A: 4 B: 5 C: 6 D: 7 E: 8 Helyes v´alasz

(1)

15

Feladat (1). Id˝ofüggetlen DE, egy dimenzió. Kvalitat´ıv viselkedés, linearizáció.

Legyen

d

dty= (y−4)(y−1)y, y(0) = 0.5.

Megjegyzés. A kvalitat´ıv viselkedés magasabb dimenzioban már igen bonyulult lehet, viszont a linearizácó a fixpontok kör˝ul ott is hasonlóan elvégezhet˝o.

Alfeladat (A). Keresd meg a DE fixpontjainak az osszeget!

V´alaszok. A: 4 B: 5 C: 6 D: 7 E: 8 Helyes v´alasz. B

Alfeladat(B). Írd fel a DE lineáris approximációját a legkisebby_{f ix} fixpont kör˝ul _dt^d∆y =a∆y alakban! Mennyi a?

Megjegyzés. alehet nulla is, ekkor a linearizácó teljesen eliminálja a dinamikát, ´ıgy nem sok mindenre használható.

Megjegyz´es. Esetunkben

df

dy = 3y²−10y+ 4.

V´alaszok. A: 3 B: 4 C: 5 D: 6 E: 7 Helyes v´alasz. B

Alfeladat (C). Az y(0)-ra megadott kezdétel mellett mennyi limt→∞y(t) ? (Ha limt→tcy(t) = ±∞ valamely t_c>0 számra, akkor a válasz legyen±∞.)

Megjegyzés. Pl. ha f(y) = y³, y(0) = 1, akkor az y(t) = (1−2t)^−1/2 megoldásfüggvény csak a t ∈ (−∞,0.5) tartományon létezik, ´ıgy nincs értelme a limt→∞y(t) kifejezésnek.

V´alaszok. A: 4 B: 1 C: ∞D: −∞E: 0 Helyes v´alasz. B

Alfeladat (D). Az y(0)-ra megadott kezdétel mellett mennyi limt→−∞y(t) ? (Ha limt→t_cy(t) = ±∞ valamely tc<0 számra, akkor a válasz legyen±∞.)

Megjegyzés. A válasz leolvasható f ábrázolásából.

1 2 3 4

-6 -4 -2 2 4

(2)

V´alaszok. A: 4 B:−∞ C:∞ D: 0 E: 1 Helyes v´alasz. D

Alfeladat (E). Abr´´ azold at→y(t) megoldásgörbéket!

V´alaszok.

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0

1 2 3 4

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0

1 2 3 4

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0

1 2 3 4

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0

1 2 3 4

Helyes v´alasz. A Mathematica.

f = (y-1) (y-2)^2 (y-3)

roots = DeleteDuplicates[ Solve[f == 0, y] ] fixpoint1=roots[[1,1,2]]

fixpoint2=roots[[1,2,2]]

fixpoint3=roots[[1,3,2]]

jacf = D[f, y]

jac = D[f, y] /. y -> fixpoint1 (* " 3*y /. y->5 " = " 15 " *) Plot[ f, {y, fixpoint1 - 0.5, fixpoint3 + 0.5}]

StreamPlot[{1, f}, {t, 0, 0.5}, {y, fixpoint1 - 0.5, fixpoint3 + 0.5}, StreamPoints -> Fine,

Epilog -> Map[Line[{{0, #}, {0.5, #}}] &, {fixpoint1, fixpoint2, fixpoint3}]]

Octave.

% graphics_toolkit ("gnuplot") pkg load symbolic

syms y

f = (y-1) * (y-2)^2 * (y-3) expand(f)

c = [1, -8, 23, -28, 12]

roots (c) fixpoint = 1

fprime = simplify( diff(f, y) )

(3)

subs( fprime, y, fixpoint ) fh = function_handle(f)

ys = linspace( 0.7,3.2,100 );

fs = fh(ys) ; figure

plot(ys,fs)

[ts, ys] = meshgrid (linspace( 0,1,5 ),linspace( 0.9,3.1,30 ));

figure

h = quiver (ts, ys, 0.3, fh(ys));

set (h, "maxheadsize", 0.05);

Feladat (2). Id˝ofüggetlen DE, egy dimenzió. Kvalitat´ıv viselkedés, linearizáció.

Legyen

d

dty = (y−1)y², y(0) = 0.5.

Megjegyzés. A kvalitat´ıv viselkedés magasabb dimenzioban már igen bonyulult lehet, viszont a linearizácó a fixpontok kör˝ul ott is hasonlóan elvégezhet˝o.

Alfeladat (A). Keresd meg a DE fixpontjainak az osszeget!

V´alaszok. A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 E: 5 Helyes v´alasz. A

Alfeladat (B). Írd fel a DE lineáris approximációját a legkisebb fixpont kör˝ul _dt^d∆y=a∆y alakban! Mennyi a? Megjegyzés. alehet nulla is, ekkor a linearizácó teljesen eliminálja a dinamikát, ´ıgy nem sok mindenre használható.

Megjegyz´es.

df

dy =y(3y−2).

V´alaszok. A: -3 B: -2 C: -1 D: 0 E: 1 Helyes v´alasz. D

Alfeladat (C). Az y(0)-ra megadott kezdétel mellett mennyi limt→∞y(t) ? (Ha limt→tcy(t) = ±∞ valamely t_c>0 számra, akkor a válasz legyen±∞.)

Megjegyzés. Pl. ha f(y) = y³, y(0) = 1, akkor az y(t) = (1−2t)^−1/2 megoldásfüggvény csak a t ∈ (−∞,0.5) tartományon létezik, ´ıgy nincs értelme a limt→∞y(t) kifejezésnek.

V´alaszok. A: 1 B: 0 C: −∞D: ∞ Helyes v´alasz. B

Alfeladat (D). Az y(0)-ra megadott kezdétel mellett mennyi limt→−∞y(t) ? (Ha limt→tcy(t) = ±∞ valamely t_c<0 számra, akkor a válasz legyen±∞.)

Megjegyzés. A válasz leolvasható az f ábrájáról.

(4)

-0.5 0.5 1.0 1.5

-0.4 -0.2 0.2 0.4

V´alaszok. A:−∞B: ∞ C: 1 D: 0 Helyes v´alasz. C

Alfeladat (E). Abr´´ azold at→y(t) megoldásgörbéket!

V´alaszok.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.5

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.5

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.5

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.5

0.0 0.5 1.0 1.5

Helyes v´alasz. B

Feladat (3). Id˝ofüggetlen DE, két dimenzió. Linearizáció.

Legyen

d dt~y=

f1

f₂

=

(y1−1) (y2+ 4)

−(y₁−3) (y₂+ 2)

.

(5)

Megjegyzés. A kvalitat´ıv viselkedés két dimenzioban még viszonylag egyszer˝u.

Alfeladat (A). Keresd meg a DE legkisebb ~yf ix fixpontja koordinatainak az osszeget!

Megjegyz´es. ~y_{f ix}= 1

−2

V´alaszok. A: -5 B: -4 C: -3 D: -2 E: -1 Helyes v´alasz. E

Alfeladat(B). Írd fel a DE lineáris approximációját a legkisebb~y_{f ix}fixpont kör˝ul _dt^d∆~y=A∆~y alakban! Mennyi A elemeinek az osszege?

Megjegyz´es.

J ac(f) =

∂_y₁f₁ ∂_y₂f₁

∂_y₁f₂ ∂_y₂f₂

=

y₂+ 4 y₁−1

−y₂−2 3−y₁

, A= (J ac(f))

1

−2

=

2 0 0 2

. Alfeladat (C). Rajzold le a DE fázisportréját!

V´alaszok. ^0.5 ^1.0 ^1.5 ^2.0 ^2.5 ^3.0 ^3.5

-4.5 -4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5

{f1, f2} = {(y1 - 2) (y2 - 3), (y1 - 4) (y2 - 5)}

f = {f1, f2}; y = {y1, y2};

Reduce[{f1 == 0, f2 == 0}, {y1, y2}]

NSolve[{f1 == 0, f2 == 0}, {y1, y2}]

(6)

sol = Solve[{f1 == 0, f2 == 0}, {y1, y2}] // Sort yfix = {sol[[1, 1, 2]], sol[[1, 2, 2]]}

jacf = {{D[f1, y1], D[f1, y2]}, {D[f2, y1], D[f2, y2]}}

jacf = D[f, {{y1, y2}}]

jacffix = jacf /. sol[[1]]

z1 = y /. sol[[1]]

z2 = y /. sol[[2]]

plot = StreamPlot[f, {y1, 1, 5}, {y2, 2, 6}, StreamPoints -> Fine, Epilog -> {PointSize[Medium], Point[z1], Point[z2]}]

Octave.

graphics_toolkit ("gnuplot") pkg load symbolic

syms y y1 y2 function z = f (y)

z(1) = (y(1) - 2) * (y(2) - 3);

z(2) = (y(1) - 4) * (y(2) - 5);

endfunction

[z, info] = fsolve ("f", [5; 3]) [z, info] = fsolve ("f", [1; 2]) f([y1,y2])

jacf = jacobian( f( [y1,y2] ) )

% subs( jacf, [y1,y2], [z(1),z(2)] ) % generate warnings subs( jacf, [y1,y2], [2,5] )

range=1.5:0.2:5.5;

[Y1, Y2]= meshgrid (range, range);

Z1=(Y1 - 2) .* (Y2 - 3);

Z2=(Y1 - 4) .* (Y2 - 5);

h=quiver (Y1,Y2,Z1,Z2);

set (h, "maxheadsize", 0.2);

Legyen

d dt~y=

f₁ f₂

=

(y₁−1) (y₂+ 2)

−(y₁−3) (y₂+ 2)

. Megjegyzés. A kvalitat´ıv viselkedés két dimenzioban még viszonylag egyszer˝u.

Alfeladat (A). Keresd meg a DE azon~y_{f ix} fixpontja koordinatainak az osszeget, aholy₁ = 1 ! Megjegyzés. A fixpontok nem feltétlenül izoláltak. a keresett fixpont esetünkben~yf ix =

1

−2

. V´alaszok. A: -5 B: -4 C: -3 D: -2 E: -1

Helyes v´alasz. E

Alfeladat (B). Írd fel a DE lineáris approximációját a ~yf ix fixpont kör˝ul _dt^d∆~y = A∆~y alakban! Mennyi A elemeinek az osszege?

Megjegyz´es.

J ac(f) =

∂_y₁f₁ ∂_y₂f₁

∂y1f2 ∂y2f2

=

y₂+ 2 y₁−1

−y₂−2 3−y1

, A= (J ac(f))

1

−2

=

0 0 0 2

.

(7)

Alfeladat (C). Rajzold le a DE fázisportréját!

V´alaszok. ^1.0 ^1.5 ^2.0 ^2.5 ^3.0

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0

Helyes v´alasz. A

Legyen

d dt~y=

f1

f2

=

−(y1+ 1) (y2+ 2) y1−1

. Megjegyzés. A kvalitat´ıv viselkedés két dimenzioban még viszonylag egyszer˝u.

Alfeladat (A). Keresd meg a DE ~yf ix fixpontja koordinatainak az osszeget!

Megjegyz´es. ~y_{f ix}= 1

−2

V´alaszok. A: -2 B: -1 C: 0 D: 1 E: 2 Helyes v´alasz. B

Alfeladat (B). Írd fel a DE lineáris approximációját a ~y_{f ix} fixpont kör˝ul _dt^d∆~y = A∆~y alakban! Mennyi A elemeinek az osszege?

V´alaszok. A: -5 B: -4 C: -3 D: -2 E: -1 Helyes v´alasz. E

Megjegyz´es.

J ac(f) =

∂y1f1 ∂y2f1

∂_y₁f₂ ∂_y₂f₂

=

−y₂−2 −y₁−1

1 0

, A= (J ac(f))

1

−2

=

0 −2

1 0

.

(8)

Alfeladat (C). Rajzold le a DE fázisportréját!

V´alaszok.

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 -2.6

-2.4 -2.2 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 -2.6

-2.4 -2.2 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 -2.6

-2.4 -2.2 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 -2.6

-2.4 -2.2 -2.0 -1.8 -1.6 -1.4

Helyes v´alasz. A

Feladat (6). Hom.Lin. DE. Radioaktiv bomlas: I →II →. . . Legyen

A=

−4 0 4 −5

, d

dt~y =A~y, ~y(0) = 5

1

.

Megjegyz´es. A DE leirhatja egy radioaktiv anyag bomlasat. Ha ~y(0) = (1,0)^T, akkor y1(t), y2(t) megadja, hogy egy atomt ido mulva milyen esellyel lesz az I, II allapotokban, hat= 0-kor az I allapotban volt.

Alfeladat (A). Keresd megA kisebbik sajértékét!

Megjegyz´es. A sajatertekek megoldasai a 0 = det

−λ−4 0 4 −λ−5

=λ²+ 9λ+ 20 egyenletnek.

Megjegyz´es. MivelA (also) triangularis, igy a sajatertekek automatikusan a diagonalis elemek.

V´alaszok. A: -6 B: -5 C: -4 D: -3 E: -2 Helyes v´alasz. B

Alfeladat (B). Keresd meg a λ₁ < λ₂ sajatertekekhez tartozo azon ~v₁ es~v₂ vektorokat, ahol (~v_i)₂ = 1, i= 1,2.

Keszits ezen sajatvektorokbol egyS= (~v1, ~v2) matrixot. Mennyi S elemeinek az osszege?

Megjegyz´es. A sajatvektorok megoldasai az

(A−λ_iE)~v_i =~0

(9)

egyenleteknek. Esetunkben ezek az egyenletek 1 0

4 0 x y

= 0

0

,

0 0 4 −1

x y

= 0

0

. Megjegyz´es. Esetunkben

S=

0 ¹₄ 1 1

. V´alaszok. A: ³₄ B: ⁵₄ C: ⁷₄ D: ⁹₄ E: ¹¹₄

Helyes v´alasz. D

Alfeladat (C). A DE megoldasa felirhato

~ y(t) =

2

X

i=1

Cie^λⁱ^t~vi

alakban. MennyiC1, ha teljesul az~y(0)-ra megadott kezdeti feltetel?

Megjegyz´es.

C1

C₂

=S⁻¹ 5

1

=

−4 1 4 0

5 1

. Tehat a DE partikularis megoldasa

~ y(t) =

5e^−4t

−19e^−5t+ 20e^−4t

V´alaszok. A:−23 B:−22 C:−21 D:−19 E: −17 Helyes v´alasz. D

Alfeladat (D). Szamitsd ki az e^tA matrix exponencialis fuggvenyt! Mennyi e^1.4·A

21 ? Megjegyz´es.

e^tA=Se^tDS⁻¹ =

0 ¹₄ 1 1

exp

t·

−5 0 0 −4

−4 1 4 0

=

e^−4t 0

−4e^−5t+ 4e^−4t e^−5t

.

Megjegyz´es. Esetunkben az exponencialis matrix eleme a radioaktiv atom kulonbozo allapotai kozotti atmenetek valoszinuseget adja meg. Pl. G₂₁= e^tA

21azt adja meg hogytido eltelte utan mennyi az eselye a 2←1 =II←I folyamatnak.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

G₁₁

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

G₁₂

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

G₂₁

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

G₂₂

A Gbetu a Green-fuggvenyre utal.

(10)

Megjegyz´es. A DE megoldasa felirhato az

~

y(t) =e^tA~y(0)

alakban. Igye^tAoszlopai a DE megoldasait adjak a~y(0) = (1,0)^T, illetve a~y(0) = (1,0)^T kezdeti feltetelek mellett.

~ y(0) =

1 0

=⇒ ~y(t) =

e^−4t

−4e^−5t+ 4e^−4t

,

~ y(0) =

0 1

=⇒ ~y(t) = 0

e^−5t

. V´alaszok. A: 0.0111439 B: 0.0125191 C: 0.0140639 D: 0.0157994 E: 0.0177491 Helyes v´alasz. A

Mathematica.

A={{-2,0},{2,-3}}

y0={2,6}

{l1, l2} = Eigenvalues[A]

v1 = Eigenvectors[A][[1]]

v1 = v1/v1[[2]]

v2 = v2/v2[[2]]

S = {v1, v2} // Transpose Sinv = Inverse[S]

{{C1},{C2}} = Sinv.{{y0[[1]]}, {y0[[2]]}

Diag = Sinv.A.S {{l1,0},{0,l2}}

S.Diag.Sinv

MatrixExp[ t Diag ]

S.MatrixExp[ t Diag ].Sinv etA = MatrixExp[t A] // Expand etA // TableForm

yt = etA. {{y0[[1]]}, {y0[[2]]}} // Expand expPlots = GraphicsGrid[

Table[Plot[etA[[i, j]], {t, 0, 1}, PlotRange -> {0, 1},

PlotLabel -> Subscript[G, ToString[i] <> ToString[j]]], {i, 2}, {j, 2}]]

Octave.

graphics_toolkit ("gnuplot");

pkg load symbolic;

syms t;

A = [-2, 0; 2, -3]

y0 = [2; 6]

[evects, evals] = eig (A)

vn1 = [evects(1,1)/evects(2,1); 1]

vn2 = [evects(1,2)/evects(2,2); 1]

S = [vn1 vn2]

Si = inv(S) Si*y0

Si*A*S

etA = expm(t*A)

SDSi = S*expm(t*evals)*Si yt = etA*y0

Feladat (7). Hom.Lin. DE. Tulcsillapitott oszcillator.

Legyen

¨

y+ay˙+by= 0, A=

0 1

−20 −9

, d

dt~y=A~y, ~y(0) = 5

1

.

(11)

Megjegyz´es. y¨ = −ay˙−by, ez Newton III. egyenlete egy egysegnyi tomeg mozgasara, ha a ra hato ero aranyos (negativ elojellel) a kiteressel es a sebesseggel.

Alfeladat (A). Keresd megA kisebbik sajértékét!

−λ 1

−20 −λ−9

V´alaszok. A: -6 B: -5 C: -4 D: -3 E: -2 Helyes v´alasz. B

Alfeladat (B). Keresd meg a λ₁ < λ₂ sajatertekekhez tartozo azon ~v₁ es~v₂ vektorokat, ahol (~v_i)₁ = 1, i= 1,2.

Keszits ezen sajatvektorokbol egyS= (~v1, ~v2) matrixot. Mennyi S elemeinek az osszege?

(A−λ_iE)~v_i =~0 egyenleteknek. Esetunkben ezek az egyenletek

5 1

−20 −4 x y

= 0

0

,

4 1

−20 −5 x y

= 0

0

S=

1 1

−5 −4

. V´alaszok. A:−11 B:−10 C:−9 D:−7 E: −5

Helyes v´alasz. D

~ y(t) =

2

X

i=1

Cie^λⁱ^t~vi

alakban. MennyiC₁, ha teljesul az~y(0)-ra megadott kezdeti feltetel?

Megjegyz´es.

C1

C₂

=S⁻¹ 5

1

=

−4 −1

5 1

~ y(t) =

−21e^−5t+ 26e^−4t 105e^−5t−104e^−4t

V´alaszok. A:−25 B:−24 C:−23 D:−21 E: −19 Helyes v´alasz. D

21 ? Megjegyz´es.

e^tA =Se^tDS⁻¹ =

1 1

−5 −4

exp

t·

−5 0 0 −4

−4 −1

5 1

=

−4e^−5t+ 5e^−4t −e^−5t+e^−4t 20e^−5t−20e^−4t 5e^−5t−4e^−4t

.

(12)

Megjegyz´es. Pl. az exponencialis matrix G21 = e^tA

21 azt adja meg, hogy ha a rendszer t = 0 allapota (1,0)^T volt (vagyis egysegnyi kiteres, nulla sebesseg), akkor mennyi leszt ido mulva a 2-es komponense~y(t)-nek, vagyis mennyi lesz a sebesseg.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

G₁₁

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

G₁₂

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

G₂₁

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

G₂₂

~

y(t) =e^tA~y(0)

~ y(0) =

1 0

=⇒ ~y(t) =

−4e^−5t+ 5e^−4t 20e^−5t−20e^−4t

,

~ y(0) =

0 1

=⇒ ~y(t) =

−e^−5t+e^−4t 5e^−5t−4e^−4t

. V´alaszok. A: -0.0557196 B: -0.0625954 C: -0.0703197 D: -0.0789972 E: -0.0887454 Helyes v´alasz. A

Mathematica.

A={{0,1},{-6,-5}}

y0={2,6}

{l1, l2} = Eigenvalues[A]

v1 = v1/v1[[2]]

v2 = v2/v2[[2]]

S = {v1, v2} // Transpose Sinv = Inverse[S]

{{C1},{C2}} = Sinv.{{y0[[1]]}, {y0[[2]]}

Diag = Sinv.A.S {{l1,0},{0,l2}}

S.Diag.Sinv

MatrixExp[ t Diag ]

S.MatrixExp[ t Diag ].Sinv etA = MatrixExp[t A] // Expand etA // TableForm

yt = etA. {{y0[[1]]}, {y0[[2]]}} // Expand expPlots = GraphicsGrid[

Table[Plot[etA[[i, j]], {t, 0, 1}, PlotRange -> {0, 1},

PlotLabel -> Subscript[G, ToString[i] <> ToString[j]]], {i, 2}, {j, 2}]]

(13)

Octave.

Feladat (8). Hom.Lin. DE. Alulcsillapitott oszcillator.

Legyen

¨

y+ay˙+by= 0, A=

0 1

−17 −8

, d

dt~y=A~y, ~y(0) = 5

1

.

Megjegyz´es. y¨ = −ay˙−by, ez Newton III. egyenlete egy egysegnyi tomeg mozgasara, ha a ra hato ero aranyos (negativ elojellel) a kiteressel es a sebesseggel.

Alfeladat (A). Keresd megA saj´ert´ekeinek kepzetes reszeinek az abszolut erteket!

−λ 1

−17 −λ−8

V´alaszok. A:−6 B:−4 C:−2 D:−1 E: 0 Helyes v´alasz. B

Alfeladat (B). Keresd meg a sajatertekekhez tartozo azon~v₁ es~v₂ vektorokat, ahol (~v_i)₁ = 1, i = 1,2.Keszits ezen sajatvektorokbol egyS = (~v₁, ~v₂) matrixot. MennyiS elemeinek az osszegenek a valos resze?

(A−λ_iE)~v_i =~0 egyenleteknek. Esetunkben ezek az egyenletek

4−i 1

−17 −4−i x y

= 0

0

,

4 +i 1

−17 −4 +i x y

= 0

0

S =

1 1

−4 +i −4−i

. V´alaszok. A:−10 B:−9 C:−8 D:−6 E: −4

Helyes v´alasz. D

~ y(t) =

2

X

i=1

C_ie^λⁱ^t~v_i alakban. MennyiC1, ha teljesul az~y(0)-ra megadott kezdeti feltetel?

Megjegyz´es.

C₁ C₂

=S⁻¹ 5

1

= ₁

2 −2i −₂ⁱ

1

2 + 2i ₂ⁱ

5 1

~ y(t) =

5e^−4tcos(t) + 21e^−4tsin(t) e^−4tcos(t)−89e^−4tsin(t)

V´alaszok. A:−¹₂ B: ¹₂ C: ³₂ D: ⁵₂ E: ⁷₂ Helyes v´alasz. D

21 ?

(14)

Megjegyz´es.

e^tA=Se^tDS⁻¹ =

1 1

−4 +i −4−i

exp

t·

−4 +i 0 0 −4−i

1

2−2i −₂ⁱ

1

2+ 2i ₂ⁱ

=

e^−4tcos(t) + 4e^−4tsin(t) e^−4tsin(t)

−17e^−4tsin(t) e^−4tcos(t)−4e^−4tsin(t)

. Megjegyz´es. Pl. az exponencialis matrix G₂₁ = e^tA

21 azt adja meg, hogy ha a rendszer t = 0 allapota (1,0)^T volt (vagyis egysegnyi kiteres, nulla sebesseg), akkor mennyi leszt ido mulva a 2-es komponense~y(t)-nek, vagyis mennyi lesz a sebesseg.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-2 -1 1 2

G₁₁

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-2 -1 1 2

G₁₂

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-2 -1 1 2

G₂₁

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-2 -1 1 2

G₂₂

~

y(t) =e^tA~y(0)

~ y(0) =

1 0

=⇒ ~y(t) =

e^−4tcos(t) + 4e^−4tsin(t)

−17e^−4tsin(t)

,

~ y(0) =

0 1

=⇒ ~y(t) =

e^−4tsin(t) e^−4tcos(t)−4e^−4tsin(t)

. V´alaszok. A: -0.061949 B: -0.0695935 C: -0.0781813 D: -0.0878289 E: -0.098667 Helyes v´alasz. A

Mathematica.

Octave.

Feladat (9). Hom.Lin. DE. Jordan dekompozicio.

Tetel: Minden komplex negyzet alakuA matrixhoz letezik olyan S, hogy azSAS⁻¹ matrix blokk-diagonalis, es a diagonalis blokkok alakja a kovetkezoek lehetnek:

J1 = λ

, J2 = λ 1

0 λ

, J3=





λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ



, . . . .

(15)

Alfeladat (A). Allando sebessegu mozgas.

¨

y= 0, d dt~y=

0 1 0 0

~ y=A~y.

(Itt~y= (y,y)˙ ^T.) Mennyi (exp(1.287A))12 ? Megjegyz´es.

e^tA=E+tA+t²

2!A²+t³

3!A³+· · ·= 1 0

0 1

+t 0 1

0 0

, mivel

0 1 0 0

2

= 0 0

0 0

Alfeladat (B). Allando gyorsulasu mozgas.

d³y

d³ = 0, d dt~y =





0 1 0 0 0 1 0 0 0



~y=A~y.

(Itt~y= (y,y,˙ y)¨ ^T.) Mennyi (exp(1.287A))₁₃ ? Megjegyz´es.

e^tA=E+tA+t²

2!A²+t3

3!A³+· · ·=





1 0 0 0 1 0 0 0 1



+t





0 1 0 0 0 1 0 0 0



+t² 2!





0 1 0 0 0 1 0 0 0





2

, mivel





0 1 0 0 0 1 0 0 0





3

=





0 0 0 0 0 0 0 0 0



. Igy

e^tA =





1 t t²/2

0 1 t

0 0 1



. V´alaszok. A: 0.828184 B: 0.930382 C: 1.04519 D: 1.17417 E: 1.31906 Helyes v´alasz. A

Alfeladat (C). Radioaktiv bomlas,I →II →. . .. d dt~y=

−2 0 6 −2

~ y=A~y.

(Itt~y= (y_I, y_II)^T.) Mennyi (exp(1.287A))₂₁ ? Megjegyz´es.

e^tA= exp

t

−2 0 0 −2

+t

0 0 6 0

= exp

t

−2 0 0 −2

exp

t

0 0 6 0

=

e^−2t 0 0 e^−2t

1 0 6t 1

=

e^−2t 0 6te^−2t e^−2t

. mivel kovetkezo matrixok kommutalnak egymassal:

−2 0 0 −2

0 0 6 0

= 0 0

6 0

−2 0 0 −2

.

(16)

Megjegyz´es. Vagy megkereshetjuk A Jordan dekompoziciojat:

• Oldjuk meg az

A~v1 =−2~v1, A~v2=−2~v2+~v1

egyenleteket. Hasonlo egyenletek elegit ki a standard bazis a J₂ Jordan blokkra nezve:

λ 1 0 λ

1 0

=λ 1

0

,

λ 1 0 λ

0 1

=λ 0

1

+ 1

0

• A megoldasokbol keszitettS = (~v₁, ~v₂) matrixra fennall, hogy S

−2 1 0 −2

S⁻¹ =A, igy

e^tA=Sexp

t

−2 1 0 −2

S⁻¹ =

0 ¹₆ 1 0

e^−2t

1 t 0 1

0 1 6 0

V´alaszok. A: 0.415195 B: 0.466431 C: 0.523988 D: 0.588648 E: 0.661287 Helyes v´alasz. D

Alfeladat (D). Kritikusan csillapitott oszcillator. Legyen a= 4,

¨

y+ 2ay˙+a²y= 0, d dt~y=

0 1

−a² −2a

~ y=A~y.

(Itt~y= (y,y)˙ ^T.) Mennyi (exp(0.2·A))₁₂ ?

Megjegyz´es. 0 = det(A−λE) = (λ+a)², igy A egyetlen sajaterteke λ=−a.

e^tA=e^−atexp[t(A−(−a)E)]

=e^−atexp

t·

a 1

−a² −a

=e^−a

1 0 0 1

+t

a 1

−a² −a

,

mivel

a 1

−a² −a 2

= 0 0

0 0

. Megjegyz´es. Vagy megkereshetjuk A Jordan dekompoziciojat:

• Oldjuk meg az

A~v1 =−a~v1, A~v2=−a~v2+~v1

egyenleteket:

~v₁=

−1/a 1

, ~v₂ =

−1/a² 0

.

• A megoldasokbol keszitettS = (~v1, ~v2) matrixra fennall, hogy S

−a 1 0 −a

S⁻¹=A, igy

e^tA=Sexp

t

−a 1 0 −a

S⁻¹ =

−¹_a −¹

a²

1 0

e^−at te^−at 0 e^−at

0 1

−a² −a

=

e^−at(at+ 1) e^−att

−a²e^−att e^−at(1−at)

V´alaszok. A: 0.0898658 B: 0.100955 C: 0.113413 D: 0.127408 E: 0.14313

(17)

A = {{0, 1}, {0, 0}}

A.A

MatrixExp[t A] // TableForm

A = {{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}}

A.A.A

MatrixExp[t A] // TableForm A = {{-2, 0}, {3, -2}}

MatrixExp[t A] // TableForm MatrixExp[t A][[2,1]]/.t -> 0.9 jd = JordanDecomposition[A]

S = jd[[1]]

J = jd[[2]]

S.J.Inverse[S]

a = 3

A = {{0, 1}, {-a^2, -2 a}}

MatrixExp[t A] // TableForm MatrixExp[t A][[1,2]]/.t -> 0.2 jd = JordanDecomposition[A]

S = jd[[1]]

J = jd[[2]]

S.J.Inverse[S]

Octave.

pkg load symbolic;

syms t;

tt=0.9;

A = [0 1; 0 0]

A2 = A^2 expm(t*A) As = sym(A)

[V, J] = jordan (As)

A = [0, 1, 0; 0, 0, 1; 0, 0, 0]

A2 = A^2 A3 = A^3 expm(t*A) As = sym(A)

[V, J] = jordan (As) A = [-2, 0; 3, -2]

expm(t*A)

expm(tt*A)(2,1) As = sym(A)

[V, J] = jordan (As) a=3

A = [0 1; -a^2 -2*a]

expm(t*A)

expm(0.2*A)(1,2) As = sym(A)

[V, J] = jordan (As)

(18)

Feladat (10). Impulzusv´alasz, disztribuciok.

Dirac-delta: δ(t) = 0, hat6= 0, Z ∞

−∞

δ(t)dt= 1.

Heaviside theta: θ(t) =

(0, hat <0, 1, hat >0,

????: K(t) =

(0, hat <0, t, hat >0., hf(t), φ(t)i=

Z −∞

∞

f(t)φ(t)dt hf⁰(t), φ(t)i=

Z −∞

∞

f⁰(t)φ(t)dt=− Z −∞

∞

f(t)φ⁰(t)dt=−hf(t), φ⁰(t)i Ekkor

θ⁰(t) =δ(t),

K⁰(t) =θ(t), K⁰⁰(t) =θ⁰(t) =δ(t).

Alfeladat (A). Ha φ(t) = (1 +t²)⁻¹, akkor mennyi

−hθ(t), φ⁰(t)i.

Megjegyz´es. Ez a feladat azt illusztralja, hogy

φ(0) =hδ(t), φ(t) i=hθ⁰(t), φ(t)i=−hθ(t), φ⁰(t)i

=− Z −∞

∞

θ(t)φ⁰(t)dt=− Z ∞

0

1·φ⁰(t)dt=−(φ(∞)−φ(0)).

Mivel ez fennall tetszoleges sima es csak egy veges intrvallumon nem nulla fuggvenyre, igy ez bizonyitasa annak, hogyδ⁰=θ. (Igazabol a megadottφ-nek is egy sima es csak egy veges intrvallumon nem nulla fuggvenynek kellett volna lennie ebben a temakorben.)

V´alaszok. A: -2 B: -1 C: 0 D: 1 E: 2 Helyes v´alasz. D

Alfeladat (B).

1

3G⁰(t) =δ(t), G(−1) = 0.

MennyiG(0.3) ? Megjegyz´es.

G⁰(t) = 3δ(t) =⇒ G(t) = 3θ(t) +C, =⇒ G(t) = 3θ(t).

Alfeladat (C).

G⁰(t) + 3G(t) =δ(t), G(−1) = 0.

t <0, G⁰(t) =−3G⁰(t), G(−1) = 0 =⇒ G(t) = 0,

t≈0, G⁰(t) =−3G⁰(t) +δ(t)≈δ(t) =⇒ G(0⁺)−G(0⁻) = 1 =⇒ G(0⁺) = 1, t >0 G⁰(t) =−3G(t), G(0⁺) = 1 =⇒ G(t) =e^−3t.

Tehat

G(t) =θ(t)e^−3t.

(19)

V´alaszok. A: 0.40657 B: 0.45674 C: 0.513102 D: 0.576419 E: 0.647549 Helyes v´alasz. A

Alfeladat (D).

G⁰(t) + 3G(t) =δ(t), G(1) = 0.

t >0, G⁰(t) =−3G⁰(t), G(1) = 0 =⇒ G(t) = 0, t≈0, G⁰(t) =−3G⁰(t) +δ(t)≈δ(t)

=⇒ G(0⁺)−G(0⁻) = 1 =⇒ G(0⁻) =−1, t <0 G⁰(t) =−3G(t), G(0⁻) =−1 =⇒ G(t) =−e^−3t. Tehat

G(t) =−θ(−t)e^−3t.

Itt az ugynevezett avanzsalt Green fuggvenyt szamoltuk ki, ezt a gyakorlatban eleg ritkan hasznaljak.

V´alaszok. A: -0.3702 B: -0.2468 C: -0.1234 D: 0. E: 0.1234 Helyes v´alasz. D

Alfeladat (E).

G⁰⁰(t) + 3G(t) =δ(t), G(−1) = 0, G⁰(−1) = 0.

t <0, G⁰⁰(t) =−3G⁰(t), G(−1) = 0G⁰(−1) = 0 =⇒ G(t) = 0,

t≈0, G⁰⁰(t) =−3G⁰⁰(t) +δ(t)≈δ(t) =⇒ G(0⁺)−G(0⁻) = 0, G⁰(0⁺)−G⁰(0⁻) = 1

=⇒ G(0⁺) = 0, G⁰(0⁺) = 1,

t >0 G⁰(t) =−3G(t), G(0⁺) = 0G⁰(0⁺) = 1 =⇒ G(t) = 1

√3sin√ 3t

. Tehat

G(t) = θ(t)

√3 sin√ 3t

Alfeladat (F).

G⁰⁰(t) + 7G⁰(t) + 12G(t) =δ(t), G(−1) = 0G⁰(−1) = 0.

t <0, G⁰⁰(t) =−7G⁰(t)−12G(t), G(−1) = 0G⁰(−1) = 0 =⇒ G(t) = 0, t≈0, G⁰⁰(t) =−7G⁰(t)−12G(t) +δ(t)≈δ(t)

=⇒ G(0⁺)−G(0⁻) = 0, G⁰(0⁺)−G⁰(0⁻) = 1 =⇒ G(0⁺) = 0, G⁰(0⁺) = 1, t >0 G⁰(t) =−7G⁰(t)−12G(t), G(0⁺) = 0, G⁰(0⁺) = 1

=⇒ G(t) =e^−3t−e^−4t. Tehat

G(t) =θ(t) e^−3t−e^−4t . V´alaszok. A: 0.0743252 B: 0.0834969 C: 0.0938005 D: 0.105375 E: 0.118379 Helyes v´alasz. D

(20)

Alfeladat (G).

G⁰⁰(t) + 6G⁰(t) + 25G(t) =δ(t), G(−1) = 0G⁰(−1) = 0.

t <0, G⁰⁰(t) =−6G⁰(t)−25G(t), G(−1) = 0G⁰(−1) = 0 =⇒ G(t) = 0, t≈0, G⁰⁰(t) =−6G⁰(t)−25G(t) +δ(t)≈δ(t)

=⇒ G(0⁺)−G(0⁻) = 0, G⁰(0⁺)−G⁰(0⁻) = 1 =⇒ G(0⁺) = 0, G⁰(0⁺) = 1, t >0 G⁰(t) =−6G⁰(t)−25G(t), G(0⁺) = 0, G⁰(0⁺) = 1

=⇒ G(t) =1

4e^−3tsin(4t).

Tehat

G(t) =θ(t)1

4e^−3tsin(4t).

V´alaszok. A: 0.0750655 B: 0.0843286 C: 0.0947347 D: 0.106425 E: 0.119558 Helyes v´alasz. C

Alfeladat (H). Sikerult-e abrazolnod a retardalt Green fuggveny megoldasait a kovetkezo DE-nek? (A helyes valasz: A: Igen)

G⁰+G=δ, G⁰⁰+G=δ,

G⁰⁰+ 3G⁰+ 2G=δ, G⁰⁰+ 2G⁰+ 5G=δ, Megjegyz´es. A negy megoldas:

θ(t)·

e^−t sin(t)

e^−t−e^−2t ¹₂e^−tsin(2t)

.

-1 1 2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1 1 2 3 4 5 6

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1 1 2 3 4 5 6

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

-1 1 2 3 4 5 6

-0.05 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

V´alaszok. A: Igen/Yes Helyes v´alasz. A Mathematica.

tt = 0.3;

de = {y’[t] + 3 y[t] == 0, y[0] == 1};

DSolve[de, y[t], t]

resC = DSolve[de, y[t], t][[1, 1, 2]] /. t -> tt resD = 0

resE = Sin[Sqrt[3]*tt]

(21)

de = {y’’[t] + 5 y’[t] + 6 y[t] == 0, y[0] == 0, y’[0] == 1};

(DSolve[de, y[t], t] // Expand)[[1, 1, 2]]

resF = DSolve[de, y[t], t][[1, 1, 2]] /. t -> tt

de = {y’’[t] + 2 y’[t] + 5 y[t] == 0, y[0] == 0, y’[0] == 1};

DSolve[de, y[t], t]

resG = DSolve[de, y[t], t][[1, 1, 2]] /. t -> tt

d1 = DSolve[{ y’[t] + y[t] == DiracDelta[t], y[-1] == 0}, y, t]

p1 = Plot[y[t] /. d1, {t, -1, 6}, PlotRange -> All];

d2 = DSolve[{ y’’[t] + y[t] == DiracDelta[t], y[-1] == 0, y’[-1] == 0}, y, t]

p2 = Plot[y[t] /. d2, {t, -1, 6}];

d3 = DSolve[{y’’[t] + 3 y’[t] + 2 y[t] == DiracDelta[t], y[-1] == 0, y’[-1] == 0}, y, t]

p3 = Plot[y[t] /. d3, {t, -1, 6}];

d4 = DSolve[{y’’[t] + 2 y’[t] + 5 y[t] == DiracDelta[t], y[-1] == 0, y’[-1] == 0}, y, t]

p4 = Plot[y[t] /. d4, {t, -1, 6}];

GraphicsGrid[{{p1, p2}, {p3, p4}}]

Octave.

pkg load symbolic;

syms y(t);

de = diff(y,t) + 3*y(t) dsolve( de == 0, y(0) == 1 )

dsolve( de == dirac(t) , y(-1) == 0 ) de = diff(y,t,2)+ 3*y(t)

dsolve( de == 0 , y(0) == 0, diff(y,t)(0) == 1 )

dsolve( de == dirac(t) , y(-1) == 0, diff(y,t)(-1) == 0 ) de = diff(y,t,2) + 5*diff(y,t) + 6*y(t)

sol1 = dsolve( de == dirac(t) , y(-1) == 0, diff(y,t)(-1) == 0 ) fh1 = function_handle( rhs (sol1) )

ts = [-1:0.1:6];

figure

plot( ts, fh1( ts ) )

de = diff(y,t,2) + 2*diff(y,t) + 5*y(t)

sol2 = dsolve( de == dirac(t) , y(-1) == 0, diff(y,t)(-1) == 0 ) tt = 0.3

res = subs( rhs (sol2) , t, tt ) % Octave dislikes this double( res )

fh2 = function_handle( rhs (sol2) ) fh2( tt )

ts = [-1:0.1:6];

figure

plot( ts, fh2( ts ) )

Feladat (11). Inhom. Lin. DE.

Legyen

χ_[a,b](t) =

(1, ha t∈[a, b], 0, ha t6∈[a, b].

Alfeladat (A). Legyen a= 1.9.

G⁰(t) +aG(t) =δ(t), G(−1) = 0, G(t) =θ(t)e^−at.

(22)

Ird felGsegitsegevel a

y⁰(t) +ay(t) =χ_[1,2](t), y(−∞) = 0 DE megoldasatt >2-re! Mennyi y(2.8) ?

Megjegyz´es.

y(2.8) = (G∗χ_[1,2])(2.8) = Z ∞

−∞

G(2.8−τ)χ_[1,2](τ)dτ

= Z 2.8

−∞

e^{−a(2.8−τ)}χ_[1,2](τ)dτ = Z 2

1

e^{−a(2.8−τ)}·1dτ V´alaszok. A: 0.0690486 B: 0.0775692 C: 0.0871412 D: 0.0978944 E: 0.109975 Helyes v´alasz. D

Alfeladat (B). Legyena= 1.9.

G⁰(t) +aG(t) =δ(t), G(t) =θ(t)e^−at. Ird felGsegitsegevel a

y⁰(t) +ay(t) =χ_[1,2](t), y(0) = 7 DE megoldasatt >2-ra! Mennyi y(2.8) ?

Megjegyz´es.

y(2.8) = (G∗χ_[1,2])(2.8) +y(0)G(2.8) = Z ∞

0

G(2.8−τ)χ_[1,2](τ)dτ

= Z 2.8

0

e^{−a(2.8−τ)}χ_[1,2](τ)dτ = Z 2

1

e^{−a(2.8−τ)}·1dτ+ 7e^−a·2.8 V´alaszok. A: 0.0932059 B: 0.104707 C: 0.117628 D: 0.132144 E: 0.14845

Helyes v´alasz. D

Alfeladat (C). Legyena= 1.9

G⁰(t) +aG(t) =δ(t), G(−1) = 0, G(t) =θ(t)e^−at. Ird felGsegitsegevel a

y⁰(t) +ay(t) =θ(t), y(0) = 0

DE megoldasat t >0-ra! (Ez az egysegugras fuggvenyre adott valasz.) Mennyi a rendszer valaszideje, azaz mikor eri el leghamarabbyertekey(∞) 90 szazalekat? (Szokas ezt ugy is definialni, mint azt az idot, amely alattyerteke 10 szazalekrol felmegy 90-re.)

Megjegyz´es. Legyen

U⁰(t) =G(t), U(t) = Z t

−∞

G(τ)dτ.

Ekkor

U⁰(t) +aU(t) =θ(t) =⇒ (U⁰(t))⁰+a(U(t))⁰ =θ⁰(t) =δ(t) =G⁰(t) +aG(t), hiszenθ⁰(t) =δ(t). Vagyis az egyseguras valasz az impulzus valasz integralja:

U(t) =

(0, ha t <0,

Rt

0 e^−atdt= ^1−e_a^−at, ha t >0.

y(∞) = 1/a, igy a T_rise valaszido :

1−e^−aT^rise

a = 0.9

a =⇒ T_rise= ln 10 a .

(23)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.1

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Alfeladat (D). Legyen a= 1.9

G⁰(t) +aG(t) =δ(t), G(−1) = 0, G(t) =θ(t)e^−at. Ird felGsegitsegevel a

y⁰(t) +ay(t) =θ(t), y(0) = 0

DE megoldasat t >0-ra! (Ez az egysegugras fuggvenyre adott valasz.) Mennyi a rendszer lenyugvasi ideje, azaz mennyi az a legkisebb ido, ami utany(t) ertekey(∞) ±2 szazalekos kornyezeteben marad?

Megjegyz´es. y(∞) = 1/a, igy aTsetl lenyugvasi ido : 1−e^−aT^setl

a = 0.98

a =⇒ Tsetl= ln 50 a .

1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6

0.505 0.510 0.515 0.520 0.525 0.530 0.535

(24)

Mathematica.

a = 2; tt = 3;

chi[a_, b_, t_] := If[a < t && t < b, 1, 0]

de = {y’[t] + a y[t] == chi[1, 2, t], y[0] == 0}

des = DSolve[de, y[t], t]

resA = (des[[1, 1, 2]] /. t -> tt) // N resB = resA + Exp[-a tt]*7

resC = Log[10.0]/a U = 1/a - Exp[-a t]/a

plot1 = Plot[{U, 1/a, 0.9/a}, {t, 0, 5/a}, PlotRange -> {0, 1.2/a}, Epilog -> {PointSize[Medium], Point[{resC, U /. t -> resC}]}]

resD = Log[50.0]/a U = 1/a - Exp[-a t]/a

plot2 = Plot[{U, 1/a, 0.98/a}, {t, 3/a, 5/a}, PlotRange -> {0.95/a, 1.02/a},

Epilog -> {PointSize[Medium], Point[{resD, U /. t -> resD}]}]

Octave.

clear all;

pkg load symbolic;

a=2; tt=3;

syms y(t);

de = diff(y,t) + a*y(t)

solA = dsolve( de == heaviside(t-1)*heaviside(2-t), y(-1000) == 0 ) fh = function_handle( rhs (solA) )

fh( tt )

solB = dsolve( de == heaviside(t-1)*heaviside(2-t), y(0) == 7 ) fh = function_handle( rhs (solB) )

fh( tt ) log(10.0)/a log(50.0)/a

Feladat (12). Inhom. Lin. DE.

Legyen

χ_[a,b](t) =

(1, ha t∈[a, b], 0, ha t6∈[a, b].

Alfeladat (A). Legyen t₁= 3.5, A=

−2 0 2 −3

, e^tA=

e^−2t 0

−2e^−3t+ 2e^−2t e^−3t

. Ird fele^tA segitsegevel a

d

dt~y(t) =A~y(t) + 0

1

(χ_[1,2](t)), ~y(−∞) = 0

0

DE megoldasatt >2-re! Mennyi ~y(3.5)2 ? Megjegyz´es.

~ y(t) =

Z t

−∞

e^−2(t−τ) 0

−2e^−3(t−τ)+ 2e^−2(t−τ) e^−3(t−τ) 0 1

χ_[1,2](τ)dτ

= Z ₂

1

e^−2(t−τ) 0

−2e^−3(t−τ)+ 2e^−2(t−τ) e^−3(t−τ) 0 1

·1dτ

(25)

Megjegyz´es. A hasznalt formula bizonyitasa:

d

dt~y(t) =A~y(t) +f~(t), ~y(−∞) = 0,

~ y(t) =

Z t

−∞

e^(t−τ)Af(τ~ )dτ, d

dt~y(t) = d dt

Z t

−∞

e^(t−τ)Af~(τ)dτ =e^(t−t)Af~(t) + Z t

−∞

d dt

e^(t−τ)Af~(τ) dτ

=E ~f(t) + Z t

−∞

A

e^(t−τ)Af(τ~ )

dτ =f(t) +~ A Z t

−∞

e^(t−τ)Af~(τ) dτ

=A~y(t) +f(t).~

V´alaszok. A:{0.00278808} B:{0.00313213}C: {0.00351864}D: {0.00395284} E:{0.00444062}

Helyes v´alasz. C

Alfeladat (B). Legyent₁ = 3.5, A=

−2 0 2 −3

, e^tA=

e^−2t 0

−2e^−3t+ 2e^−2t e^−3t

. Ird fele^tA segitsegevel a

d

dt~y(t) =A~y(t) + 0

1

(χ_[1,2](t)), ~y(0) = 7

8

DE megoldasat! Mennyi~y(3.5)2 ? Megjegyz´es.

~

y(t) =e^t¹^A~y(0) + Z t1

0

e^−2(t−τ) 0

−2e^−3(t−τ)+ 2e^−2(t−τ) e^−3(t−τ) 0 1

χ_[1,2](τ)dτ

=

e^−2t 0

−2e^−3t+ 2e^−2t e^−3t 7 8

+ Z ₂

1

e^−2(t−τ) 0

−2e^−3(t−τ)+ 2e^−2(t−τ) e^−3(t−τ) 0 1

·1dτ.

V´alaszok. A:{0.0113699} B:{0.0127729} C: {0.0143491} D:{0.0161198} E:{0.0181089}

Helyes v´alasz. D Mathematica.

Octave.

Feladat (13). Laplace transzformacio Alfeladat (A). Legyen

y⁰(t) + 5y(t) = 4t+ 2, y(0) = 5.

MennyiY(1.4) ? Megjegyz´es.

(sY(s)−5) + 5Y(s) = 4 s² +2

s, Y(s) = 1

s+ 5· 4

s² +2 s+ 5

. V´alaszok. A: 0.933402 B: 1.04858 C: 1.17798 D: 1.32334 E: 1.48664 Helyes v´alasz. D

(26)

Alfeladat (B). Legyen

y⁰(t) + 5y(t) = 4t+ 2, y(0) = 5.

Ha

Y(s) =X

k,n

Ak,n

(s−α_k)ⁿ, A_k,n6= 0, α₁> α₂ >· · · , akkor mennyiA1,1 ?

Megjegyz´es.

(sY(s)−5) + 5Y(s) = 4 s² +2

s, Y(s) = 1

s+ 5· 4

s² +2 s + 5

= 4

5s² + 119

25(s+ 5)+ 6 25s. V´alaszok. A: ₂₅⁶ B: ₂₅⁸ C: ₂₅⁹ D: ¹¹₂₅ E: ¹²₂₅

Helyes v´alasz. A Alfeladat (C). Legyen

d dt~y =

−6 0 6 −2

~ y+

1 t

, ~y(0) = 3

5

. MennyiY1(1.4) ?

Megjegyz´es.

s~Y(s)− 3

5

=

−6 0 6 −2

Y~(s) + 1/s

1/s²

, Y~(s) =

sE−

−6 0 6 −2

−1 3 5

+

1/s 1/s²

. V´alaszok. A:{0.315142} B:{0.35403} C:{0.397718} D: {0.446796}E:{0.501931}

Helyes v´alasz. E Mathematica.

Octave.

Feladat (14). Laplace transzformacio Alfeladat (A). Legyen

y⁰⁰(t) + 7y⁰(t) + 10y(t) = 2t+ 3, y(0) = 6, y⁰(0) = 2 MennyiY(1.) ?

Megjegyz´es.

(s²Y(s)−6s−2) + 7Y(s) = 2 s² +3

s, Y(s) = 1

s²+ 7s+ 10 · 2

s² +3

s + 6s+ 2

. V´alaszok. A: 0.453454 B: 0.50941 C: 0.572271 D: 0.64289 E: 0.722222

Helyes v´alasz. E

(27)

y⁰⁰(t) + 7y⁰(t) + 10y(t) = 2t+ 3, y(0) = 6, y⁰(0) = 2.

Ha

Y(s) =X

k,n

Ak,n

(s−α_k)ⁿ, A_k,n6= 0, α₁> α₂ >· · · , akkor mennyiA1,1 ?

Megjegyz´es.

(s²Y(s)−6s−2) + 7Y(s) = 2 s² +3

s, Y(s) = 1

s²+ 7s+ 10· 2

s² + 3

s+ 6s+ 2

1

5s² − 11

3(s+ 2)+ 713

75(s+ 5)+ 4 25s. V´alaszok. A: ₂₅² B: ₂₅⁴ C: ₂₅⁶ D: ₂₅⁷ E: ₂₅⁸

Helyes v´alasz. B Mathematica.

Octave.

Feladat (15). Fourier transzformacio, hoegyenlet.

Alfeladat (A). Legyen χ_[a,b](x) = 1, hax∈[a, b], amugy meg nulla. Ha χ_[1.4,2.](x) =

∞

X

n=−∞

ˆ

χnen(x), ahol en(x) = e^inx

√ 2π a (−π, π) intervalumon, akkor mennyi|χˆ2|?

Megjegyz´es.

ˆ

χn= en, χ_[a,b]

= Z π

−π

en(x)χ_[a,b](x)dx

= Z 2.

1.4

e^−inx

√2π ·1dx Megjegyz´es. A

χ_[1.4,2.](x) =

∞

X

n=−∞

ˆ χnen(x)

egyenloseg mint L²([−π, π], dx)-beli vektorok egyenlosegekent ertelmezendo. Az a, b vegpontokban a vegtelen osszeg hatarerteke nem egy hanem (1 + 0)/2 lenne. Ez a fuggveny jobb es bal oldali hatarertekeinek az atlaga.

V´alaszok. A: 0.141431 B: 0.158884 C: 0.17849 D: 0.200516 E: 0.22526 Helyes v´alasz. E

φ_t(t, x) = 3φ_xx(t, x), φ(t, x) =φ(t, x+ 2π), φ(0, x) =χ_[1.4,2.](x), ha x∈[−π, π].

Ha

φ(t, x) =

∞

X

n=−∞

cn(t)en(x), akkor mennyi|c₂(0.2)|?

(28)

Megjegyz´es. Mivel

3 ∂²

∂x²e_n(x) =−3n²e_n(x), igy

d

dtcn(t) =−3n²cn(t), =⇒ cn(t) =cn(0)·e⁻³ⁿ²^t. V´alaszok. A: 0.0204351 B: 0.0229568 C: 0.0257897 D: 0.0289721 E: 0.0325473 Helyes v´alasz. A

Mathematica.

Octave.

Feladat (16). Euler-Lagrange egyenlet, numerikus modszerek.

Alfeladat (A). Legyen

L(u, u⁰, x) = (u⁰(x))²+ 3u(x)u⁰(x)−2u²−3u⁴,

tovabbauelegitse ki azLLagrange fuggvenyhez tartozo Euler-Lagrange egyenletet. Ha u(1) = 2, u⁰(1) = 3, akkor mennyiu⁰⁰(1) ?

Megjegyz´es.

d dx

∂L

∂u⁰ −∂L

∂u = 0, d

dx(2u⁰+ 3u)−3u⁰+ 2·2u+ 4·3u³ = 0 V´alaszok. A: 48 B: 49 C: 50 D: 51 E: 52

Helyes v´alasz. E

L(u, u⁰, x) =u(x)(u⁰(x))²+ 2u²(x)u⁰(x)−3u⁴,

tovabbauelegitse ki azLLagrange fuggvenyhez tartozo Euler-Lagrange egyenletet. Ha u(1) = 2, u⁰(1) = 3, akkor mennyiu⁰⁰(1) ?

Alfeladat (C). Legyen~u= (u₁, u₂)^T,

L(~u, ~u⁰, x) = 1

2 (u⁰₁)²+ (u⁰₂)²

+ 2u⁰₁+ 3u⁰₂−u1u2,

tovabba ~u elegitse ki az L Lagrange fuggvenyhez tartozo Euler-Lagrange egyenletet. Ha u1(1) = 2, u⁰₁(1) = 3, u₂(1) = 3, u⁰₂(1) = 2, akkor mennyiu⁰⁰₁(1) ?

Megjegyz´es. Esetunkben az EL egyenletek:

d dx

∂L

∂u⁰_i − ∂L

∂ui

= 0, i= 1,2.

V´alaszok. A: 0 B: 1 C: 2 D: 3 E: 4 Helyes v´alasz. D

Alfeladat (D). (Heun modszere) Legyen

f(t, y) = (4 + 3t)(3 + 4y) t0 = 4,∆t= 0.1.

d

dty(t) =f(t, y(t)), y(t₀) =y₀ = 3.

Mennyi Heun modszerenek a joslatay(t₀+ ∆t)-re?

(29)

Megjegyz´es.

Euler: y(t₀+ ∆t)≈y₀+f(t₀, y₀)∆t, Heun: y(t₀+ ∆t)≈y₀+1

2 f(t₀, y₀) +f(t₀+ ∆t, y₀+f(t₀, y₀)∆t)) . V´alaszok. A: 3.87495 B: 4.35312 C: 4.8903 D: 5.49376 E: 6.17169

Helyes v´alasz. E

Alfeladat (E). (Taylor-sor) Legyen

f(t, y) = (4 + 3t)(3 + 4y) t₀ = 4, d

dty(t) =f(t, y(t)), y(t0) =y0 = 3,

y(t0+ ∆t) =y0+c1∆t+c2∆t²+c3∆t³+O(∆t⁴).

Mennyic₂ ? Megjegyz´es.

c₁ =f(t₀, y₀), c2 =

∂

∂t+f(t, y) ∂

∂y

f(t, y)

|t=t0, y=y0

. V´alaszok. A: ¹⁵⁴⁰³₂ B: ¹⁵⁴⁰⁵₂ C: ¹⁵⁴⁰⁷₂ D: ¹⁵⁴⁰⁹₂ E: ¹⁵⁴¹¹₂

Helyes v´alasz. B

Alfeladat (F). (Taylor-sor) Legyen

f(t, y) = (4 + 3t)(3 + 4y) t₀ = 4, d

dty(t) =f(t, y(t)), y(t0) =y0 = 3,

y(t0+ ∆t) =y0+c1∆t+c2∆t²+c3∆t³+O(∆t⁴).

Mennyic₃ ? Megjegyz´es.

c₁ =f(t₀, y₀), c₂ =

∂

∂t+f(t, y) ∂

∂y

f(t, y)

|t=t0, y=y0

, c₃ =

∂

∂t+f(t, y) ∂

∂y 2

f(t, y)

|t=t0, y=y0

. V´alaszok. A: 165278 B: 165280 C: 165282 D: 165283 E: 165284

Helyes v´alasz. B Mathematica.

Octave.