Szanyi János – Kovács Balázs Szanyi János – Kovács Balázs

(1)

Hidrogeológia III.

Szanyi János – Kovács Balázs Szanyi János – Kovács Balázs

szanyi@iif.u-szeged.hu

www.gama-geo.hu/kb/

(2)

Telített közegbeli permanens szivárgás

Potenciometrikus felszín gradiense:

A felszínalatti víz energiája mechanikai, termikus vagy kémiai jellegű. Mivel az energia térbeli eloszlása nem egyenletes, ezért a víz áramlással

próbálja kiegyenlíteni az energia különbségeket.

Ezért kell foglalkozni fizikai és termodinamikai törvényekkel.

A továbbiakban feltételezzük, hogy a víz konstans hőmérsékletű, valamint oldott sótartalma, azaz sűrűsége sem változik.

(3)

Áramlási egyenletek:

Válasszunk ki a vízadó rétegből egységnyi térfogatú, homogén, izotróp kockát.

→



+ ρq_x

( )





∂ + ∂

−

→

 x

q_x ρq^x ρ

x Z

Y

Ha q_x a Darcy törvényből megismert „intenzitás” (fajlagos vízhozam), ρ a folyadék sűrűsége, akkor ρq_x tömegáramlási sűrűség vagy tömegfluxus x irányban. A fenti ábra jobb oldalán a kiáramló tömegfluxus látható.

A tag az x irányú bemenő és kimenő oldal közötti változást jelenti.

q = K (dh/dl)

( )

x q_x

∂

∂ ρ

(4)

A tömegfluxus egyenletét a tér mindhárom irányába fel lehet írni.

Ha állandósult (stacionárius) áramlást tételezünk fel, akkor a beáramló tömegfluxusnak azonosnak kell lenni a kiáramló tömeg fluxussal,

azaz a változások összege zérus:

) 0 ) (

) (

( =

∂ + ∂

∂

z q y

q x

qx ρ y ρ _z

ρ

Ez a stacionárius áramlás folytonossági egyenlete.

Darcy törvényből -t behelyettesítve:

= 0 + ∂

+ ∂

∂x y z

x K h q_x

∂

− ∂

=

= 0



 





∂

∂ + ∂









∂

∂ + ∂



 





∂

z K h z y

K h y x

K h x

(5)

Ez az egyenlet a matematikában jól ismert Laplace-egyenlet, melynek megoldása mutatja meg a h piezometrikus szint nagyságát bárhol a háromdimenziós áramlási térben.

Regionális áramlások tanulmányozására használják (nincsenek sem források, sem nyelők).

rendezve:

2

0

2 2

2

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

z h y

h x

h

(Laplace egyenlet)

Tranziens áramlások:

Ha az áramlás nem stacionárius, tranziens áramlásról beszélünk, ebben az esetben nem érvényes a Laplace egyenlet, azaz a jobb oldal nem zérus

t h K S z

h y

h x

h _s

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

2 2 2

2 2

2

ahol S_s fajlagos tárolási tényező_.

Az S_s/K hányados határozza meg, hogy a megváltozott nyomás mennyi idő alatt fog kiegyenlítődni.

(6)

A szivárgás alapegyenletének megoldási módjai

• Analitikus megoldások

– Valódi analitikus megoldások

• Dupuit-Thiem megoldás

– Szemi-analitikus megoldások

• Theis-Jacob megoldás

• Hantush-féle megoldás

• Neumann-féle megoldás

• Tóth-féle megoldás

Hidrogeológia - Szeged, 2007 6

• Tóth-féle megoldás

• …

• Numerikus megoldások

– Szemi-numerikus megoldások

• Analitikus elemek módszere

• Halász-Szőke-féle rétegzett tároló modell (ARV)

• …

– Valódi numerikus megoldások

• Véges differencia-módszer

• Végeselem módszer

• Peremelem-módszer

(7)

Analitikus megoldások – Dupuit

Végtelen galéria, zárt tükr ű rendszer

z 0 és h y 0

mert h ,

dx 0 h d

2 2

∂ =

= ∂

∂

= ∂

K1

dx dh =

2

1x K

K

h = +

R h K H

és h

K₂ ₀ ₁ − ⁰

=

0

0 x h

R h

h H − +

=

R h k H

dx k dh kI

v − ⁰

=

R h mk H

mv

q_g − ⁰

=

Peremfeltételekből:

Szivárgási sebesség a Darcy-törvényből

Féloldali hozam egységnyi hosszon:

(8)

Analitikus megoldások – Dupuit

Végtelen galéria, nyílttükr ű rendszer

Szivárgási sebesség a Darcy-törvényből

Féloldali hozam egységnyi hosszon:

dx kh dh kI

h hv

q_g = = ⋅ = dx k dh kI

v = =

dh kh dx

q

_g

=

g

[ ]

H

h 2 R

0 g

0

2 k h x

q 



 



= 

R 2

h k H

q

2 2

g

− 0

=

2

0

2 x h

k

h = q^g +

Depresszió-görbe egyenlete:

(9)

Analitikus megoldások – Dupuit-Thiem Magányos kút, zárt tükr ű rendszer

z 0 mert h ,

y 0 h x

h

2 2 2

2 2

2

∂ =

= ∂

∂ + ∂

∂

Polár koordináta-rendszerre áttérve:

r ln r K

h

= 3

∂

r 0 h r 1 r

h

2 2

∂ = + ∂

∂

Peremfeltételekből:

Szivárgási sebesség:

Kúthozam az r sugarú paláston beáramló vízmennyiség:

4 3lnr K K

h = +

0

0 0 4

0 0

3 ln

ln ln

r r

R h H H

K és r

R h

K H −

−

− =

=

0

0 0

0

0 ln

ln ln

ln

r r

R h H H

r r

R h

h H −

−

− +

=

r 1 r ln R

h k H

dr k dh kI

v

0

− 0

=

0 0

r ln R

h mH

k 2 v m r 2 Av

Q −

π

=

⋅ π

=

(10)

Analitikus megoldások – Dupuit-Thiem Magányos kút, nyílttükr ű rendszer

Kúthozam:

dr kh dh r 2 kI h r 2 hv r 2

Q = π = π ⋅ = π

∫

⁼ ^π ^H

h R

r₀ ₀

Q hdh k dr 2

r 1

2 2

ln R h k H

Q − ⁰

π

=

Depresszió-görbe egyenlete: r0

ln

2 0

h0

r ln r k

h Q +

= π

Valós áramkép Közelítő áramkép

(11)

Analitikus megoldások - Theis

Magányos kút, zárt tükr ű rendszer, nem permanens eset

z 0 mert h t ,

T h S y

h x

h

2 2 2

2 2

2

∂ =

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

Polár koordináta-rendszerre áttérve:



 





∂

= ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

r r h r r 1 r h r 1 r

h t

h T S

2 2



 





∂

= ∂

∂

r r s r r 1 t h T

S s = H −h

Kezdeti és peremfeltételek:

F(u) sorbafejtéssel közelíthető:



 ∂

= ∂

∂ r r

r r t

T s = H −h

0 ) r

, t (

s = ∞ = ^s⁽^t ⁼ ⁰^,^r⁾ ⁼ ⁰

0 t ha r , Tr s 2

Q >

∂ π ∂

=

Megoldás (C.V.Theis):

Tt 4 u Sr u és

e du )

u ( F ahol ), u ( T F 4 ) Q r , t ( s

2

u

u =

π =

= ^∞

∫

⁻

− +

⋅ −

⋅ +

− +

−

= K K

! 3 3

u

! 2 2 u u ) u ln(

5772 , 0 ) u ( F

3 2

(12)

Analitikus megoldások – Theis- Jacob

Magányos kút, zárt tükr ű rendszer, nem permanens eset

F(u) közelíthető:

Ha u<0,01 vagy F(u)>4,0:

- r kicsi - t nagy

Tt 4 u Sr u és

e du )

u ( F ahol ), u ( T F 4 ) Q r , t ( s

2

u

u =

π =

=

∫

^∞ ⁻

F(u) közelíthető:

) ln(

5772 ,

0 )

(u u

F = − −

[ ]

Tt 4 u Sr ahol , ) u ln(

5772 ,

T 0 4 ) Q r , t ( s

2

=

− π −

=

Theis-Jacob-féle megoldás