KÖZÖS ELEMEK M Á S O D R E N D Ű R E K U R Z Í V S O R O Z A T O K B A N
DR. KISS PÉTER
Legyen G = G (A, B, Go, Gt) egy másodrendű lineáris rekurzív sorozat, melyet az A, B, G0 és Gi racionális egészekkel és a
Gn = AGn-i - BGn-i (n > 1)
rekurzív formulával definiálunk. Legyenek a és /? a sorozat f(x) = x2-Ax+B
k a r a k t e r i s z t i k u s polinomjának a gyökei és tegyük fel, hogy a sorozat nem degenerált, vagyis AB ^ O, Gq és Gi nem mindkettője nulla és a//5 n e m egység- gyök. Jól ismert, hogy a sorozat t a g j a i n a k explicit előállítása
V1) ^ n — —7T Ö ' oc — p ahol a — Gj — Go ^ és b — Gi—Gu a, továbbá (2) ' ]Gnj > c2 • |a|n n —Cs
ha n > rí, ahol c\, c^ és rí a sorozat adataiból explicit meghatározható kons- tansok (lásd-pl. [3]-ban).
A G sorozat speciális esetét, a m i k o r G„ = 0 és Gi = 1, a következőkben;
R-^rel:jelölj ük. Az R sorozat tagjai (1) a l a p j á n
• - - an - Bn
(3);.: " 11,= * p
a - nő - alakban írhatók fel.
(2)-ből adódik, hogy m i n d e n R és minden G sorozatban, ha a; fi nem egységgyök, bármely x valós szám esetén | Rn| > x, illetve | Gn| > x ha n >
n0 (A, B, x), illetve n > n0 (A, B, Go, Gi, x). Ebből következik, hogy a sorozatokban m i n d e n elem csak véges sok elemmel lehet egyenlő. K. K. Kubota [4, 5] ennél, többet bizonyított: h a egy G sorozatban a//? nem egységgyök, a k k o r a sorozat- ban m i n d e n elem legfeljebb négyszer f o r d u l h a t elő. F. Beukers [1] javította
ezt az eredményt, m e g m u t a t t a , hogy n é h á n y kivételtől eltekintve a négyes konstans h á r o m m a l helyettesíthető.
Hasonló probléma a következző. Legyen G = G (A, B, G,0., G|) és H = H (A, B, Hn, Hi) k é t másodrendű lineáris r e k u r z í v sorozat, melyeket ugyanazok az A, B konstansok definiálják. A két sorozat közül elemeinek halmaza véges-e vagy végtelen? Ha G és H ekvivalens sorozatok (vagyis ha Gn + r = Hn + s minden n 0 egész esetén valamely rögzített r és s természetes számok mellett) a k k o r nyilván végtelen sok közös elem létezik, ezért csak azzal az esettel érdemes foglalkozni, amikor G és H n e m ekvivalensek. Ebben az esetben, a sorozatok t a g j a i n a k explicit a l a k j a alapján, G. Revuz [8] egy általános tétele ad választ a kérdésre; bebizonyította, h o g y ha űj (1 á L á M), bj (1 % j á N), S és cp algebrai szárnak, f ) és cp lineárisan függetlenek az egész számok felett, akkor a
M . m, N n,
z = z y
t - i j = i 1
egyenletnek csak véges sok mv ríj racionális egész megoldása van, eltekintve attól az esettől, m i k o r mindkét oldal zérus. Ebből pedig következik, hogy a Gx = Hy egyenlet (x, y) megoldásainak száma is véges, vagyis valamely m0
konstans esetén Gx Hy, h a x > m,0.
Hasonló e r e d m é n y t bizonyított M. Mignotte [7]. ö a tételét tetszőleges r e n d ű lineáris rekurzív sorozatokra mondta ki. állítása a mi esetünkre leszű- k í t v e a következőt m o n d j a ki: H a D > 0 és n e m egységgyök, a k k o r létezik egy effektív meghatározható m0 konstans úgy, hogy Gx 4= Hy ha x, y > m0. F. Mátyás [6] különböző A, B konstansokkal g e n e r á l t másodrendű sorozatok esetéén ezeket a konstansokat explicit alakban is megadta, azonban ezek nagy- s á g r e n d j e jelenleg még számítógéppel sem érhető el.
Az A = —B = 1 esetre (általános Fibonacci sorozatokra) M. D.. Hirsch [2]
k o n k r é t a b b e r e d m é n y t bizonyított: Ha G (1,—l,Gr>, Gi) és H ( 1 , — 1 , H0, Hí) n e m ekvivalens sorozatok, akkor a G és a H sorozatoknak nincs c(j/5~_ 1) -nél nagyobb abszolút é r t é k ű közös e l e m ü k , ahol c = maxOGiGg — G|| ,\HÍH2 — H\\)
A következőkben általánosítjuk M. D. Hirsch eredményét a D = A2 —4 B > 0 feltételnek eleget tevő általános m á s o d r e n d ű sorozatokra, és egyben j a v í t j u k Revuz és Mignotte eredményeinek másodrendű sorozatokra vonatkozó állítá- sát, megadva az mn konstans explicit értékét.
Vezessük be a következő jelöléseket. Legyenek A és B rögzített nem zérus egészek, G = G (A, B, G0, G() és H = H (A, B, H0, H}) két másodrendű lineáris
r e k u r z í v sorozat, melyekre D = A2— 4 B > 0, és G0, Gi, illetve H0, Ht nem m i n d k e t t ő j e zérus. Legyen G és H t a g j a i n a k explicit előállítása
_a<xn-b/9n
és
pcLn—qfin 11 „= Q a — p
540
ahol a = G| — Go/?, b = Gt — G0 a, p = Hi — H0 q = Ht — H0 a és tegyük fel, hogy a//? nem egységgyök. Továbbá legyen
m = m a x ( | G0| , \H0\ , | G j | , l i / ^ ) , w = m a x ( | 6 | , \q\),
^QgÍP/Ql l o g | a | és
f = min I i - lq/ p l - M[ z l
|q/pI • l«l
|,1+1- 1
4 ' 4 ' 4 4
A feltételek miatt a és fi valós és |a| 4= |/?[, ezért a továbbiakban feltehetjük, hogy |a| > \fi\ + 0 .
Ezen jelöléseket felhasználva a következőket bizonyítjuk.
2. Tétel. Ha a G és H sorozatok nem ekvivalensek és \fí\ < 1, akkor nincs olyan közös elemük, melyek indexei nagyobbak mint n0 + 1.
Következmény. Az F = F (1, — 1,0, 1) Fibonacci és az L = L (1, —1, 2, 1) Lucas sorozatoknak csak 1 ( = F| = Fo = Lj) és 3 ( = F/, = L2) a közös elemük. Ugyanis ebben az esetben « = ( 1 + 5)/2, fi = (1— / 5 ) , 2 és w= Y 5, és könnyű ellenőrizni, hogy nn < 3. így F{ = Lj csak akkor teljesülhet az 1. Tétel miatt, ha i < 3 vagy j < 3. Ezekben az esetekben pedig közvetlenül belátható, hogy csak a felsoroltak a közös elemek.
2 .Tétel. Ha a G és H sorozatok nem ekvivalensek, B < 0 és |/?| < 1, akkor nincs olyan közös elemük, melyek abszolút értéke legalább 6 mw |B|n°.
3. Tétel. Ha a 4= 0, p =t= 0 és a G és H sorozatok nem ekvivalensek, akkor nincs olyan közös elemük, melyek indexei nagyobbak mint
Megjegyezzük, hogy a 3. Tétel nem igaz. ha elhagyjuk az a 4= 0, p 4= 0 feltételeket. Ugyanis G = G (6,8,1,4) és H = H (6, 8, 1, 2) sorozatok esetén A = 6, B = 8 miatt a = 4 , = 2 és p = Ht — H() fi = 0, a tagok explicit elő- állítása pedig Gn — 22n, Hn = 2n. így a Gx = Hy egyenletnek végtelen sok meg- oldása van, de a két sorozat nem ekvivalens.
1. Tétel bizonyítása. n0 megválasztása miatt V a
(az n(1 konstansnak v a n értelme, m e r t w = 0 és Gx = Hy esetén G és H ekviva- lens sorozatok lennének), így \f}\ < 1 miatt
(4)
V
a esV L
1« I 2
ha n > n0. Legyen G r +i = Hs + ) = Q és r, s > n0. K ö n n y ű belátni (1) segítsé- gével, hogy
« «
minden n természetes szám index esetén, ezért (4) a l a p j á n 0 - G ,
es
Qa ' - H . —
V
Xadódik. Ebből következik, hogy Gr és Hs a v a l ó s számhoz legközelebbi egészek Q így Gr = Hs. De ez Gn +i = Hs + t egyenlőséggel együtt azt m u t a t j a , hogy a G és H sorozatok ekvivalensek, t e h á t igaz a tétel állítása.
2. Tétel bizonyítása. Először b e l á t j u k , hogy a tétel feltételei mellett
(5) | Rn| ^ | a |
minden n > 0 természetes szám esetén. A bizonyítást n - r e teljes indukcióval végezzük el. n = 1 és n — 2 esetén Rí = 1 és R2 = A m i a t t igaz az állítás, mert a és különböző előjelű és így |A| = |a + < [a|.
Ha (5) f e n n á l l valamely n és n + 1 esetén, a k k o r A = a + és B = a/3 < 0 miatt
| Rn+21 = | ARq+1 -BRn l - l ( \A I . H - a/?) = cc + p
= i/*;»+i í
y a « J - H 1 = 1 « |» + 1 a
542
u
mivel —1 < — < 0, ezért (5) valóban teljesül m i n d e n n > 0 esetén.
a
Ezek u t á n r á t é r ü n k a tételben szereplő állítás bizonyítására. Az n() kons- tans megválasztása miatt
w "
(6) I /?
a
< 1 h a 2
1 .
h a n—no
(1) és (3) a l a p j á n könnyű belátni, hogy Gn = G() an + (G| — Go a) • Rn, ezért (5) felhasználásával
N = m a x ( | Gn| , | Hn| ) ^ m | a |n + w | Rn| ^ m | a |n + w l a ^ "1
adódik. De ha n ^ n0 + 1 , akkor a fi = B m i a t t (6)-ból
M° = I« I • W°_1 =l"|- i | ^ = J^L-w|Bi"->s2w| B !->
adódik. így n ~ n0 + 1 esetén, felhasználva hogy w = m m \a\ és | a | > l , N^ 2mw\ B |n _ I + — • 2w| B |n _ 1 =i2w| B i M w
locl
5 2 m w | B ,n. | 1 + 1 j~J ^ j < Gmw| B jno
Ebből már következik az állítás az 1. Tétel miatt.
3. Tétel bizonyítása. Először belátjuk, hogy a Gx = Hy, v a g y ami ezzel ekvi- valens, az
(7) a ax — b /3X = p a^ — q fiv
egyenletnek, csak véges sok (x; y) egész megoldása van, ha G és H nem e k v i v a - lens sorozatok. Tegyük fel az állítás ellenkezőjét, vagyis hogy végtelen sok (x; y) megoldása van (7)-nek. a + 0 és p + 0 m i a t t (7)-ből
(8) - « =
1 -Eli)' a *->' q\ a )
P
következik. A bal oldal egész x, y esetén 1 környezetében csak diszkrét érté- keket vehet fel, a jobb oldal határértéke viszont 1, ha x és y a végtelenhez tiairt, ezért végtelen sok (x;y) egész értékpárra csak akkor állhat fenn az egyenlőség, ha
a x~y
,
—x = 1, P
vagyis
noc = pot
valamely (x; y) esetén. Ebből azonban b y?x = q fi? és Gx +,n = Hy + n adódik min- den n természetes számra, vagyis G és H ekvivalens sorozatok.
Tehát ha G és H n e m ekvivalensek, akkor létezik olyan n\ valós szám úgy, hogy Gx 4= Hy, ha x, y > n^. A következőkben belátjuk, hogy a tételben megadott n\ rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.
i i a
z megválasztása miatt j p ~ö = * z n e m efíész szám, mert ha z egész lenne, akkor az előzőekhez hasonlóan következne, hogy G és H ekvivalensek.
Ekkor azonban lal > 1 miatt.
1 a J
— a P ha i ^ [z] és j ^ [z] + 1 . Legyen
log e — log \b/a
es
y
log \P/a\
log £ — log q / p | log|/?/«|
Nyilván x, y > nj is teljesül, ahol n\ a tételben definiált konstans. Ekko
p l * b
u es
Ezeket felhasználva (8)-ból 1 — £ 1—4e
1 + e
a x-y
—fi p
1+e
l—e 1 -+ 4e
adódik, ami viszont egész x, y esetén nem teljesülhet e választása miatt. Ebből már következik az állítás.
544
IRODALOM
1. F. B e u r k e r s , T h e m u l t i p l i c i t y of b i n a r y r e c u r r e n c e s , Comp. Math., 40 (1980), 251—267.
2. M. D. H i r s c h , A d d i t i v e s e q u e n c e s , M a t h , Mag., 50 (1977), 262.
3. P. Kiss, Zero t e r m s in second o r d e r l i n e a r r e c u r r e n c e s M a t h . Sem. Not. (Kobe U n i v . J a p a n ) , 7 (1979), 145—152.
4. K. K. K u b o t a , O n a c o n j e c t u r e of M o r g a n W a r d I, A c t a A r i t h m . , 33 (1977), 11—28.
5. K. K. K u b o t a , O n a c o n j e c t u r e of M o r g a n W a r d II, A c t a A r i t h m . , 33 (1977), 29—48.
6. F. M á t y á s , On c o m m o n t e r m s of s e c o n d o r d e r l i n e a r r e c u r r e n c e s , M a t . Sem.
Not. (Kobe Univ. J a p p a n ) , 9 (1981), 89—97.
7. M. Mignotte, I n t e r s e c t i o n des i m a g e s de c e r t a i n e s suites r e c u r r e n t e s l i n e a i r e s . T h e o r e t i c a l C o m p u t . Sci, 7 (1978), 117,—122
8. G. Revuz, E q u a t i o n s d e i p h a n t i n e s e x p o n e n t i e l l e s , Bull. Soc. M a t h . F r a n c e , Mém., 37 (1974), 139—156.
COMMON T E R M S I N S E C O N D ORDER RECURRENCES b y Péter K i s s
(Summary)
Let G = G (A, B, G0, G[) be a second order linear recurrence defined by rational integers A, B, G0, Gt a n d by recursion Gn = AGn_|— B Gn_ 2 f o r n > 1.
We denote the roots of polynomial x2 — A x + B by a and ft. Let us suppose t h a t AB + 0, Gn a n d G| are not both zero, D = A2 — 4B > 0, a/ft is not a root of unity and |a[ > | f t \ . Let H = H (A, B, Ho. H]) be also a second order linear recurrence with similar conditions. The sequences G and H are called equiva- lent if there exist integers r a n d s such that Gn + r = Hn + S for every integer n = 0.
T h e following t h r e e t h e o r e m s are proved in t h e paper.
Theorem 1. If t h e sequences G a n d H are not equivalent and \ft\ < 1 then the equation Gx = Hy has no solutions with condition x,y>n{)-\-l. Theorem 2.
If t h e sequences G and H a r e not equivalent, B < 0 and \ft\ < 1 then the equation Gx — Hy has no solutions with condition |GX| = 6 m w |B|n<> Theorem 3.
Let t h e explicit f o r m of the t e r m s of sequences G and H be Gn = (a an — b ftn) /(a —ft) and Hn = ( p an- q ftn) / (a — ft)
respectively. Suppose t h a t the sequences G and H are not equivalent and ap 4= 0. Then the equation Gx = Hy has no solutions for which x, y > n\.
The constants n0, ni, m and w in the t h e o r e m s are given in t h e paper and they depend only on t h e p a r a m e t e r s of sequences G and H.
546