SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskola

SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskola

Számítógépes Algoritmusok és Mesterséges Intelligencia Tanszék

Speciális faautomata osztályok jellemzése

doktori értekezés

Gyuricza György

Témavezet®: Dr. Gécseg Ferenc

Szeged, 2010

A matematikában az ember nem megérti a dolgokat, hanem megszokja.

/ Neumann János /

Tartalomjegyzék

Bevezetés 1

Célkit¶zés 4

Eredmények 5

1. Alapfogalmak, el®készületek 6

1.1. Sztring nyelvek . . . 6

1.2. Determinisztikus felszálló fanyelvek . . . 11

2. Monoton nyelvek 20 2.1. Monoton sztring nyelvek . . . 20

2.2. Monoton determinisztikus felszálló fanyelvek . . . 23

2.3. A monoton DR-fanyelvek egy egyszer¶ jellemzése . . . 25

2.4. Megjegyzések η dekompozíciójával kapcsolatban . . . 27

2.5. Megjegyzések az ηA-ban lév® segédváltozók számával kapcso- latban . . . 30

2.6. A monoton DR-fanyelvek jellemzése . . . 35

3. Nilpotens nyelvek 42 3.1. Nilpotens sztring nyelvek . . . 42

3.2. Nilpotens determinisztikus felszálló fanyelvek . . . 48

3.3. A nilpotens DR-fanyelvek jellemzése . . . 50

4. Zártsági tulajdonságok vizsgálata 56 4.1. Egyesítés . . . 56

4.2. Metszet . . . 60

4.3. Komplementerképzés . . . 61

4.4. x-szorzat . . . 65 i

TARTALOMJEGYZÉK ii 4.5. x-iteráció . . . 65 4.6. σ-szorzat . . . 66 4.7. Zártsági tulajdonságok összegzése . . . 67

Értékelés, összegzés 68

Köszönetnyilvánítás 70

Irodalomjegyzék 71

Összefoglaló 73

Summary 79

Tárgymutató 85

Bevezetés

Tudjuk, hogy a determinisztikus felszálló fanyelvek valódi részosztálya a reguláris fanyelvek osztályának, és így nem minden reguláris fanyelvekre is- mert tulajdonság marad feltétlenül igaz erre a sz¶kebb nyelvosztályra. Azt is megállapíthatjuk, hogy a determinisztikus felszálló fanyelvekr®l teljes ál- talánosságban keveset tudunk. A vizsgálatainkat ezért egy jól körülhatárolt területre szerettük volna irányítani, így esett a választás a monoton és nilpo- tens alosztályokra. Ugyan mindkét nyelvosztály kapott már gyelmet (f®leg a nilpotens sztring nyelvek), de a reguláris kifejezésekkel való jellemzésük csak a monoton sztring nyelvekre lett megadva [5]-ben. Ez adta az ötletet, hogy a monoton determinisztikus felszálló fanyelvekre is lehetne adni egy ilyen irányú jellemzést, és ugyanúgy adta magát a nilpotens sztring nyel- vek és nilpotens determinisztikus felszálló fanyelvek reguláris kifejezésekkel való leírása. Ezen irányú kutatásaink eredménye szolgáltatja jelen értekezés gerincét.

Az értekezés elején természetesen azokat az alapfogalmakat deniáltuk, amelyekre az értekezés további részében támaszkodunk. Itt kerültek de- niálásra az automata, a nyelv és a reguláris kifejezések fogalma, mind a sztring nyelvek-, mind a determinisztikus felszálló fanyelvek esetében. Egyes el®készületeket is itt végeztünk el, mint például a redukált reguláris kifejezé- sek deniálását. Az alapfogalmakon túl nyilvánvalóan szükség volt néhány algebrai fogalom el®zetes ismeretére, ezek meglétét feltételeztük.

A monoton sztring nyelveket és monoton determinisztikus felszálló fa- nyelveket Gécseg Ferenc és Imreh Balázs szintaktikus monoidokkal jellemezte [5]-ben, és ugyanitt adtak a monoton sztring nyelvekre egy reguláris kifeje- zésekkel történ® jellemzést. Megállapították, hogy egy sztring nyelv akkor és csakis akkor monoton, ha el®állítható szeminormális láncnyelvek véges egyesítéseként. A monoton determinisztikus felszálló fanyelvek jellemzésénél ugyanezt az alapötletet kívántuk követni, azaz, hogy egy fa monoton de-

1

BEVEZETÉS 2 terminisztikus felszálló faautomatában való feldolgozásakor az állapotok egy monoton sorozatát tudjuk felírni, és így a nyelv leírását is erre építeni. Így született meg az úgynevezett triviális jellemzés, amely gyakorlatilag bármi- lyen monoton determinisztikus felszálló fanyelvet le tud írni reguláris kife- jezéssel, nekünk azonban szükségünk volt olyan megszorításokra is, amelyek mellett az ilyen alakú reguláris kifejezések monoton determinisztikus felszálló fanyelveket jelölnek. Ehhez be kellett vezetni többek között az iterációs magasság fogalmát, amelynek értéke a monoton sztring nyelvek és a mo- noton determinisztikus felszálló fanyelvek esetében is szorosan összefügg a monotonitással. Ezek után a triviális felírás néhány tulajdonságát vizsgáltuk meg, ilyen például annak ekvivalens átalakítást eredményez® felbontása, vagy segédváltozói számának redukálása. A reguláris kifejezésekkel való jellemzés- hez szükségünk volt egy új fogalom, az x-homogén tulajdonság deniálására is. Ennek segítségével készültek el a monoton determinisztikus felszálló fa- nyelvek x-iterációra való zártságának elégséges feltételei, és ugyanúgy felté- telekre volt szükségünk az x-szorzat zártságának biztosítására is. Ezután minden eszközünk meg volt arra, hogy az általunk bevezetett általánosított R-láncnyelv fogalmával jellemezzük a monoton determinisztikus felszálló fa- nyelveket.

A nilpotens nyelvek is jellemzésre kerültek Gécseg és Imreh által, a [4]

cikkben például szintaktikus monoidokkal jellemezték a nilpotens determi- nisztikus felszálló fanyelveket, ugyanakkor azonban a reguláris kifejezésekkel való leírásra nem került sor. Ezért itt a cél az volt, hogy mind a nilpotens sztring nyelvekhez, mind a nilpotens determinisztikus felszálló fanyelvekhez adjunk egy reguláris kifejezésekkel történ® jellemzést. Bevezettük a sima láncnyelv fogalmát, amely a monoton sztring nyelvek jellemzésénél használt láncnyelvek egy speciális esete, és err®l mutattuk meg, hogy pontosan a nil- potens nyelveket írják le. A nilpotens determinisztikus felszálló fanyelvek esetében egy hasonló megoldást kerestünk, amely tulajdonképpen a monoton determinisztikus felszálló fanyelvek esetében látott triviális reguláris kifejezés egy speciális esete lett. A végs® jellemzéshez szükségünk volt az út-teljesség fogalmának, valamint azx-termináló tulajdonságnak megalkotására is. Ezen fogalmak használatával fogalmaztuk meg a nilpotens determinisztikus fel- szálló fanyelvek osztálya x-szorzatra való zártságának elégséges feltételeit, és ezzel a reguláris kifejezéssel való jellemzést is meg tudtuk adni a sima R-láncnyelvek fogalmával.

Mivel egyes zártsági tulajdonságokra, vagy a zártságot biztosító felté- telekre szükségünk volt a monoton és nilpotens determinisztikus felszálló

BEVEZETÉS 3 fanyelvek jellemzésénél, az értekezés végén összefoglalásra kerültek a de- terminisztikus felszálló fanyelvek zártsági tulajdonságai a Boole- (egyesítés, metszet, komplementerképzés), valamint a reguláris (egyesítés, x-szorzat, x- iteráció, σ-szorzat) m¶veletekre nézve. Itt külön feltüntetésre kerültek a mo- noton és nilpotens alosztályokra vonatkozó eredmények, és néhány esetben a zártságot biztosító elégséges feltételeket is összegeztük. Megállapításaink többsége [3], [10], [11] és [12]-b®l származnak.

Célkit¶zés

Az értekezés alapjául szolgáló kutatási téma meghatározásánál azért esett a választás a determinisztikus felszálló fanyelvek speciális osztályainak a vizsgálatára, mert a determinisztikus felszálló fanyelvekr®l teljes általános- ságban keveset tudunk. Ebb®l kifolyólag a monoton és nilpotens determinisz- tikus felszálló fanyelvek tanulmányozása került el®térbe. Ezen kutatás ered- ményeképpen reguláris kifejezésekkel jellemeztük a fenti osztályokat mind a sztring nyelvek, mind a determinisztikus felszálló fanyelvek esetében, vala- mint megvizsgálásra került a fenti osztályok néhány zártsági tulajdonsága a Boole- és reguláris m¶veletekre nézve. Az értekezés célja a fenti eredmények és a hozzájuk tartozó összefüggések ismertetése, amelyben a reguláris kife- jezésekkel való jellemzés bír lényegi tartalommal, a zártsági tulajdonságok vizsgálata pedig mellékes szereppel. Az értekezésnek azonban nem célja a monoton és nilpotens nyelvek egyéb tulajdonságainak a vizsgálata, és így annak ismertetése sem.

4

Eredmények

Az értekezés eredményei négy fejezetbe lettek sorolva. Az els®ben az alapfogalmakat tisztázzuk, ezekre mindenképpen szükség van a lényegi ré- szek megértéséhez. Ugyanakkor az alapfogalmak ismertetésére a disszertáció önálló olvashatóságának céljából is szükség van. Ebben a részben ismerkedhe- tünk meg többek között a (fa)nyelvek és (fa)automaták fogalmával, valamint a reguláris kifejezésekkel, amely központi szerepet kap az eredményekben.

A második fejezet a monoton sztring nyelveket és monoton determinisz- tikus felszálló fanyelveket tanulmányozza. Az els®dleges cél ezek reguláris kifejezésekkel való megadása, de szót ejtünk a keresett konstrukció néhány további tulajdonságairól is.

A harmadik fejezet a nilpotens sztring nyelvekr®l és a nilpotens determi- nisztikus felszálló fanyelvekr®l szól. A cél hasonló, mint a monoton nyelvekr®l szóló fejezetben, azaz a nilpotens nyelvek reguláris kifejezésekkel való jellem- zése.

Végül, a negyedik fejezet a determinisztikus felszálló fanyelvek egyes Boole- és reguláris m¶veletekre való zártsági tulajdonságait gy¶jti össze, ahol külön kitérünk a monoton és nilpotens determinisztikus felszálló fanyelvekre. Itt egyes további tulajdonságok is megvizsgálásra kerültek, mint például olyan szükséges és/vagy elégséges feltételek meghatározása, amely mellett valamely fentebb említett nyelvosztály zárt vagy éppen nem zárt egy adott m¶ve- letre.

5

1. fejezet

Alapfogalmak, el®készületek

Ebben a fejezetben a legalapvet®bb fogalmakat ismertetjük. Elöljáróban rögzítsük le, hogy a természetes számok halmazát a megszokott N bet¶vel jelöljük, amely nem tartalmazza a0-át. AzN∪{0}halmazra a továbbiakban az N₀ jelöléssel fogunk hivatkozni.

1.1. Sztring nyelvek

Mind a természetes, mind a mesterséges nyelvek alatt olyan szavak összes- ségét értjük, amelyek bizonyos alapszimbólumokból épülnek fel.

1.1.1. deníció. Legyen X egy véges, nemüres halmaz. X-et ábécének, elemeit pedig bet¶knek nevezzük. Az X ábécé elemeib®l képezhet® véges hosszúságú láncokat X-feletti szavaknak nevezzük.

Az X ábécé feletti összes szavak halmazát X^∗ jelöli. Az üres szót (azaz azt a szót, amelyben egyetlen bet¶ sincs) e-vel jelöljük.

1.1.2. deníció. Egy u∈X^∗ szó hosszán a benne el®forduló bet¶k számát értjük multiplicitással számolva, jelölésképpen pedig az |u|-t használjuk rá.

A 0-nál hosszabb szavak halmazát X⁺-szal jelöljük, és alatta mindig az X⁺ =X^∗\ {e} halmazt értjük. Ugyanakkor egy k ∈N természetes számnál nem hosszabb szavak halmazátX^∗,k-val jelöljük, és általában azX^∗,k ={u∈ X^∗ :|u| ≤k}egyenl®séggel deniáljuk. Szokás még azn∈N₀ hosszú szavak

6

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 7 halmazát Xⁿ-nel is jelölni, így ebb®l ak-nál nem hosszabb szavak halmazát a következ®képpen is felírhatjuk:

X^∗,k =X⁰∪X¹∪. . .∪X^k = [k

i=0

Xⁱ.

Az X-feletti összes szavak halmazát is felírhatjuk hasonlóképpen:

X^∗ =X⁰∪X¹∪. . .∪X^k∪. . .= [∞

i=0

Xⁱ.

1.1.3. deníció. LegyenXegy ábécé. Az X^∗halmaz bármely részhalmazát X-feletti nyelvnek nevezzük.

A jelen értekezésben a fent deniáltX-feletti nyelveket sztring nyelveknek, vagy ha ez nem vezet félreértéshez, akkor egyszer¶en csak nyelveknek fogjuk nevezni.

1.1.4. deníció. A w∈X^∗ szót az u∈X^∗ szó kezd®szeletének (prexének) nevezzük, ha van olyan v ∈ X^∗ szó, amelyre u = wv teljesül. Továbbá azt mondjuk, hogy a w ∈ X^∗ szó valós kezd®szelete az u ∈ X^∗ szónak, ha w kezd®szelete u-nak, és |w|<|u|.

A következ®kben bevezetjük a véges automata fogalmát.

1.1.5. deníció. Legyen X egy tetsz®leges ábécé. Az A = (A, X, δ, a₀, A⁰) rendszert véges, determinisztikus X-automatának (röviden automatának) ne- vezzük, ahol

(i) A véges, nemüres halmaz, az állapotok halmaza, (ii) δ :A×X →A az átmenetfüggvény,

(iii) a₀ ∈A a kezd®állapot,

(iv) A⁰ ⊆A a végállapotok halmaza.

Az átmenetfüggvény kiterjeszthet® egy δ^∗ : A ×X^∗ → A függvénnyé, ahol minden a ∈ A állapotra, x ∈ X bet¶re és u ∈ X^∗ szóra teljesül, hogy

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 8 δ^∗(a, e) = a és δ^∗(a, xu) = δ^∗(δ(a, x), u). Az egyszer¶ség kedvéért a δ^∗(a, u) helyett gyakran használjuk a δ(a, u), vagy egyszer¶en csak az au jelöléseket, ha ez természetesen nem vezet félreértéshez.

1.1.6. deníció. Legyen A= (A, X, δ, a₀, A⁰)egy tetsz®leges automata. Az A automata által felismert L(A) nyelven az

L(A) ={u∈X^∗ | a₀u∈A⁰} nyelvet értjük.

1.1.7. deníció. Legyen X egy tetsz®leges ábécé. Egy L ⊆X^∗ nyelvet fel- ismerhet®nek nevezünk, ha van olyan A = (A, X, δ, a₀, A⁰) automata, amely

®t felismeri, azaz amelyre L=L(A).

X-feletti automatára és az általa felismert nyelvre tekintsük a következ®

példát.

1.1.8. példa. Legyen X = {x, y} egy ábécé és vegyük azt az A X-feletti automatát, melyre A = (A, X, δ, a0, A⁰), A = {a0, a1, a2, a3}, A⁰ = {a3}, valamint a δ átmenetfüggvény a következ®képpen van deniálva:

δ x y

a₀ a₂ a₁ a1 a3 a2

a₂ a₂ a₂ a₃ a₃ a₃ Az A automata által felismert nyelv a következ®:

L(A) ={yxu | u∈X^∗},

azaz olyanX-feletti szavak halmaza, amelyek azyxbet¶kett®ssel kezd®dnek, és bármilyen bet¶sorozattal folytatódnak.

1.1.9. deníció. LegyenA= (A, X, δ_A, a₀, A⁰)egyX-automata. Azt mond- juk, hogy a B = (B, X, δB, b0, B⁰) X-automata az A összefügg® részauto- matája, ha teljesülnek az alábbi feltételek:

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 9 (i) B ={a₀u | u∈X^∗},

(ii) B⁰ =A⁰ ∩B, (iii) a₀ =b₀, és

(iv) minden b∈B állapotra és x∈X bet¶re δ_B(b, x) = δ_A(b, x).

A következ® lépésben felidézzük a nyelveken értelmezett reguláris m¶ve- leteket. Tetsz®leges L₁ ⊆X^∗ és L₂ ⊆X^∗ nyelvek egyesítése alatt az

L₁∪L₂ ={u∈X^∗ | u∈L₁ vagy u∈L₂}

nyelvet, tetsz®leges L1 ⊆X^∗ és L2 ⊆X^∗ nyelvek konkatenációja alatt az L₁L₂ ={uv ∈X^∗ |u∈L₁, v ∈L₂}

nyelvet, valamint tetsz®leges L⊆X^∗ nyelv iteráltja alatt az L^∗ ={e} ∪L∪LL∪LLL∪. . .=

[∞

i=0

Lⁱ nyelvet értjük.

Most bevezetjük a reguláris kifejezések fogalmát.

1.1.10. deníció. LegyenX egy ábécé. Az összesX-feletti reguláris kifeje- zés REhalmazát és egy tetsz®leges η∈RE X-feletti reguláris kifejezés által leírt L(η) nyelvet a következ® párhuzamos denícióval adjuk meg:

• ∅ ∈RE, L(∅) = ∅,

• ∀x∈X :x∈RE, L(x) ={x}, továbbá ha η₁, η₂ ∈RE, akkor

• (η1) + (η2)∈RE, L((η1) + (η2)) = L(η1)∪L(η2),

• (η₁)(η₂)∈RE, L((η₁)(η₂)) = L(η₁)L(η₂),

• (η₁)^∗ ∈RE, L((η₁)^∗) =L(η₁)^∗.

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 10 A reguláris kifejezésekb®l némely zárójelek elhagyhatóak, ha feltételezünk egy precedenciarelációt az iteráció, konkatenáció és egyesítés m¶veletek kö- zött ugyanebben a sorrendben. Továbbá, ha ez nem vezet félreértéshez, az X-feletti reguláris kifejezések helyett egyszer¶en csak reguláris kifejezéseket mondunk.

1.1.11. példa. Legyen adott az X = {x, y} ábécé, és vegyük az η = yx(x +y)^∗ X-feletti reguláris kifejezést. Könny¶ látni, hogy L(η) éppen az L={yxu | u∈X^∗} nyelvet írja le. AzL nyelvet azonban leírhatjuk más reguláris kifejezésekkel is, például a ζ =yx(y+x)(x+y)^∗+yx-szel.

1.1.12. megjegyzés. A reguláris kifejezésekkel leírt nyelvek pontosan a felismerhet® nyelvek, így a felismerhet® nyelveket szokás még reguláris nyel- veknek is nevezni.

1.1.13. deníció. Legyen η és ζ két tetsz®leges reguláris kifejezés. Azt mondjuk, hogy ζ az η részkifejezése, ha ζ el®fordul η fenti induktív dení- ciójában. η összes részkifejezésének halmazát Sub(η)-val fogjuk jelölni.

Egy reguláris kifejezés részkifejezésének elhagyását a következ®képpen de- niáljuk. Vegyük az η₁, η₂ ∈RE tetsz®leges reguláris kifejezéseket, valamint a bel®lük alkotott (η₁) + (η₂), (η₁)(η₂) és (η₁)^∗ reguláris kifejezéseket. Az utóbbiakból az η₁-et elhagyva rendre η₂-t, η₂-t és η₁-et kapunk. Továbbá megengedjük azt is, hogy η₁ elhagyásával (η₁)^∗-ból (∅)^∗-ot kapjunk. Ha el- hagyjuk η₂-t az (η₁) + (η₂) és (η₁)(η₂)-b®l, akkor mindkét esetben η₁-et ka- punk. Az így bevezetett részkifejezés-elhagyás (mint m¶velet) nyilvánvalóan nem egyértelm¶en meghatározott, de ahogy azt majd kés®bb látni fogjuk, az egyértelm¶ségre nincs is szükségünk.

1.1.14. deníció. Legyen ζ az η reguláris kifejezés egy részkifejezésének el®fordulása. Azt mondjuk, hogy ζ redundáns η-ban, ha ζ elhagyható η-ból úgy, hogy L(η) az elhagyás után változatlan marad. Egy reguláris kifejezést redukáltnak nevezünk, ha nincsenek benne redundáns részkifejezések.

Egy reguláris kifejezés redukált alakja nem feltétlenül egyértelm¶en meg- határozott, mint ahogy azt az alábbi példa is mutatja.

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 11 1.1.15. példa. Tekintsük az η = x(yx)^∗ +z+ (xy)^∗x reguláris kifejezést.

Nyilvánvaló, hogy η-ban az egyesítés m¶velet els® és harmadik tagja ugyan- azt a nyelvet írja le, így mindkett® redundáns η-ban. Ha ezen redundáns részkifejezéseket külön-külön elhagyjukη-ból, akkor a különböz® x(yx)^∗+z ész+ (xy)^∗xreguláris kifejezéseket kapjuk, amelyek viszont ugyanazt a nyel- vet írják le.

1.2. Determinisztikus felszálló fanyelvek

Az alábbiakban bevezetünk néhány fogalmat, amelyek a determinisztikus felszálló fanyelvek deniálásához fog kelleni.

1.2.1. deníció. M¶veleti szimbólumok egy véges, nemüres halmazát ran- golt ábécének nevezzük.

A rangolt ábécék jelölésére általában a Σ bet¶t használjuk, ezen érteke- zésben ehhez tartjuk magunkat. Minden m ≥ 0 természetes számra Σ azon részhalmazát, amely tartalmazzaΣösszes m-változós m¶veleti szimbólumát, Σ_m-mel fogjuk jelölni, és érvényes az alábbi összefüggés:

Σ = [

m≥0

Σ_m.

A determinisztikus felszálló fanyelvek vizsgálatánál gyakorlati okok miatt ál- talában nem engednek meg nullváltozós m¶veleti szimbólumokat, ezért az m = 0 esettel a továbbiakban nem foglalkozunk, és így majd az egész érte- kezésben feltesszük, hogy Σ0 =∅.

1.2.2. deníció. LegyenX változók egy halmaza. AΣX-fákTΣ(X)halma- zát a következ®képpen deniáljuk:

(i) X ⊆T_Σ(X),

(ii) σ(p₁, . . . , p_m)∈T_Σ(X), ahol p₁, . . . , p_m ∈T_Σ(X), σ∈Σ_m ésm ≥0, (iii) minden ΣX-fa el®állítható az (i) és (ii) szabályok véges sokszori alkal-

mazásával.

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 12 A következ®kbenX a megszámlálható {x₁, x₂, . . .} halmazt fogja jelölni, és minden n nemnegatív egész számra jelölje X_n a {x₁, . . . , x_n} ⊆ X rész- halmazt. Rögzítsük le továbbá, hogy egyS halmaz hatványhalmazátp(S)-sel jelöljük.

1.2.3. deníció. Egy determinisztikus felszálló Σ-algebra (vagy röviden DR Σ-algebra) alatt egy A= (A,Σ) párt értünk, ahol

(i) A egy nemüres halmaz, (ii) Σ egy rangolt ábécé, és

(iii) minden σ ∈ Σm m¶veleti szimbólum egy σ^A : A → A^m leképezésként van realizálva.

Az A DR Σ-algebrát végesnek mondjuk, ha A véges.

1.2.4. deníció. Egy determinisztikus felszálló ΣX_n-faautomata (vagy an- gol nevük alapján röviden DR ΣXn-faautomata) alatt egy A = (A, a0,a) rendszert értünk, ahol

(i) A= (A,Σ)egy véges DR Σ-algebra, (ii) a₀ ∈A a kezd®állapot, és

(iii) a= (A⁽¹⁾, . . . , A⁽ⁿ⁾)∈p(A)ⁿ a végállapot vektor.

Ha a fenti Σvagy X_n nincs deniálva, akkor DR-faautomatákról beszélünk.

Ahhoz, hogy deniáljuk a DR-faautomaták által felismert fanyelveket, szükségünk lesz a következ® formális denícióra.

1.2.5. deníció. Legyen A = (A, a₀,a) egy DR ΣX_n-faautomata. Értel- mezzük az α^A : TΣ(Xn) → p(A) leképezést a következ® módon. Legyen p∈T_Σ(X_n) tetsz®leges fa, és

(i) ha p=x_i ∈X_n, akkor α^A(p) =A⁽ⁱ⁾,

(ii) ha p=σ(p₁, . . . , p_m) (σ ∈Σ_m, m >0), akkor

α^A(p) = {a∈A |σ^A(a)∈α^A(p₁)×. . .×α^A(p_m)}.

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 13 Adott p ∈ T_Σ(X_n) fa esetén tehát α^A(p) az összes olyan a ∈ A állapotból áll, amelyb®l p levezethet® A-ban (levezetés alatt itt azt értjük, hogy az a állapotból kiindulva, és arra pm¶veleti szimbólumait mint leképezéseket al- kalmazva, eljuthatunk p gyökerét®l a p leveleiben szerepl® x_i változóknak megfelel® A⁽ⁱ⁾ halmazokba). A továbbiakban, amennyiben nem okoz félreér- tést, α^A(p) helyett röviden csakα(p)-t írunk.

1.2.6. deníció. Az A DR ΣX_n-faautomata által felismert fanyelvet T(A)- val jelöljük, és a következ®képpen deniáljuk:

T(A) = {p∈TΣ(Xn) | a0 ∈α(p)}.

A DR-faautomaták által felismert nyelveket determinisztikus felszálló fanyel- veknek, vagy röviden DR-fanyelveknek is szoktuk nevezni.

1.2.7. megjegyzés. A determinisztikus felszálló fanyelveket szokás deter- minisztikus erd®knek is nevezni.

1.2.8. megjegyzés. A DR ΣX_n-faautomatákat úgy is deniálhatjuk, hogy azavégállapot vektor helyett azα leképezést adjuk meg, hiszen fentebb már láttuk a köztük lév® szoros összefüggést:

a= (α(x₁), . . . , α(x_n)).

Ekkor egyszer¶en csak A= (A, a₀, α)-t írunk.

Most bevezetünk néhány a fákra és fanyelvekre értelmezett igen hasznos függvény fogalmát.

1.2.9. deníció. Legyen p∈T_Σ(X_n) egy tetsz®leges fa. Ekkor ap fa

• height(p) magassága,

• root(p)gyökere,

• leaves(p) levelei és

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 14

• részfáinak Sub(p) halmaza a következ®képpen van deniálva.

Ha p∈X_n, akkor

• height(p) = 0,

• root(p) =p,

• leaves(p) = {p}, és

• Sub(p) = {p}.

Ha p=σ(p₁, . . . , p_m), σ∈Σ_m, p_i ∈T_Σ(X_n), 1≤i≤m, m >0, akkor

• height(p) = 1 + max{height(p_i) : 1≤i≤m},

• root(p) =σ,

• leaves(p) = S

1≤i≤m

leaves(pi), és

• Sub(p) = {p} ∪ S

1≤i≤m

Sub(p_i).

A magasság kivételével minden fenti függvény kiterjeszthet® fákról fanyel- vekre a következ® módon. LegyenS ⊆TΣ(Xn)egy tetsz®leges fanyelv, ekkor

• root(S) ={root(p) | p∈S},

• leaves(S) = S

p∈S

leaves(p), és

• Sub(S) = S

p∈S

Sub(p).

A továbbiakban a DR-faautomaták egy hasznos tulajdonságát vezetjük be.

1.2.10. deníció. Legyen A egy DR ΣX_n-faautomata, és legyen a ∈ A annak egy állapota. Az Aáltal az a állapotból felismert fanyelvet a követke- z®képpen deniáljuk:

T(A, a) = { p∈T_Σ(X_n) | a∈α(p)}.

Egy a állapotot 0-állapotnak nevezünk, ha T(A, a) = ∅. A-t normalizált- nak mondjuk, ha minden σ ∈Σ_m m¶veleti szimbólumra és a ∈ A állapotra

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 15 érvényes, hogy σ^A(a) minden komponense 0-állapot, vagy σ^A(a) egyetlen komponense sem 0-állapot. Továbbá, A-t redukáltnak mondjuk, ha minden a, b∈A állapotra teljesül, hogy a6=b maga után vonja T(A, a)6=T(A, b)-t.

Jól ismert tény, hogy minden DR-fanyelv felismerhet® egy normalizált és redukált DR-faautomatával. Ezen összefüggésr®l további részleteket találha- tunk a [7], [8] és [9] irodalmakban.

Most értelmezzük aΣrangolt ábécéhez tartozó (közönséges) ábécét. Min- den σ, τ ∈Σ m¶veleti szimbólumra legyen

(i) Σˆ_σ ={σ₁, . . . , σ_m}, ha σ ∈Σ_m (m >0), és (ii) Σˆ_σ∩Σˆ_τ =∅, ha σ 6=τ.

Legyen továbbá Σˆ a következ® halmaz:

Σ =ˆ [

σ∈Σ

Σˆσ.

Világos, hogy minden Σ rangolt ábécéhez tartozóΣˆ ábécé véges.

1.2.11. megjegyzés. Egy tetsz®leges σ ∈ Σ_m m¶veleti szimbólumhoz tar- tozó σ_i bet¶re néha a (σ, i) jelölést is használjuk, ha azt a szövegkörnyezet úgy kívánja (1≤i≤m).

A továbbiakban bevezetünk egy a fák gyökerét®l a levelükig vezet® utak- kal kapcsolatos fogalmat, amely rendkívül hasznos és viszonylag könnyen kezelhet® eszköznek bizonyult a DR-fanyelvek jellemzésénél.

1.2.12. deníció. Legyen p ∈ T_Σ(X_n) egy tetsz®leges fa, x ∈ X_n pedig egy tetsz®leges változó. A p-beli x-utak g_x(p) halmazát a következ® módon deniáljuk:

(i) gx(x) = {e},

(ii) minden y∈X_n változóra, melyrey6=x, legyeng_x(y) =∅, (iii) ha p=σ(p₁, . . . , p_m), σ ∈Σ_m, akkor

g_x(p) =σ₁g_x(p₁)∪. . .∪σ_mg_x(p_m), ahol p_i ∈T_Σ(X_n), 1≤i≤m,m >0.

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 16 A p-beli x-utak fogalmát a következ®képpen tudnánk szavakkal megfo- galmazni. Írjuk a p fa σ-val címkézett csúcsából kiinduló i-edik éléhez a σ_i jelölést. Ekkor p-ben a gyökért®l az x-szel címkézett levelekig vezet® utakon az élek címkéit összeolvasva éppen a p fa x-utait kapjuk.

Azx-utak fogalmát természetes módon terjeszthetjük ki fanyelvekre, azaz bármely T ⊆TΣ(Xn)fanyelvre és bármely x∈Xn változóra legyen

g_x(T) = [

p∈T

g_x(p).

A g_x(T) ⊆ Σˆ^∗ halmazokat szokás még T_x-szel jelölni és T út-nyelveinek ne- vezni. Mivel bizonyos esetekben nem csak egy konkrét x változóhoz tar- tozó x-utakra hivatkozunk, hanem a gyökérb®l bármilyen más változóhoz vezet® utakra is, ezért g_x(T) fogalmát kiterjesztjük változófüggetlen esetre is. Legyen tehát T ⊆T_Σ(X_n) egy tetsz®leges fanyelv, és legyen

g(T) = [

x∈X

Tx.

Amennyiben általánosságban, vagy konkrét változótól függetlenül szeretnénk a fent deniált utakra hivatkozni, akkor az x-út vagy út kifejezéseket is hasz- náljuk.

1.2.13. megjegyzés. Fontos észrevenni, hogy egy tetsz®leges T ⊆ T_Σ(X_n) fanyelvre a Tx nyelvek nem feltétlenül páronként diszjunktak. Például, ha T-ben van olyan két különböz®pésq fa, amelyek egymástól csak egy levélen szerepl® változóban (mondjukxésy) térnek el egymástól. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben p és q gyökerét®l ezen levélig vezet® út benne van Tx-ben és T_y-ban is.

Egy T ⊆ TΣ(Xn) fanyelvet zártnak nevezünk, ha tetsz®legesp ∈TΣ(Xn) fára p ∈ T akkor és csakis akkor teljesül, ha minden x ∈ X_n változóra g_x(p) ⊆ g_x(T). Jól ismert összefüggés, hogy egy reguláris fanyelv akkor és csakis akkor DR-felismerhet®, ha zárt. A részletekkel kapcsolatban javasoljuk az [1] és [15] irodalmak megtekintését.

1.2.14. példa. Legyen X = {x, y} változók egy halmaza, legyen Σ = Σ₂ = {σ, ω} a m¶veleti szimbólumok halmaza, T ⊆ T_Σ(X_n) pedig legyen a következ® nyelv: T = {p1, p2, p3}, ahol p1 = σ(x, x), p2 = σ(ω(x, y), y), p₃ =σ(ω(y, x), ω(x, y)). Ekkor egyrészt Σ =ˆ {σ₁, σ₂, ω₁, ω₂}, másrészt

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 17

(i)

gx(p1) = {σ1, σ2}, gy(p1) = {},

g_x(p₂) = {σ₁ω₁}, g_y(p₂) = {σ₁ω₂, σ₂}, g_x(p₃) = {σ₁ω₂, σ₂ω₁}, g_y(p₃) = {σ₁ω₁, σ₂ω₂}, (ii) gx(T) =Tx ={σ1, σ2, σ1ω1, σ1ω2, σ2ω1},

g_y(T) =T_y ={σ₂, σ₁ω₂, σ₁ω₁, σ₂ω₂}, (iii) g(T) ={σ₁, σ₂, σ₁ω₁, σ₁ω₂, σ₂ω₁, σ₂ω₂}.

Világos, hogyT nem zárt, ugyanis ap=σ(ω(x, x), x)fa nincsT-ben, ugyan- akkor g_x(p) ={σ₁ω₁, σ₁ω₂, σ₂} ⊆T_x, és persze g_y(p) = ∅ ⊆T_y.

Bármely n ∈ N természetes számra és tetsz®leges S₁, . . . , S_n halma- zokra legyen π_i : S₁ × . . . × S_n → S_i az i-edik projekció, azaz minden (s1, . . . , si, . . . , sn) ∈ S1 ×. . . × Sn elem n-esre πi(s1, . . . , si, . . . , sn) = si

teljesül (1≤i≤n).

Most az x-utak által generált leképezések fogalmát vezetjük be.

1.2.15. deníció. Legyen Σegy rangolt ábécé, és legyen Σˆ a hozzá tartozó közönséges ábécé. Legyen továbbáA= (A,Σ)egy tetsz®leges DRΣ-algebra.

Ekkor minden u∈Σˆ^∗ szóra az u^A :A →A leképezés a következ®képpen van deniálva:

(i) Ha u=e, akkor au^A =a,

(ii) hau=σ_jv, akkorau^A =π_j(σ(a))v^Atetsz®legesa∈A,σ∈Σ_m,m >0, v ∈Σˆ^∗ ésj ∈ {1, . . . , m} elemekre.

Az imént deniált leképezést természetes módon terjeszthetjük kiΣˆ^∗ rész- halmazaira. Az értekezés további részében, ha ez nem vezet félreértéshez, elhagyjuk az A jelölést u^A-ból.

Miel®tt tovább haladnánk, ki kell térnünk a fanyelveken értelmezett re- guláris m¶veletekre. Két fanyelv egyesítése alatt azok halmazelméleti egye- sítését értjük. Bármely S, T ⊆ T_Σ(X_n) fanyelvekre azok T ·_x S x-szorzata olyan fanyelvnek értend®, amelyben a fák úgy állnak el®, hogy S minden s fájában az xszimbólummal jelölt levelek el®fordulásait valamelyT-beli fával helyettesítjük. Az x szimbólum különböz® el®fordulásait T különböz® fáival helyettesíthetjük. Továbbá azt is feltesszük, hogy T ·_yR·_xS minden esetben a T ·y (R ·x S) szorzatot jelenti bármely S, R, T ⊆ TΣ(Xn) fanyelvekre és x, y ∈ X_n változókra. Egy tetsz®leges T ⊆ T_Σ(X_n) fanyelv x-iteráltja alatt

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 18 azt a T^∗,x fanyelvet értjük, amely egyrészt tartalmazza x-et és T fáit, más- részt tartalmazza az összes olyan fát, amelyeket úgy kapunk T-beli fákból, hogy azokxel®fordulásait szinténT-beli fákkal helyettesítjük, és ezt a helyet- tesítést a kapott fákon bármilyen sokszor megismételhetjük. Legyen σ∈Σ_m (m >0) tetsz®leges m¶veleti szimbólum. Ekkor tetsz®leges T₁, . . . , T_m ΣX_n- fanyelvek σ-szorzata alatt a

σ(T₁, . . . , T_m) = {σ(p₁, . . . , p_m)|p_i ∈T_i, 1≤i≤m}

fanyelvet értjük.

Most bevezetjük a reguláris kifejezések fanyelvekre értelmezett formáját.

A reguláris ΣX_n-kifejezések RE(ΣX_n) halmazát valamint egy tetsz®leges η ∈ RE(ΣX_n) reguláris ΣX_n-kifejezés által leírt T(η) fanyelvet a következ®

párhuzamos denícióval adjuk meg.

1.2.16. deníció. Legyen Σ egy rangolt ábécé, és legyen Xn változók egy halmaza. Ekkor

• ∅ ∈RE(ΣX_n), T(∅) =∅,

• ∀x∈Xn:x∈RE(ΣXn), T(x) ={x},

továbbá ha η₁, η₂, . . . , η_m ∈RE(ΣX_n), σ ∈Σ_m, m >0, x∈X_n, akkor

• (η₁) + (η₂)∈RE(ΣX_n), T((η₁) + (η₂)) =T(η₁)∪T(η₂),

• (η₂)·_x(η₁)∈RE(ΣX_n), T((η₂)·_x(η₁)) =T(η₂)·_xT(η₁),

• (η₁)^∗,x∈RE(ΣX_n), T((η₁)^∗,x) = T(η₁)^∗,x,

• σ(η1, . . . , ηm)∈RE(ΣXn), T(σ(η1, . . . , ηm)) =σ(T(η1), . . . , T(ηm)). A regulárisΣX_n-kifejezésekb®l elhagyhatunk bizonyos zárójeleket, ha fel- tételezünk egy precedenciarelációt a σ-szorzat, x-iteráció, x-szorzat és egye- sítés m¶veletek között ugyanebben a sorrendben.

1.2.17. deníció. Legyenek η és ζ reguláris ΣX_n-kifejezések. Azt mond- juk, hogy ζ azη részkifejezése, haζ el®fordulηfenti induktív deníciójában.

A kés®bbiekbenηösszes részkifejezésének halmazátSub(η)-val fogjuk jelölni.

FEJEZET 1. ALAPFOGALMAK, ELŽKÉSZÜLETEK 19 Egy reguláris ΣX_n-kifejezés részkifejezésének elhagyását a következ®kép- pen határozzuk meg. Tetsz®leges σ ∈ Σ_m m¶veleti szimbólumra, x ∈ X_n változóra,η₁, η₂, . . . , η_m ∈RE(ΣX_n)regulárisΣX_n-kifejezésekre tekintsük az (η₁)+(η₂),(η₂)·_x(η₁),(η₁)^∗,xésσ(η₁, . . . , η_m)regulárisΣX_n-kifejezéseket. Az η₁ regulárisΣX_n-kifejezés elhagyásával rendreη₂,η₂,η₁ ésσ(ζ, η₂, . . . , η_m)-et kapunk, ahol ζ egy változó T(η₁)-b®l, ha van ilyen, különben ζ = ∅. Azt is megengedjük, hogy η₁ elhagyása (η₁)^∗,x-ból x-et eredményezzen. Ha elhagy- jukη₂-t az(η₁)+(η₂)és(η₂)·_x(η₁)regulárisΣX_n-kifejezésekb®l, akkor rendre az η₁ és η₁ reguláris ΣX_n-kifejezéseket kapjuk. A reguláris ΣX_n-kifejezések részkifejezéseinek a fenti módon értelmezett elhagyása nem egyértelm¶, de nincs is rá szükségünk, hogy az legyen.

1.2.18. deníció. Legyenηegy regulárisΣX_n-kifejezés, és legyenζ azηegy részkifejezésének egy el®fordulása. Azt mondjuk, hogyζ redundánsη-ban, ha ζ elhagyható η-ból úgy, hogy T(η) nem változik ζ elhagyása után. Egy re- gulárisΣX_n-kifejezés redukált, ha nincsenek benne redundáns részkifejezések.

Ahogy azt már a sztring nyelvek esetében láttuk, egy reguláris ΣX_n- kifejezésnek több különböz® alakban adott redukált formája is lehet.

2. fejezet

Monoton nyelvek

Ebben a fejezetben mind a monoton sztring nyelveket, mind a mono- ton determinisztikus felszálló fanyelveket reguláris kifejezésekkel fogjuk jel- lemezni.

2.1. Monoton sztring nyelvek

El®ször bevezetjük a monoton automata fogalmát.

2.1.1. deníció. Egy A= (A, X, δ, a₀, A⁰)X-automata monoton, ha létezik olyan ≤ parciális rendezés A-n, amelyre minden a ∈ A állapot és x ∈ X bemen® jel esetén érvényes az a ≤ δ(a, x) összefüggés. Nyilvánvaló, hogy ilyenkor minden a∈A állapot és u∈X^∗ szó esetén a≤au is teljesül.

Ezek után deniáljuk a monoton nyelvek fogalmát.

2.1.2. deníció. Egy tetsz®leges L ⊆ X^∗ nyelv monoton, ha létezik olyan A monoton X-automata, amelyre L=L(A).

Kés®bb fel fogjuk használni azt az alapvet® összefüggést, hogy minden parciális rendezés kiterjeszthet® teljes rendezéssé. További részletek meg- találhatóak az [5] irodalomban.

2.1.3. deníció. Egy L ⊆ X^∗ nyelv fundamentális, ha L = Y^∗ valamely

20

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 21 Y ⊆X változóhalmazra. Egy L⊆X^∗ nyelv láncnyelv haL megadható

L=L₀x₁L₁x₂. . . x_k−1L_k−1x_kL_k

alakban, aholx1, . . . , xk∈X és mindenLi(0≤i≤k)fundamentális nyelvek egy szorzata. Egy L=L₀x₁L₁x₂. . . x_k−1L_k−1x_kL_k láncnyelvet szeminor- málisnak hívunk, hax_i 6∈L_i−1teljesül minden1≤i≤kindexre. Lnormális, ha xi 6∈ Li−1 és xi 6∈ Li (1 ≤ i ≤ k). Egy L = L0x1L1x2. . . xk−1Lk−1xkLk

szeminormális láncnyelvet egyszer¶nek nevezünk, ha minden L_i (0 ≤ i ≤ k) fundamentális.

A következ® állítás (amely [5]-ben került kimondásra és bizonyításra) összefüggést ad a monoton nyelvek és a szeminormális láncnyelvek között.

2.1.4. tétel. Egy nyelv akkor és csakis akkor monoton ha megadható szemi-

normális láncnyelvek véges egyesítéseként. ¤

A következ®kben bevezetjük az iterációs magasság fogalmát, amely vala- mely nyelv iterációjában résztvev® szavak közül a leghosszabb hosszával lesz egyenl®.

2.1.5. deníció. Legyen η egy redukált reguláris kifejezés a (ζ)^∗ alakban megadva. Ekkor η iterációs magassága (vagy jelölésben ih(η)) alatt az

ih(η) = max{|u|:u∈L(ζ)}

összefüggéssel deniált nemnegatív egész számot értjük, ha L(ζ) véges. Ha L(ζ) végtelen, akkor ih(η) legyen végtelen (∞), amit a legnagyobb egész számként fogunk kezelni. Erre technikai okok miatt van szükség, ugyanis sze- retnénk, hogy az ih függvény felvehesse a végtelent mint maximális értéket.

Legyen most η egy bármilyen alakban adott redukált reguláris kifejezés. Ek- kor ih(η)-t úgy deniáljuk mint

ih(η) = max{ih((ζ)^∗) | (ζ)^∗ ∈Sub(η)},

ha Sub(η) tartalmaz (ζ)^∗ alakú részkifejezést, különben ih(η) = 0. Egy L reguláris nyelv iterációs magassága (vagy jelölésben ih(L)) alatt pedig az

ih(L) = min{ih(η)| η∈RE, L(η) = L}

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 22 nemnegatív egész számot értjük.

Az iterációs magasság szemléltetéséhez tekintsük a következ® példát.

2.1.6. példa. Tekintsük a ζ =xx+xxx reguláris kifejezést. Azih((ζ)^∗) de- níciójából kapjuk, hogyih((ζ)^∗) = 3. Vegyük most azη=x+ (ζ)^∗ reguláris kifejezést. Könny¶ látni, hogy ih(η) = 3, mivel η-nak van egy (ζ)^∗ alakban adott részkifejezése, amire ih((ζ)^∗) = 3. Tekintsük most az L(η) nyelvet, amire azt kapjuk, hogy ih(L(η)) = 1, mivel L(η) leírható az (x)^∗ reguláris kifejezéssel is, amire ih((x)^∗) = 1.

Most kimondjuk és bizonyítjuk a következ® segédtételt, amely összefüg- gést ad egyes monoton nyelveket leíró redukált reguláris kifejezések és ugyan- ezen nyelvek iterációs magassága között.

2.1.7. segédtétel. Legyen η egy (ζ)^∗ alakban adott redukált X-feletti re- guláris kifejezés. Ha L(η) monoton, akkor ih(L(η))≤1.

Bizonyítás. Legyen η egy(ζ)^∗ alakú redukált reguláris kifejezés, és legyen A egyX-automata, amely egyrészt felismeri azL(η)nyelvet, másrészt monoton a≤részbenrendezés mellett. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy A redukált és összefügg®. Nyilvánvaló, hogy van olyan a ∈A⁰ végálla- pot, amelyre au =a teljesül minden u∈L(ζ) szóra. S®t, erre aza állapotra ax = a is teljesül bármely L(ζ)-beli szó bármely x bet¶jére, ugyanis mono- ton automatában az átmenet során nem keletkezhet 1-nél hosszabb ciklus.

Azt is megállapíthatjuk, hogy a fenti tulajdonságokkal csakis az a állapot rendelkezik, ugyanis ha egy b állapot ugyanilyen tulajdonságú, akkor a és b ekvivalensek. Következésképpen a =b, mivel tudjuk, hogy egy redukált au- tomatának nem lehet két különböz® ekvivalens állapota. Láthatjuk továbbá, hogy nincs olyan a⁰ ∈A\ {a} állapot, amelyrea⁰ ≤a ésa⁰x=a⁰ együttesen teljesülne, bármilyen x ∈X bet¶t is veszünk. Ha lenne ilyen a⁰ és x, akkor a⁰-ben L(ζ)-beli szavakat kell tudnunk bármennyiszer feldolgozni, ráadásul bet¶nként, de ez az a állapot feladata, így ellentmondásba kerülnénk azzal, hogy A redukált. Ugyanúgy azt is láthatjuk, hogy nincs olyan a⁰⁰ 6=a végál- lapot, amelyre a ≤ a⁰⁰. Ha lenne ilyen a⁰⁰, akkor szintén a redukáltsággal kerülnénk ellentmondásba, hiszen a-ból minden L(ζ)-beli szó bármennyiszer levezethet®. Mindezek alapjánη felírhatóζ⁰ζ⁰⁰ alakban, ahol ζ⁰-ben nem sze- repel a ^∗ m¶velet, ésζ⁰ azon szavakból álló nyelvet írja le, amelyeket A-ban

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 23 a₀-ból indulva a-ba érkezve fel lehet ismerni, továbbá ζ⁰⁰ az (y₁ +. . .+y_r)^∗ alakban van megadva, ahol y₁, . . . , y_r az L(ζ) szavaiban el®forduló bet¶k.

Mivel L(η) =L(ζ⁰ζ⁰⁰)és ih(ζ⁰ζ⁰⁰) = 1, azt kapjuk, hogy ih(L(η))≤1.

2.2. Monoton determinisztikus felszálló fanyel- vek

Ebben az alfejezetben a monoton determinisztikus felszálló fanyelvekre vonatkozó alapvet® ismereteket és összefüggéseket taglaljuk.

2.2.1. deníció. Egy A = (A,Σ) DR Σ-algebrát monotonnak nevezünk, ha van olyan ≤ részbenrendezés A-n, amelyre a ≤ π_i(σ^A(a)) teljesül min- den a ∈ A állapotra és σ ∈ Σ_m m¶veleti szimbólumra (1 ≤ i ≤ m). Azt mondjuk, hogy A egy monoton DR ΣX_n-faautomata, ha a benne szerepl®

A DR Σ-algebra monoton. Továbbá, T ⊆ T_Σ(X_n) monoton DR-fanyelv, ha T =T(A) valamely A monoton DR ΣX_n-faautomatára.

A fenti deníciót megtaláljuk az [5] irodalomban is. A következ® segédtétel nyilvánvalóan teljesül.

2.2.2. segédtétel. Minden véges DR-fanyelv monoton. ¤ Most rátérünk az iterációs magasság fogalmának fanyelvekre történ® ál- talánosítására, amely azon leghosszabb x-út hosszát jelöli majd, amely vala- mely fanyelv x-iterációjában szerepet játszik.

2.2.3. deníció. Legyen x∈X egy változó, és legyenη egy reguláris ΣX_n- kifejezés a(ζ)^∗,xalakban. Azxváltozó iterációs magasságaη-ban (jelölésben ih_x(η)) az

ih_x(η) = max{|u|:u∈g_x(T(ζ))}

nemnegatív egész számként van deniálva, ha g_x(T(ζ)) véges. Ha g_x(T(ζ)) végtelen, akkor legyen ih_x(η) végtelen (∞), amit a legnagyobb természetes számként fogunk kezelni. Erre technikai okok miatt van szükség, ugyanis sze- retnénk, hogy az ih_x függvény felvehesse a végtelent mint maximális értéket.

Legyen mostηegy bármilyen alakban adott redukált regulárisΣX_n-kifejezés.

Ekkor ihx(η)-t az

ih_x(η) = max{ih_x((ζ)^∗,x) | (ζ)^∗,x∈Sub(η)}

FEJEZET 2. MONOTON NYELVEK 24 egyenl®séggel deniáljuk, haSub(η)tartalmaz(ζ)^∗,xalakban adott kifejezést, különbenih_x(η) = 0. Végül azxváltozó iterációs magasságát egy tetsz®leges T reguláris fanyelvben (jelölésben ih_x(T)) az

ih_x(T) = min{ih_x(η)| η∈RE(ΣX_n), T(η) = T} összefüggéssel határozzuk meg.

A fanyelvek iterációs magasságának szemléltetéséhez tekintsük a követ- kez® példát.

2.2.4. példa. Legyen Σ = Σ2 = {σ} és X = {x, y}, valamint tekintsük a ζ = σ(y, σ(y, x)) +σ(y, σ(y, σ(y, x))) reguláris ΣX-kifejezést. Nyilvánvaló, hogy ih_x((ζ)^∗,x) = 3. Ha most vesszük azη =σ(y, x) + (ζ)^∗,x reguláris ΣX- kifejezést, akkor azt kapjuk, hogy ihx(η) = 3, mert η-nak van (ζ)^∗,x alakban adott részkifejezése, amelyre ih_x((ζ)^∗,x) = 3. Ugyanakkor a T(η) fanyelvet tekintve azt kapjuk, hogy ih_x(T(η)) = 1, mert T(η) felírható a (σ(y, x))^∗,x alakban is, amelyre ihx((σ(y, x))^∗,x) = 1.

A monoton fanyelveket leíró redukált regulárisΣX-kifejezések és ugyane- zen fanyelvek iterációs magassága között hasonló összefüggés van, mint amit a monoton sztring nyelvek esetében láttunk.

2.2.5. segédtétel. Legyen η egy redukált reguláris ΣX_n-kifejezés a (ζ)^∗,xi alakban megadva. Ha T(η) egy monoton DR-fanyelv, akkor ihxi(T(η))≤1. Bizonyítás. A bizonyítás menete hasonlít a 2.1.7 segédtétel bizonyításához.

Legyenηegy(ζ)^∗,xi alakú redukált regulárisΣX_n-kifejezés, és legyenAegy a T(η)-t felismer® DR-faautomata, amely monoton a ≤ részbenrendezési relá- ció mellett. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogyAredukált és normalizált, így pontosan egy olyan a∈A állapot van, amelyre a∈α(x_i) és au=a teljesül minden u∈gxi(T(ζ))útra. Mivel A monoton faautomata a ≤ részbenrendezés mellett, ezért aw = a teljesül bármely g_xi(T(ζ))-beli szó bármely w bet¶jére. Továbbá, nincs olyan a⁰ ∈A\ {a} állapot, amelyre a ≤a⁰ és a⁰ ∈α(xi) teljesülnek, és nincs olyana⁰⁰∈ α(xi)\ {a} állapot sem, amelyre a⁰⁰ ≤ a és a⁰⁰w = a⁰⁰ teljesülne, bárhogyan is veszünk egy w bet¶t g_xi(T(ζ)) valamely szavából. Ezek alapján η felírható (ζ⁰⁰)^∗,xi ·_xi ζ⁰ alakban, ahol egyrészt ζ⁰-ben nem szerepel a ^∗,xi m¶velet, másrészt ζ⁰ azon fanyelvet írja le, amelyet A az A⁽ⁱ⁾ = {a} megszorítással ismer fel úgy, hogy minden