P E L L E B É L A főiskolai adjunktus:
a r e c i p r o c i t á s a l k a l m a z á s a
a z a p o l l o n i u s - f é l e f e l a d a t m e g o l d á s á n á l
A. dolgozatban a reciprocitásnak egy érdekes alkalmazását muta t- juk meg a közös fókuszú kúpszeletek metszéspontjainak a meghatározá- sánál, majd a kapot t eljárást alkalmazzuk az Apollonius feladatok meg- oldására. Az első részben röviden összefoglaljuk azokat a tételeket, ame- lyekr e az alkalmazás során szükségünk lesz. A tételek egyrészét Stiefel:
Lehrbuch der Darstellenden Geometrie c. könyve alapján összegeztük, a másik részét ezek általánosításából, illetve konkrét esetre való alkal-
mazásából kap ju k.
Té rjün k át ezután az anyag rendszeres tárgyalására.
1. A reciprocitás
Ez a leképezés a sík minden pontjához ugyanazon síknak egy egye- nesét rendeli. A síkban választunk egy állandó H-pontot, amelye t a re- ciprocitás fő pontján ak nevezünk. A reciprocitás Z-centrumakén t jelöl- jünk meg a térben egy pontot, amely H felett egységnyi magasságban van. H tehát Z-nek az alaprajza. A síkban fekvő P-ponthoz a következő előírás szerint rendelün k egy síkban fekvő p egyenest: A PZ egyenesre Z-ben egy normálsíkot helyezünk, enne k a normálsíknak és a síknak a metszőegyenese p. A p egyenes megszerkesztéséhez rajzolunk egy H középpontú egységsugarú kört. PZ egy derékszögű háromszög átfogója melyet P H körül beforgatunk. A beforgatott (Z) a C körre esik. A kere- sett p egyenes merőleges PH-r a Pi-e n keresztül. (P [Z] P, derékszögű háromszög.) (1. ábra)
Legyen a P H távolság r és p-nek a H-tól való távolsága <>. A derék- szögű háromszögből:
q = — (1)
r
Ennek megfelelően a P pontot és a p egyenest egymás reciprokainak nevezzük. Ezekre érvényes a következő fontos tétel:
1. Reciprocitásnál az illeszkedés megmarad, azaz, ha egy P pont a q egyenesen van, akkor P-nek a reciprok p egyenese q-nak a reciprok © pon tjá n megy keresztül. (1. ábra)
2. Adottak a P, és P2 pontok és azoknak a pi és pa reciprok egyene- sei. A P,P2 egyenes reciprok a pi és p2 met széspontjához [1],
A H főpontnak nincs végesben f ekvő reciprok egyenese. Az (1) for mu - lában ugyanis r = 0. Hogy ez a hiányosság megszűnjön , legyen a to- pont reciproka a sík végtelen távoli egyenese. A H főponton átmenő egyenesnek megfelel ő reciprok pont pedig legyen a p-r e merőleges irá- nyú végtelen távoli pont.
A végtelen távoli elemek összekötését és metszést defi niálj uk a kö- vetkezőképpen :
3. a. P és Qoo összekötő egyenese P -n keresztül párhuzamo s a Qoo felé mut at ó iránnyal .
3. b. p és goo-nek a metszéspontja a p-vel párhuzamos i rányú vég- telen távoli pont.
4. a. Pon és Qoo összekötő egyenese a végtelen távoli egyenes.
4. b. Két pár huzamo s egyenes metszéspontj a a végtelen távoli pont [2],
Miután az egyenes és pont reciprok á br á j á t megvizsgáltuk és az ez- zel kapcsolatos t étel eket rögzítettük , tekintsü k a kör reciprok ábráj át . Vegyük fel a reciprocitás H f őp ont j át és k körét, továbbá egy R sugarú, M középpontú C kört, amelyre M H = m. Szerkesszük meg a C kör re- ciprok c görbéjét. E célból határozzu k meg a C kör egy tetszőleges t érintőjéne k a reci prok T po nt j át és ennek felhasználásával í r j u k fel a c görbe egyenletét.
Az érintő í> távolsága o = HK -f- KL = HK -f- R
HKM derékszög ű háromszögből HK = m • cos <f> tehát 0 — m • cos rp -j- R
436
A reciprok T pont nak г távolságára az (l)-bő l a következő egyenle-
tet t a lá lj uk : i
Ez az egyenlet pedig egy kúpszelete t ábrázol (2. abra). Érvényese k t ehát a következő tételek :
5. Egy körnek a reciprok ábráj a egy kúpszelet, ennek egyik f ók u- szában van a reciprocitás f őpontj a.
6. Minden kúpszelet reciprok ábr á j a egy kör, főpont ként a kúpsze- let egyik fókuszát kell választani [3].
7. Egy reciprocitásnál а С görbe éri ntőj e a reciprok с görbe pont- jába megy át és megfordítva C-nek pont jai c-nek érintői lesznek.
F i gyel j ü k meg, hogy az MH egyenesen lévő kör át mérő végpon tj ai - nak a reciprok egyenesei a kúpszelete k csúcsérintői, a körközéppon t megfelelője pedig a kúpszelet vezérvonala.
A 2. ábrán m > R , t e há t a (2) a l ap j án e > 1, a c kúpszelet hiperbola . Az Uoo végtelen távoli pontnak megfelelő u reciprok egyenes a H fő- pontból a körhöz húzott érintő lesz. Az A érintési pont nak megfelelő reciprok egyenes pedig a hiperbolát a végtelen távoli pont ban érinti , t ehát ez az aszimptota. Ez párhuzamos az MA iránnyal . A főpontból h ú - zott körérintők éri ntési pontj ai a kör ívet két részre osztják, egy-egy ív egy-egy hiperbola ágnak felel meg.
Ha C kör átmegy a H főponton, akkor e == 1 és m = R, a kúpszelet
parabola. I
Ha pedig H a C kör belsejébe n van, akkor m < R és így £ < 1. A kú p- szelet ellipszis.
A 7. tétel ért elmében az érintőkbő l a reciprok görbe po nt j a i lesz- nek. Válasszunk ki a C körhöz két érintőt. Ezek megfelelői a reciprok görbének pontj ai . Ezt a két pontot összekötő egyenesnek a megfel el őj e a 2. t ét el értelmébe n a köréri ntő k met szés pont ja lesz. Az összekötő egye- nes a kúpszeletet az érintőknek megfelelő pontokban metszi. Ezek szerint:
8. Ha egy kúpszel ete t egy g egyenessel met szet ünk, akkor a m e t - széspontokat úgy s zerkes ztj ü k meg, hogy g-nek a reciprok G pont jábó l érintőt húzunk a kúpszel et reciprok köréhez, és ezek visszaállított]a i lesznek a metszéspontok.
Két kör recipro k á b r á j a két közös fókuszú kúpszelet. A kör ök ér in- tői a kúpszelet metszéspontja i lesznek, tehát a közös érintőknek meg- felelő pontok mi ndkét kúpszelet ne k pont j ai lesznek, vagyis közös pon - tok. í g y:
9. a. Két kör közös érintőinek reciprok á br áj a a közös fókuszú k ú p - szeletek metszéspontjai.
9. b. Közös fókusz ú kúpszelete k metszéspont jai t úgy határozzu k meg, hogy a kúpszeletekne k megfelel ő körökhö z érint őket h úzunk és az ezeknek megfelelő reciprok pontok lesznek a metszéspontok .
Ezek szerint t ehát a kúpszeletek metszéspont ja i meghatározhatók, ha azok egyik fókusza közös.
Tekintsük át r öviden , hogy két közös fókuszú kúpszeletne k há ny met széspont ja lehetséges.
Ha a körök olyan helyzetűek, hogy a főpont mi ndket tő n kívül van.
akkor a körök megfelelői hiperbolák. A két körhöz négy-hár om-ket t ő - egy-nulla érintő húzható , tehát két közös fókuszú hi perbol ána k is ugyanennyi közös p on t j a lehet.
Ha a két kör olyan helyzetű, hogy a H főpon t egyiken kívül van, a más ikr a pedig illeszkedik, akkor az egyik kör megfelelője hiperbola , a másik é parabola. A két körhöz négy-három-kett ő-egy-nul la érintő húzható, így a közös fókuszú hiperbolának és parabol ának is ugyaneny nyi közös pont j a van.
Ha a H egyik körön kívül, a másikon pedig belül van, akkor a körök
megfelelője hiperbola és ellipszis. Ezek közös ponijai na k a száma is meg- egyezik az előzőékkel.
Ha mindkét kör illeszkedik a H főpontra, akkor a körök megfelelői parabolák . A H közös pontt al bíró két körhöz három-ket tő-eg y közös- érint ő húzható , eszerint két közös fókuszú parabolának há r om (kettő a végesben, egy a végtelenben), ket tő és egy (a végtelenben) közös pont j uk lehet.
Ha a két kör t úgy vesszük fel, hogy a főpont egyikre illeszkedik, a másikon pedig belül van, akkor a közös érintők száma kettő, vagyis a közös fókuszú parabolána k és ellipszisnek mindig kettő, közös p on t j a van.
Végezetül két olyan körhöz, amelyek mindegyike a főpontot belse- jében tartalmazza kett ő-egy-nulla közös érintő húzható , vagyis két kö- zös fókuszú ellipszisnek kettő-egy-nulla közös pont ja lehet.
Vizsgáljuk ezután a két azonos főpontú, de különböző ce nt r u mú re- ciprok leképezés közötti összefüggést. Legyen a Z5 cen tr u m egységnyi magasságban a sík felett, Z2 pedig a magasságban. Az első esetben (1.
a2 ábra) P H • H Pt = 1, a másodikban P H - HPo = a2. Ebből pedig P H = ^
2
és így H P2 = a2 • HP j . T ehát a H középpontbó l nyúj táss al vagy összenyo- mással az egyik leképezéshez tartozó recipro k átvihet ő a másik leképe- zéshez tartozó reciprokba. Ebből továbbá az is leolvasható, hogy hiper- bolából, parabolábó l és ellipszisből ismét hiperbola, parabola és ellipszis lesz, tovább á a közös pontok a transzf ormáció után is közös pont ok ma- r adnak. Eszerint :
10. A közös fókuszú kúpszelete k metszéspontjai na k a megszerkesz- tésénél a reciprocitás köre tetszőleges sugárral rajzol ható meg.
Ebben a leképezésben megáll apít ot tun k egy feltételt, amel ynek , ha eleget tesznek a kúpszeletek, akkor a metszéspontjaik megszerkeszthe - tek. A szerkesztésnél a következők szerin t j á r u n k el: a kúpszeletek kö- zös fókuszát vál asztj uk főpontt ul, ekörül tetszőleges sugárra l kör t r a j - zolunk, a kúpszelet csúcspontjaiból megszerkesztjü k a recipro k kör egy át mérőj ének két végpontj át , ebből me gr aj zo lj u k a köröket és meghúzzuk a közös érintőit, ezek visszaállítottja i lesznek a metszéspontok.
Alkalmazzuk az itt összegezett tételeket az Apollonius-íéle feladat megoldásánál. A feladat eredeti megfogalmazásába n így szól: Szerkesz- tendő három adott kört érintő kör. Az adato k között e n ge dj ük meg a nulla és a végtelen sugarúakat is. Az érintőkörök középpontj ait általá- ban kúpszelete k szolgáltatják . Ezek a kúpszeletek pedig mindig előállít- hat ók úgy, hogy fókuszu k közös legyen. így az érintőkörök középpontj ai az előbbiek a lapj án megszerkeszthetők.
2. Az Apollonius-féle jeladat megszerkesztése
a) Szerkesszün k h áro m adott kör t, éri nt ő kört. Vegyük fel a három kör t úgy, hogy egyik sem messe a másikat. Válasszuk ki k.3-at és ehhez vi- szonyítva vizsgáljuk a másik kett őt érintő körök középpont jai na k mé r - t ani helyét. Azon köröknek a középpontjai, amel yekbő l raj zo lt körök k | ko-t érintik, hiperbolákon vannak , ugyanúg y k2k,3~at érintő körök
3. ábra
középpont jai is. A közös fókusza ezeknek a hiperbol ákna k k:i közép- po nt j a . A megoldást tehát közös fókuszú hiperbolák metszései szolgál- t a t j á k. (3. ábra)
Két hiperbolát mási k kettő legfeljeb b tizenhat pontban metszhet.
Ezek közül ki kell választani a megoldásokat. A maximális megoldások száma nyolc. Az elemzéssel itt külön nem foglalkozom . Az elemzés csak- nem teljes egészében megtalálható B. Gyelone— O. Zsitomirszkij: Geo- met ri ai f e l ad at g yűj t e m én y c. könyvében, a 190. feladat nál. E nnek alap- ján három nem metsző kör esetében a 4., 5., 6., 7. ábr ák m u t at j á k , hogy kj helyzetétől f üggően mely hiperbola ágak metszései szolgáltatjá k a megoldást. (Pl. a 4. á brá n ha k j e^-t a nyíl felőli oldalról érinti az A pontban , akkor ha t ár e se t van, ha k j az ór amut ató járásával egyező irány -
ba mozog, akkor a 2 és II. csúcsú hiperbola ágak metszései mindaddig megoldást adnak , amíg kt nem érinti ei vagy e2-t a nyíl felőli oldalról.
A 8. ábrán n e m metsző körök esetében végeztük el a szerkesztést a következőképpen : az 0i0;{ és 020'$ centrálisokon megj elöltük a hiperbolák csúcsait, tetszőlegesen megraj zol tu k a reciprocitás körét ks-mal koncent rikusan, ennek felhasználásával megszerkesztettü k a hiperbolák csúcs-
4. ábra 5, ábra
6. ábra 7. ábra
érintőiből a reciprok köröknek az OÍO3 és O2O3 egyenesen lévő pont jait, amelyekből megr aj zol ju k a köröket , ezután az egymást megoldásban metsző hiperbola ágaknak megfelelő körívekhez megszerkesztettük az érintőket, ezek visszaállítottjaá az érintő körök középpontjai.
A három kör kölcsönös helyzetét tovább nem vizsgáljuk. Megoldá- sokat hiperbolák, ellipszisek és egyenesek metszéspontjai szolgáltatnak, amelyek szintén megszerkeszthetők .
b) Ha a három kör közül az egyik végtelen sugarú , akkor két kör- höz k | és k.> és egy e egyeneshez kell érintő köröket szerkeszteni. Vá- lasszuk ki pl. a kt kört és keressük azon középpontok halmazát, amelyek- ből rajzol t körök érintik kj -e t és e-t , illetve ki-et és fe-t. Ha a három adott elem nem metszi egymást, a mértan i helyek olyan helyzetű para- bolák és hiperbolák lesznek, amelyeknek közös fókusza k j középpontja . Ebben az esetben a közös fókuszú parabolák és hiperbolák metszései közül kerülnek ki a megoldások. Az elemzést az előbbihez hasonlóan
8. ábra
kell elvégezni. H a az elemek összes kölcsönös helyzeteit t ek i nt j ük , ak- kor közös fókuszú parabol ák- hiperbolák , parabola-egyenes-hiperbolák, parabolák-hiperbola-ellipszis, parabola-egyenes-hiperbola-ellipszi s m et - széseit kell megszerkeszteni.
Legyen az egyik kör pl. nulla sugarú . Akkor kt és körökhöz és egy P pontho z kell érintőköröke t szerkeszteni. F ő pont tu l válasszu k az adott P pont ot , és ez a k örökn ek legyen külső pont j a, tovább á azok ne messék egymást. Azon körközéppontok, amelyekből raj zol t körök érint ik k[-et és át m en nek P - n, hiperbolá n vannak, és azok szintén, ame - lyek k-2-t érintik és át mennek P - n . A megoldást ebben a helyzetben két közös fókuszú hiper bolák metszései szolgáltatják. Ha pedig az egyik kör középpont ját vá l asz t ju k főpont tul , akkor az érintő körök középpontjait közös fókuszú hiperbolák és hi perbola met széspontj ai jelölik ki. Az ele- me k helyzetétől függően megoldást még egy közös fókusszal bíró hiper - bola-ellipszis, ellipszis-ellipszis, továbbá hiperbola-egyene s metszései szolgáltatnak.
Ha a hár om kör közül az egyi k nulla sugar ú, a mási k pedig végte- len sugarú, a kkor adot t k körhöz, e egyeneshez és P ponthoz kell érintő
köröket szerkeszteni. Vegyük fel az elemeket úgy, hogy P ne illeszked- jen egyikre sem és k -n a k külső po n tja legyen, továbbá az egyenesnek azon oldalán legyen, amelyen k. Válasszuk főponttul a P pontot. A P - t és e-t érintő körök középpontjai parabolán vannak, P, és k- t érintő kö- rök középpontjai pedig hiperbolán. A megoldást a közös fókusz - szai Diro paraDoia es mperboia közös po n tj a adja . Ha főponttul a k kör középpontját választjuk, akkor a k -t és e-t érintő körök középpont- jai két közös fókuszú parabolán vannak , k és P - t érintőké pedig hi- perbolán. A megoldások ebben az esetben közös fókuszú parabolák és hiperbola közös pontjai . Az elemek helyzetétől függően egyenes-hiper- bola, parabola-egyenes-hiperbola , parabola-ellipszis metszéseit kell me g- szerkeszteni.
Ha két kör végtelen sugarú, akkor adott e^ és e-2 egyeneseket és k kört érintő köröket kell szerkeszteni. A szerkesztést elvégezhetjük úgy, hogy a két egyeneshez tartozó szögfelező, továbbá a kör és az egyik egyeneshez tartozó parabolák metszéspontjait szerkesztjük meg. Elvé- gezhetjük úgy is, hogy főponttul a kör középpontját választjuk és ke körhöz tartozó parabolák metszéspontjait szerkesztjük meg. Az eddigi
módszerekkel ezek szintén elvégezhetők.
Két végtelen sugarú és egy nulla sugarú kör esetében a feladat a következőkép fogalmazhat ó me g: ei és e.> egyeneshez és P ponthoz érin- tő köröket szerkesszünk! Főponttul a P - t választva egyenes és parabola metszése szolgáltatja a megoldást, vagy pedig két parabola metszése.
Ha a körök között kettő nulla sugarú, egy pedig végtelen sugarú, akkor ké t ponthoz és egy egyeneshez kell érintő köröket szerkeszteni.
A pontok közül egyiket főpontnak te k in tj ü k és a megoldást egyenes és parabola metszése adja.
Két nullasugar ú kör esetében két ponthoz és egy k körhöz kell érintőköröket szerkeszteni. A megoldások a két ponthoz tartozó hiperbo- likus körsor azon körei lesznek, amelyek érintik k-t. Ebből következik, hogy a körvonal n em választhatj a szét a két pontot. Ha főponttul az egyik pontot választjuk, akkor egyenes és hiperbola, vagy egyenes és ellipszis mets zéspontját kell megszerkeszteni. Ha főpontkén t a kör kö- zéppontját választjuk, akkor két hiperbola, két ellipszis, vagy egyenes- hiperbola és egyenes-ellipszis közös po ntja ké nt is felfogható a megoldás.
Három pont és há rom egyenes esetében a megoldás egyszerűen adó- dik, semmilyen helyzetben nincs szükség az ismertetett módszer alkal- mazására.
J E G Y Z E T E K :
[1] Lásd Stiefel: L ehrbuch der Darstellenden Geometrie c. könyvének 83. oldalán . [2] Az előző könyv 84. oldalán.
[3] Stiefel ugyanazon könyvének 88. oldalán.
I R O D A L O M :
E. Stiefel: L ehrbuch der Darstellenden Geometrie. Basel 1947.
Cranz: Apollonisches Berührungsproblem, Br emer haven, (1890).
Gyelone—Zatomir szkij : Geometriai f eladatgyűjtemé ny . Szocialista nevelés könyv- tára, 1956.
