FEKETE ANDRÁS —- KECSKEMÉTHY ISTVÁN:
A LINEÁRIS__ PROGRAMOZÁS__ALKALMAZÁSA A KOZLEKEDES TERULETEN*
A közgazdaságtan és az üzemgazdaságtan az utóbbi években mind nagyobb mértékben használják a matematikai segédeszközöket egyes, külö—
,nösen bonyolult kérdések megoldásában. Ez a fejlődés különösen az ún.
,,operáció kutatás" területének kialakulásában jelentkezett. Az ,,operáció kutatás" általánosságban a legkülönbözőbb területek olyan gazdasági prob- lémáira terjed ki, amelyeket bonyolultságuknál fogva a hagyományos mód- szerekkel nem lehet már áttekinteni. Az ,,operáció kutatás" célja, hogy széles matematikai alapokra támaszkodó számszerű megalapozást nyújtson a vezetés számára az előadódó helyzetek által megkívánt döntésekhez vagy azokhoz a döntésekhez, amelyeknél különböző alternatívák közül való választásról van szó. Az ,,operáció kutatás" keretében alkalmazott tudomá- nyos módszerek a legváltozatosabb matematikai megoldásokat és sémákat
használják fel. _
Anélkül, hogy részletes felsorolást kívánnánk adni az ,,operáció kuta—
"által eddig megragadott területekről, a legfontosabbakat a következők—
ben lehetne megjelölni:1
gazdasági terv kidolgozása ipari termelő üzem részére, különös tekin—
tettel a termelési tervek és beszerzés kérdéseire valamint az ellenőrzés szempontjaira;
a raktárhelyiségek legjobb telephelyének megállapítása;
a közlekedési eszközök jobb kihasználásának biztosítása;
üzemi tervek készítése a legkedvezőbb kapacitáskihasználás érdeké—
ben stb.
Az ,,operáció kutatás" módszerei közül mind matematikai, mind gazda—
sági szempontból különös érdeklődésre tarthat számot az ún. lineáris prog—
ramozás. 1958 januárjában a szovjet tudósok Moszkvai Házának statisztikai szakosztálya J. A. P. Gercsuk előadásában, melyet a szerző ,,A lineáris prog- 'ramozás mint a gazdasági feladatok optimális megoldásának kiválasztására szolgáló új módszer" cimmel tartott, vitatta meg a módszer gyakorlati al—
* A tanulmány az operáció kutatás egyik legfontosabb eszközével a lineáris brogramozással fogla].
lmzik, amely annyiban statisztikai vonatkozású, hogy az operatív statisztika adataim támaszkodik s ez—
gátaeltá'cgépi adatfeldolgozás kiszélesítése esetén az operatív statisztika felhasználási körének bővítését teszi A tanulmány a szerzők hasonló cím-,!) a Közlekedés— és Postaügyi Minisztérium 1958 évi takarékos—
sági pályázatán elsó dijjal kitüntetett pályamüvének rövidített valtozatat
1 Az ,,operáció kutatás" tekintetében nálunk még nagymértékben hiányzik a gyakorlati tapasztalat (-s azt mondhatjuk hogy ezen felül hiányzik az elméleti alapelvek ismertetése is. Hézagpótlő volt ebben a tekintetben a MTA Kibernetikai Kutató Csoportja által a lineáris piogiamozásról rendezett előadássoro—
zat, amelyet dr, Krekó Béla egyetemi docens vezetett. Az ezzel egyidőben megalakult közlekedési lineáris programozási albizottság (vezette dr. Szántó Emil meghívott egyetemi előadó) munkája pedig gyakorlati téren tette lehetővé értékes tapasztalatok gyűjtésétx
5 1 2
FEKETE ANDRÁS —— KECSKEMÉTHY ISTVÁN
kalmazásának lehetőségeit. L. V. Kantorovics professzor ,,A termelés szer—
vezésének és tervezésének matematikai módszerei" című, 1939—ben kiadott könyvében már bemutatta ezt a módszert, amelynek akkor ,,a meghatározó tényezők módszere" elnevezést adta. A későbbi években Kantorovics és munkatársai (V. A. Zalgaller, M. K. Gavurnij és mások) a módszert külön—
böző gyakorlati gazdasági problémák megoldására is felhasználták, így pél—
dául a vasúti teherszállítások optimális tervének összeállítására. A nyugati államokban a módszert lényegében csak az 1948—1949. években dolgozták ki és ott lineáris programozás elnevezés alatt vált ismeretessé. A szov- jet tudósok Moszkvai Házában lefolytatott Vita eredményeként megállapí—
tották, hogy a módszer alkalmazásra kerülhet számos tervezési feladat meg—
oldásánál, eredményesen alkalmazható az iparági és üzemen belüli tervezés területén is.
Az ,,operáció kutatás" szempontjából a közlekedés területén a vizsgá—
lódás súlypontjai a következő fő kérdéscsoportokban adhatók meg.2 _ a) Elosztás problémaköre, mely tartalmazza az anyagoknak (példáuf szén, kő, cukorrépa stb.) a termelési helyekről a felhasználási helyekre való- szállítását. Ez a témakör kiterjed a rajonirozás helyes elvégzésére is.
b) Szétosztás témaköre tartalmazza például a szállítási eszközök elosz—
tását a rendeltetési állomásokra a telephelyekről azzal a feltétellel, hogy az üres futás minimum legyen.
c) Beosztás feladatkörébe tartózik a szállítási feladatok megosztása a különböző közlekedési eszközök között a hatékonyság figyelembevételével', törekedve a szállítási költségminimumra.
d) Telepítés témakörébe tartozik a szállítóeszközök telephelyének vagy az áruraktárak helyének kijelölése a szállítási igények figyelembevételével', a szállítási költségek optimumra történő csökkentésével.
Jelen tanulmányban a második témakörrel kívánunk foglalkozni és csak érintjük a negyedik témakört.
A közlekedés szállítási tevékenysége népgazdaságunk egyik igen jelentős része. A népgazdaság állóalapjainak 19 százaléka, azaz közel egy——
ötöde a közlekedésben van beépítve. ,
Az állami közlekedésben foglalkoztatottak száma eléri a 200 000 főt.
A közlekedés teljesítményei, mint ismeretes, rohamosan nőnek.
A népgazdaság érdeke tehát megköveteli, hogy a közlekedés állóesz—
közeit és az ott foglalkoztatott munkaerőt úgy használják fel, hogy a telje—*
sítmények növelése mellett minél kevesebb eszközfelhasználásra kerüljön sor. Ebből a szempontból igen érdekes és jelentős az üres futás kérdése.
Könnyen belátható, hogy az üres futások csökkentése az előbbi célkitűzés megvalósítását segíti elő. Az üres futás általában egyharmada az összes—
futásnak, ami költségben évente mintegy másfél milliárd forintot tesz ki.
Az 1956. évi —— részben becsült — áruszállítási költségekre vonatkozó
adatok a következő képet mutatják:
Összes ám- üres futás Ures futásra,
Közlekedési ág szállítási költség aránya eső költség (millió forint) (százalék) . (millió forint)
Vasút ... 2699 30 1105
Gépjármű ... 1334 33 , 440
! Lásd Jándy G.—Lugossy I. Szállítások te!—verése. UVATERV. 31, sz. segédlet.
A LINEABXS PROGRAMOZAS ALKALMAZÁSA 513
Az üres futások csökkentésének egyik problémája például a vasút terü—
letén az, hogy a fölös vagonokat a felhasználó helyek között hogyan kell elosztani úgy, hogy az üres vagonoknak a rendeltetési helyre való juttatá- sával kapcsolatos összköltség minimális legyen. Az üres vagonok elosztása mindennapos és állandó művelet a vasútnál és az ezzel kapcsolatos költség jelentékeny. Nálunk például —— mint a közölt adatokból látható — az üres vagonok futása a vagonok összútjának mintegy 30 százalékát teszi, az ezzel kapcsolatos többletköltség pedig mintegy egy milliárd forint. Egy százalé- kos megtakarítás — amennyiben az lehetséges —— kb. évi 11 millió forint megtakarítást jelentene.
A gépjárműközlekedés területén az üres futás aránya mintegy 33 szá—
zalék körül van és ennek egy százalékos csökkentése a gépjármúközlekedés—
nél is 451 millió forint megtakarítást eredményezhet.
Az ,,operáció kutatás" lineáris programozási módszerének ezen a terü- leten való alkalmazása a legkönnyebben nyújt lehetőséget arra, hogy a módszer alkalmazhatóságát és előnyeit bebizonyíthassuk.
Látni fogjuk azonban azt is, hogy a probléma megoldásának gyakorlati alkalmazásánál olyan komplikációk jelentkeznek, amelyek elengedhetetlenül szükségessé teszik elektronikus számológépek igénybevételét egy későbbi időpontban. Az elektronikus számológépek igénybevétele azonban lehetővé fogja tenni nagyszámú olyan művelet elvégzését, amelyek egyszerűsítik az adminisztrációs eljárásokat, lehetővé teszik az optimális megoldás előkészi—
tésével minél nagyobb gazdaságosság elérését és ez az előny kiegyenlíti, sőt előnyössé teszi azt a viszonylag nagy kiadást, amelyet a számológépek be- szerzése és alkalmazása jelent.
A közlekedés területén jelentkező feladatok nagyrésze általában any- nyira bonyolult, hogy az elektronikus számológépek alkalmazása nélkül nem oldható meg, legalább is nem olyan gyorsasággal, hogy az operatív vezetés a kapott eredményeket intézkedéseihez még felhasználhassa. Van- nak azonban olyan területek —— és ide tartozik az általunk tárgyalt kérdés is —, amelyeken a lineáris programozás módszere elektronikus számoló- gépek alkalmazása nélkül is megfelelően használható eredményt biztosít.
Tanulmányunkban —-— mint említettük —— az üres futások csökkentésé—
nek kérdésével kívánunk foglalkozni éspedig a gépjárműközlekedés terü——
letén.
A feladat megoldása a tehergépkocsiközlekedésnél egy elméletileg feltételezett egyszerű alapesetben
Olyan esetet választunk ki, amelynek megfelelő helyzet a gyakorlatban egy földrajzilag körülhatárolt területen -— például egy város területén — előfordulhat. Ezen a területen a munkanap Végén ismerjük négy telep- helyen rendelkezésre álló azonos teherbírású tehergépkocsik számát és ismerjük azt, hogy ugyanezen város három kerületében másnap ugyanilyen teherbírású gépkocsikból mennyi szükséges. A tehergépkocsik kiállítása a kerületek szállítási súlypontjába történik. Ismerjük az üres tehergépkocsik kiállítási költségeit is. Természetesen a gyakorlatban ezeknek az adatoknak kidolgozása eléggé komplikált feladatot jelent, de most feltételezzük ezek-—
nek az adatoknak az ismeretét. Az irányítás a telepek egyikéről a kerüle- tekbe olyan időben történik, hogy valamennyi elküldött kocsi bármelyik rendeltetési pontra idejében érkezik ahhoz, hogy azt felhasználhassák,
,514 FEKETE ANDRAS— KEGSKEMÉ'I'HY ISTVÁN ,
A tehergépkocsik kiállítási költsége azok számával nem változik, Vagyis az egységköltség az adott viszonylatban állandó. A telephelyeken annyi teher—gépkocsi áll rendelkezésre, amennyi a következő munkanapon szükségw.
Adva van tehát feltételezésünk szerint négy telephely (garázs) és há—
rom kocsit igénylő kerület. A telephelyeket jelöljük A, B, C, D betűkkel, az igénylő kerületeket pedig E, F, G betűkkel. A telephelyen rendelkezésre _álló tehergépkocsik száma és a kerületek által igényelt gépkocsik szama az
alábbi:
Telephc! y ?ggllfíbcfi Kerület Gépk$í2§$ny
A ... 5 E ... 1 0
B ... 15 F ... 1 5
C ... 10 G ... 20
D ... 15
A kiállítási költségek (kilométer) legyenek az alábbiak:
A ] B C .,! ;) 3
F női,, LL, _a, will
G ! 1 l 3 2 4 §
Az A—beli üres gépkocsik sokféle módon oszthatók szét E, F, G kerüle—
tek között, ugyanígy a B, C, D—beliek is. *
Ha első indexként 1,2 és 3—m—al jelöljük az E, F, G—be és második index-—
ként 1, 2, 3, 4—gye1 az A, B, C, D—ből irányított gépkocsikat (úgyhogy példá— F ul ng azon gépkocsik száma, melyek C—ből F—be mennek), akkor a prob—
láma a következő egyenletekkel fejezhető ki: _ V
XU—ív—Xia—i—Xia—f—Xm : 10 Xn—I—Xza—f-Xzs—l—Xe; : 15 X:;x—i—Xsa—i—XaeÁf—sz : 20
X11$X21'4—X31 : 5
Xm—l—Xee-FXM :: 15 X:;g—FXas—l—Xaa :: 10 Xm—f—Xn—f—Xaa : 15
Ez a hét egyenlet nem független egymástól. Bármelyik közülük függ- vénye a hat másiknak, ami rögtön felismerhető, mert az első három összege
azonos (az— utolsó négy összegével.
Marad egy hat lineáris egyenletből álló rendszer tizenkét ismeretlen—
nel, ahol végtelen sok megoldás lehetséges. A feladat természetéből Vki—
folyólag csak a nem negativ egész számokból álló megoldások jöhetnek szá-—
mitásba, de még így is általában igen sok megoldás lehetséges. Ezek közül kell kiválasztani azt a megoldást, amelyre vonatkozóan
2Xu %3X121—1Xx3-F4X14 4—5X21 %ZYXaz l,4Xé3t1X244-1X31%3X324r21'33 4-41'3;
mértéke a lehető legkisebb.
A LINEARIS PROGRAMOZAS ALKALMAZASA _ 515
Tehát olyan megoldási rendszert kell keresni, az X ,] (i : 1, 2, 3, j ::
s 1, 2, 3, 4)Aértékekre, mely kielégíti az alábbi feltételeket
%XU :%- gxuzw X'fg'go Z :: 2. yZUi/Xii
minimum legyen.
Ezen a helyen nem térünk ki a lineáris programozás részletes elméleti kifejtésére, hiszen ennek megismerésére a külföldi irodalmon túl több hazai forrásmunka áll rendelkezésre és erről már lapjainkban is több közlemény
jelent meg.3 _
A gyakorlatban általában a szimplex módszer kerül alkalmazásra mint a lineáris programozás egyik legismertebb módszere. Speciális szállítási [problémáknál az előbbi módszer egyik különösen egyszerű változata, a
disztribuciós módszer alkalmazható igen előnyösen.
A kiindulási tábla (1a. tábla) vízszintes soraiban feltüntettük az E, F, G ' kerületek távolságait az A, B, C, D telepektől, az utolsó oszlopban a kerüle- tek kocsiigényét, az utolsó sorban pedig a telepeken rendelkezésre álló kocsik számát. '
Ha a telepek száma m és a kerületek száma 11, akkor az optimális meg—
oldásban m—j—n—l számú viszonylat szerepelhet, vagyis esetünkben 3—j—4—
-——1 :: 6. Ez a megoldás a közbenső megoldásokra is vonatkozik, mivel a fel—
vett programról nem tudjuk, hogy optimális program—e vagy sem. (Általában m—l—n pont 'm—l—n—l egyenessel köthető össze.)
A következő lépés az induló program készítése. (Lásd az lb. táblát.) Ehhez az átlós módszer segítségével könnyen juthatunk el. A táblát a bal felső sarokból indulva kezdjük kitölteni és a program készítése közben a jobb alsó sarok felé haladunk. A bal felső sarokba kerül, hogy az A telepről hány kocsit kívánunk juttatni az E kerületbe. Itt legfeljebb 5 kocsiról lehet szó, ezzel az A oszlopot a programból kikapcsoltuk. Az E kerület igényét azonban még nem elégitettük ki, ezért ide még 5 kocsit kell küldeni a B te—
lephelyről. Az átlós módszert alkalmazva, lépcsőzetesen haladva mindig el—
érhetjük, hogy egy olyan induló programot kapjunk, amelyben m—j—n—l viszonylat szerepel. A mi induló programunkba behelyettesítve a költség—
tényezőket (itt például a kiállítási kilométereket) kiszámíthatjuk, hogy a ki—
állítást programunk szerint 135 kilométer összteljesitménnyel lehet meg—
oldani. '
Ezután választ kell adni arra a kérdésre, hogyan javítható ez az induló program. Vizsgáljuk meg az igénybe nem vett Viszonylatokat, az ún. szabad helyeket. Minden szabad helyhez tartozik egy olyan Vízszintes és függőleges egyenesekből álló zárt vonal, amelynek egyik csúcspontja a kérdéses szabad hely, a többi csúcspontja pedig a kötött helyek közül, vagyis az igénybevett viszonylatok közül kerül ki. Ezeket a ,,köröket" az Ny., 1c., Id. és le. táblán zárt vonallal jelöljük. Mindegyik ,,körben" a csúcsponthoz tartozó kiállítási kilométerekből (díjtételekből) olyan váltakozó jelű összeget képezünk, amelyben *a szabad hely mindig pozitív előjellel szerepel, például az lbb.
táblán a megjelölt kör
_t1—4—1—2—4 : —5
9 Bacskai Zollán—Krekd Béla: Bevezetésa lineáris programozásb'a. Közgazdasági és Jogi Könyv- kiadó, Budapest. 1967.
Jándy Géza: Szállítási feladatok lüneáris programozása Közlekedési Tudományos Szemle. 1958, június.
Jdndy Géza: Temprendezés optimális földszálllitásának tervezése. Mélyépílésludományi, S'zemle.
más, július. * , , "
516 FEKETE ANDRÁS —— KECSKEMÉTHY ISTVÁN
Ezt a számítást mindegyik szabad helyre elvégezzük és a táblába bejegyez—
zük. Az újabb programba csak az a szabad hely kerülhet be, ahol a szám negatív, vagyis javítja a programot, a 4— értékeket csak jelöljük. Az 1bb. táb—
lán három ilyen hely szerepel. A javítás úgy történik, hogy a negatív csúcs—- ponthoz tartozó ,,kör" csúcspontjain álló kocsiszámok közül kiválasztjuk a legkisebbet, ezt a mennyiséget a kérdéses ,,kör" pozitív csúcspontjaihoz hozzáadjuk, a negatív csúcspontokból levonjuk.
[.tábla
4 B 0 D
E 2 3 l 4 10
p 5 2 4 1 15 a
G 1 ' 3 2 4 20
,5 15 10 15 45
A B 0
__D A B 0 D
E a 5 10 b E' % 10 —1_10 % 10
F 10 5 15 "
t 10 dx
Zsl-o F .l— 5 ...—__j 15 _.
G 5 15 20 ' zzgp'
113 1015
5 15 10 15 45 G 5 0" 20
L—
5 15 mi 15 45
A B 0 D
__4 _
E' 5 1 _20 _12 10 A B 0 D
__.5
_25 bb E 4— 10 —10_] "l— 10
F _; 10 sí—g 15 *" V
_
(?
(;! .; _; 5—5! 20 F 4" _,(L '*' 15 15 2385
5 15 1 "
5 10 0 15 40
G 5 4, 20
5 15 10 15 45
E 10 A B 0 D
15 c E J, 0 10 ju 10
F
20712110 F
*0
*15 15
5375f
a G 5 15 .l— 4.— 20
45 5 15 10 15 45
Azt, hogy a három negatív csúcspontból melyiket vonjuk be az új prog-—
ramba, az dönti el, hogy melyikkel tudunk, azon a legnagyobb javítást elérni.
Induló programunkban az FD hely jelenti ezt az új viszonylatot (lásd az 1bb.
táblát), mert itt minden újabb kocsi indítása 5 kilométerrel javítja a prog—
ramot és 5 kocsi indítható, mivel a hozzátartozó ,,kör"—ön a negatív csú—
csokon ez a legkisebb szám. (———5- 5 : —— 25)
A LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ALKALMAZÁSA 517
Az eljárást tovább folytatva, kapjuk az le., ld. és le. táblát. Az le. táb—
lán azonban a foglalt helyek száma m—f—n—I alá csökken, degeneráció áll elő, így egy fiktív O értékű helyet kell bevonni a programba. így jutunk az 1 f programhoz, amelyben már két 0 helyet kell beiktatni s így már a prog—
ram tovább nem javítható. (A () értékű helyet úgy kell megválasztani, hogy a körbejárást végre lehessen hajtani.)
A végleges programból látható, hogy a kiállítási kilométer a kezdeti 135 kilométerről 75 kilométerre volt csökkenthető, ami 44,5 százalék csökkenésnek felel meg.
Megjegyezzük, hogy az átlós módszer szerinti megoldást az induló tábla megszerkesztésénél nem mindig kell a bal felső sarokból elindulva kezdeni.
Például a bal alsó, sarokból kezdve a Za. tábla szerint jobb induló program—
hoz jutottunk volna, melyben ugyan a degeneráció fennáll, mivel 5 viszony-—
lat szerepel az induló programban, de ezt az FB helyen felvett O—val meg lehet szüntetni és így egy lépésben el lehet jutni az optimális programhoz (Zb. tábla) a szokott módszer szerint. (Az induló programban az AE és BE hely negatív értékű. J avítást azonban nem ad, mert a javításba bevonható kocsiszám O.)
2.íábla
A B C D
4 B (: D ——1 _2 _6—
E' ——60 10 10
E' 10 ml 0 0 e
__ a M__ A_,_ _a." My..—
F 10 5 15! 5 m
,- Z:135 p e () 10—i ! 15
G 5 15 20 —
— G 5 15 4— —1— 20
l s 15 10 15 45
5 15 10 15 45!
A B o § 1) 1
E 4,— 0 10 4— 10 b
F Jr u at 15 15 2275
. G 5 15 % t zo
5l15 1015 45
A gyakorlatban nem mindig alkalmazzák az induló program meg—
szerkesztésében az átlós módszert. Egyik igen gyakran alkalmazott elv, hogy kikeressük a sor— és oszlop-minimumokat a költség matrixban, például a 3.
táblán a ***—gal megjelölt helyeket, ezeknek juttatjuk a lehető legnagyobb áramlatokat, és így jobb indulási programhoz jutunk.
3. tábla
í § A B 0 D
E . 1078 10
F 15* 15 2275
G 5* 15 20 '
5 15 10; ml 45
518
FEKETE ANDRÁS __ RECSKEMÉTHY ISTVÁN-
A feladat megoldása a tehergépkocsiközlekcdésnél egy konkrét esetben
A gyakorlati életben naponként felmerülő probléma az üres tehergép—' járműveknek a rendeltetési helyre való eljuttatása, kiállítása. Általában
ismeretes, hogy a fuvarozási feladatok ellátására hány üzemképes gépkocsi áll rendelkezésre. Különösen a nagyobb raksúlyú tehergépkocsiknál isme—retes a köVetkező napra szóló igény is. Felmerül tehát az a kérdés, mikép—
pen lehetne a gyakorlatban is alkalmazható olyan eljárást, módszert találni, amelynek segítségével a tehergépkocsik kiállítása a lehető legkisebb üres kilométer felhasználásával történhetnek; A módszernek emellett olyannak kellene lennie, hogy a jelenleg használatos számológépek alkalmazásával időben használható eredményt adjon. A kérdés megoldására a lineáris prog—
ramozás módszerének az előző fejezetben tárgyalt változata jó alapot nyújt.
A kérdést Nagy—Budapest területére vonatkozóan vizsgáltuk meg.
A vizsgálandó terület ilyen leszűkítésének kettős indoka volt: egyrészt az egész országra vonatkozóan nehéz lett volna az adatbeszerzés, másrészt pedig nagytömegű adat feldolgozása, különösen pedig a segítségükkel elvég—
Izendő számítások tömege a szokásos számológépekkel már nem végezhető el.
Természetesen Nagy-Budapestre vonatkozóan sem volt lehetőség hosz—
szabb időszak adatainak feldolgozására. Csupán arról lehetett szó, hogy egy nap adatait dolgozzuk fel és az így nyert adatok alapján folytassuk vizsgá—
lódásainkat. Ez is azt jelentette, hogy mintegy 1500 menetlevelet kellett értékelni, adatait rendszerbe foglalni.
Nem volna helyes éppen ezért vizsgálódásunk konkrét eredményeiből végleges következtetéseket levonni. Viszont az elméletileg kidolgozott mód—
szer gyakorlati alkalmazásának bemutatására a feldolgozott adatok kitűnően felhasználhatók.
'
Az 1958. június 10—i menetlevelek alapján kimutatást készítettünk ar—
ról, hogy a fuvarozási igények kielégítése céljából melyik telephelyről hány , kocsit állítottak ki a budapesti TEFU vállalatok. A 3 tonnán aluli és 4,2 ton—
nán felüli tehergépkocsikat figyelmen kívül hagytuk. Számításainkban ugyanis nemcsak a kilométermegtakarítás kimutatására törekedtünk, hanem arra is, hogy ennek alapján nagy megközelítéssel a költségmegtakarítás is számítható legyen. A 3—4,2 tonnás tehergépkocsik kilométerönköltsége pedig -——- legalább is Nagy—Budapest területén — első megközelítésben nagy——
jából azonosnak vehető.
Ezenkívül a 3 tonnán aluli tehergépkocsik két vállalathoz, a 4,2 ton—
nán felüli tehergépkocsik pedig egy Vállalathoz telepítettek. A kiállítással kapcsolatos üres kilométerek csökkentésére tehát ebben a vonatkozásban lényegesen kisebb lehetőség van. A feladatnak a 3—4,2 tonnás tehergép- kocsikra történő korlátozásánál figyelembe vettük továbbá azt a körülményt
is, hogy az ennél kisebb, illetőleg nagyobb raksúlyú tehergépkocsik kilomé-
terönköltsége már lényegesen eltér a 3—4,2 tonna raksúlykapacitással bíró tehergépkocsik önköltségétől.
A munka szempontjából tehát a következő telephelyek, illetőleg az ezekről kiállított tehergépkocsik jöhettek figyelembe: 11. számú AKÖV (XIII. Rozsnyói u. 6.), 12. számú AKÖV (XIV. Pillangó u. IB.), 13. számú AKÖV (IX. Köztelek u. 4. —— IX. Ipar u. 5. ——- XI. Bánát u.), 17. számú AKÖV (IX. Dandár u. 22.), 18. számú AKÖV (XIII. Mohács u. 24—26).
Ezekről a telephelyekről vizsgálatunk időpontjában, 1958. június 10—én a
A LINEÁRXS PROGRAMOZÁS ALKALHAZASA 519
Nagy-Budapesten fuvarba kiállított 3—4,2 tonnás raksúlyú tehergépkocsik száma 763 volt.
A fuvarba küldött tehergépkocsik menetleveleit kerületenként cso—- portosítottuk és megállapítottuk, hogy az egyes telephelyekről egy—egy kerületbe hány tehergépkocsit állítottak ki. Ezeket az adatokat a 4. táb—
lában foglaltuk össze. A tábla fejrovatában .a telepeket, az oldalrovat—
ban a kerületeket, az a—val jelzett sorban az egyes kerületekbe kiálli—
tott tehergépkocsik számát, a b—vel jelzett sorban a telephelytől számított átlagos kiállítási távolságot, az utolsó oszlopban az egyes kerületekbe kiál—
lított összes tehergépkocsik számát, az utolsó sorokban pedig az egyes telep—
helyekről kiállított tehergépkocsik számát, az összes és az átlagos kiállítási kilométert tüntettük fel.
A 4. táblában látható, hogy az összes kiállítási kocsikilométer az ezen a napon fuvarba küldött 763 tehergépkocsinál összesen 4878 kilométer volt.
A tábla adatai elgondolkoztatók abból a szempontból, hogy a legtávolabb fekvő kerületekbe is küldöttek tehergépkocsit úgyszólván az összes telep—
helyek. A tábla igen tanulságos abból a szempontból, hogy elvileg a 7 telep—
helynek a 22 kerületben jelentkező fuvarozási feladatok ellátása során ösz- szesen 7 - 22 : 154 kiállítási diszpozicíóra van lehetősége. A vizsgált konk—
rét napon a napi fuvarfeladatok ellátása 119 diszpozicióval történt, ami az összes lehetséges diszpozició 77 százaléka. Mint a későbbiekben látni fogjuk, a lineáris programozás módszerével az optimális megoldás 28 diszpozició lehet, vagyis az összes lehetséges diszpoziciók 18 százaléka.
Átlagos kiállítási távolságnak az egyes telephelyeknek a kerületektől, illetőleg a kerületeknek szállítási szempontból vett súlypontjától való távol—
ságát vettük, és ennek nagyságát a következő meggondolások figyelembe——
vételével számítottuk: ha a menetlevelek alapján az volt megállapítható, hogy a kérdéses napon egy telephelyről egy megadott kerületbe több kocsi—
kiállitás történt és megállapítható volt, hogy a kocsikiállítások nagyobb gyártelepekre, raktárakhoz vagy pályaudvarokhoz történtek, akkor az átla—
gos kiállítási távolságot ezeknek átlagaként vettük figyelembe. Azokban az esetekben, amikor egy kerületbe valamelyik telepről csak kevés kocsikiál—
lítás történt vagy ilyenről a kérdéses napon nem is volt szó, az átlagos kiál—
lítási távolságot térkép alapján a szóbanlevő kerületek szállítási szempont—
ból vett súlypontjának a telephelytől való távolsága szerint számítottuk.
Az ilyen számításoknál figyelembe vettük, hogy a szóbanlevő kerületek te—
rületén milyen fontosabb ipartelepek stb. vannak és megfelelő esetben a kerület súlypontját ennek megfelelően vettük számításba.
Számításainknál feltételezzük, hogy a vizsgálatba bevont tehergép- kocsik kiállítási költségei arányosak a kiállítási kilométerekkel. Ezért az átlagos kiállítási kilométereket feltüntető matrix költségmatrixnak is te- kinthető.
Az egyes telephelyeken rendelkezésre álló tehergépkocsik sokféle mó—
don oszthatók szét a kerületek között. Ha első indexként 1—22-ig terjedő számmal jelöljük a kerületeket és második indexként 1—7-ig terjedő szám- mal a telephelyeket (úgyhogy például az X32 azoknak a tehergépkocsiknak számát jelenti, amelyeket a III. kerületbe a 12. telephelyről küldtünk), akkor a probléma a 4. tábla 22 sorából és 7 oszlopából alkotott egyenlet——
rendszerrel fejezhető ki. . .
520 _ FEKETE ANDRÁS—KECSKEMÉTHY mux
4. tábla,
Telephelyek Igényelt '
Kerület 11. 12. ' 13/a. 13/b. 13fc. 17. 13. $$$—
La, ... 5 5 1 A_— 2 v 2 :; * 17 '
b ... 8 11 4 5 6 6 7
II. a ... _— 5 1 —— ] 1 3 _11 _
b ... 10 9 6 9 7 6 3
III. a ... 5 6 5 1 3 5 1 26
b ... 4 10 10 11 9 13 5
IV. az ... 3 3 1 —— 5 1 3 16, b ... 3 13 12 1 s 10 5
V. a ... 1 4 4 4 5 14 9 41
b ... 6_ 8 3 4 5 5 6
VI. ;; ... 19 25 4 2 a 8 16 80
b ... 4 6 4 4 9 4 3 !
VII.a ... 7 s 16 7 8 ' 3 2 * 51
b ... 7 6 3 4 6 6 ; *
"VIII. a ... 6 18 3 2 6 31 6 72
b ... 8 5 A 3 4 7 3 4 -
IX. 0, ... 9 26 18 17 10 12 11 103
b ... 11 3 3 6 3 19 ' '
X a ... 10 20 5 3 1 7 8 54
b ... 11 6 9 5 10 8
XI. a ... 9 12 5 _— 15 18 4 63 b ... 11 s * 4 5 4 5 10
XII. ab ... _—s 112 __4 _—5 26 36 a6 ? 10
ZXIII. ab ... 50: _5 s7 81 58 137 a3 82' A
XIV. a'b ... 36 204 57 6 —9 w6 47 35
XV.-ba ...... s2 91 —-—12 ._13 ———15 —13 101 4
XVI. a. ... 1 55 4— ._ __ .— 4— 6 b ... 13 9 , 13 13 16 13 12
XVI-Lub ... —_16 276 , 171 m13 "17 s 112 34
XVIII. ab ... —_14 133 m10 91 _—14 y—11 s9 6
XIX. .a,b ... 141 71 —_9 ——8 131 ..Ms 111 ' 4
XX. a ... _ 1 4 _ 2 5 —— 12
b ... 14 10 15 7 10 7 14
XXI. a ... 13 8 2 M 2 4 2 31
b ... 15 11 6 6 10 G 12 *
AXIIa ... "b ... 161 131' '15,1, ——9 37 91 141 s ,
Bewzdelkézéarefálló kocsik száma . . . . 145' 201 * ' 83 38 77 129 95 7634
Összes kiállítási kilométer ... . . 982 1424 487 164 515 7 16 590 4878 Átlagos kiállítási távolság (kilométer) 7,0 7,0 6,0 4,0 7,0 6,0 ' 6.0 4 6,4
A LJNHABVIS' PROGRAMOZASA ALKALMAZÁSA _1 n
52135
5. tábla
Te1evhe1yek Igényeü
Kemlet 11 12. 13/a. 13/b. 13/c 17. 18. ';33'1';
I. a ... _— __ 17 __ __ ,— __ 17
b ... 8 11 4 5 6 6 7
II. a ... —— —— __ _— 6 5 ._. 11
b ... 10 9 6 9 7 6 8
III. a ... 26 —— —— __ .— _. __ ga
b ... 2 10 10 11 9 13 5
IV. 13 ... Ió' —— —— ———_ .— ._. ... 16 *
b ... 3 13 12 11 8 10 5
V. a ... —— -—— 41 — ,.— .__ ,___ 41
b ... 6 8 3 4 5 5
VI. a ... 21 -——— —— — —— 5 54 80
b ... 4 6 4 4 9 4 3
VII. az ... —— —-—— 15 w —— —— 36 51
b ... 7 6 3 4 6 6 3
VIII. a ... __ 67 4—— —-— —— 5 m— 72
b ... 8 5 3 4 7 3 4
IX. 0 ... —-—- —-— -—— 38 —— 65 —-— 103
b ... 11 7 3 3 6 3 10
X. a ... ——- 54 —-— —— —— — —— 54
b ... 11 6 9 5 10 8 8
XI. a ... — __ —. _— 63 —- —-— 6.5:
b ... 11 8 4 5 4 5 10
XII. a ... —— —— 10 —— —— —— —— 10
b ... 8 11 4 5 6 6 6
xm. a ...' ... 82 __ — —— _— w —— 82 *
b ... 3 5 8 8 8 7 3
XIV. a ... ——- 35 —— —— w— M— —— 35
b ... 6 4 7 6 9 6 4
XV. a ... —-—- 4 -—— -— —— -— —— 4
b ... s 9 ,12 13 15 13 10
XVI. a ... __ 6 —— m —— — _— 6
b .' ... 13 9 13 13 16 13 12
XVII a ... —— 31 _- —— ——— __ m 31
* b ... 16 6 17 13 17 8 11
XVIII a ... _— —— —— _ —— 6 —— 6
b ... 14 13 10 9 14: 9 8
XIX. a ... '— 4 -—— — —— —— —— _ 4
b ... 14 7 9 8 13 8 11
XX. a ... -— ———- —— _— —-— 12 -——— 12
b ... 14 10 15 7 10 7 14
XXI. a. ... .— __ _— __ —— 31 —— 31 ,
b 9 ... 15 11 6 6 10 6 12 *
XXII. a ... '——— —— —— -—- 8 —— —— 8
- b ... 16 7 13 15 9 7 9 14
Rendelkezésre álló kocsik száma . . . . 145 201 83 38 7 7 129 90 763
4 Stathzukai Szemle
522 FEKETE _. KECSKEMÉTHY: A , UNEÁRIS PROGRAMOZAS ALKALMAZASN
Az elméleti példában már rámutattunk, hogy ezek az egyenletek nem függetlenek egymástól, bármelyik közülük függvenye a többinek. Marad tehat egy 28 lineáris egyenletből álló rendszer 104 ismeretlennel. A lehetsé—
ges megoldások közül ——- minthogy gazdasági feladat megoldásáról van szó
—--_ csak a nem negativ egész számokból álló megoldások jöhetnek számi- táSba. Ezek közül kell kiválasztani azt a megoldást (az üres kilométereknek, , illetőleg feltételezésünk szerint az ezzel arányos szállítási költségeknek meg—
felelően), amelyre vonatkozóan az egyenletrendszerben felsorolt mennyisé-—
geknek és az átlagos szállítási távolságoknak a szorzata a lehető legkisebb értéket adja. Lényegében ezeknek a szorzatoknak az összegéből adódó függ— — vény minimumát keressük az ismertetett feltételek mellett. A feladatot a disztribuciós módszer segítségével könnyen megoldhatjuk.
Az előző fejezetben ismertetett elvek alapján végrehajtott számítás végeredményét az 5. tábla foglalja össze.
Az eddigi vizsgálódások eredményei azt mutatják, hogy a lineáris prog—
ramozás módszere a tárgyalt konkrét esetben kedvező eredménnyel alkal—
mazható, és lényeges megtakarítást eredményez. A gépkocsik kiállítása a vizsgálat napján a ténylegesen felhasznált 4878 kilométerrel szemben 3198 kilométerrel is megoldható, tehát 1680 kocsikilométert meg lehetett volna takarítani. A megtakarítás az eredeti 4878 kocsikilométer 34,5 százaléka. Ha figyelembe vesszük, hogy a fuvarozási feladat teljesítése után a tehergép—
kocsik általában a megrendelő telephelyéről állanak be a garázsba, akkor nyilvánvaló, hogy még további megtakarítást is el lehet érni. A nyert ada—
tokból arra lehet következtetni,, hogy csak Nagy—Budapest területén a_teher- gépkocsik irányításának tökéletesebb módszereit alkalmazva, évenként mint—- egy 5—600 OOO kocsikilométer volna megtakarítható. Ez óvatos becslés szerint mintegy 1,5———2 millió forint megtakarítást jelentene.
Ezt a vizsgálódást folytatni lehetne a budapesti autóközlekedési igaz—
gatóság egész területére, és ki lehetne terjeszteni a célfuvarozó vállalatok, esetleg a közületi gépkocsik egy részének irányítására is. Az a vélemé—
nyünk, hogy ezen a területen a lineáris programozás módszerét eredménnyel lehetne alkalmazni. Félreértések elkerülése végett le kell szögezni, hogy elemzésünk csupán Budapest területére és a gépjárműközlekedésnél fel—
merülő üres futásnak egy kisebb részére terjedt ki. Ezen a területen a helyi adottságok viszonylag nagy megtakarítási lehetőség kimunkálására, nyúj—
tottak alkalmat. Az ország egyéb területén, ahol ezek a speciális körülmé—
nyek nem állanak fenn, valamint az üres futás nagyobb részénél (a fuva—
rozás végcéljától a garázsig felmerülő kilométerek) a probléma bonyolultabb és a kimunkálható megtakarítás mértéke legfeljebb 1—2 százalékra
becsülhető. — ' '
A most tárgyalt kérdésen kivül a közlekedés területén számos olyan probléma van, amelynek tudományos kutatási módszerekkel történő feltá- rásánál, és vizsgálatánál a lineáris programozás módszere célszerűen és eredménnyel alkalmazható. Ilyen terület például a gépíárműtelepek, illető- leg a garázsok elhelyezésének a kérdése. Itt a megoldandó feladat az, hogyan lehetne kiielölni azokat a telenhelveket, amelvek lehetővé teszik a kiállítási kocsikilométerek számának minimálisra csökkentését. Hasonló sokatígérő' vizsgálati terület a szállítások optimális megszervezésének kérdése stb. is.
