls

a lko tó i , me lyek az n p. bó l a me tsze t f ' ^{g" képé t k ime tsz ik . Az} f"

^{- l}

v isszave t í tés á l ta l f ' ^{g ' pon toka t kap juk , me lyekbeu az}

^{i t}

,li

1 ·

14

^{S AN VlLMOS.}

párhuzamosak S ' S"-ve l ; azaz j ' g ' egy t . Va lame ly K 'S ' a lko tó k ' á tdöféspon t já t kap juk , ha K ' S ' ' ú j képének n

~- l

va ló k" me tszéspon t já t v issza ve t í t jük ; az

i t t

a k ' pon tban a co l l ineá t ió a lap ján kap juk . A hyperbo la assymp to tá i t az A 'S ' , B 'S ' a lko tók szo lgá l ta t ják ; u j képök az

ny

e l len tenge iybe es ik . Ha A 'B ' pon tokban a körhöz

^{i t et}

szerkesz tünk

1

s ezeknek

~_ l

va ló 8 g> me tszéspon t ja in á t párhuzamosaka t vonunk A ' S ' ,

^{illet le}

· B ' S ' - te ] , úgy ezek az assymp to ták , me lyek á tmennek az f 'g '

^t

C '

fele o t ,

a hyperbo la középpon t ján .

19 . A 13 . ábrában bemu ta tom ahason ló ada tok a lap ján szerkesz te t t parabo lame tsze te t . A csúcson

e es t l e ,

(:J

ets s l

párhuzamos s ík .a kúpo t az S ' G ' a lko tóban ér in t i ;

vagy más szóva l , az

ny

e l len tenge ly a kör t ér in t i . A sze rkesz -

tés i t t is ugyanaz , m in t az

el i

ese tben .

.fu / l / lf l l l

ll/1110J',

kúp

^f'J'

h f ' l l , f {" r fé f i i /d rk

^J'ttl.

I

P. (/

'·

/ I

I _---

' '

--

.._,_/')( ~ fl :-o'- ¹

p

8 .

, .,,

I

D,

-,_,_ \

)>;„... \

!f '--~ \; .B.^{„... „ \}

...

\:

IJ.

}! f !Ah . ln a ma:k. zvd korebol f t!9. T/lJ l : 9 sz

s--...

i Í

I

e' /

I /

' I

.„

' _-- , , _-* . t . ---

' / ,1 -... „...

1,,,,/

,1 ...

'

¹

'

_\

\

_\

' ' '

1f -

4=.

9 .

n.

l .Jáh la

d

"

7.

· --

lf.p

Su1 1m1 T í lmos , la íp -ú hm. "llféúildek sat .

il 71

'

II I

I^I

II // I/

II II II II I ', I '

If II I 1I

'~

I '

I '

/ I/ I

I

/

II II

'

I

/

1I

'~

llf. l ' f lh lr t a maríi. zud. korebJ l I f P9. W! lu 9 sz.

Í

I

i

1

,,·',,,

~

11"'

'~

P'

12 .

I /

d2

f f . t t íh la

Edd ig k i i lön megje lent

ÉRTEKEZÉSEK .

a ma . thema t ika i tudományok kö rébö l .

E l s ö kö t e t .

1. Szily Kálmán. A mechanikai hó-elmélet egyenleteinek általános alakjáról. Székfoglaló. 10 kr. II. Huny a tl y J enö. A pólus és a polárok. .A. viszonyos polárok elve 20 kr. III. Vész János A.Biztositási kölcsön (újlet i to~it si nem) . 20 kr. lV. Kruspér István. A Schwertlt·féle Comparator múdositott alkalmazása 10 kr. V. Vész~ os A.Legrövidebb t:ívolok a körkúpon. Székfoglaló. 10 kr. VI.Tóth .A.goston. Az európai nemzetközi fokmérés és a körébe tartozó

goedaetai munkálatok 20 kr. VII.Kruspér István. A párisi meter-prototyp . 10 kr. VIII.König Gyula. Az elliptika.i függvények alkalmazásáról a magasabb

iokuegyenletek elméletére . 20 kr. IX.Mu _r ~ a n_ n ~ ost. Európa bólygó elemei• annak tíz elsö észlelt szem-

benallasa szermt . : . . . . 20 kr. X. Szi1yKálmán:· AHamilton-féle elv és a mechanikai elmélet máso-

dikf tétele . . . . 10 kr. XLT 6t h Ágoston. Aföldképkészités jelen állá•a., a mint az képviselve volt az t e ~ .i klállitá ön. Két táblával . 20 kr.

„„ . . , ~ }l ~ - i kö te t .

I.;\fur ma n n· .A.gost.~ i bolygó feletti értekezés 30 kr. II. K r u s pér Istvari.'·Acompa.ratorokról 1 Okr. III. K r us p ér István. A vonásos hosszmArtékek összel1asonlitása. folya.

dékban . 10 kr.

IV. Feszt V. A közlekedési müvek és v.1nalok 20 kr. V.M ur ma nA.. Az 1861. nagy ~t s pályájának meghatározása 20 kr. VI. Kruspér J. A párisi levéltári. méter-rúcl • 10 kr.

Harma< l ik kö te t .

I.Vész János Ármin. Adalék a visszafutó sorok elméletéhez. . 10 kr. II.K o n k o1y Miklós. Az ó-gyallai c;illagda leírásas abban történtnap- foltok észlelése néhány spectroscopicus észlelés töredékeivel. 1872. és 1873. Három táblával. 40 ki:. III.Kondor Gusztáv. Emlékbeszéd Herschel János k. tagfölött . 1Okr. IV. B.E ö t v ö s Loránd. A rezgések intenzitása, tekintettel a rezgéa. forr:isnak^~ az észleWnek mozgására . ll•kr. V. Réthy dló r. A Diffractio elméletéhez . 12 kr. VI.Martin Lajos. Az e iit i csavarfelületek. - A vízszintes szél- kerék elmélete. Két értekezés 1 frt VII. Ré t h y M 6 r. A kerületre redukálhatófel let-e s le~e elméletéhez

15 kr. VTTI.G a.lgó czy Ká. r o 1y. Emlékbeszéd Vállas Antal k.ta!,l' felett. 10 kr.

Negyed ik kö te t .

I. Schu 1h ofLipót. Az 1870. lV.sz. Üstökös definitív pályaszámitása 10 kr. II. SchulhofLipót.Az 1871. II.iz.Üstökös definit1v pályaszámitása.10 kr. III. Sz i1 y Kálmán. A elmélet második f(hétele,levezetveaz^{els l} 10 kr. IV. K o n k o 1 y }Iiklós. Csillagászati megfigyeléseim 1874 és 187?·ben. 50 kr.

V. Konkoly Miklós. Napfoltok megfigyelése az ó-gyall.ü csil htgdábHn. 40 kr. VI. Huny adie . A. kúpszeletenfe hat pont feltételiegyenletének

l alakjairól .· . 20 kr.

VII. Réthy Mór. A három méretü homogén tér(u. n. nem euklidikus) siktani trigonometriája. 20 kr. VIII. Réthy Mór. A propeller és peripeller felületek elméletéhez. ::!O kr. IX. Fe s t Vilmos. Temesi Reitter Ferencz emléke 10 kr.

Ö töd ik kötet .

I. K o n do r Gusztáv: Emlékbeszéd Nagy Károly r. tagfelet~ • 1o kr. · II. Ken e"s e y Albert. Adatok folyóink vízrajzi ismeretéhez . 20 kr. HLDr. Hoitsy Pá1. Csillag-é•zlelés a kelet-nyugat vonalban (egy szám-

táblával.) ::!O kr.

IV. Huny ady e . A kí1pszeletenfe hat pont feltételi egyPnletének

l alakjairól. (Folytatás aIV.kötetben ugyane czim alatt meg- jelentértekezésnek.) . 1O kr. V. Huny ady e . Apollonius feladata a l!'Ömbfelületen . 10 kr. VI. Dr. Gr u ber La,ios. 24'1 Cas•iopeiae kettlS• csillago ~ l . 10 kr. VII. Martin Lajo•. A változtatási hánylat alkalmazása a propeller-föli\let egyenletének lefejté•ére. . 20 kr. VIII. K o n k o 1 y Mik 1 6 s. A. teJ.ies hold fog.vatkozás 1877. fehrmi.r 27-én és az 1877. (Borelli) I. szlimu üstökös színképének mPgfigyelé•e az ó-g.val!ai csilliigdlin. • 10 kr. IX. K o n k o 1 y Miklós. A napfoltok sa nap feli\letének kinézé•e 1876-ban (három képtliblával.) . 40 kr. X. K o n k o 1yl\fiklós. 160 álló csillag szinképe. JIIpgfigyeltetett az

ó-gyallai n„illagdán 1876 ban 20 kr.

Ha tod ik kö te t .

I. K o n k o 1 y Miklós. Hulló csillagok. megfigyelése a magyar kornna területén. I. rész. 1871-1873. Á.ra • 20 kr. II. K o n k o 1 v Miklós. Hnlln t·•illa•rnk megfigyelése a magyar kornna terület411.

· r r .

rész. 1874-1876. Ára . . . . . . DOkr. III. Az 1874. V. (Bnrelly-féle) Ü'stökö• clef\nitiv l it ~ . Közlik dr. G r u be r f,aj o s és K u r 1ii. n cl ^Ar I~ n á c z kir. ohservato1·ok. 10 kr. IV. S ehe n z l Guiclo. Lehajlás meghatározások Budapesten éR Magyar-

ország délkeleti részében. 20 kr. V. Gruber Laios. A november-havi hullócsilla!!'okról . 20 ln-. VI. K o n k o 1 y l\1iklós. Hulló csilla!!'ok megfigyelése a magyar korona teri'i- letén 1R77-ik évben. III. Rész. Á.ra . . . . . . . . 20 kr. VII. K o n k o 1 y 111 i k 1 ó s. A napfoltok és a napfelületének kinézé•e

1877-ben. Á.ra 20 kr.

VU!. Konkoly Miklós. ll!ercurátvonulása. a napel tt. Megfigyeltetettaz ó-gyallai csillagdán l878. május 6-án 10kr.

Heted ik kötet .

I.Konkoly Miklós. Mars felületéneK megfigyelése az 6-gyallai csillng·

dán az 1877-iki opp0siti6 után. Egy táblával. . 10 kr. II. K o n k o 1 y Miklós. Alló csillar;ok szinképének mappirozása. 10 kr. Ill.K o n k o 1 y Mik 1 6 s. Hul]ócsillagok megfigyelése a magyar korona terl\letén 1878-ban.IV.rész. Ara 10 kr. IV. K o n k oly Mik 1 ó s. A nap felületének megfigyelése - ~ az ó-gyallai csillagdán. • 10 kr. VI. Huny ady J'e . A Möbius-féle kritériumokról a kúpszeletek elmé-

letében. lOkr.

VII. K o n k o 1 y Mik 16 s. Spectroscopicus megfigyelések az 6-gyallai c•il-

lagvizsgálón 10 kr.

Budapest, 1ss:)"Az -Athe na;;;-m r. társ köuyvnyomctáia