3, 104

7. Mekkora a térerősség abban a 2 mm² keresztmetszetű, 1,7·10^-8 m fajlagos ellenállású homogén rézvezetékben, amelyben 0,4 A erősségű áram folyik.

A feladat értelmezése

A homogén rézvezeték belsejében feltehető, hogy homogén elektromos tér alakul ki. Erre igaz az

összefüggés, miszerint

U   E d

. Felhasználjuk a számolás során a hosszú, egyenes vezető ellenállására vonatkozó összefüggést, és figyelembe vesszük, hogy az előbbi egyenletben szereplő d távolság a vezeték esetén megegyezik annak hosszával, vagyis

d l 

.

Adatok, jelölések, információk

2 6 2

2 2 10

A  mm  

^

m 1,7 10

8

m

  

^

 0, 4

I  A

A térerősség kiszámítása

A térerősségre vonatkozó egyenletet, az Ohm-törvényt és a hosszú, egyenes vezető ellenállására vonatkozó összefüggéseket egyenletrendszerként kezeljük, és megoldjuk. Az egyenletrendszert úgy oldjuk meg, hogy az Ohm-törvénybe behelyettesítjük a másik két összefüggés mennyiségeit.

3, 10 4

3

V U E l

l l I

R E l I E

m

A A A

U RI

  

^

  

        

  



_.

8. Egy 100 Ohmos ellenállás 4 Wattal terhelhető. Legfeljebb mekkora feszültség kapcsolható rá, illetve mekkora áram hajtható át rajta?

Adatok, jelölések, információk

max

4

P  W 100 R  

A maximális feszültség kiszámítása

A maximális teljesítmény, az ellenállás és a maximális feszültség között felírjuk az egyenáram teljesítményére vonatkozó összefüggést, amiből a maximális feszültség gyorsan kiszámolható.

2 max

max

U

max max

20

P U P R V

 R   

_.

A maximális áramerősség kiszámítása

A maximális áramerősség kiszámolható az egyenáram teljesítményére vonatkozó másik összefüggésből, vagy a maximális feszültség ismeretével az Ohm-törvényből is. Mi az előbbit választjuk.

2 max

max max max

P 0, 2

P I R I A

   R 

.

Megjegyzés

A feladat fontosságát kiemeli, hogy a laboratóriumi mérések során, a karakterisztika-mérések

előkészítéseként tudni kell a védőellenállásokra és izzókra kapcsolható maximális feszültségeket és a rajtuk áthajtható maximális áram erősségét kiszámolni.

Amennyiben a hallgató ezt nem tudja, akkor részt sem vehet a mérési gyakorlaton, a feladat balesetvédelmi vonatkozásai miatt.

11. 10 mA méréshatárú, 2 Ω belső ellenállású áramerősség-mérővel 2 A-ig kívánunk mérni. Mekkora ellenállást kell alkalmaznunk, és milyen kapcsolásban? Ha a műszer mutatója 2,5 mA-t jelez, az új méréshatár milyen áramának felel ez meg?

Adatok, jelölések, információk

10 10

2 határ

I  mA 

^

A

belső

2

R  

mérendő 2

I  A

2,5 2,5 10

3

I

mért

 mA  

^

A

Az ellenállás típusának és nagyságának meghatározása

Az áramerősség-mérés során azzal védjük a mérőeszközt, hogy a rajta átfolyó áram valahányad részét tervezetten elvezetjük róla. Ehhez egy másik ellenállást kell vele párhuzamosan kötni, ezt nevezzük Sönt- ellenállásnak.

Képezzük a váltószámot a méréshatár és a mérendő áramerősség között:

200

mérendő határ

n I

 I 

_.

Ennek segítségével megadható a Sönt-ellenállás nagysága

1 0,01005 0,01

S

1

belső

R R

 n    



^.

A mért áramerősség valódi értékének meghatározása

A Sönt-ellenállás minden mért áramerősség nagyságát befolyásolja. A kijelző mutat egy áramerősséget, de a valós értékhez még hozzá kell adni a Sönt-ön átfolyó áram nagyságát is (a modern, digitális eszközök a helyes áramerősséget jelzik ki, ha a belső Sönt-jüket használjuk).

0,5

valós

valós mért mért

I n I I n A

I    

12. 50 mV méréshatárú, 20 kΩ belső ellenállású voltmérővel 20 V-ig kívánunk mérni. Mekkora ellenállást kell alkalmaznunk, és milyen kapcsolásban? Ha a műszer mutatója 15 mV-t jelez, az új méréshatár milyen feszültségének felel ez meg?

Adatok, jelölések, információk

5

2

50 10

határ

U  mV  

^

V 20 2 10

4 belső

R  k    

mérendő

20

U  V

15 1,5 10 2

Umért  mV   ^ V

Az ellenállás típusának és nagyságának meghatározása

A feszültség-mérés során úgy védjük a mérőeszközt, hogy vele sorba kapcsolunk egy ellenállást, így a mért feszültség egy része ezen az ellenálláson fog esni, és csak a maradék terheli a mérőeszközt. Ezt, a

mérőeszközzel sorba kapcsolt ellenállást Előtét-ellenállásnak nevezzük.

Képezzük a váltószámot a méréshatár és a mérendő feszültség között:

400

mérendő határ

n U

 U 

_.

Ennek segítségével megadható az Előtét-ellenállás nagysága

 ¹  ^{79 8 10}

⁴

^{8 10}

⁶

E belső

R  n  R      

A mért feszültség valódi értékének meghatározása

Az Előtét-ellenállás minden mért feszültség nagyságát befolyásolja. A kijelző mutat egy értéket, de a valós érték kiszámolásához még hozzá kell adni az Előtéten eső feszültség nagyságát is (a modern, digitális eszközök a helyes áramerősséget jelzik ki, ha a belső Sönt-jüket használjuk).

6

valós

valós mért

mért

U n U U n V

U    

13. Egy elektromos mérőműszer feszültségmérési határa 27 Ω-os előtét-ellenállást használva n-szer nagyobb lesz. A műszert 3 Ω-os sönttel használva az árammérési határa szintén n-szeresére nő. Mekkora a műszer belső ellenállása és mekkora n?

Adatok, jelölések, információk

E

27 R  

S

3 R  

Megoldás

Bár meglehetősen kevés információval rendelkezünk, felírhatjuk az Előtét- és Sönt-ellenállások nagyságára vonatkozó összefüggéseket.

 ¹  ^{, 1}

E belső S

1

belső

R n R R R

   n



^.

Mivel ugyanarról az eszközről van szó (vagyis a belső ellenállása ugyanaz a két esetben), illetve a feladat szövege szerint azonos a méréshatár-kiterjesztés ’n’ szorzófaktora, a két egyenletet egyenletrendszerként megoldhatjuk (mi a két egyenlet összeszorzásával oldjuk meg az egyenletet, mivel minden mennyiség pozitív, és egyik sem nulla).

 

2 2

1

81 9

1 1

E belső

E S belső belső

S belső

R n R

R R R R

R R

n

  

       

    

.

Visszahelyettesítés után

 ¹  ²⁷  ^{1 9}  ^{1 3 4}

E belső

R  n  R    n     n    n 

.

14. Mekkora ellenállású fűtődrótot kapcsoljunk U = 110 V-os feszültségre, ha 10 perc alatt akarjuk 5 dl víz hőmérsékletét 10 ^oC-kal növelni? (A víz fajhője c=4,2 kJ/(kg ^oC))

Mekkora ez az ellenállás, ha a melegítés hatásfoka 60%?

A feladat értelmezése

A feladat megoldásának kulcs az, hogy tudjuk, hogy az egyenáram által végzett munka a víz melegítésére fordítódik valamekkora hatásfokkal, vagyis

 W

_E

 Q

.

Adatok, jelölések, információk

110

U  V

10 600

t perc s

  

10

T C

  

4, 2 / ( ) 4, 2 10

3

/ ( ) c  kJ kg C    J kg C 

4 3

5 0,5 5 10

V  dl  l  

^

m

3 3

10 /

v

kg m

 

(ennek értékét tudni kell fejből)

Az ellenállás kiszámítása 100%-os hatásfok esetén

Először írjuk fel a víz melegítésére vonatkozó egyenletet, illetve az egyenáram által végzett munka kifejezését!

2

,

_E

U

Q cm T W P t t

     R 

A hőátadásban a melegítendő víz tömege, és nem térfogata szerepel. A Fizika I. tárgyban a sűrűségről tanultak alapján

v

0,5

m   V  kg

Mivel a feladat eléső részében a hatásfok 100%, vagyis 1, egyenlővé tehetjük a két energia-mennyiséget, és kiszámolható az ellenállás nagysága.

2 2

345,7

E

U U

W Q t cm T R t

R cm T

         



^.

Az ellenállás kiszámítása 60%-os hatásfok esetén

Ebben az esetben ugyanazokat az összefüggéseket használhatjuk, mint az előbb, kivéve, hogy az egyenáram energiája nem 100%-ban, hanem csak 60%-ban (vagyis 0,6-os szorzóval) fordítódik melegítésre. Így

2 2

207, 43

E

U U

W Q t cm T R t

R cm T

            



^.

15. Mennyi ideig tart, amíg a 800 W teljesítményű és 85% hatásfokú elektromos vízforralóval 1,5 l-nyi 10 °C hőmérsékletű vizet felforralunk? (cv = 4200 J/kgK)

A feladat értelmezése

A feladat megoldásának kulcs az, hogy tudjuk, hogy az egyenáram által végzett munka 85%-a a víz melegítésére fordítódik (a többi veszteség), vagyis

0,85  W

_E

 Q

.

Adatok, jelölések, információk

800

P  W 10

T C

  

85% 0,85

  

4, 2 / ( ) 4, 2 10

3

/ ( ) c  kJ kg C    J kg C 

3 3

1,5 1,5 10 V  l  

^

m

3 3

10 /

v

kg m

 

(ennek értékét tudni kell fejből)

Az ellenállás kiszámítása

Először írjuk fel a víz melegítésére vonatkozó egyenletet, illetve az egyenáram által végzett munka kifejezését!

,

_E

Q cm T   W   P t

A hőátadásban a melegítendő víz tömege, és nem térfogata szerepel. A Fizika I. tárgyban a sűrűségről tanultak alapján

v

1,5

m   V  kg

Így már használhatjuk az energia-átadásra vonatkozó egyenletet, és kiszámolható a keresett idő.

92,65 1,54 min

E

W Q P t cm T t cm T s

  P



          

.

18. A B=10^-2 Vs/m² indukciójú homogén mágneses térbe v=10⁵ m/s sebességű proton érkezik az indukcióvonalakra merőleges irányban. Mekkora sugarú körpályán fog mozogni a proton, ha tömege

1,6·10^-27 kg, töltése 1,6·10^-19 C?

A feladat értelmezése

A protont a mágneses tér által kifejtett Lorentz-erő tartja körpályán, vagyis az egyenletes körmozgást biztosító centripetális erőt a Lorentz-erő adja, vagyis

F

_L

 F

_cp

. Ebből tudjuk kiszámolni a pálya sugarát.

Adatok, jelölések, információk

1,6 10

19

q

p

  e 

^

C 1,6 10

27

m

p

 

^

kg

2 2

10 /

B 

^

Vs m 10

5

/ v  m s

A megoldás

Írjuk fel a Lorentz-erőre és a centripetális erő nagyságára vonatkozó kifejezéseket! Az előbbinél vegyük figyelembe, hogy a proton sebességének az iránya merőleges a mágneses indukcióvektor irányára (így az összefüggés egyszerűsödik).

2

L p

,

cp p

F q vB F m v

  r

_.

A kettőt egyenlővé téve egymással meg is kapjuk a feladat megoldását

2 2

p p

0,1

L cp p p

p p

m v m v

F F q vB m v r m

r q vB q B

      

_.

19. Mekkora sebességre gyorsul fel egy 0 m/s kezdősebességű elektron 20 V feszültség hatására? Az elektron tömege 9,1·10^-31 kg, töltése -1,6·10^-19 C. A felgyorsított elektron a mozgás irányával 30°-os szöget bezáró, 0,2 Vs/m² indukciójú homogén mágneses térbe kerül. Mekkora erő hat az elektronra a mágneses térben?

A feladat értelmezése

A vizsgált elektront először felgyorsítjuk 20 V nagyságú gyorsítófeszültséggel. Ez az első fizikai folyamat, a rá vonatkozó munkatétel (figyelembe véve, hogy a kezdeti sebesség zérus)

, ,2 ,1 ,2

0

,2

e k I k k k k

q U   E  E  E  E   E

.

Ezután kerül mágneses térbe, a rá ható Lorentz-erő kifejezése

F

_L

 q v B

_e



. Ennek a nagyságát kívánjuk meghatározni.

Adatok, jelölések, információk

1,6 10

19

q

e

    e 

^

C 9,1 10

31

m

e

 

^

kg 20

U   V

A gyorsítófeszültség előjele annak köszönhető, hogy negatív részecskét szeretnénk gyorsítani, így egy megfelelő polaritású feszültségre van szükség.

0

0 /

v  m s 0, 2 /

2

B  Vs m

   30

Az elektron sebességének kiszámítása

Felhasználva a fenti munkatételt (ahol ugye a kezdeti sebesség értékét már figyelembe vettük) kiszámolható az elektron sebessége.

2 6

,2

2

1 2, 652 10

2

e

e k e

e

q U m

q U E m v v

m s

     

_.

Az erő nagyságának meghatározása

Az elektronra ható Lorentz-erő nagyságát az alábbi módon számolhatjuk ki.

sin 4, 2432 10

14

L e

F  q v B   

^

N

.

21. Mágneses térben 2 cm² felületű vezető keretben 5 A erősségű áram folyik. A mágneses tér 2 10^-4 Nm értékű forgató-nyomatékkal hat a keretre, amikor annak síkja a B mágneses indukcióvektorral párhuzamos és a keret forgástengelye merőleges B-re.

a) Mekkora B ezen a helyen? (B = 0,2 Vs/m²)

b) A forgatónyomaték hatására a keret forogni kezd. Mekkora forgatónyomaték hat ekkor a keretre?

c) Erről a pontról a keret tovább fordul. Mekkora szögeltérésnél áll meg?

A feladat értelmezése

Az áramjárta vezetőkeretre mágneses térben forgatónyomaték hat. Az erre vonatkozó egyenlet

M

 forg

 I A B







. Fontos azonban kiemelni, hogy a felületet jellemző

A



felületvektor merőleges a vezetőkeret síkjára, így mindig egyeztetni kell a vezetőkeret, illetve a felületvektor irányát a

B



mágneses indukcióvektorhoz képest.

Adatok, jelölések, információk

2 4 2

2 2 10

A  cm  

^

m 5

I  A 2 10

4

M

forg

 

^

Nm

A mágneses indukcióvektor nagyságának kiszámítása

Mivel a vezetőkeret párhuzamos az indukcióvektorral, az A

felületvektor merőleges lesz rá. Ekkor a forgatónyomatékvektor nagyságára vonatkozó egyenlet leegyszerűsödik, és ebből kiszámolható a mágneses indukció nagysága.

0,2

2 forg forg

M Vs

M I A B B

I A m

   

_.

A keret mozgásának leírása

A kezdetben nyugalomban lévő keret elkezd forogni. Amikor a keret merőleges lesz az indukcióra (vagyis a felületvektor párhuzamos vele), akkor 0-vá válik a forgatónyomaték.

Lévén a keret akkor még mozog, tovább-lendül, és egy egyre növekvő, ellentétes irányú forgatónyomaték kezd rá hatni.

Ha minden egyéb hatástól és veszteségtől eltekintünk, akkor a lassító forgatónyomaték éppen akkor állítja meg a keretet, amikor annak a síkja megint párhuzamossá válik az indukcióval. Onnan visszafelé kezdi el gyorsítani a keret forgását.

A két szélső állapot között így egy periodikus mozgás jön létre.

26. Hosszú, egyenes, áramjárta vezetőt B = 0,015 Vs/m² indukciójú homogén mágneses térbe helyezünk az indukcióra merőleges síkban. Milyen nagyságú és irányú erő fog hatni a vezető 20 cm-es darabjára, ha abban I = 0,4 A nagyságú áram folyik?

A feladat értelmezése

Az áramjárta vezetőre mágneses térben erő hat, ezt nevezzük Ampére-erőnek. Az erre vonatkozó egyenlet

F

A

 I l B







. Fontos kiemelni, hogy az l

vektor iránya megegyezik az áram irányával.

Adatok, jelölések, információk 20 0, 2

l cm m

0, 4

I  A 0,015 /

2

B  Vs m

Az erővektor nagyságának meghatározása

Mivel a vezető iránya (ezzel együtt az áram, vagyis az l

vektor iránya) merőleges az indukcióra, az erő nagyságára vonatkozó egyenlet leegyszerűsödik.

1, 2 10

3

F

A

 I l B  

^

N

.

Az erővektor irányának meghatározása

Tekintsük az alábbi elrendezést!

Ez alapján berajzolható a vektorok iránya (a mágneses indukcióvektor irányának jelzése azt jelenti, hogy az merőleges a síkra, és „befelé” mutat), és a jobbkéz-szabály segítségével megadható az Ampére-erő iránya is.

I



^B



^B

l

FA

29. A Föld mágneses terének függőleges komponense a vizsgált helyen 20 A/m. Határozzuk meg az 1,44 m nyomtávú síneken 108 km/h sebességgel haladó vonat esetén a vonat tengelyében indukált feszültséget, mely a sínek között mérhető! (μo = 4π·10^-7 Vs/Am)

A feladat értelmezése

Külső mágneses térben vezetőt mozgatunk, amelyben ennek hatására feszültség indukálódik. Az ilyen feladatot a Neumann-törvény segítségével jó megoldani. Ennek általános alakja

( )

B AB

A

v B dl

  

^



^{ .}

Viszont mivel a mágneses tér homogénnek tekinthető, a vezető (a tengely) egyenes, és a tengely mentén a sebesség ugyanakkora, és azonos irányú (a tengely pontjai együtt haladnak), a fenti kifejezés

leegyszerűsödik:

( ) ( , , )

AB

v B l v B l

  

 

 

    _.

További egyszerűsítési lehetőséget ad az, hogy a mágneses tér (és levegőben a mágneses indukció is), a vezető iránya, illetve a sebesség mind merőlegesek egymásra. Ekkor

AB

v B l

  

,

ahol az előjel akkor pozitív, ha a sebesség, a mágneses indukció, és a vezetőhöz rendelt vektor iránya ebben a sorrendben jobbkéz-szabálynak tesz eleget. Mivel a vezetőhöz rendelt

l



vektort nem rögzítettük, választhatjuk úgy, hogy az indukált feszültség előjele pozitív legyen, vagyis

Ez a választás egyébiránt lerögzíti a feszültség polaritását is (az

l



vektor A-ból B-be mutat), az A és B pont helyét is jelöltük az ábrán. Így az A ponttól a B pont felé „haladva” az alábbi feszültség indukálódik a vezetőben

AB

v B l

 

.

Megjegyzés: zárthelyi dolgozatban elegendő egy rövid magyarázat után ezt az összefüggést felírni, a teljes levezetésre nincs szükség.

Adatok, jelölések, információk H = 20 A/m

l = 1,44 m

v = 108 km/h = 30 m/s μo = 4π·10^-7 Vs/Am

B  l  B v 

A

Az indukált feszültség kiszámítása

Először számoljuk ki a mágneses indukció nagyságát! Lévén levegőben vagyunk, a mágneses térerősség és az indukcióvektor között egyszerű összefüggés áll fenn, amiből

5

0 0

2,513 10 Vs

2

B H B H

 

^

m

    

 

.

Fontos megjegyezni, hogy a fenti összefüggés irányra vonatkozó részét a feladat értelmezésénél már figyelembe vettük.

Ezen eredmények alapján az indukált feszültség nagysága

1, 086 10

3

AB

v B l V

   

^ .

33. Egy 1Ω és egy 2Ω ellenállású félkör alakú vezetőből teljes kört hoztunk létre. Ezt homogén mágneses mezőbe helyezzük az indukcióra merőleges síkban. Az indukció nagyságának változási gyorsasága 80T/s, a kör sugara 15 cm. Mekkora a körben indukálódott elektromotoros erő és az áramerősség? Mekkora az elektromos mező térerőssége a vezeték-szakaszok belsejében?

A feladat értelmezése

A feladat megoldásának alapja a Faraday-féle indukciós törvény, amely homogén mágneses térben, egyszerű felületű vezetőkeretre az alábbi alakú:

  _{cos cos sin}

i

d B A

d dB dA d

U A B BA

dt dt dt dt dt

   

 

       





.

Mivel a feladatban a vezetőkeret által körülölelt felület nagysága nem változik, illetve a vezetőkeret síkjának és a mágneses indukciónak a szöge sem változik, ezért a fenti összefüggés második és harmadik tagja zérus, vagyis

i

cos U dB A

dt 

 

Adatok, jelölések, információk R1 = 1 Ω

R2 = 2 Ω

dB 80 T

dt  s

r = 15 cm = 0,15 m

Külön érdekes a φ szög értékének meghatározása. Mivel a vezetőkeret merőleges a

B



-re, ezért a felület

A

 vektora (amit a felületre merőlegesen definiálunk) párhuzamos lesz

B



-vel. Így a φ szög értéke lehet 0°, vagy 180°.

A kettő közötti választás egy áramirány választásának felel meg. Mivel ezt még nem tudjuk most,

felteszünk egy áramirányt, annak megfelelően kiválasztjuk φ értékét, és ha a kiszámolt áramerősség pozitív, akkor a feltételezett áramirány helyes, ha a végeredmény negatív, akkor a választottal ellentétes irányba folyik az áram.

A Faraday-féle indukciótörvényben szereplő negatív előjel miatt az ilyen feladatoknál elmondható, hogy ha a szöget 0°-osnak választjuk, akkor cos φ értéke 1 lesz, a negatív előjel miatt a feszültség, és így az áramerősség is negatív lesz. Ha a szöget 180°-osnak választjuk, akkor cos φ értéke -1 lesz, így a feszültség és az áramerősség pozitív.

A választott

A



vektorirány és az áram (körbe)folyási iránya között a jobbkézszabály teremt kapcsolatot.

Jelen feladatban az áram iránya nem kérdés, így mindegy, milyen φ szög értéket választunk, itt most legyen

φ = 180°

Az indukált feszültség kiszámítása Először számoljuk ki a felület nagyságát!

2

0,0707

2

A r    m

Ebből az indukált feszültség

cos 5,656

i

U dB A V

dt 

  

.

Az indukált áram kiszámítása

A fenti feladat az áramerősség kiszámítása tekintetében formálisan megfeleltethető az alábbi áramkör kiértékelésének:

Láthatóan a két ellenállás sorba van kötve, így az áramerősség

1 2

1,885

i i

e

U U

I A

R R R

  



Az elektromos térerősségek kiszámítása

Ennél a feladatrésznél feltehetjük, hogy a vezetékek belsejében az elektromos tér jó közelítéssel homogén, így használhatjuk a

U E d 

összefüggést, ahol a d most az egyes vezetékek hossza. Ezek alapján az 1 Ω-os vezetékben a térerősség

1 1

1

1 1 1

4

E U

d R I V

U R I E

r m

d r 



  

     

  



.

Ugyanígy kiszámolható a másik vezetékdarab belsejében a térerősség, ami pedig ₂

8 V E  m

lesz.

Ui

R1 R2

34. Négyzet alakú vezetőkeretet a keret síkjára merőleges, változó mágneses térbe helyezünk. A mágneses indukció nagysága 5 s alatt egyenletesen csökken 0,02 Vs/m²-ről 0,005 Vs/m²-re. Mekkora feszültség indukálódik a keretben? Mekkora nagyságú, és milyen irányú áram folyik ennek hatására a vezetőkeretben, ha annak ellenállása 3,2 Ω? A négyzet oldalhosszúsága 5 cm.

A feladat értelmezése

A feladat megoldásának alapja a Faraday-féle indukciós törvény, amely homogén mágneses térben, egyszerű felületű vezetőkeretre az alábbi alakú:

  _{cos cos sin}

i

d B A

d dB dA d

U A B BA

dt dt dt dt dt

   

 

       





.

Mivel a feladatban a vezetőkeret által körülölelt felület nagysága nem változik, illetve a vezetőkeret síkjának és a mágneses indukciónak a szöge sem változik, ezért a fenti összefüggés második és harmadik tagja zérus, vagyis

i

cos U dB A

dt 

 

_.

Az áram irányának meghatározása érdekében érdemes ábrát rajzolni. Hogy az irányok jobban látszanak, enyhén perspektivikusan és felülnézetből is elkészítjük az ábrát.

Adatok, jelölések, információk B1 = 0,02 Vs/m²

B2 = 0,005 Vs/m² Δt = 5 s

a = 5 cm = 0,05 m R = 3,2 Ω

Külön érdekes a φ szög értékének meghatározása. Mivel a vezetőkeret merőleges a

B



-re, ezért a felület

A

 vektora (amit a felületre merőlegesen definiálunk) párhuzamos lesz

B



-vel. Így a φ szög értéke lehet 0°, vagy 180°.

A kettő közötti választás egy áramirány választásának felel meg. Mivel ezt még nem tudjuk most, felteszünk egy áramirányt, annak megfelelően választjuk

A



irányát. Éljünk az alábbi választással!

B 

B 

B 

B  A 

A 

I I

A választott

A



vektorirány és az áram (körbe)folyási iránya között a jobbkézszabály teremt kapcsolatot.

A fenti választással φ = 180°.

Megjegyzés: ha a kiszámolt áramerősség pozitív lesz, akkor a feltételezett áramirány helyes, ha a végeredmény negatív, akkor a választottal ellentétes irányba folyik az áram.

Az indukált feszültség kiszámítása Először számoljuk ki a felület nagyságát!

2

2,5 10

3 2

A a   

^

m

Ebből az indukált feszültség

2 1 6

cos cos 7,5 10 7,5

i

B B

U B A A V V

t  ^ t 

^



         

 

^.

Az indukált áram nagysága és iránya

Az áram nagysága (lévén a feszültség állandó) könnyen kiszámolható

2,344 10

6

2,344

U

i

I A A

R

^



     

_.

Lévén az áramerősségre negatív értéket kaptunk, az általunk választott (feltételezett) áramirány nem jó, éppen azzal ellentétesen folyik az áram, vagyis

B 

B 

I I

35. Egy 2 T indukciójú mágneses térben az indukcióvonalakra merőleges tengely körül 5 cm oldalhosszúságú, négyzet alakú vezetőkeretet forgatunk, amely rézhuzalból készült. A huzal keresztmetszete 0,5 mm², anyagának fajlagos ellenállása 0,017 Ωmm²/m. A keretben folyó áram legnagyobb értéke 2,4 A. Mekkora a fordulatszám? (0,52 1/s)

A feladat értelmezése

A feladat megoldásának alapja a Faraday-féle indukciós törvény, amely homogén mágneses térben, egyszerű felületű vezetőkeretre az alábbi alakú:

  _{cos cos sin}

i

d B A

d dB dA d

U A B BA

dt dt dt dt dt

   

 

       





.

Mivel a feladatban a mágneses indukció és a vezetőkeret által körülölelt felület nagysága nem változik, a fenti összefüggés első és második, vagyis

i

sin U BA d

dt

 



_.

Figyelembe véve, hogy egyenletes forgatás esetén

   t

, ez azt jelenti, hogy

U

_i

 BA  sin  t

, illetve

sin

U

i

BA

I t

R R

 

 

. Mivel a szinusz függvény értéke valós esetben -1 és 1 között változik, az áramerősség maximális értéke _max

BA

I R

 

. Ebből fogunk tudni számolni.

Adatok, jelölések, információk B = 2 T

a = 5 cm = 0,05 m

Ahuzal = 0,5 mm² = 5·10^-7 m² ρ = 0,017 Ωmm²/m = 1,7·10^-8 Ωm Imax = 2,4 A

A fordulatszám kiszámítása

A fenti egyenletbe behelyettesítve kiszámolható az ω szögsebesség, és abból fogjuk kiszámolni a fordulatszámot. Ehhez azonban először ki kell számolnunk a négyzet által körülölelt felület nagyságát, illetve a vezeték ellenállását.

2 3 2

4

3

2,5 10 , illetve 6,8 10 .

huzal huzal

l a

A a m R

A A

 

 

       

Így

max max

3, 264 1 I R

I BA

R BA s

 

   

_,

amiből

1

2 0,52

n s



  

.

36. A B=2Vs/m² indukciójú homogén mágneses térben az indukcióvonalakra merőleges tengely körül 4 cm oldalú, négyzet alakú vezetőkeretet forgatunk n = 25 s^-1 fordulatszámmal. A forgástengely a négyzet egyik középvonala. A keret ellenállása 0,1 . Hogyan változik az indukált feszültség és az áramerősség az időben, mekkorák a csúcsértékek?

A feladat értelmezése

A feladat megoldásának alapja a Faraday-féle indukciós törvény, amely homogén mágneses térben, egyszerű felületű vezetőkeretre az alábbi alakú:

  _{cos cos sin}

i

d B A

d dB dA d

U A B BA

dt dt dt dt dt

   

 

       





.

Mivel a feladatban a mágneses indukció és a vezetőkeret által körülölelt felület nagysága nem változik, a fenti összefüggés első és második, vagyis

i

sin U BA d

dt

 



_.

Figyelembe véve, hogy egyenletes forgatás esetén

   t

, ez azt jelenti, hogy

U

_i

 BA  sin  t

, illetve

sin

U

i

BA

I t

R R

 

 

_.

Adatok, jelölések, információk B = 2 Vs/m²

a = 4 cm = 0,04 m n = 25 1/s

R = 0,1 

A függvények kiszámítása

Először is, fontos kiemelni, hogy az indukciótörvényből származtatott összefüggésekben nem a fordulatszám, hanem az ω szögsebesség szerepel, ami

2 n 50 1

     s

_. Ennek behelyettesítésével

 

 

2 2

sin 0,5026 sin 50 sin 5,026 sin 50

U

i

Ba t V t

I Ba t A t

R

  

  

  

  

37. Egy transzformátor vasmagjában 410^-4 Vs csúcsértékű, szinuszosan változó fluxus van. Mekkora maximális feszültség indukálódik a vasmagon elhelyezett, 250 menetű tekercsen, ha f = 500Hz?

A feladat értelmezése

Ha a mágneses fluxus

  

₀

sin  t

módon változik időben, akkor az indukciótörvény alapján az indukált feszültség

0

cos

i

U d t

dt ^  

   

_.

Ennek csúcsértéke (lévén az időfüggés szinuszos)

U

_max

 

₀



. Ekkora az indukált feszültség maximális értékének a tekercs 1 menetében. Mivel az egyes menetek „sorba kapcsoltak”, ezért a teljes feszültség, ami a tekercsben indukálódik,

U

_tekercs

 NU

_max.

Adatok, jelölések, információk

4

0

4 10

^

Vs

  

N = 250 f = 500 Hz

A keresett feszültség kiszámítása

A fenti képletekben nem az f frekvencia, hanem az ω körfrekvencia szerepel, de az egyszerűen számolhat a frekvenciából

3

1 2 f 3,14 10

     s

_. Ennek behelyettesítésével

max 0

1, 256

_teker_cs max

314

U     V  U  NU  V

.

39. Soros RLC kört (R=100Ω, L=0,2H és C=20μF) egy szokványos 50Hz-es, U=230V effektív értékű feszültségre kapcsolunk.

a) Mekkora az áramerősség effektív és maximális értéke, illetve a teljesítmény?

b) Mekkora a fáziseltolás értéke?

c) Hogyan kell a feszültségforrás frekvenciáját változtatni, hogy rezonancia lépjen fel (vagyis mekkora fR)?

d) A fenti rezonanciafrekvenciánál mekkora lesz az effektív és maximális áramerősség, illetve a teljesítmény?

A feladat értelmezése

A feladat egy standard RLC körös feladat. Egyszerűen a megfelelő összefüggéseket kell alkalmazni. Arra kell csupán odafigyelni, hogy a feladat adott kérdése rezonancia-frekvencián értelmezendő, vagy más frekvencián (ez jelen esetben adott).

Fontos kiemelni, hogy ha a frekvencia nem lenne megadva, kiszámolandó értéke lenne, és nincs kikötve, hogy az RLC kör rezonancia-frekvencián működik, akkor a rezonanciára vonatkozó összefüggések nem használhatóak, helyettük az általános képleteket kell alkalmazni.

Adatok, jelölések, információk R = 100 Ω

L = 0,2 H

C = 20 μF = 2·10^-5 F

f = 50 Hz itt érdemes azonnal a körfrekvenciát is kiszámolni, lévén az szerepel az összefüggésekben ω = 2πf = 100·π 1/s

Ueff = 230 V

Az áramerősségek kiszámítása

Az effektív áramerősség egyszerűen kiszámolható a váltóáramú Ohm-törvény segítségével:

eff eff

eff eff

U U

Z I

I    Z

, ahol a Z impedancia

Z R

²

 X

L

X

C



²

R

²

L ¹

²

 C



 

         

^.

Ha az áramkörből hiányzik egy áramköri elem, akkor a fenti összefüggésben annak az ellenállását kell zérusnak tekinteni (R, XL vagy XC), és minden más összefüggés ugyanúgy alkalmazható.

FONTOS! A kondenzátor esetén a C kapacitás értékét ne tekintsétek zérusnak, ha nincs az áramkörben! Az mindenképpen rossz eredményre vezet!

A fentieket összefoglalva, és az összefüggésbe behelyettesítve:

2 2

1,6565 1

eff eff

eff

U U

I A

Z R L

 C



  

 

   

 

Az áramerősség effektív értéke és az áram csúcsértéke között szinuszos áram esetén a váltószám 2, így

0

2

_eff

2,3427

I  I  A

.

A teljesítmény kiszámítása

Ha a feladat kiírásában csak annyi szerepel, hogy a váltóáramú hálózat teljesítményét kérjük kiszámolni, akkor a hatásos-, vagy más néven átlagteljesítményt kérjük. Ez többféleképpen is kiszámolható, érdemes azt a változatot választani, amihez a legtöbb adat áll rendelkezésre, esetünkben ez

cos 2 274, 4

eff eff eff

P U I



 PI R W . Megjegyzés 1.

Bár a hatásos teljesítmény fenti kifejezése nagyon hasonlít az egyenáramú hálózatoknál tanultakra, ez valójában a kivétel. Ha például az effektív feszültségből szeretnénk kiszámolni, a formula alakja az alábbi lesz:

2 2

U

eff

P R

 Z

. Megjegyzés 2.

Egyes feladatok kérhetik a Pl látszólagos és a Pm meddő teljesítmény kiszámolását is. Az ezekre vonatkozó összefüggések az alábbiak:

, sin

l eff eff m eff eff

P U I  P  U I 

A fáziseltolás kiszámolása

A fáziseltolás kapcsán az alábbi képletekkel számolhatunk cos R, tg X^L X^C , sin X^L X^C

Z R Z







 ^



 ^ .

Az első összefüggés problémája az, hogy a koszinusz függvény páros függvény, vagyis nem tudjuk biztosan megállapítani φ előjelét. A második összefüggéssel a probléma az, hogy nem minden számológép tudja kiszámolni a tangens függvény inverzét. Ezért két lehetőséget javaslok:

1. használjuk a 3. összefüggést!

2. használjuk az 1. összefüggést, majd XL vagy XC összehasonlításával határozzuk meg φ előjelét!

Az utóbbit alkalmazva az alábbi eredményekre jutunk:

cos R 0,72 43,95



 Z  



  , illetve mivel

X

_L

 L   62,83 

és 1

159,155 XC



C

  , a fáziseltolás negatív, vagyis

   43,95 

. A rezonancia-frekvencia kiszámolása

Most törölhetjük a megadott adatok közül a frekvencia (és a kiszámolt körfrekvencia) értékét.

Megvizsgáljuk, hogy milyen frekvencia értéknél jön létre az áramrezonancia. Az erre vonatkozó összefüggések, és a behelyettesítés eredményei a következők.

1 1 1

500 , 79,58

r

f

r

2 Hz

LC s LC

 ^{  }  ^

Az áramerősségek és a teljesítmény kiszámítása rezonanciafrekvencián

Az effektív áramerősség kiszámítása során felhasználhatjuk, hogy rezonancia-frekvencián az impedancia nagysága megegyezik az ohmikus ellenállással, vagyis

Z

_r

 R

. Így

, ^{eff eff}

2,3

eff r r

U U

I A

Z R

  

_{, illetve} I_0,r  2 I_{eff r,} 3, 253A.

Továbbá

2

, 529

r eff r

P I R W.

Érdemes még megjegyezni, hogy áramrezonancia esetén, lévén a feltétel az, hogy

X

_L

 X

_C legyen, a fáziseltolás zérus.