ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS

(1)

LOGIKA ÉS

ÉRVELÉSTECHNIKA

(2)

(3)

(4)

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Logika és érveléstechnika

9. hét A LOGIKA HATÁRAI Készítette: Mittelholcz Iván Szakmai felel®s: Mittelholcz Iván

2011. február

(5)

9. hét Mittelholcz Iván

Készült a következ® m¶ felhasználásával:

Ruzsa ImreMáté András: Bevezetés a modern logikába. Osiris, 1997.

(6)

Univerzális döntési eljárás

Eldöntésprobléma: felismerhet®-e automatikusan minden esetben a következményreláció (Γ⇒A vagyΓ`A) fennállása

Különböz® módszerek:

analitikus táblázat Turing-gép

rekurzív függvények (Kleene) algoritmusok (Markov)

Eredmények: a különböz® megközelítések ekvivalensek, és nem univerzálisak nincs egyetemes eljárás, amivel a következtetés eldönthet®.

(7)

Klasszikus deníció

példa

Az ember értelmes állat.

deniendum = genus proximum + dierentia specica genus proximum: legközelebbi nem fogalom (pl. állat) dierentia specica: fajta alkotó különbség (pl. értelmes) problémák:

csak monadikus predikátumok deniálására alkalmas mappák (hierarchikus) vs. címkék (keresztbe osztályozás)

(8)

Formális deníció

két azonos szabad változókat tartalmazó, nyitott mondat lekötött változók eltérhetnek

jele: ⇔_df

példa

x bátyja y-nak⇔_df x id®sebb y-nál& x testvére y-nak&x fér Egy deníció után a nyitott mondatokat univerzálisan kvantikálva és a deníció jelét bikondícionálisra cserélve igaz állítást kapunk:

példa

∀x∀y (x bátyja y-nak)≡(x id®sebb y-nál& x testvére y-nak

& x fér)

(9)

Axiómatikus módszer

Els®rend¶ elmélet: E=hL,Γi L: egy els®rend¶ nyelv

Γ: Lnyelv formuláinak egy osztálya (axiómák) alapfogalmak: Lnemlogikai konstansai

származtatott fogalmak: alapfogalmak + deníció tételek: Γkövetkezémnyei

Γvégetelen is lehet Γakár üres is lehet

valódi tételek: nem logikai igazságok

E negációteljes, ha nincs eldönthetetlen problémája azaz, ha tetsz®leges A formula bizonyítható vagy cáfolható az

elméletben

(10)

Peano aritmetika

Természetes számok aritmetikája nemlogikai konstansok: h0, ⁰,+,·i

a⁰ a tovább számolás névfunktora (n⁰=n+1) axiómák:

∀x∼(x⁰=0)

∀x∀y (x⁰=y⁰)⊃(x=y)

∀x(x+0=x)

∀x∀y x+y⁰= (x+y)⁰

∀x(x·0=0)

∀x∀y x·y⁰= (x·y) +x A⁰^/^x&∀x(A⊃A^x⁰^/^x)⊃ ∀xA

(11)

Nemteljességi tétel (Gödel, 1931)

Ha egy formális elmélet elegend®en er®s és konzisztens, akkor nem lehet negációteljes.

formális elmélet: formalizálható (pl. els®rendben), rekurzívan felsoroható axiómarendszerrel

elegend®en er®s: tartalmazza a Peano aritmetikát

konzisztens: nincs benne olyan mondat, ami bizonyítható és cáfolható is volna

nem negációteljes: megfogalmazható benne olyan mondat, ami se nem bizonyítható, se nem cáfolható

(12)

Nemteljesség és konzisztencia

inkonzisztens elmélet: ellentmondó premisszákból bármi és annak az ellenkez®je is levezethet®

bármi levezetése

premisszák: {A, ∼A} 1. lépés: {A} ⇒A∨B 2. lépés: {A∨B, ∼A} ⇒B

konzisztens (ellentmondásmentes) egy elmélet, ha van olyan mondata, ami nem vezethet® le az axiómáiból

nemteljesség: az elméletnek van olyan mondata, aminek a tagadása sem vezethet® le az elméletb®l (és ® maga sem)

mindig ilyen az elmélet ellentmondásmentességét kimondó állítás (2. nemteljességi tétel)

(13)

Összefoglalás

Nemteljesség: minden (elegend®en er®s) elméletnek vannak problémái, ahol nem bizonyítható sem az állítás, sem annak tagadása.

Univerzális eldönthet®ség hiánya: ahol lehetséges a bizonyítás, ott sem mindig ismerhet® fel automatikusan.

(14)

Feladatok

Deniáld az x testvére y-nak kétargumentumú predikátumot következ®k segítségével:

x és y-nak van közös szül®je gyelj a kötött változókra is

Deniáld az x féltestvére y-nak kétargumentumú predikátumot is!

x és y-nak pontosan egy közös szül®je van