Anal´ızis I 2016.01.14
N´ev:. . . NEPTUN K ´OD:. . . . Al´a´ır´as:. . . .
1) Adjuk meg az al´abbi k´epleteket! [16p]
a) Defini´alja egyf ⊂A×B rel´aci´o ´ertelmez´esi tartom´any´at!
Df =
b) Adja meg az al´abbi nevezetes sorozatok hat´ar´ert´ek´et!
nlim→∞
n
√1
2 = , lim
n→∞qn=
c) Adja meg az al´abbi f¨uggv´enyek deriv´altj´at!
(arthx)′= ,(archx)′ =
d) Adja meg a h´anyados f¨uggv´eny differenci´al´asi szab´aly´at!
(f(x) g(x)
)′
=
e) Adja meg az al´abbi alapintegr´alokat!
∫
sinxdx= ,
∫ 1 sh2xdx= f) Adja meg az al´abbi f¨uggv´enyek grafikonj´at!
f(x) = arth(x), g(x) = arcth(x)
g) Hogyan defini´aljuk k´et A,B halmaz k¨ul¨onbs´eg´et?
A\B=
h) Hogyan tudjuk a deriv´al´as seg´ıts´eg´evel eld¨onteni, hogy egy f : R → R diffe- renci´alhat´o f¨uggv´eny egy [a, b]⊂Df intervallumon monoton cs¨okken?
2) Legyenx >0 val´os sz´am. Bizony´ıtsuk be teljes indukci´oval, hogy b´armelynterm´eszetes sz´am eset´en
xn+1−(n+ 1)x+n≥0 ! [14p]
3) Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi deriv´altakat! [16p]
(2 tgx·arcsinx)′=
(xsinx)′=
(arctgx 3x+x3
)′
=
(√3
sinx+ lnx )′
=
2
4) Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi integr´alokat![20p]
∫
arccosxdx=
∫ 1 sinxdx=
∫
cos3xdx=
∫ x·√3
x2+ 4dx=
∫ 1
x2+ 6x+ 11dx=
5) V´egezz¨unk teljes f¨uggv´enyvizsg´alatot az al´abbi f¨uggv´enyen![18p]
f(x) = ex x
4
6) Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi hat´ar´ert´ekeket! [16p]
xlim→0
sin 2x 3x =
xlim→2
x2−5x+ 6
−x2+ 8x−12 =
lim
n→∞
(n−1 n+ 1
)n+1
=
nlim→∞3√n n+
(n+ 1 n+ 1
)n
+ arctg(n) =
Akinek az 1)-es feladatban nincs legal´abb 4 j´o v´alasza, annak az eredm´enye el´egtelen!
Ert´´ ekel´es: 0p-49p el´egtelen; 50p-61p el´egs´eges; 62p-74p k¨ozepes; 75p-88p j´o; 89p-100p je- les
