Idősorok vizsgálata modellek segítségével
A viszonyszámokon túl lehetőség van az időbeli alakulás modellezésére is.
Az egyik legegyszerűbb vizsgálati módszer a determinisztikus idősor elemzés. E szerint az idősorban matematikailag jól kezelhető, hosszú távú trendek vannak. A determinisztikus idősor elemzés leggyakrabban alkalmazott modellje a dekompozíciós idősor modell. Ez azt feltételezi, hogy az idősorok alakulását négy fő összetevőre bonthatjuk.
1. Trend (T): hosszabb időszakon át, tartósan meglevő tendencia (átlagos mozgásirány).
Ez az alapirányzat, amit a vizsgált jelenségre ható alapvető gazdasági, társadalmi tényezők alakítanak ki. Az idősorok legfontosabb összetevői.
A trend meghatározása történhet a mozgóátlagok módszere alapján, illetve analitikus trendszámítás segítségével. Trendszámítás során célunk az idősor kisimítása.
2. Szezonalitás (S): szabályos ingadozás a trend körül, amely rendszeresen ismétlődő hullámzást jelent. Általában egy éven belül jelentkezik, természeti tényezőkkel, társadalmi szokásokkal magyarázható (például télen több gázt fogyasztunk, nyáron kevesebbet).
3. Ciklikus komponens (C): kevésbé szabályos, hosszú ingadozások a trend körül.
Ilyenek például a konjunktúra-ciklusok vagy Kitchin-, Juglar-, és a Kuznets-, Kondratyev ciklusok. Vizsgálatához hosszú idősor kell. Ennek a komponensnek a vizsgálatával a bevezető kurzuson nem foglalkozunk.
4. Véletlen tényező (E): az eddigi összetevőkkel nem magyarázható szabálytalan ingadozások.
Az, hogy milyen komponensek (trend, szezonalitás) vizsgálatával, illetve az egyes összetevők jellemzésére milyen módszert választunk az idősor grafikus ábrázolásából nyerhetünk információt.
Az alábbi ábra alapján azt sejtjük, hogy a színházi előadások száma esetén trendet kellene vizsgálnunk, míg a szállodai bevétel esetében szabályos hullámzást látunk, ami azt sugallja, szezonalitást és trendet (e körül zajlik a szabályos hullámzás) kell vizsgálnunk. E modellcsaládban ahhoz, hogy a hullámzást vizsgálni tudjuk, szükségünk van a trend meghatározására, így az idősorok elemzése a trend meghatározásával kezdődik.
Trend meghatározása
Trend meghatározására vagy analitikus trendszámítást vagy a mozgóátlagok módszerét alkalmazhatjuk.
Analitikus trendszámítás
Ennél a módszernél a trendet, mint az időfüggvényét határozzuk meg valamilyen függvényforma (például lineáris, exponenciális, parabolikus, logisztikus) használatával.
Ilyenkor a trend leírása egy Trend(t) vagy 𝑦̂(𝑡) függvényegyenlettel történik.
Míg az átlagos növekedési mérték és ütem használata esetén az előrejelzési pálya egy olyan görbe volt, amely a vizsgált időszak első és utolsó pontján haladt keresztül, addig az analitikus trendszámítás módszertani háttere a legkisebb négyzetek módszere (LNM), ettől különbözik: az itt kapott görbék nem feltétlenül mennek az eredeti adatpontokon. Az analitikus trendszámítás célja olyan görbe illesztése, amelyek a lehető legjobban illeszkedik az eredeti pontokra. Ha ábrázoljuk az idősorunkat (eredeti y értékeket a t értékek függvényeként), akkor a pontokra végtelen sok egyenest lehetne rajzolni. A lehető legjobb illeszkedés ez esetben azt jelenti, hogy amikor az eredeti y értékeket akarjuk becsülni az
) ˆi f(ti
y értékekkel, akkor a becslés ei hibáját szeretnénk minimalizálni:
min ˆ )
(
1
2 1
2
ni
i i n
i
i y y
e .
LNM illesztés szemléltetése
Ennek a szélsőérték feladatnak a megoldásából kapjuk meg függvényben szereplő paraméterek becslését. Például lineáris trend esetén TREND=b0+b1*t egyenletben a paraméterek az alábbi képletekkel határozhatóak meg:
2 1
2 1 2 1 2
t N t
y t N y t
N t t
y N t
ty
b N
i i N
i i i
t b y b0 1
Az egyenes b1 meredeksége megadja a vizsgált jelenségnek a trend szerinti időegységenkénti átlagos változást a vizsgált időszakban, míg a b0 tengelymetszet a kiinduláskor adja meg a trend értékét.
Példa
Egy vállalat termelését az alábbi idősor írja le.
Év Termelés, ezer tonna
2010 100
2011 120
2012 150
2013 170
2014 200
2015 240
Az adatok grafikus ábrázolásából láthatjuk, hogy a termelés alakulása csak trendet tartalmaz, melynek alakja lineáris.
Határozzuk meg a trendegyenletet! Ehhez az alábbi mellékszámításra lesz szükségünk.
0 50 100 150 200 250 300
2010 2011 2012 2013 2014 2015
Termelés, ezer tonna
Termelés alakulása (2010-2015)
Év yi ti ti yi t2i
2010 100 1 100 1
2011 120 2 240 4
2012 150 3 450 9
2013 170 4 680 16
2014 200 5 1000 25
2015 240 6 1440 36
összesen 980 21 3910 91
43 , 27 6
21 6 91
6 980 6 21 6 3910
2 2
1 2
N t t
y N t
ty b
33 , 6 67 429 21 , 6 27 980
1
0 yb t
b
TREND=yˆ 67,3327,43t
Tehát a vállalat termelése 2009-ben a trend szerint 67,33 ezer tonna volt, míg a vizsgált időszakban a termelés évente átlagosan 27,43 ezer tonnával növekedett.
Ha előrejelzést szeretnénk készíteni, akkor azt a trendegyenlet alapján megtehetjük: az egyes időszakokhoz tartozó t értéket kell az egyenletbe helyettesíteni. Például 2020-ra a termelés előrejelzése: yˆ2020 67,3327,4311369,06 ezer tonna.
Amennyiben Excellel szeretnénk lineáris trendet illeszteni, három lehetőséget említünk:
1. Vonaldiagram segítségével ábrázoljuk az eredeti idősort, majd valamelyik adatpontra jobb egérgombbal kattintva a trendvonal felvétele opciót választhatjuk.
2. Excel függvények segítségével: =Metsz(ismert_y;ismert_x) és
=Meredekség(ismert_y;ismert_x), ahol ismert_x paraméterként a t változó értékét kell átadnunk.
3. Alkalmazhatunk tömbfüggvényt: =Lin.ill(ismert_y): két egymásmelletti (nem alatti!) cellát kijelölve kell megadnunk a függvényt, majd shift+ctrl+enter gombok együttes lenyomásával kapjuk meg a végeredményt. Az első cella a b1, míg a második a b0
értéket fogja tartalmazni.
Ezek alkalmazását a kapcsolódó videó szemlélteti.
Exponenciális trend esetén
TREND=b0*b1t
a b1 meredeksége megadja, hogy a vizsgált jelenség a trend szerint időegységenként átlagosan hányszorosára változik, míg a b0 tengelymetszet a t=0 időegységre adja meg a trend értékét.
Nem lineáris függvények esetében a paraméterek képleteit úgy kaphatjuk meg, ha az egyenletek linearizált alakjára alkalmazzuk az LNM feltételt. Ezek alkalmazása számítógép segítségével történik.
Amennyiben Excellel szeretnénk exponenciális trendet illeszteni, kettő lehetőséget említünk:
1. Vonaldiagram segítségével ábrázoljuk az eredeti idősort, majd valamelyik adatpontra jobb egérgombbal kattintva a trendvonal felvétele opciót választhatjuk. A trendegyenlet kiírásakor az ábrán az egyenlet TREND=b0*eszám*t alakban adódik, ekkor b1 értékét a kitevő függvénnyel kell kiszámítanunk =kitevő(szám) alakban.
2. Alkalmazhatunk tömbfüggvényt: =Log.ill(ismert_y): két egymásmelletti (nem alatti!) cellát kijelölve kell megadnunk a függvényt, majd shift+ctrl+enter gombok együttes lenyomásával kapjuk meg a végeredményt. Az első cella a b1, míg a második a b0
értéket fogja tartalmazni.
Ezek alkalmazását a kapcsolódó videó szemlélteti.
A mozgóátlagok módszere
Ennél a módszernél a trendet átlagszámítás segítségével határozzuk meg. Minden egyes időszakban (általában egy időszak= egy negyedév, vagy egy hónap) kiszámítjuk valamekkora körzetben az adatok átlagát. Ezért hívjuk a módszert mozgóátlagolásnak. Nagyon fontos az, hogy hogyan határozzuk meg a mozgóátlag tagszámát, azaz az átlagolandó értékek számát.
Mivel a módszer arra épül, hogy egy perióduson (általában egy periódus = egy év) belül a szezonális hatás kinullázza magát, ezért negyedéves bontású idősor esetében a mozgóátlag tagszáma 4, vagy ennek egészszámú többszöröse, havi bontású idősor esetében a mozgóátlag tagszáma 12, vagy ennek egészszámú többszöröse lehet. Például negyedéves idősor esetében mindig veszünk 4 egymásután következő adatot és kiszámítjuk az időadatok átlagát, majd ezt az értéket trendértékként az átlagszámítási időszak közepéhez rendeljük. Páros tagszámú mozgóátlag esetén a kapott mozgóátlagokat még centrírozni kell, azaz az időszakokhoz kell ezeket igazítani.
Minél nagyobbra választjuk a mozgóátlag tagszámát, az idősor annál jobban rövidülni fog. Ez azt jelenti, hogy az idősor elején és végén néhány időszakhoz nem tudjuk a trendértéket meghatározni.
Példa
