Bevezetés a számításelméletbe II. Ureczky Bálint
2009. október 13. ubalint@cs.bme.hu
cs.bme.hu/∼ubalint
5. gyakorlat
Párosítások, Alfa, N˝u, Ró, Tau Elméleti összefoglaló:
• Hall: ps gráf,∀X ⊆F :|N(X)| ≥ |X| ⇔ ∃F-t lefed˝o ps-ítás
• Frobenius:|F|=|N|∧Hall-felt⇔ ∃telj. ps-ítás
• Tutte:∀X⊆G:|cp(G−X)| ≤ |X| ⇔ ∃telj. ps-ítás
α:fgtln pontok max száma König: (ha a gráf ps) Gallai:
ν :fgtln élek max száma ν ≤τ ν=τ α+τ=n(ha@hurokél) ρ:lefogó élek max száma α≤ρ α=ρ ν+ρ=n(ha@izol. pont) τ :lefogó pontok max száma
Feladatok:
1. Egy táncmulatságon 25 lány és 25 fiú van jelen. E társaságban minden lány ismeretségben van legalább 13 fiúval és minden fiú legalább 13 lánnyal. Bizonyítsuk be, hogy páros táncra perdüllhetnek egyszerre mind az 50-en úgy, hogy az egymással táncolók ismerik egymást!
2. Egy ünnep alkalmával a török szultán udvarában a férfiak két-két háremhölgyet választanak. Minden férfinek legalább 2 háremhölgy tetszik. Mi a feltétele annak, hogy minden férfi neki tetsz˝o két háremhölggyel tölthesse az éjszakát?
3. Bizonyítsd be, hogy egy reguláris páros gráfban mindig létezik teljes párosítás!
4. Adott egyn×n-es mátrix, amelynek minden sorában, és oszlopában pontosan k darab egyes van. Bizonyítsd be, hogy ekkor kiválasztható n darab egyes úgy, hogy minden sorból és oszlopból pontosan egy darab egyest választottunk ki!
5. Van-e teljes párosítás az alábbi gráfban?
6. Határozzuk meg az alábbi gráfokbanα(G),ν(G),ρ(G),τ(G)ésω(G)értékeit!
a) b) c)Kn d) Km,n
7. Igazoljuk, hogy egyGteljes páros gráfban(Km,n)fennáll:α(G)·τ(G) =|E(G)|.
8. Igazoljuk, hogy tetsz˝olegesGgráfban∆(G)·τ(G)≥ |E(G)|.
9. Igazoljuk, hogy tetsz˝olegesGgráfbanα(G) +ω(G)≤ |V(G)|+ 1.
10. Igazoljuk, hogy tetsz˝oleges n csúcsú G egyszer˝u gráfra fennáll, hogyα(G)≥n−2·ν(G).
